Sürat ve Hız

Usain Bolt 2009’da Berlin’deki dünya şampiyonasında 100 m’yi 9,58 s’de koştu. Bu koşu ne kadar hızlıydı? Bütün süre boyunca aynı tempoyu tutsaydı, her saniyeye şu kadar düşerdi:

$$\frac{100\mathrm{m}}{9,58\mathrm{s}}\approx 10,44\mathrm{m}/\mathrm{s},$$

yani her saniye on metreden fazla. Peki bu saatte kaç kilometre eder?

$$10,44\mathrm{m}/\mathrm{s}=10,44\cdot 3,6\mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 37,6\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

Şehir içinde hız sınırı 50 olan bir yolda Bolt arabalara bir süre yetişirdi. En azından yüz metrede, daha uzun süre bu tempoyu koruyamazdı.

Sürat Formülü

Yalnızca formülü arıyorsan, v süratini hesaplamak için s alınan yolunu, cismin bu yolu aldığı t süresine bölersin:

$$v=\frac{s}{t}$$

Sürat, cismin birim zamanda, örneğin bir saniyede ya da bir saatte, ne kadar yol aldığını gösterir. Aynı sürede alınan yol ne kadar büyükse, sürat o kadar büyüktür. Aynı yolu daha uzun sürede alıyorsak sürat düşer, çünkü zaman paydadadır.

Birimi, yolun birimini zamanın birimine bölerek buluruz. Metre cinsinden yol ve saniye cinsinden zaman saniyede metreyi verir, m/s. Kilometre cinsinden yol ve saat cinsinden zaman saatte kilometreyi verir, km/h. İki birim arasında 3,6 sayısıyla dönüşüm yapılır: m/s’den km/h’ye geçerken çarparız, tersinde böleriz.

Ortalama Sürat

Adana’dan Gaziantep’e O-52 otoyolundan giden yol yaklaşık 205 km tutar. Yılmazlar oraya benzin istasyonundaki molayla birlikte 2,5 h’de gitti. Peki ne kadar hızlı gittiler?

Hesaplayalım:

$$v=\frac{205\mathrm{km}}{2,5\mathrm{h}}=82\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Ama arabanın hız göstergesi 82 km/h’yi neredeyse hiç göstermedi. Otoyolda 130 km/h civarını, Osmaniye yakınlarındaki trafik sıkışıklığında 20 km/h’yi, benzin istasyonunda ise sıfırı gösterdi. 82 km/h sayısı ortalama sürattir: arabanın Gaziantep’e aynı sürede varması için ara vermeden bütün süre boyunca gitmesi gereken sürat. Onu v_ort ile gösteririz ve toplam yolun toplam süreye bölümü olarak hesaplarız:

$$v_{\mathrm{ort}}=\frac{s}{t}$$

Toplam süreye her şey dahildir, molalar da. Yılmazlar istasyonda bir saat daha fazla oturmuş olsalardı, aynı 205 km’yi 3,5 h’de alırlardı ve ortalama sürat şuna düşerdi:

$$v_{\mathrm{ort}}=\frac{205\mathrm{km}}{3,5\mathrm{h}}\approx 58,6\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

Girişteki Bolt’un 10,44 m/s’lik sürati de bir ortalamaydı. Bolt start bloklarından sıfır hızla çıktı, ilk metrelerde hâlâ hızlanıyordu, bu yüzden başta daha yavaş, sonda daha hızlı koştu. Berlin’deki ölçümde 60. ile 80. metre arasındaki bölümü, yani 20 m’yi, 1,61 s’de koştu:

$$v_{\mathrm{ort}}=\frac{20\mathrm{m}}{1,61\mathrm{s}}\approx 12,42\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 44,7\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Yani yarışın ikinci yarısındaki kısa bir bölümde, bütün yüz metrenin ortalamasının söylediğinden hayli hızlıydı.

Gidişte 60, Dönüşte 40

Bu soruyu sınavlarda ve YKS’de verirler, çünkü neredeyse herkes ilk seferde yanlış cevap verir. Murat Bey arabayla 120 km uzaklıktaki yazlığa 60 km/h ile gidiyor. Dönüş yolunda yol tıkalı, bu yüzden yalnızca 40 km/h ile gidiyor. Gidiş dönüş bütün yolda ortalama sürati ne kadardı?

