İvme

Araba üreticileri, arabalarının sıfırdan yüze kaç saniyede çıktığıyla övünmeyi sever. Sıradan bir aile arabasında bu yaklaşık on saniyedir. Bu sayı aslında ne söylüyor? Önce saatte yüz kilometreyi saniyede metreye çevirelim:

$$100\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{100}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Yani araba on saniyede 27,8 m/s’ye ulaşır. Düzgün biçimde hızlansaydı, her saniye bunun onda biri kadar, 2,78 m/s, yaklaşık 2,8 m/s daha hızlı giderdi. İlk saniyeden sonra 2,8 m/s, ikinciden sonra 5,6 m/s, üçüncüden sonra 8,4 m/s, onuncudan sonra da o 27,8 m/s ile giderdi. Hızın bir saniyede ne kadar değiştiğini gösteren büyüklüğe ivme deriz.

Şekilde alt alta iki yol var. İki araba da her tam saniyede arkasında turuncu bir işaret bırakıyor. Üstteki araba bütün süre boyunca aynı tempoyu, 7 m/s’yi, koruyor ve bu yüzden işaretleri birbirinden eşit uzaklıkta. Alttaki araba durgun hâlden harekete geçiyor ve her saniye tam 2,8 m/s hızlanıyor. İlk saniyede yalnızca küçük bir yol alıyor, ancak bir buçuk metre, ama sonra her saniye daha fazla, çünkü gittikçe hızlanıyor. İşaretleri bu yüzden birbirinden gittikçe uzaklaşıyor, ne kadar olduğunu birazdan hesaplayacağız. Beş saniye sonra iki araba da aynı yerde, başlangıçtan 35 m uzakta. Alttaki araba başta geride kaldı, sonunda daha hızlı gitti ve üstteki arabaya tam varış noktasında yetişti.

İvme Formülü

Yalnızca formülü arıyorsan, a ivmesini hesaplamak için Δv hız değişimini, hızın değiştiği Δt süresine bölersin:

$$a=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}$$

Yunan harfi Δ değişim demektir. Hızdaki değişim, hızın sondaki ve baştaki değerinin farkıdır. İlk hızı v₀, son hızı v ile gösteririz:

$$\mathrm{\Delta }v=v-v_0$$

Girişteki araba için verilenleri yazalım:

$$\begin{array}{rl}{v}_0& =0\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v& =100\mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ \mathrm{\Delta }t& =10\mathrm{s}\\ a& =?\end{array}$$

Yerine koyalım:

$$a=\frac{v-v_0}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}-0\mathrm{m}/\mathrm{s}}{10\mathrm{s}}\approx 2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Aile arabasının ivmesi yaklaşık 2,8 m/s²’dir. Aslında araba bütün süre boyunca aynı ivmeyle hızlanmaz, vites yükseldikçe daha az hızlanır. Hesapladığımız sayı bu yüzden on saniyenin tamamı için ortalama ivmedir. Anlık ivmeyi, anlık hızı bulduğumuz yöntemle buluruz: hızdaki değişimi, ivmenin bu süre içinde fark edilir biçimde değişmeyeceği kadar kısa bir Δt süresinde ölçeriz. Türevi bilen biri bunda hızın zamana göre türevini görür, a = v'(t).

Neden Metre Bölü Saniye Kare

İvmenin birimini, hızın birimini zamanın birimine bölerek buluruz. Bir sayıya bölmek, o sayının tersiyle çarpmakla aynı şeydir:

$$\frac{\mathrm{m}/\mathrm{s}}{\mathrm{s}}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \frac{1}{\mathrm{s}}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}\cdot \mathrm{s}}={\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Paydadaki iki saniye tuhaf görünür ama her biri başka bir nedenle oradadır. Birincisi hıza aittir (araba saniyede kaç metre gidiyor), ikincisi ise bu hızın ne kadar sürede değiştiğini söyler. 2,8 m/s² yazısını bu yüzden “her saniye 2,8 m/s daha hızlı” diye oku.

Saatte kilometreyle hesaplamayı tercih edersen şöyle de söyleyebilirsin: sıfırdan yüze on saniyede çıkan araba her saniye 10 km/h ekler. Saniye başına 10 km/h sonucu da tam anlamıyla bir ivmedir, yalnızca kimsenin kullanmadığı bir birimle, çünkü saatle saniyeyi karıştırır.

Karıştırmamaya dikkat et: büyük ivme büyük hız demek değildir. Otoyolda hız sabitleyicisi 130 km/h’ye ayarlanmış araba, hızı değişmediği için sıfır ivmeyle gider. Yeşil ışıkta hareket eden araba başta neredeyse sıfır hızla gider ve yine de iyi bir ivmesi vardır. İvme, cismin ne kadar hızlı gittiğini değil, hızının ne kadar çabuk değiştiğini söyler.

