Eğik Düzlem

Burak kızağı karlı bir tepeye koyup bırakıyor. Kızak harekete geçiyor ve yol boyunca hız kazanıyor. Onu aşağı çeken yalnızca Dünya’dır ve ağırlık yamaç boyunca eğik değil, düşey doğrultuda aşağı yönlüdür. Kızak neden yere dik düşmüyor da tepe boyunca kayıyor? Ve neden hafif bir yamaçtan dik bir yamaca göre daha yavaş iniyor? İkisini de tek bir püf noktası açıklıyor: ağırlığı iki bileşene ayırıyoruz.

Yamaç, kaydırak, rampa ve eğik tahta fizikte eğik düzlem adını alır. Ne kadar eğik olduğunu yatay zeminle yaptığı α açısı verir.

Ağırlığı Bileşenlerine Ayırma

Ağırlığı $\vec{G}$ , birlikte aynı etkiyi yapan iki kuvvetle değiştiririz. Biri yamaç boyunca aşağı, öbürü yamaca dik doğrultuda yamacın içine doğru. Ağırlık böylece, kuvvetin bileşenlerine her ayrılmasında olduğu gibi, iki bileşenden kurulan dikdörtgenin köşegeni olarak çıkar.

Kızağa etki eden ağırlığın G⃗, yamaç boyunca F⃗_1 bileşenine ve yamaca dik F⃗_2 bileşenine ayrılması

Mavi kesikli ${\vec{F}}_{1}$ bileşeni kızağı yamaçtan aşağı çeker, öbürü ${\vec{F}}_{2}$ ise onu kara bastırır. Bu bileşen tek başına kızağı hiçbir yere götürmez, çünkü kar kızağı içinden geçirmez. Ağırlığın tamamından kızağı harekete geçiren yalnızca F₁ kısmıdır ve bu, ilk sorunun yanıtıdır.

Bileşenlerin büyüklükleri nedir? Ağırlık, ${\vec{F}}_{2}$ bileşeni ve ${\vec{F}}_{2}$ ’nin ucundan $\vec{G}$ ’nin ucuna giden gri kesikli doğru parçası, dik açısı ${\vec{F}}_{2}$ ’nin ucunda olan bir dik üçgen oluşturur. Ağırlık bu üçgende hipotenüstür ve ağırlıkla ${\vec{F}}_{2}$ bileşeni arasındaki, ağırlık merkezindeki açı şekilde yamacın eğimi gibi α ile gösterilmiştir. Bunun neden böyle olduğunu birazdan göstereceğiz. Önce sinüsü ve kosinüsü hatırlayalım: dik üçgende bir açının sinüsü karşı dik kenarın hipotenüse oranı, kosinüsü komşu dik kenarın hipotenüse oranıdır. α açısının karşısında F₁ ile aynı uzunlukta olan kesikli dik kenar yer alır, komşu dik kenar F₂’dir, yani

$\sin α = \frac{F_{1}}{G}, \cos α = \frac{F_{2}}{G} .$

İki eşitliği ağırlıkla çarparız:

$\begin{aligned} F_{1} & = G \cdot \sin α \\ F_{2} & = G \cdot \cos α \end{aligned}$

Söz verdiğimiz gerekçe kaldı. Ağırlık yatay zemine diktir, ${\vec{F}}_{2}$ bileşeni yamaca diktir. Zemini de yamacı da dik açı kadar döndürdüğümüzü düşün. Zemin düşey doğruya, yamaç da yamaca dik doğruya dönüşür ve aralarındaki açı döndürmeyle değişmez. Ağırlıkla yamaca dik doğru arasındaki açı bu yüzden zeminle yamaç arasındaki açıya eşittir. Çünkü kolları birbirine dik olan iki dar açı birbirine eşittir.

Döndürme fikrini sevmeyen, bunu hesapla da gösterebilir. Ağırlığı düşey olarak aşağı, zemine kadar uzatalım. Düşey doğru, zemin ve yamaç, zeminde α açısı olan bir dik üçgen oluşturur, yani yamaçtaki açısı 90° − α’dır. Yamaca dik doğru yamaçla dik açı yapar ve bu yüzden düşeyden 90° − (90° − α) = α kadar sapar.

