Serbest Düşme

Anahtarları ve bir kâğıdı aynı anda elinden bırak. Anahtarlar yere neredeyse hemen şıngırdayarak düşer, kâğıt ise bir süre havada sallanır. Yani ağır şeyler daha mı hızlı düşer? Aristoteles’ten başlayarak âlimlerin çoğu, neredeyse iki bin yıl boyunca tam olarak bunu düşündü. Farkı yaratanın hava olduğunu ancak Galileo Galilei 16. yüzyılın sonu ile 17. yüzyılın başında fark etti. Hava olmasaydı taş, çekiç ve kuş tüyü aynı hızla düşerdi.

Söylenceye göre Galileo, kanıt olarak öğrencilerine Pisa’daki eğik kuleden farklı ağırlıkta iki top attı. Hikâye güzel, ama onu ancak öğrencisi ve biyografi yazarı sayesinde biliyoruz ve tarihçiler bunun gerçekten yaşandığından kuşkulu. Galileo aslında bunu daha sabırlı deneylerle keşfetti, onlara ileride geleceğiz.

Ay’da Çekiç ve Tüy

Bunu Dünya’da göstermek zor, çünkü hava her yerde bizi çevreliyor. Ay’da ise hava yok. 1971’de Apollo 15 görevinin astronotu David Scott orada televizyon kamerası önünde aynı yükseklikten bir jeolog çekicini ve bir doğan tüyünü bıraktı. Tüy rastgele seçilmemişti: görevin iniş aracının adı Falcon, yani doğandı. İkisi de aynı hızla düştü ve ikisi de toza aynı anda indi. Scott da kuru bir dille Bay Galileo’nun haklı olduğunu ekledi.

Solda Ay var, sağda karşılaştırma için havası olan Dünya.

Durgun halden bıraktığımız ve sonra yalnızca Dünya’nın (ya da Ay’ın) onu çekmesi yüzünden, hava direnci olmadan düşen cismin hareketine serbest düşme deriz. Ay’da tüyler de çekiçler de serbest düşer. Dünya’da buna, en azından büyük yükseklikten düşmedikleri sürece, düşen taş, anahtarlar ya da elma çok yaklaşır. Tüy ve kâğıt serbest düşmez, onları hava fazlasıyla yavaşlatır.

g İvmesiyle Düşme

Galileo bir şey daha keşfetti. Düşen cismin hızı düzgün artar, her saniye aynı miktarda eklenir. Serbest düşme böylece duruştan başlayan düzgün hızlanan harekettir. İvmesi aynı yerdeki bütün cisimler için aynıdır, adı yer çekimi ivmesidir ve g ile gösterilir. Tuhaf geliyor, çekiç tüyden çok daha ağır. Dünya onu daha çok çeker, ama aynı şekilde harekete geçmeye daha çok direnir ve ikisi tam olarak dengelenir. Bunun neden böyle olduğunu kuvvetler gösterecek. Bizim buralarda

$$g\approx 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2.$$

Serbest düşen taşın hızı her saniye 9,81 m/s artar. Kesin değer yerden yere biraz değişir: ekvatorda yer çekimi ivmesi yaklaşık 9,78 m/s², kutuplarda 9,83 m/s²’dir. Kafadan tahmin için 10 m/s² yeter. Ay’da yaklaşık altı kat küçüktür ve bu yüzden Scott’ın çekici ile tüyü Ay’da Dünya’daki taştan belirgin biçimde daha yavaş düştü.

Cisim düşey bir doğru boyunca düşer, bu yüzden pozitif yönü aşağı seçeriz. İvme de hız da böylece pozitif çıkar. Düzgün hızlanan hareketin v = v₀ + a · t ve $s=v_0\cdot t+\frac{1}{2}a{t}^2$ formülleri burada sadeleşir. Cisim duruştan başlar, ilk hız bu yüzden v₀ = 0’dır ve ivme a = g’dir. Yolu yükseklik gibi h ile göstereceğiz, çünkü cismin kaç metre düştüğünü söyler. Geriye kalan:

$$v=g\cdot t$$

$$h=\frac{1}{2}g{t}^2$$

t süresini bıraktığımız andan ölçeriz, v o andaki hız, h ise cismin o sürede düştüğü yüksekliktir. İlk saniyede taş 9,81 m/s hıza ulaşır ve 4,9 m düşer. İki saniye sonra hızı 19,6 m/s’dir ve 19,6 m düşmüştür, üç saniye sonra hızı 29,4 m/s’dir ve onu bıraktığımız yerin 44,1 m altındadır.

