Newton’ın İkinci Hareket Yasası

Süpermarkette iki alışveriş arabası yan yana bekliyor. Biri boş ve kütlesi 10 kg, diğeri su ve konservelerle dolu ve 25 kg. İkisini de aynı kuvvetle, 50 N ile itiyorsun. Boş araba mermi gibi fırlıyor, dolu araba ise tembelce kıpırdıyor. Tam olarak ne kadar olduğunu, buna dinamiğin temel prensibi de denen Newton’ın ikinci hareket yasası söyler. Basit olsun diye tekerleklerin sürtünmesini ihmal edeceğiz.

İki araba da durgun halden başlıyor ve turuncu işaretler, önlerinin düzenli zaman aralıklarındaki konumunu gösteriyor. İkisinde de aralıklar uzuyor, yani ikisinin de ivmesi var. Ama boş araba aynı sürede dolu arabanın iki buçuk katı yol alır, çünkü ivmesi iki buçuk kat daha büyüktür. Kuvvet okları ise iki arabada da aynı uzunlukta. Farkı yalnızca yük yapar.

Dinamiğin Temel Prensibi

Isaac Newton onu 1687’de kabaca şöyle yazdı:

Hareketin değişimi, etki eden kuvvetle orantılıdır ve kuvvetin etki ettiği doğrunun yönünde gerçekleşir.

Kütle burada yalnızca görünürde yoktur. Newton hareketten kütle ile hızın çarpımını kastetti, yani kütle içinde saklıdır.

Bugünkü dille: cisme etki eden kuvvet ne kadar büyükse ivmesi o kadar büyüktür, kütlesi ne kadar büyükse ivmesi o kadar küçüktür:

$$a=\frac{F}{m}$$

Kuvveti iki katına çıkarırsak ivme de iki katına çıkar. Kütleyi iki katına çıkarırsak ivme yarıya düşer. Yasa çoğunlukla kütleyle çarpılmış biçimde yazılır:

$$F=m\cdot a$$

Kuvvet de ivme de vektördür, dolayısıyla tam yazılışı $\overrightarrow{F}=m\cdot \overrightarrow{a}$’dır. İvme her zaman kuvvetle aynı yöne bakar. Arabayı ileri itersen ivmesi ileri doğrudur. Geriye çekersen ivmesi geriye doğrudur ve ileri gidiyorduysa yavaşlar.

Bir şeye dikkat et: $\overrightarrow{F}$, cisme etki eden bütün kuvvetlerin bileşkesidir, yalnızca ilk fark ettiğimiz kuvvet değil. Bileşke sıfırsa ivme de sıfırdır ve cisim durur ya da düzgün doğrusal gider. Newton’ın birinci yasası tam olarak bunu söyler, ikinci yasa onu özel bir durum olarak içerir.

Arabalara dönelim ve ivmelerini hesaplayalım. Boş olanla başlayalım:

$$a=\frac{50\mathrm{N}}{10\mathrm{kg}}=5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Şimdi dolu olanla:

$$a=\frac{50\mathrm{N}}{25\mathrm{kg}}=2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Neden metre bölü saniye kare çıktığını birazdan açıklayacağız. 5 m/s²’lik ivme, boş arabanın hızının her saniye 5 m/s arttığı, dolu arabanın hızının ise yalnızca 2 m/s arttığı anlamına gelir. Dolu araba iki buçuk kat daha kütlelidir, bu yüzden ivmesi iki buçuk kat daha küçüktür. Boş arabayı iki kat daha sert, 100 N kuvvetle itseydin, ivmesi iki katı, 10 m/s² olurdu.

Ama arabayı kimse uzun süre itmez. Yarım saniye itersen boş araba 5 m/s² · 0,5 s = 2,5 m/s hıza ulaşır, dolu araba yalnızca 2 m/s² · 0,5 s = 1 m/s hıza.