Bunun doğru olduğunu uç durumlarda kontrol edelim. Yatay zeminde α = 0°, sin α = 0 ve cos α = 1. Yamaç boyunca bileşen kaybolur ve ağırlığın tamamı zemine bastırır, tam da olması gerektiği gibi. Yamaç ne kadar dikse sinüs o kadar büyüktür ve kızak o kadar güçlü aşağı çekilir. Bu, ikinci sorunun yanıtıdır.

Burak’ın 10 kg kütleli kızağıyla 30° eğimli yamaçta deneyelim. Ağırlık

$G = m \cdot g = 10 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2} = 98, 1 N .$

sin 30° = 0,5 ve cos 30° ≈ 0,866 yerine koyarız:

$\begin{aligned} F_{1} & = 98, 1 N \cdot 0, 5 = 49, 05 N \\ F_{2} & = 98, 1 N \cdot 0,866 \approx 85 N \end{aligned}$

Dikkat, 49,05 N + 85 N, 98,1 N etmez. Bileşenleri sayı gibi değil, ok gibi toplarız.

Sınavda sinüs ile kosinüsü karıştırmak çok sık yapılan bir hatadır. Hangisinin nereye ait olduğunu ezberlemen gerekmez, yatay zemini düşünmen yeter. Orada yamaç boyunca bileşenin kaybolması gerekir ve 0°’de sıfırı kosinüs değil sinüs verir. Yamaç boyunca bileşen demek ki sinüslü olandır.

Yamaçta Normal Kuvvet

Kar kızağa $\vec{N}$ normal kuvvetiyle etki eder ve bu kuvvet her zaman yüzeye diktir, burada yani yamaca dik ve dışarı doğrudur. Kızak yamaca dik doğrultuda hareket etmez, ne kara gömülür ne de havalanır. Bu doğrultudaki kuvvetler bu yüzden dengededir ve normal kuvvet ${\vec{F}}_{2}$ bileşenini dengeler:

$N = G \cdot \cos α$

Yamaçta normal kuvvet ağırlıktan küçüktür. Burak’ın kızağı için bu 85 N’dur, 98,1 N değil. Sınavlarda en sık burada hata yapılır: yatay zeminden N = m · g alan, yamaçta sürtünmeyi de yanlış bulur.

Yamaç ne kadar dikse kosinüs o kadar küçüktür, kızak kara o kadar zayıf bastırır ve sürtünme de o kadar küçüktür. Düşey duvarda cos 90° = 0 ve normal kuvvet tamamen kaybolur.

Sürtünmesiz Kızak

Tamamen pürüzsüz bir yamaçla başlayalım, örneğin buz üzerinde çelik tabanlı bir kızak. Hava direncini ihmal ederiz. Normal kuvvet ${\vec{F}}_{2}$ bileşenini dengeler ve yamaç boyunca tek bir kuvvet kalır, F₁. Dinamiğin temel prensibine göre bu, kütle çarpı ivmeye eşittir:

$m \cdot a = m \cdot g \cdot \sin α$

Kütleye böleriz:

$a = g \cdot \sin α$

Kütle sadeleşti. Boş kızak da Burak’lı kızak da pürüzsüz yamaçta aynı ivmeyle hızlanırdı, tıpkı hafif ve ağır cismin aynı ivmeyle düşmesi gibi. Kütlesi büyük kızağı aşağı çeken kuvvet daha büyüktür, ama kızağı harekete geçirmek de aynı ölçüde zordur.

30° eğimli yamaç için:

$a = 9, 81 {m / s}^{2} \cdot 0, 5 \approx 4, 9 {m / s}^{2}$

Tam olarak yer çekimi ivmesinin yarısı. Uç durumlar da uyuyor: yatay zeminde sin α = 0 ve kızak kendiliğinden harekete geçmez, düşey duvarda sin 90° = 1 ve a = g, yani serbest düşme.

