Düzgün Doğrusal Hareket

Otoyolda hız sabitleyiciyi 108 km/h’ye ayarlıyorsun. Araba artık bütün süre boyunca aynı süratle, dümdüz ileri gidiyor ve hız göstergesinin ibresi kıpırdamıyor. Bir saniyede kaç metre gider? Süratini saniyede metreye çeviririz, yani 3,6 sayısına böleriz:

$$108\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{108}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=30\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Araba her saniye 30 m gider. İki saniyede 60 m, üçte 90 m ve böyle devam eder, her saniyeyle otuz metre daha fazla.

Solda yolu yukarıdan görüyoruz, araba üzerinde yukarı doğru gidiyor. Arabamız her tam saniyede yolda turuncu bir işaret, örneğin bir damla boya, bırakır. Bütün işaretler birbirinden aynı uzaklıktadır, 30 m’er, çünkü araba her saniye aynı yolu alır. Sağda grafik var. Yatay eksende saniye cinsinden zaman t, düşey eksende arabanın ilk işaretten itibaren aldığı metre cinsinden yol s bulunur. Düşey eksenin ölçeği yolunkiyle aynıdır, bu yüzden grafikteki kırmızı nokta hep arabayla aynı yüksekliktedir. Animasyonda altı saniyelik yolculuk geçer ve her saniyeyle yolda bir işaret, grafikte de bir turuncu nokta eklenir.

Doğru boyunca, cismin süratinin değişmediği harekete düzgün doğrusal hareket diyoruz. Doğrusal hareket, yörüngesi bir doğru olan harekettir. Düzgün hareket, cismin eşit uzunlukta sürelerde eşit yollar aldığı harekettir, bu da anlık süratin sabit olması demektir. Doğru boyunca sabit süratle giden bir araba dönemez, çünkü doğrudan çıkardı, geri de dönemez, çünkü bunun için sıfıra kadar yavaşlaması gerekirdi. Yani hızının yönü de değişmez. Göbekli kavşaktaki arabanın aksine, vektör olarak hızın tamamı, yani hem büyüklük hem yön, sabit kalır.

Tam anlamıyla böyle hareket eden hiçbir şey yoktur: her zaman biraz rüzgâr eser ya da yol yokuşa çıkar. Ama düz otoyolda hız sabitleyicili araba, metrodaki yürüyen merdiven ya da düz hatta giden tren, düzgün doğrusal harekete epey yaklaşır.

Yol Formülü

Yalnızca formülü arıyorsan, bir cismin düzgün hareketle v süratiyle t sürede aldığı s yolunu şöyle hesaplarsın:

$$s=v\cdot t$$

Bunu zaten bildiğimiz sürat formülü $v=\frac{s}{t}$’den çıkarırız. İki tarafı t ile çarpmak yeter:

$$\begin{array}{rcl}v& =& \frac{s}{t}/\cdot t\\ v\cdot t& =& s\end{array}$$

Sade dille: araba her saniye 30 m gidiyorsa, on saniyede on katını gider. Hız sabitleyicili araba bir dakikada, yani 60 s’de,

$$s=30\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 60\mathrm{s}=1.800\mathrm{m}=1,8\mathrm{km}.$$

yol alır.

Birimlerle de sayılarla olduğu gibi hesap yaparız. Paydadaki saniyeler çarptığımız saniyelerle sadeleşir ve metreler kalır:

$$\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \mathrm{s}=\mathrm{m}$$

Sonuç örneğin metre çarpı saniye çıkarsa, bir yerde hata yapıldığını anlarsın.

Dikkat, s = v · t formülü yalnızca düzgün hareket için geçerlidir. Sürat dalgalanıyorsa, formüle hangisini alacağımızı bilemeyiz. Bize yalnızca ortalama sürat yardım eder, s = v_ort · t. Yılmazlar Gaziantep’e 2,5 h boyunca ortalama 82 km/h ile gitti, yani 82 km/h · 2,5 h = 205 km aldı, hız göstergeleri sıfırdan yüz otuza kadar her şeyi gösterse de.