Yüksekliği hız çarpı zaman diye hesaplamak aklına gelebilir. Ama taş 19,6 m/s hıza ancak ikinci saniyenin sonunda ulaşır, daha önce daha yavaş düşüyordu ve sonuç iki kat büyük çıkardı. Formülde yarım olmasının nedeni tam olarak budur.

Eşit Sürelerdeki İzler

Şekilde bir bilye düşüyor, bir şeyler görülsün diye ağır çekimde, ve her eşit uzunlukta süreden sonra, örneğin saniyenin onda birinden sonra, arkasında turuncu bir iz bırakıyor. İzler birbirinden gittikçe uzaklaşır, çünkü bilye her an daha hızlıdır. Bir zaman diliminde bilye bir yol dilimi düşer, iki zaman diliminde 2² = 4 dilim, üçünde 3² = 9 ve dördünde 4² = 16 dilim. İzler arasındaki parçalar bu durumda 1, 4 − 1 = 3, 9 − 4 = 5 ve 16 − 9 = 7 dilimdir. Ardışık tam karelerin farkları tek sayılardır.

Serbest düşme o zamanın saatleri için fazla hızlıydı, bu yüzden Galileo bilyeleri, her şeyin daha yavaş gerçekleştiği, hafif eğimli bir oluktan bıraktı. Tam şu tek sayıları buldu, 1 : 3 : 5 : 7.

Kuyu Ne Kadar Derin?

Köydeki evinin yanında eski bir kuyu var ve su seviyesinin ne kadar derinde olduğunu bilmek istiyorsun. İçine bir taş bırakırsın ve kronometreyle suya çarpma sesinin 2 s sonra geldiğini ölçersin. Önce düşme hakkında bildiklerimizi yazalım:

$$\begin{array}{rl}t& =2\mathrm{s}\\ g& =9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ h& =?(\mathrm{m})\end{array}$$

Taş duruştan düşer, bu yüzden doğrudan yükseklik formülüne koyarız:

$$\begin{array}{rl}h& =\frac{1}{2}\cdot g\cdot t^2=\frac{1}{2}\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (2\mathrm{s}{)}^2\\ & =\frac{1}{2}\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 4{\mathrm{s}}^2\approx 19,6\mathrm{m}\end{array}$$

Saniye kareler sadeleşir ve metre kalır. Su seviyesi kuyu ağzının yaklaşık 19,6 m altında, epey derin. Hızlı bir kontrol olarak yuvarlak g ≈ 10 m/s² alalım: onun yarısı çarpı dört, yirmi metre. Uyuyor.

Suya çarpma sesinin yukarı çıkması için gereken süreyi ihmal ettik. Ses yirmi metreyi kabaca saniyenin yüzde altısında alır ve bu iki saniyenin yanında neredeyse fark edilmez. Hava direnci de taşı yirmi metrede pek yavaşlatmaz.

Taşın hızı grafikte, her saniye 9,81 m/s yükselen bir doğru oluşturur. Dikliği yer çekimi ivmesi g’dir. Yolu grafiğin altındaki alan olarak buluruz, burada dik kenarları 2 s ve 19,6 m/s olan kırmızı bir üçgen. Alanı $\frac{1}{2}\cdot 2\mathrm{s}\cdot 19,6\mathrm{m}/\mathrm{s}=19,6\mathrm{m}$’dir, formülden çıkanla tam olarak aynı.

On Metrelik Kuleden Atlayış

Suya atlama için en yüksek platform su yüzünden on metre yukarıdadır. Atlayıcı ne kadar süre düşer ve suya hangi hızla çarpar? Gerçekte platformdan sıçrar ve havada döner, ama biz basitleştirelim: duruştan, taş gibi düşer.

$$\begin{array}{rl}h& =10\mathrm{m}\\ g& =9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ t& =?(\mathrm{s})\\ v& =?(\mathrm{m}/\mathrm{s})\end{array}$$

Bu sefer yüksekliği biliyoruz ve zamanı arıyoruz, onu da yükseklik formülünden çekmemiz gerekir. İki tarafı önce ikiyle çarparız, böylece kesir kaybolur. Sonra yer çekimi ivmesine böleriz ve sağ tarafta yalnızca zamanın karesi kalır:

$$\begin{array}{rcl}h& =& \frac{1}{2}g{t}^2/\cdot 2\\ 2h& =& g{t}^2/:g\\ \frac{2h}{g}& =& t^2\end{array}$$

Şimdilik zamanın karesine sahibiz, ama bize zamanın kendisi lazım. Karekök yardımcı olur: iki tarafın karekökünü alırız. Negatif sonuç bizi ilgilendirmez, bıraktığımız andan itibaren geçen süre pozitiftir:

$$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$$

Yerine koyalım:

$$\begin{array}{rl}t& =\sqrt{\frac{2\cdot 10\mathrm{m}}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}}\approx \sqrt{2,04{\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 1,43\mathrm{s}\end{array}$$

Metreler sadeleşir ve saniye kareler paydadan paya geçer. Onların karekökü de saniyeyi verir. Çarpma hızı sonra hız formülünden çıkar:

$$\begin{array}{rl}v& =g\cdot t\approx 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 1,43\mathrm{s}\\ & \approx 14\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 50\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Atlayıcı bir buçuk saniyeden az düşer ve suya yaklaşık 14 m/s, yani kabaca 50 km/h hızla çarpar. Arabalar şehirde bu kadar hızlı gider.