Sürtünmeli Kızak

Gerçek karda ise kızağı sürtünme frenler. Sürtünme kuvveti $\vec{F_{s}}$ yamaç boyunca yukarı doğrudur, harekete zıttır ve normal kuvvetle orantılıdır. Yamaçta formüle ağırlığın tamamı değil, yalnızca bir kısmı olan G · cos α girer, yani normal kuvvet:

$F_{s} = k \cdot N = k \cdot G \cdot \cos α$

Sıkışmış kardaki kızak tabanı için k = 0,1 alırız. Çelik ya da plastik taban kar üzerinde örneğin lastikten çok daha iyi kayar. Burak’ın kızağını frenleyen kuvvet

$F_{s} = 0, 1 \cdot 85 N \approx 8, 5 N .$

Yamaçtaki kızağa etki eden bütün kuvvetler: bileşenleriyle birlikte ağırlık G⃗, normal kuvvet N⃗ ve sürtünme kuvveti F⃗_s, kızağın kardaki sürtünmesinden daha büyük sürtünme için çizilmiştir

Yamaç boyunca bileşke kuvvet, sürtünme kadar azalmış F₁ bileşenidir, yaklaşık 49,05 N − 8,5 N ≈ 40,6 N, ve ivme

$a = \frac{40, 6 N}{10 kg} \approx 4, 06 {m / s}^{2} .$

Genel olarak: yamaç boyunca dinamiğin temel prensibi şöyledir:

$m \cdot a = m \cdot g \cdot \sin α - k \cdot m \cdot g \cdot \cos α,$

ve denklemi kütleye bölünce sürtünmeli yamaçtaki ivmenin formülünü elde ederiz:

$a = g \cdot (\sin α - k \cdot \cos α)$

Burada da kütle sadeleşti. 9,81 m/s² · (0,5 − 0,1 · 0,866) yerine konunca yine 4,06 m/s² çıkar.

Daha hafif, 10° eğimli bir yamaçta sin 10° ≈ 0,174 ve cos 10° ≈ 0,985, yani

$\begin{aligned} a & = 9, 81 {m / s}^{2} \cdot (0,174 - 0, 1 \cdot 0,985) \\ \approx 0, 74 {m / s}^{2} . \end{aligned}$

Eğim üç kat küçük, ama ivme beş kattan fazla küçük. Sürtünme burada yamaç boyunca bileşenin çoğunu alıyor. Ve 5° eğimli yamaçta parantez negatif çıkardı: harekete geçmiş kızak yavaşlar ve sonunda dururdu. Kızağın neden sonra orada durup kaldığını bir sonraki bölüm açıklıyor.

Cisim Ne Zaman Durur

Burak kardeşiyle kızağı yeniden yukarı çıkarıyor ve yolun daha hafif bir kısmında biraz dinleniyorlar. Kızak orada duruyor ve aşağı kaymıyor. Onu statik sürtünme tutuyor, bu her zaman kızağı aşağı çeken kuvveti, burada F₁ bileşenini, tam dengeleyecek kadar büyüktür. En fazla k_s · N olabilir, burada k_s statik sürtünme katsayısıdır. Kızak bu yüzden şu koşul sağlandıkça durur:

$G \cdot \sin α \leq k_{s} \cdot G \cdot \cos α .$

Sinüsün kosinüse oranına tanjant denir, $\tan α = \frac{\sin α}{\cos α}$ . Dik üçgende karşı dik kenarın komşu dik kenara oranıdır. Ağırlık sadeleşir ve kosinüse bölünce şu kalır:

$\tan α \leq k_{s} .$

Cismin yamaçtan kayıp kaymayacağını kütlesi değil, yalnızca eğim ve yüzey belirler. Bilinen bir tanjanttan açıyı hesap makinesinde tan⁻¹ tuşu verir.

5° eğimli yamaçta tan 5° ≈ 0,087, yani 0,1’den küçüktür ve statik sürtünme kinetikten de büyüktür. Bu yüzden durmuş kızak orada kendiliğinden yeniden harekete geçmez. Negatif ivmeli formül yalnızca aşağı inişi anlatır.

Buradan basit bir deney çıkar. Ahşap bir oyuncak küpü tahtanın üzerine koy ve tahtanın bir ucunu yavaşça kaldır. Ahşap üzerinde ahşap için k_s ≈ 0,5, yani küp tan α değeri 0,5’e ulaşınca, kabaca 27°’de harekete geçer.

