Momentumun Korunumu

Momentum yoktan var olmaz ve iz bırakmadan da kaybolmaz. Yalnızca bir cisimden diğerine aktarılabilir. İki araba birbirine çarpsın ya da iki kişi birbirini itsin, biri momentum kazanır, öbürü tam olarak o kadarını kaybeder. İkisinin momentumlarının toplamı olduğu gibi kalır. Buna momentumun korunumu denir ve bütün fiziğin en işe yarar yasalarından biridir. Onun sayesinde, çarpışma sırasında etki eden kuvvetleri ve etki sürelerini bilmeden, çarpışmadan sonra ne olacağını hesaplarız.

Yalıtılmış Sistem

Yasanın geçerli olması için önce hangi cisimlerden söz ettiğimizi belirlemeliyiz. İlgilendiğimiz birkaç cismi seçeriz, mesela iki vagonu, ve bunlara sistem diyeceğiz. Sistemdeki cisimlerin birbirine uyguladığı kuvvetler iç kuvvetlerdir. Onlara dışarıdan bir şeyin, mesela Dünya’nın ya da rayların uyguladığı kuvvetler dış kuvvetlerdir.

Sisteme hiçbir dış kuvvet etki etmiyorsa ya da dış kuvvetler birbirini götürüp bileşkeleri sıfırsa, sistem yalıtılmıştır. Dünya’da tamamen yalıtılmış sistem yoktur, ama ona çoğu zaman çok yaklaşırız. Buzdaki patenciyi Dünya aşağı çeker, buz da onu aynı büyüklükte bir kuvvetle alttan tutar, bu iki kuvvet birbirini götürür. Patenlerin sürtünmesi küçüktür ve onu ihmal ederiz.

Kayadan düşen taş ise yalıtılmış bir sistem değildir. Onu Dünya çeker, bu bir dış kuvvettir ve bu yüzden momentumu artar. Ama sisteme Dünya’yı da katarsak, taşla Dünya arasındaki kuvvet iç kuvvet olur. Taş Dünya’yı kendine, Dünya’nın onu çektiği kadar büyük bir kuvvetle çeker ve Dünya zıt yönde aynı büyüklükte bir momentum kazanır, yalnızca devasa kütlesi yüzünden çok küçük bir hızla. Duvardan sekmiş tenis topuyla da böyledir. Topun kaybettiği 2,4 kg·m/s momentumu duvar ve onunla birlikte bütün Dünya devraldı ve Dünya kütlesi yüzünden fark edilemeyecek kadar yavaş harekete geçti.

Sistemin toplam momentumu, bütün cisimlerinin momentumlarının vektörel toplamıdır. İki cisimde:

$\vec{P} = {\vec{P}}_{1} + {\vec{P}}_{2}$

Cisimler tek bir doğru üzerinde hareket ediyorsa pozitif bir yön seçeriz ve momentumları işaretli sayılar gibi toplarız. Pozitif yöne ters giden cismin momentumu negatiftir.

Toplam Momentum Neden Değişmez

Yalıtılmış sistemin, bir süre birbirine etki eden iki cismini ele alalım; çarpışsınlar ya da birbirlerini itsinler. Onlara başka kuvvet etki etmiyor ya da kuvvetler birbirini götürüyor, bu yüzden her birinin momentumunu yalnızca ötekinin kuvveti değiştirir. 2. cisim 1. cisme ${\vec{F}}_{1}$ kuvvetiyle etki eder. Newton’ın üçüncü hareket yasasına göre 1. cisim de 2. cisme aynı büyüklükte, zıt yönlü bir kuvvetle etki eder:

${\vec{F}}_{2} = - {\vec{F}}_{1}$

İki kuvvet de aynı anda doğar ve aynı anda yok olur, bu yüzden aynı süre boyunca, Δt süresince etki eder. İtme momentumun değişimine eşittir, bu yüzden iki cismin momentumu şu kadar değişir:

$\begin{aligned} Δ {\vec{P}}_{1} & = {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t \\ Δ {\vec{P}}_{2} & = {\vec{F}}_{2} \cdot Δ t = - {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t \end{aligned}$