Eylemsizliğin Ölçüsü Olarak Kütle

Cisim, bir kuvvet onu değiştirmeye zorlayana kadar hızını korur. Buna eylemsizlik denir. İkinci yasa ona bir sayı ekler: kütle ne kadar büyükse cisim hızının değişmesine o kadar çok direnir. Kütle, eylemsizliğin ölçüsüdür.

Bu yüzden boş arabayı bir parmakla harekete geçirirsin, giden dolu arabayı durdurmak ise zorlayıcıdır. Tırın çok daha güçlü bir motoru olmasına rağmen trafik ışığında binek araçtan daha yavaş kalkmasının nedeni de aynıdır.

Daha büyük cisim ise daha kütleli olmak zorunda değildir. Plaj voleybolu topu bovling topundan daha büyüktür, ama bovling topuna tekme atmak istemezsin. Çünkü bovling topu çok daha kütlelidir, aynı güçteki tekme onu ancak hafifçe harekete geçirir ve ayağın ona çarpıp durur.

Eylemsizlikten, eşyaların hiçbir şey tartmadığı yerde bile kurtulamayız. Uzay istasyonundaki astronot yüz kilogramlık sandığı tek elle kaldırır, çünkü sandık da istasyon da birlikte Dünya’nın çevresinde düşer ve sandık ağırlıksızlıkta süzülür. Ama sandığı istasyonda harekete geçirmek ya da durdurmak istediğinde, Dünya’da olduğu kadar güç harcaması gerekir. Sandığın kütlesi hâlâ 100 kg’dır ve eylemsizliği aynıdır.

Newton Birimi Nereden Geliyor

Kuvvetin birimi newton’dur, N = kg·m/s². Tam olarak neden bu olduğunu, newton’un tanımlandığı ikinci yasa açıklar: bir newton, kütlesi 1 kg olan cisme 1 m/s² ivme kazandıran kuvvettir. F = m · a’da yerine koyalım:

$$1\mathrm{N}=1\mathrm{kg}\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=1{\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Arabalardaki ivme birimi de bundan çıkar. Newton’u kilograma bölelim:

$$\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{kg}}=\frac{{\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{\mathrm{kg}}={\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Kilogramlar sadeleşir ve metre bölü saniye kare kalır.

Bir newton ne kadar büyüktür? Elinde küçük bir elma tutmak kadar. Kusursuz pürüzsüz buzun üzerine kütlesi yaklaşık 1 kg olan bir litrelik su şişesi koy ve onu hep aynı 1 N kuvvetle çek. Şişe sürekli hızlanır: bir saniye sonra 1 m/s ile, iki saniye sonra 2 m/s ile gider. Sabit kuvvet hızı sabit tutmaz, onu durmadan değiştirir.

Araba Hangi Kuvvetle Hızlanır

Kütlesi 1.200 kg olan bir aile arabası sıfırdan 100 km/h’e on saniyede çıkıyor, yani ivmesi yaklaşık 2,8 m/s². Bunun için arabaya etki etmesi gereken bileşke kuvvet ne kadar büyüktür?

$$\begin{array}{rl}m& =1.200\mathrm{kg}\\ a& =2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ F& =?(\mathrm{N})\end{array}$$

Formül zaten çekilmiş durumda, bu yüzden doğrudan yerine koyalım:

$$\begin{array}{rl}F& =m\cdot a\\ & =1.200\mathrm{kg}\cdot 2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ & =3.360\mathrm{N}\end{array}$$

Birimler uyuyor: kilogram çarpı metre bölü saniye kare, newton eder. Arabaya yaklaşık 3.360 N bileşke kuvvet etki etmelidir, yani üç kilonewtondan fazla. Bileşke sözüne dikkat et. Arabanın hareketine karşı hava direnci ve lastiklerin yuvarlanma direnci de etki ediyor, bu yüzden yolun arabayı tekerlekler aracılığıyla biraz daha fazla itmesi gerekir.