İşaretler Neden Açılır

Şekildeki alttaki arabaya yeniden bakalım. İvmesi 2,8 m/s²’dir, yani ilk saniyede sıfırdan 2,8 m/s’ye hızlanır. Hız düzgün arttığı için ilk saniyede ortalama olarak yarı hızla, 1,4 m/s ile gider ve 1,4 m yol alır. İkinci saniyede 2,8 m/s’den 5,6 m/s’ye hızlanır, ortalama 4,2 m/s ile gider ve 4,2 m alır, ilkinin üç katı. Üçüncü saniyede ortalama 7 m/s ile, üstteki araba gibi, gider ve aynı 7 m’yi alır.

Her saniye ortalama sürat 2,8 m/s artar, alınan yol parçası da bu yüzden 2,8 m artar. İşaretler arası uzaklıklar sırayla 1,4 m, 4,2 m, 7 m, 9,8 m ve 12,6 m’dir, oranları 1:3:5:7:9, toplamları da 35 m eder. Üstteki araba bütün süre boyunca 7 m/s ile gider ve beş saniyede o da 35 m alır. Ortalama süratin, saniyenin başındaki ve sonundaki sürat arasında tam ortada olması yalnızca sürat düzgün arttığında geçerlidir. Nedenini düzgün hızlanan harekette açıklayacağız.

Frenleme

Araba 72 km/h, yani 20 m/s ile gidiyor, sürücü fren yapıyor ve 4 s sonra araba duruyor. Son hız sıfır, ilk hız 20 m/s:

$$a=\frac{v-v_0}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{0\mathrm{m}/\mathrm{s}-20\mathrm{m}/\mathrm{s}}{4\mathrm{s}}=-5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

İvme negatif çıktı. Arabanın hızı artmıyor, tersine azalıyor, hem de her saniye 5 m/s. Gündelik dilde yavaşlama deriz, ama fizikçi arabanın −5 m/s² ivmeyle yavaşladığını, yani 5 m/s² yavaşlamayla gittiğini söyler. İkisi de aynı anlama gelir.

Ama eksi işareti gerçekte ne demek? Hız bir vektördür, ivme de. İvme oku $\overrightarrow{a}$, hızın hangi yönde değiştiğini gösterir.

İki araba da sağa gidiyor ve bu yüzden kırmızı hız oku $\overrightarrow{v}$ sağa bakıyor. Üstteki araba hızlanıyor ve yeşil ivme oku $\overrightarrow{a}$ hızla aynı yöne bakıyor: her saniye hıza biraz eklenir ve hız oku uzar. Alttaki araba fren yapıyor ve ivmesi ters yöne, geriye bakıyor. Her saniye hız oku kısalır, sonunda ondan hiçbir şey kalmaz. Doğru üzerinde yön için işaret yeter. Pozitif yönü arabanın gittiği yönde seçersek, fren yapan arabada olduğu gibi, pozitif ivme hızla aynı yöne bakar ve cisim hızlanır. Negatif ivme hızın tersine bakar ve cisim yavaşlar.

Virajdaki İvme

Araba göbekli kavşakta dönüyor ve hız göstergesi hep 54 km/h gösteriyor. Buna rağmen vektör olarak hız değişir, çünkü hız oku durmadan döner. Hızın değiştiği yerde ivme de vardır. Vektör olarak ivme, hız vektörünün birim zamandaki değişimidir:

$$\overrightarrow{a}=\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{{\overrightarrow{v}}_2-{\overrightarrow{v}}_1}{\mathrm{\Delta }t}$$

İki vektörü çıkarmak için iki oku da tek bir noktaya taşırız. ${\overrightarrow{v}}_2-{\overrightarrow{v}}_1$ farkı o zaman ${\overrightarrow{v}}_1$’in ucundan ${\overrightarrow{v}}_2$’nin ucuna giden oktur, çünkü onu ${\overrightarrow{v}}_1$’e eklersek tam ${\overrightarrow{v}}_2$’yi elde ederiz. Kavşaktaki hız okları aynı uzunluktadır ama başka yöne bakar, bu yüzden farkları sıfır değildir. Virajı sabit süratle dönen arabanın ivmesi sıfırdan farklıdır. Buna gaz ya da fren değil, dönmek neden olur.