Momentum değişimleri eşit büyüklükte ve zıt yönlüdür. Onları toplayalım:

$\begin{aligned} Δ {\vec{P}}_{1} + Δ {\vec{P}}_{2} & = {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t - {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t \\ = \vec{0} \end{aligned}$

Toplam momentum değişmedi. Bir cismin kazandığını diğeri kaybetti. Çarpışmadaki kuvvet sabit değildir ama bunun önemi yok. Bütün çarpışmayı çok kısa anlara böleriz; her birinde iki kuvvet eşit büyüklükte ve zıt yönlüdür, dolayısıyla toplam momentum hiçbirinde değişmez.

Sistemin içinde cisimler istedikleri gibi çarpışabilir, birbirlerini itebilir ve çekebilir. İç kuvvetler her zaman etki-tepki çiftleri olarak gelir, bu yüzden toplam momentumu değiştiremezler. Onu yalnızca dış kuvvet değiştirebilir. Aynısı daha çok cisim için de geçerlidir, her çift momentumu yalnızca birbiriyle değiş tokuş eder. Kendini saçlarından tutup bataklıktan çıkardığını anlatan Baron Münchhausen demek ki bunu uydurmuş. El saçları çeker, saçlar da eli; iki kuvvet de baronun içinde kalır ve onun toplam momentumunu değiştirmez. Böylece yasayı çıkarmış olduk:

Yalıtılmış sistemin toplam momentumu değişmez. Olaydan önceki (üssüz) ve sonraki (üslü) momentumların toplamı aynıdır:

${\vec{P}}_{1} + {\vec{P}}_{2} = {\vec{P}}_{1}^{'} + {\vec{P}}_{2}^{'}$

Dikkat et, sabit olan yalnızca toplamdır. Tek tek cisimlerin momentumu değişebilir ve genellikle değişir.

Tüfeğin Geri Tepmesi

Avcı, kütlesi 4 kg olan tüfekten ateş ediyor. Kütlesi 10 g olan mermi 800 m/s süratle çıkıyor. Tüfek geriye ne kadar hızlı gider? Avcının ellerini ve omzunu şimdilik düşünmüyoruz, tüfek havada serbestçe asılı duruyor.

$\begin{aligned} m_{1} & = 10 g = 0, 01 kg \\ v_{1}^{'} & = 800 m / s \\ m_{2} & = 4 kg \\ v_{2}^{'} & = ? (m / s) \end{aligned}$

Pozitif yönü merminin uçuş yönünde seçelim. Ateşten önce tüfek de mermi de duruyor, toplam momentum sıfır. Ateşten sonra da sıfır olmalı:

$m_{1} \cdot v_{1}^{'} + m_{2} \cdot v_{2}^{'} = 0$

Merminin momentumunu çıkaralım ve tüfeğin kütlesine bölelim:

$v_{2}^{'} = - \frac{m_{1} \cdot v_{1}^{'}}{m_{2}}$

Yerine koyalım:

$v_{2}^{'} = - \frac{0, 01 kg \cdot 800 m / s}{4 kg} = - 2 m / s$

Tüfek 2 m/s süratle harekete geçer; eksi işareti bunun geriye, merminin uçuşuna ters yönde olduğunu söyler. Mermi ile tüfeğin momentumları aynı büyüklükte, 8 kg·m/s, yalnızca zıt yönlü. Ama tüfeğin kütlesi dört yüz kat büyüktür ve bu yüzden dört yüz kat daha yavaştır. Mermiyle birlikte namludan çıkan yanma gazlarının momentumunu ihmal ettik.

Saniyede iki metre, saatte yedi kilometreden fazladır. Tüfeği gevşek tutan kişi, omzuna dipçikten sert bir darbe yer. Bu yüzden dipçik omza sıkıca dayanır. O zaman tüfek atıcıyla birlikte harekete geçer ve 8 kg·m/s momentum çok daha büyük bir kütleye dağılır. Kütlesi 80 kg olan bir atıcıyla hız şu kadar olur:

$v = \frac{8 kg \cdot m / s}{84 kg} \approx 0, 1 m / s .$

Atıcıyı yalnızca hafifçe iter ve kendini yere iyice dayarsa bu kadarı bile olmaz.