Ne Kadar Sürer?

s = v · t formülünü v süratine bölersek süreyi elde ederiz:

$$t=\frac{s}{v}$$

Adana’dan Gaziantep’e giden O-52 otoyolu yaklaşık 205 km uzunluğundadır. Araba bütün yolu sabit 100 km/h süratle gitseydi yolculuk şu kadar sürerdi:

$$t=\frac{205\mathrm{km}}{100\mathrm{km}/\mathrm{h}}=2,05\mathrm{h}.$$

Otoyol cetvel gibi düz değildir ama bu formülü rahatsız etmez. Yol yörünge boyunca ölçülür, bu yüzden s = v · t her düzgün hareket için, virajları sabit süratle geçen araba için de geçerlidir.

2,05 h kaç saat kaç dakikadır? Kesinlikle iki saat beş dakika değildir. Bir saat altmış dakikadır, yüz değil. İki tam saati bırakırız, geriye kalan saatin yüzde beşini dakikaya çeviririz:

$$0,05\mathrm{h}=0,05\cdot 60\min =3\min$$

Yolculuk 2 h ve 3 min sürerdi.

Üçüncü nicelik kaldı, sürat. Onu $v=\frac{s}{t}$ formülüyle hesaplarız. Ece, sahil yolundaki bisiklet yolunda hep aynı tempoyla gidiyor ve 6 km’yi 20 min’de alıyor. Yirmi dakika saatin üçte biridir:

$$v=\frac{6\mathrm{km}}{\frac{1}{3}\mathrm{h}}=18\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Üçte bire bölmek, üçle çarpmakla aynıdır, bu yüzden 6 · 3 = 18 çıktı. Kesirleri sevmeyen biri her şeyi metre ve saniyeye çevirebilir. Yirmi dakika 20 · 60 s = 1.200 s eder:

$$v=\frac{6.000\mathrm{m}}{1.200\mathrm{s}}=5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

İki yöntem de aynı sonucu verir, çünkü 5 m/s çarpı 3,6, 18 km/h eder.

Yol-Zaman Grafiği Bir Doğrudur

Girişteki hız sabitleyicili arabanın aldığı yolları bir tabloya yazalım:

Tablonun her satırı grafiğin bir noktasıdır: zamanı yatay eksende, yolu düşey eksende işaretleriz. Yukarıdaki animasyondaki turuncu noktalar tam böyle oluştu. Hepsi başlangıç noktasından çıkan tek bir doğru üzerindedir. Neden tam olarak bir doğru üzerinde?

Her noktadan bir sonrakine aynı basamak gider: bir saniye sağa (mavi) ve 30 m yukarı (kırmızı). Basamakların hepsi aynı genişlikte ve aynı yüksekliktedir, bu yüzden komşu noktaları birleştiren doğruların eğimi aynıdır ve kırılmadan birbirine bağlanır. Yani bütün noktalar tek bir düz çizgi üzerinde durur. Araba bir yerde hızlansaydı, orada basamak daha yüksek olurdu ve çizgi yukarı doğru kırılırdı. Aynısı tam saniyeler arasında da geçerlidir. Yarım saniyede araba 15 m, saniyenin onda birinde 3 m gider ve bütün bu noktalar aynı doğrunun üzerindedir. Bu yüzden grafiği yedi nokta olarak değil, sürekli çizgiyle çizeriz.

Doğrunun ne kadar dik olduğunu, sağa doğru bir parça gittiğimizde ne kadar yükseldiğine bakarak anlarız. Basamağın genişliğini, yani zamanın değişimini Δt, basamağın yüksekliğini, yani yolun değişimini Δs ile yazarız. Bölümleri eğimi verir:

$$\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{30\mathrm{m}}{1\mathrm{s}}=30\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Zaten bildiğimiz bir sayı çıktı: arabanın sürati. Yol-zaman grafiğinin eğimi sürattir. Bu, anlık sürat için $v=\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}$ formülünün aynısıdır, yalnızca düzgün harekette aralığın kısa olmasına dikkat etmemiz gerekmez. Grafiğin daha büyük bir parçasını alırsak, eğim yine aynı çıkar. Birinci ile beşinci saniye arasında 4 s geçti ve araba bu sürede 150 m − 30 m = 120 m gitti:

$$\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{120\mathrm{m}}{4\mathrm{s}}=30\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Bir matematikçi, yolun zamanın doğrusal fonksiyonu olduğunu söylerdi. Doğrusal fonksiyonlar y = a · x + b kuralıyla yazılır ve grafikleri her zaman bir doğrudur. a sayısı, x bir arttığında y’nin ne kadar arttığını söyler ve ona eğim denir. b sayısı doğrunun düşey ekseni hangi yükseklikte kestiğini belirler. Bizim s = v · t formülümüz bir doğrusal fonksiyondur; burada x yerine zaman, y yerine yol vardır, eğim sürattir ve b = 0 olduğu için doğru başlangıç noktasından geçer. Böyle bir bağımlılık doğru orantıdır: iki kat uzun sürede araba iki kat uzun yol, üç katında üç kat yol alır.

Daha Hızlı Araba, Daha Dik Grafik

Köprüde hız sabitleyicili arabamız 72 km/h ile giden bir kamyonu geçiyor, yani

$$72\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{72}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Zamanı da yolu da köprüden itibaren ölçeceğiz ve iki grafiği tek bir şekle çizeceğiz.

Arabanın kırmızı doğrusu, kamyonun mavi doğrusundan daha diktir, çünkü araba her saniye daha fazla yol alır. Yol-zaman grafiği ne kadar dikse, hareket o kadar hızlıdır. Kamyon dursaydı, grafiği eğimi sıfır olan yatay bir çizgi olurdu.

Grafikten değerler de okunabilir, bu yüzden içine bir ızgara çizdik. Kamyon 3 s sonra nereye varır? Yatay eksende üçü buluruz ve kesikli çizgi boyunca mavi doğruya çarpana kadar yukarı çıkarız. Oradan sola, düşey eksene yöneliriz ve 60 m okuruz. Tersine soralım: araba ne zaman köprünün 120 m ötesinde olacak? Düşey eksende 120’yi buluruz, kırmızı doğruya doğru sağa gideriz ve sonra aşağı zaman eksenine ineriz: 4 s sonra. İkisini de hesapla doğrulayabiliriz:

$$20\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 3\mathrm{s}=60\mathrm{m},\frac{120\mathrm{m}}{30\mathrm{m}/\mathrm{s}}=4\mathrm{s}$$

İki doğru arasındaki düşey uzaklık, arabanın kamyonun ne kadar önünde olduğunu gösterir. Altı saniye sonra bu 180 m − 120 m = 60 m olur. Aradaki fark her saniye 10 m artar, bu da iki süratin farkıdır, 30 m/s − 20 m/s = 10 m/s.

Araba Sıfırdan Başlamadığında

Şimdiye kadar yolu kronometreyi başlattığımız yerden ölçtük. Ama kronometreyi çoğu zaman, cisim zaten bir miktar yol almışken çalıştırırız. O-52 otoyolu boyunca kilometre taşları vardır; üzerinde numara olan, otoyolun Adana’daki başlangıcından itibaren kaç kilometre olduğunu gösteren direkler. Araba 21. kilometre taşını geçiyor ve o andan itibaren sabit 90 km/h süratle gidiyor. İki saat sonra kaçıncı kilometrede olacak?

İki saatte 90 km/h · 2 h = 180 km alır. Ama kilometre taşında 180 olmayacak, çünkü araba sıfırdan başlamadı. Kilometre taşı otoyolun başlangıcından ölçtüğü için, kronometreyi başlattığımız anda zaten 21 km almış gibi hesaplıyoruz. Bu yola başlangıç yolu denir ve s₀ ile gösterilir. t anındaki yolu, başlangıç yoluna arabanın kronometre çalıştıktan sonra aldığını ekleyerek buluruz:

$$s=s_0+v\cdot t$$

Yerine koyalım:

$$\begin{array}{rl}s& =21\mathrm{km}+90\mathrm{km}/\mathrm{h}\cdot 2\mathrm{h}\\ & =21\mathrm{km}+180\mathrm{km}=201\mathrm{km}\end{array}$$

İki saat sonra araba 201. kilometrede olacak. Başlangıç yolu sıfırsa, asıl formül olan s = v · t’yi elde ederiz.