Çarpma hızı zaman olmadan da bulunabilir. İlk hızı sıfır, ivmesi g ve yolu h olan $v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$ bağıntısından $v=\sqrt{2\cdot g\cdot h}$ çıkar. Yerine koyunca $\sqrt{196,2{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}\approx 14\mathrm{m}/\mathrm{s}$ elde ederiz, öncekiyle aynı.

Bir tuzağa dikkat et. Atlayıcı iki kat yüksekten iki kat uzun düşmez. Yükseklik formülde karekökün altındadır, bu yüzden yirmi metreden yalnızca yaklaşık 2,02 s düşerdi. Bu kuyuyla uyuşuyor: iki saniyede taş yirmi metreden biraz az düştü.

Aynı formül eğlenceli bir deneye de yarar. Arkadaşın cetveli dikey tutuyor ve sen başparmağınla işaret parmağını onun alt ucunun çevresinde açık tutuyorsun. Arkadaşın cetveli uyarmadan bırakır ve sen onu olabildiğince çabuk yakalarsın. Cetvel 20 cm düşmeyi başarırsa, $\sqrt{\frac{2\cdot 0,2\mathrm{m}}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}}\approx 0,2\mathrm{s}$ düşmüştür ve bu senin reaksiyon sürendir.

Hava Direnci ve Paraşütçü

Hava olmasaydı, paraşütçünün on beş saniyelik düşüşten sonraki hızı v = 9,81 m/s² · 15 s ≈ 147 m/s olurdu, 500 km/h’den fazla, ve hızlanmaya devam ederdi. Ama hiçbir zaman bu kadar hızlı düşmez, çünkü hava düşen cisme direnç gösterir ve bu direnç cismin hareket hızı arttıkça artar.

Uçaktan atladıktan hemen sonra paraşütçü yavaştır, hava direnci küçüktür ve neredeyse serbest düşer. Ama hızla birlikte direnç güçlenir, hız gittikçe daha yavaş artar ve sonunda artmaz. Paraşütçü bundan sonra sabit hızla düşer, ona limit hız deriz. Karnı üstü yayılmış halde yaklaşık 200 km/h’ye ulaşır. Açılan paraşüt direnci birden artırır ve hız, güvenle inilebilecek saniyede birkaç metreye düşer.

Hava yağmurda da işe yarar. İki kilometre yüksekteki bulutun bir damlası, hava direnci olmasaydı $\sqrt{2\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 2.000\mathrm{m}}\approx 198\mathrm{m}/\mathrm{s}$ hızla, 700 km/h’den fazla, bir uçağın hızıyla yere düşerdi. Gerçekte ise büyük damlalar bile yalnızca yaklaşık 9 m/s ile düşer.

Tüy ve kâğıt parçasının limit hızı çok küçüktür, ona neredeyse anında ulaşırlar ve bu yüzden bu kadar yavaş süzülürler. Şekil ve kütlenin neden bu kadar önemli olduğunu dinamik gösterecek. Kuyuya düşen taşın ya da kuleden atlayanın hızı en fazla saatte yetmiş kilometre civarındadır ve bu hızlarda hava direnci hâlâ küçüktür, serbest düşme formülleri bu yüzden iyi uyar.

Serbest Düşme Hesap Makinesi

Düşme süresini gir, hesap makinesi cismin hangi yükseklikten düştüğünü ve hangi hızla çarptığını söylesin. g = 9,81 m/s² ile ve hava direnci olmadan hesaplar.

Bir de tersi: yüksekliği gir, hesap makinesi cismin ne kadar süre düştüğünü ve hangi hızla çarptığını belirlesin.

Düşen taş tek bir hareket yapar, düşey aşağı. Ama cisim çoğu zaman aynı anda birkaç hareket yapar: karşı kıyıya yönelen kayığı akıntı sürükler, düşey düşen yağmur damlaları ise giden arabadan eğik uçuyormuş gibi görünür. Kayığın nereye varacağını ve tam karşıya çıkmak için nasıl yönelmesi gerektiğini bir sonraki makalede, Hareketlerin Bileşimi makalesinde hesaplayacağız.