Aynı Anda Birden Çok Kuvvet

Çoğunlukla cisme birkaç kuvvet etki eder ve her zaman aynı yoldan gidilir:

• cisme etki eden kuvvetleri çiz ve pozitif yönü seç,
• onları topla ve bileşkeyi bul,
• onu kütleye böl ve ivmeyi bul.

Yalnızca ilgilendiğin cisme etki eden kuvvetleri çiz. Arabanın yolu ittiği kuvvet, arabanın ivmesinin hesabına girmez, o yola etki eder. Bütün dinamik bu yöntem üzerine kuruludur, sonraki makalelerde ona yalnızca yeni kuvvet türleri eklenecek.

Önceki örnekteki arabamız şimdi kırsal yolda gidiyor ve sürücü gaza basıyor. Yol onu tekerlekler aracılığıyla F₁ = 3.000 N kuvvetle ileri itiyor, hava direnci ve yuvarlanma direnci F₂ = 600 N kuvvetle frenliyor.

Kırmızı ok çekme kuvveti, mavi ok direnç, yeşil ok bileşke; hepsi aynı ölçekte. Düşey yönde arabaya ayrıca aşağı doğru ağırlık etki ediyor ve yol onu aynı büyüklükte bir kuvvetle yukarı itiyor. Birbirini götürürler, bu yüzden onları şekle çizmiyoruz.

Pozitif yönü gidiş yönünde seçelim. Kuvvetler ters yönlü olduğundan büyüklükleri çıkarılır:

$$F=F_1-F_2=3.000\mathrm{N}-600\mathrm{N}=2.400\mathrm{N}$$

Kütleye bölelim:

$$a=\frac{F}{m}=\frac{2.400\mathrm{N}}{1.200\mathrm{kg}}=2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Arabanın ivmesi 2 m/s²’dir. Sık yapılan bir hata, kütleye yalnızca çekme kuvvetini bölmektir. 2,5 m/s² çıkardı ve bu çok fazladır, çünkü böyle bir hesapta hava direnci kaybolurdu.

Aynı yöntem başka durumlarda da işe yarar. Otoyolda araba sabit hızla gidiyor, direnç yaklaşık 600 N ve çekme kuvveti dirençle aynı büyüklükte, bileşke sıfır ve ivme de sıfırdır. Sürücü ayağını gazdan çekince çekme kuvveti kaybolur ve yalnızca pozitif yöne ters bakan direnç kalır (motor frenini ihmal ediyoruz):

$$a=\frac{-600\mathrm{N}}{1.200\mathrm{kg}}=-0,5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Negatif ivme, arabanın yavaşladığı anlamına gelir.

Yöntem ters yönde de işler, ivmeden kuvvete geri dönmek için. Araba 600 N dirence rağmen 2,8 m/s² ivmeye sahip olsun diye ne kadar çekme kuvveti gerekir? Bileşke, daha önce hesapladığımız gibi F = m · a = 3.360 N olmalıdır. Bileşke bağıntısından çekme kuvvetini çekelim:

$$\begin{array}{rcl}{F}_1-F_2& =& F/+F_2\\ F_1& =& F+F_2\end{array}$$

Yerine koyalım:

$$F_1=3.360\mathrm{N}+600\mathrm{N}=3.960\mathrm{N}$$

Çekme kuvveti demek ki neredeyse dört kilonewtona ulaşmalıdır. Direnci unutan birinin arabası, hesapta çıkandan daha yavaş hızlanırdı.

Ağır ve Hafif Cisimler Neden Aynı Düşer

Serbest düşmede aynı yerdeki bütün cisimlerin ivmesi aynıdır, g ≈ 9,81 m/s², taşın da anahtarların da. Bu insanı, Dünya daha ağır taşı daha büyük kuvvetle çektiğine göre onun daha hızlı düşmesi gerektiğini düşünmeye iter. Çeker, ama daha ağır taşın kütlesi de daha büyüktür ve bu yüzden hızının değişmesine daha çok direnir.