Grafik artık başlangıç noktasında değil, düşey eksende mavi doğru parçasının gösterdiği s₀ = 21 km yüksekliğinde başlıyor. Eğim yine sürattir, grafik her saat 90 km yükselir. Gri kesikli doğru, aynı süratle giden ama otoyolun başlangıcından yola çıkan arabanın grafiğidir. İki doğru paraleldir, çünkü eğimleri aynıdır. Kırmızı olan yalnızca s₀ kadar yukarıdadır. Doğrusal fonksiyon y = a · x + b diliyle a sürat, b ise başlangıç yoludur.

Tersini yapalım: araba 156. kilometreye ne zaman varır? 156’yı doksana bölmek cazip gelir, ama bununla arabanın otoyolun başlangıcından ne kadar sürede varacağını bulurduk. Formülden yola çıkıp süreyi yalnız bırakalım:

$$\begin{array}{rcl}{s}_0+v\cdot t& =& s/-s_0\\ v\cdot t& =& s-s_0/:v\\ t& =& \frac{s-s_0}{v}\end{array}$$

Yerine koyalım:

$$t=\frac{156\mathrm{km}-21\mathrm{km}}{90\mathrm{km}/\mathrm{h}}=\frac{135\mathrm{km}}{90\mathrm{km}/\mathrm{h}}=1,5\mathrm{h}$$

Araba 156. kilometreye bir buçuk saatte, yani 1 h ve 30 min’de varır.

Kilometre taşındaki sayı tam olarak söylersek arabanın ne kadar yol aldığını değil, otoyolda nerede olduğunu gösterir. Araba yalnızca ileri gittiği sürece bu, otoyolun başlangıcından itibaren alacağı yolla aynı şeydir. Bunun neden önemli olduğunu yazının sonunda göreceğiz.

Hız-Zaman Grafiği

Grafiğe hızı da çizebiliriz. Hız sabitleyicili araba zaman ne olursa olsun hep 30 m/s ile gider ve bu yüzden hız-zaman grafiği 30 yüksekliğinde yatay bir çizgidir.

Yolu bu grafiğin hiçbir ekseninde bulamayız. Grafiğin altındaki alanda saklıdır. Çizginin altında ilk on saniye için genişliği 10 s ve yüksekliği 30 m/s olan kırmızı bir dikdörtgen oluştu. Alanı, yani genişlik çarpı yükseklik:

$$30\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 10\mathrm{s}=300\mathrm{m}.$$

Bu, tam olarak arabanın on saniyede aldığı s = v · t yoludur. Burada alan metrekare olarak değil metre olarak çıkıyor, çünkü dikdörtgenin kenarları uzunluk değil, sürat ve zamandır. Beyaz çizgiler dikdörtgeni her saniye için bir tane olmak üzere on şeride böler. Her birinin alanı 30 m/s · 1 s = 30 m eder, tıpkı baştaki animasyonda yoldaki komşu işaretler arasında otuz metre olması gibi.

Çarpmak yeterken alanla neden uğraşıyoruz? Çünkü hız-zaman grafiğinin altındaki alan, grafik yatay olmasa bile yolu temsil eder. Hızlanan harekete geldiğimizde hız grafiği yükselecek ve altında dikdörtgen yerine üçgen ya da yamuk olacak. O zaman yolu onların alanı olarak hesaplarız ve bunun için üçgen ve dikdörtgenin alan formülleri yeter, yamuk onlara bölünebilir.

Duruyor mu, Geri mi Gidiyor?

