Hareket ve Durgunluk

Ankara’dan Eskişehir’e giden bir trende oturup kitap okuduğunu düşün. Hareket ediyor musun? Karşındaki yolcu hayır derdi. Bütün yol boyunca aynı yerde, ondan bir metre ötede oturuyorsun ve bir kez bile kıpırdamadın. Ama Polatlı’da peronda duran bir hanım, tam o sırada yanından 160 km/h hızla uçup geçtiğini söylerdi. İkisi de haklı.

Üstte trene peronden, altta vagondan bakıyoruz. İki kırmızı ok aynı hareketi gösteriyor, yalnızca her seferinde başka bir yerden görülüyor.

Bu yanılsamayı, durmakta olan bir trende oturmuş herkes bilir: yan raydaki tren yavaşça hareket eder ve bir an için sana kendi trenin hareket ediyormuş gibi gelir. Ancak istasyon binasına baktığında durduğunu anlarsın. Göz, hareketi ilişkilendireceği bir şeye ihtiyaç duyar.

Referans Sistemi

Bir cismin hareket edip etmediği ya da durgun olup olmadığı kendi başına belirlenemez. Her zaman neye göre olduğunu eklememiz gerekir. Hareketi kendisine göre değerlendirdiğimiz cisme referans cismi diyoruz. Trendeki yolcu için bu vagondur, peronda duran hanım için Dünya.

Bir cisim, referans cismine göre konumunu değiştirmiyorsa durgundur. Vagona göre durgunsun, Dünya’ya göre hareket ediyorsun. Peronda duran hanım ise Dünya’ya göre duruyor, ama sana göre 160 km/h hızla geriye doğru uzaklaşıyor. Hareket de durgunluk da görelidir, yani nereden baktığımıza bağlıdır.

Konumu sayılarla anlatabilmek için referans cismine bir koordinat sistemi bağlarız. Başlangıç noktası dediğimiz bir nokta seçer ve ondan x ve y eksenlerini çıkarırız, tıpkı matematikte bir grafik çizerken olduğu gibi. İstasyonda başlangıç noktası, örneğin, istasyon şefinin yanı olabilir, x ekseni rayların boyunca, y ekseni onlara dik olur. Cismin konumu o zaman iki sayıyla verilir: bir eksen yönünde ne kadar uzakta ve diğer eksen yönünde ne kadar uzakta olduğu. Trende başlangıç noktasını, örneğin, vagonun kapısının yanında seçeriz. Referans cismi, koordinat sistemi ve zamanı ölçen saat hep birlikte referans sistemi adını alır.

Vagondaki konumunu, siyah noktayı, böylece x ekseni boyunca kırmızı uzaklık ve y ekseni boyunca mavi uzaklık belirler.

Gündelik hayatta referans sistemini hemen her zaman Dünya oluşturur ve bu yüzden onu çoğu zaman anmayız bile. Arabanın 90 km/h ile gittiğini ya da evin durduğunu söylediğimizde, Dünya’ya göre demek isteriz. Ama “hareketsiz” ev bile tamamen durgun değildir. Dünya kendi ekseni etrafında döner, bu yüzden Orta Avrupa’daki bir ev bir günde yaklaşık 26.000 km uzunluğunda bir çember çizer. Yani bir saatte 1.000 km’den fazla yol alır. Buna ek olarak Dünya, Güneş’in etrafında yaklaşık 30 km/s süratle dolanır. Sen bu cümleyi okuyana kadar Dünya, evi ve koltuğuyla birlikte seni de alıp yüz elli kilometre kadar uçurmuş olur. Güneş de durgun değildir, galaksinin merkezi etrafında döner. “Gerçekten” durgun bir cisim, yani neye göre olduğu belirtilmeden durgun bir cisim, kısacası yoktur.

Noktasal Cisim

Adana ile Gaziantep arasındaki O-52 otoyolunda giden bir araba yaklaşık 4,5 m uzunluğundadır. Bütün yol yaklaşık 205 km tutar. Bütün otoyolu kâğıda 20 cm uzunluğunda bir çizgi olarak çizsen, araba o çizimde yaklaşık 4 µm olurdu, yani bir saç telinin kalınlığından on altı kat daha küçük. Arabanın Gaziantep’e ne zaman varacağını bilmek istiyorsak, uzunluğunun, direksiyonunun nerede olduğunun ve camının açık olup olmadığının önemi yoktur. Onu, harita üzerinde ilerleyen tek bir nokta olarak düşünebiliriz.

Böyle bir basitleştirmeye noktasal cisim denir. Verilen durumda boyutlarını ihmal edebildiğimiz cisimdir. Onu bir nokta ile değiştirir ve bu noktaya tüm cismin kütlesini veririz. Fizikte noktasal cisimlerle hesap yapmak, dönebilen, bükülebilen ya da biçim değiştirebilen gerçek cisimlerle hesap yapmaktan çok daha kolaydır.

Bir cismi noktasal cisim sayıp sayamayacağımıza ise cismin kendisi değil, sorduğumuz soru karar verir. Park ederken aynı araba noktasal cisim değildir. Orada tam da boyutları belirleyicidir: iki başka arabanın arasına sığıp sığmadığı ve kaldırıma kaç santimetre kaldığı. Dünya ise Güneş’in etrafındaki dolanımında noktasal cisimdir. Çapı, yaklaşık 12.700 km, Güneş’e olan uzaklığına, 150.000.000 km, göre ihmal edilebilir. Ama gece ve gündüzün değişmesiyle ilgilendiğimizde, onun dönen bir küre olduğunu hesaba katmamız gerekir ve onu bir noktayla değiştiremeyiz.