El freni çekilmiş, park hâlindeki bir arabada da durum aynıdır. Kuru asfaltta onu oldukça dik bir sokak bile tutar. Ama buzlanmış yolda statik sürtünme katsayısı yalnızca 0,1 civarındadır ve tan α = 0,1, 6°’den az bir eğime karşılık gelir. Böyle bir tepeyi hemen her şehirde bulursun ve araba, hafif de olsa ağır da olsa buzda aşağı kayar.

Kinetik sürtünme statik sürtünmeden küçüktür. 20° civarında eğimde küp bu yüzden kendiliğinden durur, ama dokununca harekete geçer ve hızlanmaya devam eder, çünkü tan 20° ≈ 0,36, kinetik k = 0,3’ten büyüktür.

Sınavdan Bir Örnek, Adım Adım

20 kg kütleli bir elma sandığı, kamyonetin kasasını yere eğik olarak bağlayan ahşap bir tahtanın üzerinde duruyor. Tahta 2 m uzunluğunda ve yerle 35° açı yapıyor. Ahşabın ahşap üzerindeki kinetik sürtünme katsayısı 0,3, statik sürtünme katsayısı 0,5. Sandık kendiliğinden kayar mı? İvmesi ne olur ve yere ne kadar hızlı varır?

Verilenleri yazarız. m = 20 kg, α = 35°, s = 2 m, k = 0,3, k_s = 0,5, g = 9,81 m/s². a ve v isteniyor. Birimler temel birimlerdir, hiçbir şeyi çevirmemiz gerekmiyor.

Kuvvetleri çizeriz. Kızaktakilerle aynıdır.

Kayar mı? tan 35° ≈ 0,70, k_s = 0,5’ten büyüktür. Statik sürtünme sandığı tutamaz.

Ağırlığı bileşenlerine ayırırız. Sayılarla düşünmek için: G = m · g = 196,2 N, sin 35° ≈ 0,5736 ve cos 35° ≈ 0,8192. Sandığı tahta boyunca F₁ ≈ 112,5 N çeker, tahtaya F₂ ≈ 160,7 N bastırır. Ama bundan sonra harflerle hesaplarız ve sayıları ancak sonda yerine koyarız.

Tahta boyunca kuvvetleri toplarız. Tahtaya dik doğrultuda kuvvetler dengelenir, yani N = m · g · cos α ve sürtünme kuvveti F_s = k · m · g · cos α. Tahta boyunca aşağı F₁ çeker, yukarı sürtünme:

$m \cdot a = m \cdot g \cdot \sin α - k \cdot m \cdot g \cdot \cos α$

İvmeyi çekeriz. Kütleye bölünce:

$a = g \cdot (\sin α - k \cdot \cos α)$

Sondaki hız. Sandık durgun hâlden başlar ve düzgün hızlanır, yani v² = 2 · a · s ve

$v = \sqrt{2 \cdot a \cdot s} .$

Yerine koyarız. İvmeyi hesap makinesinde yuvarlamadan bırakırız:

$\begin{aligned} a & = 9, 81 {m / s}^{2} \cdot (\sin 35 ° - 0, 3 \cdot \cos 35 °) \\ \approx 3, 22 {m / s}^{2} \\ v & \approx \sqrt{2 \cdot 3,216 {m / s}^{2} \cdot 2 m} \\ \approx 3, 6 m / s \end{aligned}$

Kontrol: ivme, sürtünmesiz g · sin 35° ≈ 5,6 m/s² değerinden küçüktür, olması gerektiği gibi.

Sandık kendiliğinden kayar, yaklaşık 3,22 m/s² ivmeyle hızlanır ve yere yaklaşık 3,6 m/s süratle varır, neredeyse 13 km/h. Elmaların hatırına, aşağıda biri sandığı yakalasa iyi olur.

Eğik düzlemde demek ki ağırlığı bileşenlerine ayırmak yeter, sonrası yatay zeminde olduğu gibi hesaplanır: yüzeye dik doğrultuda denge, yüzey boyunca dinamiğin temel prensibi. Ama şimdiye kadar bütün cisimler düz bir çizgi boyunca hareket etti.

Kızağın ya da arabanın dönmesi için ne gerektiğini bir sonraki makale, Merkezcil Kuvvet, gösteriyor.

« Önceki: Sürtünme Kuvveti

Sonraki: Merkezcil Kuvvet »