Ozan sabah evden düz bir yolda bisikletle yola çıkıyor. İki saat boyunca sabit 20 km/h ile gidiyor, sonra bir saat lokantada yemek yiyor ve en sonunda aynı süratle eve dönüyor.

Düşey eksende bu sefer yol değil, konum var. Yol boyunca x eksenini uzatır ve başlangıç noktasını Ozan’ın evine koyarız. x konumu o zaman Ozan’ın evden yol boyunca ne kadar uzakta olduğunu söyler, tıpkı kilometre taşının arabanın yolda nerede olduğunu göstermesi gibi. Gri kesikli çizgi, Ozan’ın aldığı ve gidonundaki bisiklet bilgisayarının gösterdiği yoldur. Yemeğin sonuna kadar konumla çakışır. Kırmızı kısmı zaten biliyoruz. İki saatte Ozan 40 km gider ve grafik 20 km/h eğimle yükselir.

Mavi kısım yataydır. Zaman akar, ama Ozan evden 40 km uzakta kalır, yani durur. Yatay grafik durgunluk demektir, eğim sıfırdır, hız da öyle.

Yeşil kısım alçalır. Ozan dönüyor ve x konumu her saat 20 km azalır. Alçalan grafik geriye doğru hareket demektir. Ozan’ın ne kadar hızlı gittiğini grafiğin saatte ne kadar düştüğüne bakarak anlarız, burada 20 km, yani 20 km/h ile gider. Hızı şimdi sabahkinin ters yönündedir. Bu yüzden fizikçiler ona bazen eksi işareti verir; bu işaret x konumunun zamanla azaldığını söyler.

Şimdi kilometre taşında neden cismin nerede olduğu ile ne kadar yol aldığını ayırdığımız görülüyor. Bisiklet bilgisayarı yolu ölçer ve yol zamanla asla azalmaz. Kesikli çizgi bu yüzden yemekten sonra da yükselmeye devam eder ve akşam 80 km’de biter, konum grafiği ise sıfırda bitti, çünkü Ozan yine evde. Tek yönde giderken konum ile yol yalnızca başlangıç değeri kadar farklıdır, bu yüzden kilometre taşında s = s₀ + v · t yol formülü yetti. Cisim dönüyorsa konumla hesap yapmamız gerekir.

Ozan’ın bütün gezisi düzgün değildir, üç düzgün parçadan oluşur. Bütün gün için ortalama sürat, toplam yolun toplam süreye bölümüdür, yemek dahil. Toplam yol son konum değildir, o sıfırdır. Kesikli grafiğin bittiği 80 km’dir, yani 40 km + 0 km + 40 km:

$$v_{\mathrm{ort}}=\frac{80\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=16\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Grafikte hiçbir zaman düşey bir kısım olmaz. Bu, Ozan’ın sıfır sürede biraz öteye ışınlandığı anlamına gelirdi. Sola doğru kıvrılan bir grafik ise Ozan için zamanın geriye aktığı anlamına gelirdi. İkisini de henüz kimse başaramadı.

Hesap Makinesi

İlk hesap makinesi yolu sürat ve zamandan, ikincisi süreyi yol ve süratten hesaplar. Önceden doldurulmuş değerler yazıdaki örneklerden gelir: 108 km/h’ye ayarlı hız sabitleyiciyle on saniye ve saatte sabit yüz kilometreyle Adana’dan Gaziantep’e yolculuk.

s = s₀ + v · t formülü ve yol-zaman grafiğiyle, bir arabanın diğerini yakaladığı ya da iki trenin birbirine doğru gittiği problemler de çözülebilir. Her aracın grafikte kendi doğrusu vardır ve karşılaştıkları yer, doğruların kesişim noktasıdır. Bu tür problemlere daha geleceğiz.

Onlara başlamadan önce, Kinematik ve Dinamik Problemleri Nasıl Çözülür yazısında, her fizik probleminde işe yarayan yöntemi inceleyeceğiz: verilenleri yazmak, birimleri çevirmek, çizim yapmak ve genel çözüm.