İki sürati toplayıp ikiye bölmek cazip gelir:

$$\frac{60\mathrm{km}/\mathrm{h}+40\mathrm{km}/\mathrm{h}}{2}=50\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Ama bu yanlıştır. Ortalama sürat, süratlerin ortalaması değil, toplam yolun toplam süreye bölümüdür. Bu yüzden önce her yönde ne kadar süre gittiğini bulalım. Gidişte 120 km’yi 60 km/h ile aldı. $v=\frac{s}{t}$ formülünden süreyi, iki tarafı t ile çarpıp v’ye bölerek buluruz:

$$t=\frac{s}{v}$$

Gidiş yolu şu kadar sürdü:

$$t_1=\frac{120\mathrm{km}}{60\mathrm{km}/\mathrm{h}}=2\mathrm{h}$$

ve dönüş yolu

$$t_2=\frac{120\mathrm{km}}{40\mathrm{km}/\mathrm{h}}=3\mathrm{h}.$$

Toplam 240 km’yi 5 h’de aldı. Ortalama sürat

$$v_{\mathrm{ort}}=\frac{240\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=48\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

Murat Bey 48 km/h ortalama süratle gitti, 50 km/h ile değil. Saatte iki kilometre nereye kayboldu? Cevabı şekil gösteriyor.

Her dikdörtgen bir saatlik yolculuğu temsil eder ve içindeki sayı Murat Bey’in o sürede kaç kilometre gittiğini gösterir. Kırmızı gidiş yolu ona iki saat, mavi dönüş yolu üç saat sürdü. İki yol da aynı uzunlukta, 120 km, ama yavaş süratle daha uzun süre gitti. Beş saatin ortalamasını aldığımızda, kırkın üç, altmışın yalnızca iki oyu vardır:

$$\begin{array}{rl}{v}_{\mathrm{ort}}& =\frac{(60+60+40+40+40)\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}\\ & =\frac{240\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=48\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Yeşil satır, beş saat boyunca 48 km/h ile gitmenin aynı 240 km’yi verdiğini gösterir. 50 km/h ortalaması ancak Murat Bey iki süratle de aynı süre gitseydi çıkardı, örneğin bir saat altmışla, bir saat kırkla. Burada aynı mesafeyi gitti, aynı süre değil, bu yüzden ortalama yavaş sürate doğru kaydı.

Aynı soru tersine çevrilince daha da sinsidir. Murat Bey yine gidişte 60 km/h ile gitti ve bütün yolda ortalama 80 km/h olmasını istiyor. Dönüşte ne kadar hızlı gitmelidir? 100 km/h cevabı akla gelir, ama süratlerin böyle ortalaması alınamayacağını artık biliyoruz. Bütün 240 km’yi 80 km/h ortalama süratle şu sürede alırdı:

$$t=\frac{240\mathrm{km}}{80\mathrm{km}/\mathrm{h}}=3\mathrm{h}.$$

İki saati ise gidiş yolunda zaten harcadı. Dönüşteki 120 km için yalnızca bir saati kalıyor, yani 120 km/h ile gitmelidir. Peki ortalama 120 km/h isteseydi? Bütün yolu iki saatte almak zorunda kalırdı ve o iki saat zaten arkada. Geri sıfır sürede varması gerekirdi, yani ne kadar hızlı giderse gitsin, bu mümkün değildir.

Anlık Sürat

Arabadaki hız göstergesi bütün yolun ortalama süratini göstermez. Arabanın tam şu anda ne kadar hızlı gittiğini gösterir. Buna anlık sürat diyoruz. Ama formül bir yol ve bir süre gerektiriyorsa, an hiç sürmüyorsa onu nasıl hesaplarız?

Giderek kısalan bir yol parçasındaki ortalama süratten yardım alırız. Araba trafik ışığından hareket ediyor ve 100 m ileride bir lamba direği duruyor. Arabanın tam direğin yanında ne kadar hızlı gittiğini merak ediyoruz. Direğin yanına, atletizmde zaman ölçümünde kullanılanlar gibi bir fotosel bariyeri koyarız, ikincisini ise direğin 100 m, 10 m ve 1 m ötesine sırayla. Bariyerler arabanın her yol parçasını ne kadar sürede aldığını ölçer ve buradan ortalama sürati hesaplarız:

Yüz metrelik yol parçasında ortalama sürat 24,14 m/s çıktı. Ama araba bütün yüz metre boyunca hızlanıyordu, yani yol parçasının sonunda direğin yanındakinden çok daha hızlı gidiyordu ve ortalama bu yüzden daha büyük çıktı. On metrede araba daha az hızlanmaya vakit bulur, bir metrede ise neredeyse hiç. Yol parçası ne kadar kısaysa, süratin onun boyunca değişimi o kadar az olur ve ortalama sürat, direğin yanındaki süratine o kadar yaklaşır. Sonuçlar 20 m/s civarında sabitleniyor. 10 cm’lik yol parçasında 20,005 m/s çıkardı, bir milimetrede biraz daha az. Arabanın direğin yanındaki anlık sürati bu yüzden 20 m/s’dir, yani 20 · 3,6 km/h = 72 km/h. O anda hız göstergesinin göstereceği de tam budur.

Anlık sürati böylece çok kısa bir yol parçasındaki ortalama sürat olarak buluruz. Cismin aldığı yol parçasını Δs, onu aldığı süreyi Δt ile yazarız. Yunan harfi Δ değişim demektir. O zaman

$$v=\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t},$$

burada Δt süresi, sürat onun boyunca fark edilir biçimde değişmeyecek kadar kısa olmalıdır. Ne kadar kısanın yeterince kısa olduğu harekete bağlıdır. Otoyolda hız sabitleyiciyle giden araba bir saniyede süratini ancak çok az değiştirir. Duvara çarpan araba ise saniyenin onda birinde durur.

Düzgün hareket, cismin eşit uzunlukta sürelerde eşit yollar aldığı harekettir. Onu artık başka türlü de tanımlayabiliriz: anlık süratin değişmediği harekettir. Hız göstergesi hep aynı sayıyı gösterir ve herhangi bir yol parçasındaki ortalama sürat anlık süratle aynıdır. Değişken harekette anlık sürat değişir ve ortalama sürat, en küçük ile en büyük anlık sürat arasındaki herhangi bir sayıdır.

Meraklısına: Türev

Limit ve türevi zaten bilen biri, tabloda ne yaptığımızı fark eder. Δt süresini kısalttık ve $\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}$ oranının neye yaklaştığını izledik. Bir matematikçi, anlık süratin bu oranın limiti, yani alınan yolun zamana göre türevi olduğunu söylerdi:

$$v=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=s^{\prime }(t)$$

Tablodaki araba trafik ışığından t süresinde s = 1 m/s² · t² yolunu aldı ve on saniye sonra direğin yanındaydı. t²’nin türevi 2t’dir, yani

$$v=2\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot t=2\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 10\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s},$$

ve tablonun yaklaştığı değer tam olarak budur. Bunun dışında bu kategorinin tamamında türevsiz idare ederiz.

Vektör Olarak Hız

Araba göbekli kavşakta dönüyor ve hız göstergesi bütün süre boyunca aynı 30 km/h’yi gösteriyor. Arabanın hızı değişiyor mu, değişmiyor mu?

Hız bir vektördür. Arabanın ne kadar hızlı gittiğini bilmek yetmez, nereye gittiği de önemlidir. Hız okunu $\overrightarrow{v}$ ile gösteririz. Büyüklüğü $v=|\overrightarrow{v}|$, hız göstergesinin gösterdiğidir, yani sürattir. Ok, cismin tam o anda hareket ettiği yöne bakar.

Şekilde araba, göbekli kavşakta gidildiği gibi, gri kesikli çember üzerinde saat yönünün tersine gidiyor. Kırmızı ok onun hızını gösterir. Daha açık renkli ${\overrightarrow{v}}_1$–${\overrightarrow{v}}_4$ okları, arabanın hızını her seferinde çeyrek tur sonra, dört noktada gösterir. Animasyonda araba kavşağın etrafında dönüp durur ve oku sırayla her birinin üzerine oturur. Ok bütün süre boyunca aynı uzunluktadır, çünkü hız göstergesi sürekli 30 km/h gösterir. Ama yönü durmadan değişir.

Şimdi dört oku da tek bir noktaya taşıyalım. Okları, döndürmediğimiz ve uzunluklarını değiştirmediğimiz sürece kaydırabiliriz, yani yine aynı vektörlerdir.