İki Patenci

Buzda patenciler Defne ile Leyla karşılıklı duruyor. Avuçlarını birbirine dayayıp birbirlerini itiyorlar. Defne’nin kütlesi 50 kg, Leyla’nın 60 kg. Leyla 1 m/s süratle uzaklaşıyor. Defne ne kadar hızlı uzaklaşır?

Pozitif yönü Leyla’nın uzaklaştığı yönde seçelim ve Defne’yi 1 indisiyle gösterelim. İtmeden önce ikisi de duruyor, bu yüzden toplam momentum sonrasında da sıfırdır:

$m_{1} \cdot v_{1}^{'} + m_{2} \cdot v_{2}^{'} = 0$

Defne’nin hızını çekelim ve yerine koyalım:

$\begin{aligned} v_{1}^{'} & = - \frac{m_{2} \cdot v_{2}^{'}}{m_{1}} \\ = - \frac{60 kg \cdot 1 m / s}{50 kg} = - 1, 2 m / s \end{aligned}$

Defne ters yöne 1,2 m/s süratle uzaklaşır. Momentumların toplamının gerçekten sıfır olduğunu kontrol edelim:

$50 kg \cdot (- 1, 2 m / s) + 60 kg \cdot 1 m / s = 0$

İkisi de 60 kg·m/s momentum aldı, her biri başka yöne.

Defne (kırmızı) ve Leyla (mavi) itmeden önce (gri) ve sonra, v⃗_1' ve v⃗_2' hızları

Patencilerin hızları 1,2:1 oranında, yani 6:5 ve bu, kütlelerinin 50:60 oranının tersidir. Hafif patenci daha hızlı uzaklaşır. Birbirlerini ne kadar güçlü ittikleri önemli değildir. Aynı süre boyunca iki kat büyük kuvvetle itselerdi, ikisi de iki kat hızlı uzaklaşırdı, ama oran 6:5 kalırdı.

Hangisinin ittiği de önemli değildir. Yalnızca Defne itip Leyla ellerini sıkıca tutuyorsa, esas olarak Leyla’nın uzaklaşacağını düşünmeye yatkınız. Ama çiftteki kuvvetler, kim iterse itsin eşit büyüklüktedir ve hafif olan Defne yine daha hızlı uzaklaşır.

Küçük bir kayıktan kıyıya atlamak da aynı ilkeye dayanır. Atlayan kişi kayığı iter, kayık da onu, bu yüzden o ileri uçarken kayık geriye kayar. Kayık hafifse epey uzaklaşır ve atlayan kişi kıyı yerine suya düşer.

Vagonların Çarpışması

Ayırma istasyonunda kütlesi 20 t olan bir vagon 2 m/s süratle gidiyor ve aynı kütleli duran bir vagona çarpıyor. Otomatik kuplörler çarpma anında kenetleniyor ve vagonlar birbirine bağlı olarak yollarına devam ediyor. Ne kadar hızlı?

Çarpışmadan sonra cisimlerin birbirine bağlı kalıp birlikte devam ettiği çarpışmaya esnek olmayan çarpışma denir. Pozitif yönü birinci vagonun gidiş yönünde seçelim.

$\begin{aligned} m_{1} & = m_{2} = 20 t = 20.000 kg \\ v_{1} & = 2 m / s \\ v_{2} & = 0 m / s \\ v^{'} & = ? (m / s) \end{aligned}$

Çarpışmadan sonra iki vagonun hızı aynı, v', bu yüzden momentumları kütlesi m₁ + m₂ olan tek bir cismin momentumudur. Momentumun korunumu:

$m_{1} \cdot v_{1} + m_{2} \cdot v_{2} = (m_{1} + m_{2}) \cdot v^{'}$

Çarpışmadan önce yalnızca birinci vagonun momentumu var:

$20.000 kg \cdot 2 m / s = 40.000 kg \cdot m / s$

Aynı momentuma çarpışmadan sonra iki vagon birlikte sahip olmalıdır. Onu toplam kütleye bölelim:

$v^{'} = \frac{40.000 kg \cdot m / s}{40.000 kg} = 1 m / s$

Bağlı vagonlar 1 m/s hızla, yani ilk hızın yarısıyla gider. Kütle iki katına çıktı ve momentum aynı kaldı, bu yüzden hız yarıya düşmek zorundaydı. Vagon, birbirine kenetlenmiş duran iki vagona çarpsaydı, aynı momentum üç kat büyük bir kütleye, 60.000 kg’a dağılırdı ve üçü de hızın üçte biriyle, yaklaşık 0,67 m/s ile giderdi.

Vagon duran vagona çarpıyor ve bağlı vagonlar yarı hızla devam ediyor

Turuncu işaretler, kırmızı vagonun önünün eşit aralıklı anlarda nerede olduğunu gösteriyor. Kırmızı vagon tek başına giderken işaretler birbirinden aynı uzaklıkta. Mavi vagonla birleştikten sonra aralıklar yine eşit, yalnızca yarısı kadar.

Şimdi daha tuzaklı bir duruma bakalım. İkinci vagon durmuyor, birinciye doğru 1 m/s hızla geliyor. Pozitif yöne ters, yani v₂ = −1 m/s. İki vagonun momentumlarını yönlerine bakmadan toplamak hata olurdu, o zaman bağlı vagonlar 1,5 m/s hızla çıkardı. Bu yüzden ikinci vagonun hızını eksi işaretiyle yerine koyarız:

$\begin{aligned} v^{'} & = \frac{20.000 kg \cdot 2 m / s + 20.000 kg \cdot (- 1 m / s)}{40.000 kg} \\ = \frac{20.000 kg \cdot m / s}{40.000 kg} = 0, 5 m / s \end{aligned}$

Bağlı vagonlar birinci vagonun gittiği yönde 0,5 m/s hızla gider. Aynı hızla birbirine doğru gitselerdi, olduğu yerde dururlardı.

Vagonlar sonuçta yalıtılmış bir sistem değil, tekerlekler raylara sürtünüyor. Ama bu dış kuvvetler küçüktür ve çarpışma yalnızca saniyenin küçük bir kesri sürer, bu yüzden o sürede vagonların momentumunu ihmal edilebilir kadar değiştirir. Çarpışan vagonlar arasındaki kuvvetler kat kat daha büyüktür. Bu yüzden sistem tam yalıtılmış olmasa da çarpışmalarda momentumun korunumunu kullanabiliriz.

Roket

Roket uzayda gezegenlerden uzakta duruyor ve yakıtıyla birlikte toplam momentumu sıfır. Motor yakıtı yakıyor ve sıcak gazları lüleden geriye muazzam bir hızla atıyor. Gazlar böylece geriye doğru momentum alır ve roketle gazların toplam momentumunun sıfır kalması için roketin ileri doğru aynı büyüklükte momentum alması gerekir. Roket aslında her saniye geriye muazzam miktarda küçük “mermi” ateşleyen ve her seferinde kendisi biraz ileri hızlanan bir tüfektir.

Roket ve gazlar sistemine dışarıdan hiçbir şeyin etki etmesi gerekmez, roketin yere ya da havaya ihtiyacı yoktur ve havasız boşlukta da hızlanır. Kendi taşıdığı ve kendi attığı gazlara dayanır. Saniyede ne kadar çok gazı ne kadar hızlı atarsa, gazlara o kadar büyük momentum verir ve kendisi o kadar çok hızlanır.

Momentum, çarpışmada yalnızca cisimden cisme aktarılır. Hareketi gerçekten azaltan ve sonunda zeminde kayan hemen her şeyi durduran kuvvet ise sürtünmedir. Onu bir sonraki makale anlatıyor, Sürtünme Kuvveti.

« Önceki: Momentum ve İtme

Sonraki: Sürtünme Kuvveti »