Örnek: Araba kavşağın çeyreğini sabit 54 km/h = 15 m/s süratle 3 s’de geçiyor. Başlangıçta doğuya, sonda kuzeye gidiyor. Ortalama ivmesi ne kadardır ve nereye bakar? Verilenleri yazalım:

$$\begin{array}{rl}{v}_1& =15\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v_2& =15\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ \mathrm{\Delta }t& =3\mathrm{s}\\ a& =?\end{array}$$

${\overrightarrow{v}}_1$ oku doğuya, şekilde sağa, ${\overrightarrow{v}}_2$ oku kuzeye, yukarı bakıyor.

Sağda iki ok da tek noktaya taşınmış ve aralarında dik açı var. Yeşil fark $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$, ${\overrightarrow{v}}_1$’in ucundan ${\overrightarrow{v}}_2$’nin ucuna gider, yani 15 m/s sola ve 15 m/s yukarı. Dik üçgenin hipotenüsüdür, bu yüzden büyüklüğünü Pisagor teoremiyle hesaplarız:

$$\mathrm{\Delta }v=\sqrt{{15}^2+{15}^2}\mathrm{m}/\mathrm{s}=\sqrt{450}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 21,2\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Fark eğik olarak sola ve yukarı, yani kuzeybatıya bakıyor, tıpkı soldaki, çeyreğin ortasından kavşağın merkezine giden gri ok gibi. İvmeyi, hızdaki değişimi süreye bölerek buluruz. Bir sayıya bölmek oku yalnızca kısaltır, bu yüzden ivme de kavşağın merkezine bakar. Yerine koyalım:

$$a=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}\approx \frac{21,2\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 7,1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Arabanın kavşağın merkezine doğru ortalama ivmesi yaklaşık 7,1 m/s²’dir. Bu, kuru yolda sert frenlemeye, yaklaşık 7 m/s²’ye neredeyse eşittir ve hız göstergesi yine de hep 54 km/h gösterir. Bu yüzden, sürücü ne gaza ne de frene bassa da virajda kendini tutman gerekir. Bulduğumuz ivme ortalamadır, kavşağın çeyreğinin tamamı için. Virajın her noktasındaki anlık ivmeyi merkezcil ivmede tam olarak hesaplayacağız.

g Kuvveti

Arabanın ivmesini kendi vücudumuzda hissederiz: spor araba kalkışta seni koltuğa gömer. Bunun ne kadar güçlü olduğu, g ≈ 9,81 m/s² yer çekimi ivmesiyle karşılaştırılır. Elinden bıraktığın taş, hava direnci onu yavaşlatmıyorsa, bu ivmeyle düşer. Spor araba sıfırdan yüze üç saniyede çıkabilir, yani ivmesi

$$a=\frac{27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 9,3{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2,$$

düşen taşınkine neredeyse eşit.

g kuvveti, koltuğun, zeminin ya da sırtlığın seni sakin otururkenkinden kaç kat güçlü ittiğini gösterir. Şu anda sandalyede oturuyorsan, ivmelenmediğin hâlde g kuvveti 1g’dir. Yani g kuvveti ivmeyle aynı şey değildir. 4g’de koltuk seni dört kat güçlü iterdi, sanki dört kat ağırmışsın gibi.

Spor arabada gaz sonuna kadar basılıyken sırtlık seni sırtından, neredeyse koltuğun aşağıdan ittiği kadar güçlü iter, çünkü araba neredeyse düşen taş gibi hızlanır. Hız treninde vadinin ya da döngünün en alçak noktasında 3 ile 4g arası bir g kuvveti seni koltuğa bastırır. Vagon orada yönünü aşağı gitmekten yukarı gitmeye hızla değiştirir ve bu yukarı bakan büyük bir ivmedir.

Aşağı inerken koltuk oturmaya göre daha zayıf iter, vadinin en alçak noktasında ise yaklaşık üç kat güçlü.

Savaş uçağı pilotu keskin bir dönüşte 9g’ye kadar dayanır, ama yalnızca kanın başından ayaklarına akmasını önleyen özel bir tulumla. Antrenmansız biri böyle bir g kuvvetinde birkaç saniyede bayılırdı. İlginçtir ki serbest düşmede ivmelensek de hiçbir şey hissetmeyiz: bizi hiçbir şey itmez, g kuvveti sıfırdır ve vücut ağırlıksızlık içindedir. İvmeyi neden koltuğun itmesi olarak hissettiğimizi dinamik, yani kuvvetleri anlatan bölüm açıklayacak.

En basit hareket, ivmenin hiç değişmediği harekettir, ilk şekildeki alttaki araba gibi. Hız o zaman her saniye aynı miktarda artar ve yolu da hızı da herhangi bir anda basit formüllerle hesaplayabiliriz. Böyle bir harekete bir sonraki yazı, Düzgün Hızlanan Hareket, ayrılmıştır.