Bir kilogramın ne kadar geldiğini dinamometre gösterir: Dünya her kilogramı yaklaşık 9,81 N kuvvetle çeker. Yani ağırlık, kütleyle doğru orantılı artar:

$$G=m\cdot g$$

g sayısı burada kilogram başına kuvvet olarak görünür, N/kg, bu da m/s² ile aynı şeydir. Kütlesi 0,5 kg olan topu Dünya yaklaşık 4,9 N kuvvetle çeker, kütlesi 5 kg olan bovling topunu on kat daha büyük kuvvetle, yaklaşık 49 N. Ama bovling topunun kütlesi de on kat daha büyük:

$$a=\frac{G}{m}=\frac{49\mathrm{N}}{5\mathrm{kg}}=\frac{4,9\mathrm{N}}{0,5\mathrm{kg}}\approx 9,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

On kat büyük kuvvet, on kat büyük kütle, aynı ivme. Genel olarak $a=\frac{m\cdot g}{m}=g$, kütle sadeleşir.

Kütle iki rol oynar: Dünya’nın cismi ne kadar güçlü çektiğini belirler ve aynı zamanda cismin hızının değişmesine ne kadar direndiğini. İki rolde de aynı sayının görünmesi apaçık değildir; ölçümle sınanır ve çok büyük bir doğrulukla geçerlidir. Bu sayede çekiç de çivi gibi düşer.

Havada, yukarı bakan bir direnç eklenir ve bileşke, direnç kadar azalmış ağırlıktır. Taşta direnç ağırlığın yanında ihmal edilebilir, neredeyse hiçbir şey tartmayan tüyde ise ağırlığın neredeyse hepsini alır. Bu yüzden tüy Dünya’da süzülür, taş düşer. Hava direnci cismin şekline ve hızına bağlıdır, kütlesine değil. Çelikten ve strafordan yapılmış aynı büyüklükteki iki bilyeyi hava aynı hızda aynı kadar frenler. Ama kütle ne kadar büyükse direnç ivmeden o kadar az alır, bu yüzden çelik bilyenin ivmesinden yalnızca küçük bir parça alır, strafor bilyeyi ise gözle görülür biçimde yavaşlatır.

Koltuk Bizi Neden Sırtımızdan İter

Araba birden fırladığında, arkalığın seni sırtından ittiğini hissedersin. Bu, sana arabayla aynı ivmeyi kazandıran kuvvettir ve artık onu hesaplayabiliriz. Yolcunun kütlesi 60 kg. İvmesi 2,8 m/s² olan aile arabasında arkalık onu şu kuvvetle iter:

$$F=60\mathrm{kg}\cdot 2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=168\mathrm{N}.$$

İvmesi 9,3 m/s² olan spor arabada artık

$$F=60\mathrm{kg}\cdot 9,3{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=558\mathrm{N}.$$

Karşılaştırma için, koltuk onu aşağıdan ağırlığına eşit bir kuvvetle destekler, 60 kg · 9,81 m/s² ≈ 589 N. Yani arkalık sırta neredeyse koltuğun aşağıdan olduğu kadar güçlü bastırır ve bu yüzden yatay yönde neredeyse 1g’lik g kuvvetinden söz ederiz. İki kuvvetin oranı ivmelerin oranıyla aynıdır, $\frac{9,3{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 0,95$, yolcunun kütlesi yine sadeleşir.

İkinci yasa yani kuvvetin cisme ne yaptığını söyler. Geriye kuvvetlerin nereden geldiği ve kime etki ettiği sorusu kalıyor. Arabayı ittiğinde, arabanın da elini geri ittiğini hissedersin. Bununla Newton’ın üçüncü hareket yasası ilgilenir.

Kuvvetlerin çiftler hâlinde nasıl çalıştığını bir sonraki makale, Newton’ın Üçüncü Hareket Yasası gösterecek.