Dört ok da aynı kesikli çemberin üzerinde bitiyor, yani büyüklükleri aynıdır, $|{\overrightarrow{v}}_1|=|{\overrightarrow{v}}_2|=|{\overrightarrow{v}}_3|=|{\overrightarrow{v}}_4|=30\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Ama her biri başka yöne bakıyor, yani dört farklı vektördür, ${\overrightarrow{v}}_1\ne {\overrightarrow{v}}_2$. Sorunun cevabı şudur: hız göstergesi hep aynı sayıyı gösterse de arabanın hızı değişir. Değişen yönüdür. Hız göstergesi yalnızca hızın büyüklüğünü gösterir, yönü görmez.

Düzgün hareketi alınan yollara bakarak tanımıştık ve alınan yolun yönü yoktur. Bu yüzden, hızın büyüklüğünün değişmediği hareketi düzgün sayarız. Kavşaktaki araba böylece düzgün gider, yine de vektör olarak hızı değişir. Bunun önemli bir fark olduğunu arabada kendin anlarsın: sürücü gaza da frene de dokunmasa bile virajda kendini tutman gerekir. Bunun neden böyle olduğunu daha sonra ivmede açıklayacağız.

Okun neden teğet boyunca baktığını açıklamak kaldı, yani yörüngeye o noktada yalnızca değen doğru boyunca. Ortalama hıza geri dönelim, bu sefer vektör olarak. Araba Δt süresinde A noktasından yörüngenin başka bir noktasına gider. Yer değiştirmesi $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}$ okudur ve vektör olarak ortalama hız

$$\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}}{\mathrm{\Delta }t}.$$

Dikkat, bu vektörün büyüklüğü genel olarak alınan yolun süreye bölümüyle aynı şey değildir. Yer değiştirme çoğunlukla alınan yoldan kısadır ve onunla ancak çok kısa bir yol parçasında çakışır.

Bir vektörü bir sayıya bölmek, onu $\frac{1}{\mathrm{\Delta }t}$ ile çarpmakla aynı şeydir. Ok böylece yalnızca kısalır ya da uzar, yönü kalır, bu yüzden ortalama hız yer değiştirmeyle aynı yöne bakar.

Şekil, arabanın soldan sağa gittiği siyah yörüngeyi gösteriyor. Yeşil oklar A noktasından giderek kısalan sürelerdeki, A’ya giderek daha yakın noktalara olan yer değiştirmelerdir. Uzun yer değiştirme eğik yukarı bakar, kısa olan daha az, ve süre ne kadar kısaysa ok gri kesikli teğete o kadar yaklaşır. Anlık hız çok kısa bir yol parçasındaki ortalama hızdır ve bu yüzden teğet boyunca bakar, şekilde kırmızı okun yönünde.

Yörüngeye çizilen teğeti görebilirsin bile. Taşlama makinesinin kıvılcımları diskten teğet boyunca, metal parçasının diskten koptuğu anda hareket ettiği yönde fırlar. Dönen bir şemsiyeden fırlayan damlalar da böyle davranır. Araba kavşakta buzlu yola girse ve tekerlekler tutunmasa, çember boyunca değil, kabaca hız okunun yönünde düz devam ederdi.

Hangi Şey Ne Kadar Hızlı Hareket Eder

Fikir vermesi için birkaç tipik sürat, yuvarlatılmış olarak:

Tablodaki ses sürati 20 °C sıcaklıktaki hava için geçerlidir. Ses ışığa göre yavaştır ve bu yüzden şimşeği gök gürültüsünden önce görürsün: ışık sana hemen hemen anında ulaşır, ses ise bir kilometreyi yaklaşık üç saniyede alır. Şimşek ile gök gürültüsü arasında dokuz saniye sayarsan, fırtına yaklaşık üç kilometre uzaktadır. Işık hepsinden hızlıdır. Ay’dan bize bir saniyeden biraz fazla sürede, Güneş’ten yaklaşık sekiz dakikada ulaşır.

Hesap Makinesi

Alınan yolu ve süreyi gir, hesap makinesi senin için ortalama sürati hesaplasın. Önceden doldurulmuş değerler, Yılmazların Gaziantep yolculuğundan gelir.

En basit hareket, hızın hiç değişmediği, ne büyüklüğünün ne de yönünün, harekettir. Böyle bir hareket düzgün doğrusal harekettir ve ona bir sonraki yazı, Düzgün Doğrusal Hareket, ayrılmıştır.