Soldaki uzun yolda arabayı bir noktayla değiştirmek yeter, sağdaki park etme durumunda ise boyutları belirleyicidir.

Yörünge

Noktasal cismin hareket ederken çizdiği çizgiye yörünge diyoruz. Bazen onu görürüz bile: gökyüzünde yüksekte uçan uçak arkasında beyaz bir iz bırakır, kayakçı karda bir iz. Yörünge bir doğru, bir çember ya da herhangi başka bir eğri olabilir.

Hareket ve durgunluk gibi yörünge de referans sistemine bağlıdır. Bisikletin ön tekerleğindeki sibopa bakalım. Bisikletçi giderken aşağı, ön tekerleğe baktığında, tekerleğin olduğu yerde döndüğünü ve sibobun merkez etrafında dolandığını görür. Yörüngesi bir çemberdir. Kaldırımda durup bisikletçinin yanından geçişine bakan arkadaşı ise hiçbir çember görmez. Tekerlek ileri yuvarlanır, sibop onunla birlikte ilerler ve böylece bir dizi yay çizer.

Şekilde üstte tekerlek bisikletçinin gözünden, yani bisikletin gövdesine bağlı referans sisteminde görülüyor. Turuncu sibop kırmızı çember üzerinde dolanır. Altta aynı tekerlek, yere bağlı referans sisteminde. Gri kesikli çember, sibop yolun yanında aşağıdayken tekerleğin nerede olduğunu gösterir. Tekerlek bir tam tur atarken sibop kırmızı yayı çizer. Şeklin iki yarısı da aynı sibobun aynı hareketini iki farklı referans sisteminden gösterir. Animasyon bunu adım adım gösterir: tekerlek üstte dönerken altta aynı anda yuvarlanır ve sibop bu sırada iki izi birden çizer.

Kaldırımdan bakıldığında sibobun çizdiği eğriye sikloid denir. Sivri uçları aşağıdadır, sibobun yola değdiği yerlerde. Tekerlek yolda kaymaz, üzerinde yuvarlanır, bu yüzden yere değen nokta bir an için durur. Sibop orada durur ve hemen ardından yükselir, önce neredeyse dik yukarı doğru. Tam olarak söylersek, sibop jantta, lastiğin yüzeyinden birkaç santimetre merkeze daha yakın oturur, bu yüzden yola değmez ve eğrisi aşağıda sivri uçlar yerine sadece keskin bir kıvrım yapar. Neredeyse tam bir sikloidi, örneğin lastiğin desenine sıkışmış bir taş çizerdi.

Tekerlek bir turda ne kadar yol alır? Kaymıyorsa, bütün çevresi, açılan bir şerit metre gibi yola serilir. Yarıçapı r olan çemberin çevresi 2π · r’dir, burada π ≈ 3,14, yani tekerleğin merkezi bir turda tam olarak 2π · r kadar ilerler. Bisiklet tekerleğinin çevresi 2 m’den biraz fazladır, bu yüzden bir kilometrede neredeyse beş yüz tur atar.

Aynı ilke trende de geçerlidir. Tren düz rayda sabit hızla gidiyorsa ve sen vagonda bir elma bırakırsan, elma doğrudan ayaklarının dibine, dikey olarak aşağı düşer. Peronda duran hanım onun düştüğünü ve aynı zamanda trenle birlikte ileri gittiğini görür, bu yüzden onun için elma eğik bir yay boyunca uçar.

Solda elmanın düşüşü, senin vagondan gördüğün gibi, sağda ise peronda duran hanımın gördüğü gibi.

Alınan Yol

Cismin hareket ederken katettiği yörüngenin uzunluğuna alınan yol denir ve s ile gösterilir. Alınan yol bir skalerdir, yani birimli bir sayıdır. Arabadaki kilometre sayacı onu ölçer: araba düz gitse de, dönse de, geri gitse de, aldığı her metreyi ekler. Bu yüzden alınan yol zamanla asla azalmaz. Eve döndüğünde yürüdüğün kilometreleri kimse senden düşmez.

Yer Değiştirme

Yürüyüşçü Emre dağ evinden çıktı, doğuya 3 km ve sonra kuzeye 4 km yürüdü. Toplam 7 km yürüdü, ama dağ evinden yalnızca 5 km uzaktaydı. Başladığı yerden yürüyüşü bitirdiği yere giden ok onun yer değiştirmesidir. Artık iki niceliği de tam olarak adlandırabiliriz: alınan yol 7 km idi, yer değiştirmenin büyüklüğü 5 km.

Yer değiştirme vektörlerle kolayca yazılır. Cismin referans sistemindeki konumunu, başlangıç noktasından cismin o an bulunduğu yere giden bir okla gösteririz. Bu oka konum vektörü denir ve $\overrightarrow{r}$ ile gösterilir.

Şekildeki siyah çizgi yörüngedir ve turuncu renkle cismin sırayla geçtiği iki yer işaretlenmiştir. Mavi oklar konum vektörleridir: ${\overrightarrow{r}}_1$ cismin başlangıçta nerede olduğunu, ${\overrightarrow{r}}_2$ ise sonunda nerede olduğunu gösterir. Aralarındaki yörünge parçası kırmızı vurgulanmıştır, yani cismin aldığı yol. İlk yerden ikinciye giden yeşil ok yer değiştirmedir.

Yer değiştirme, konumun ne kadar değiştiğini söyler. Bir fiziksel niceliğin değişimini, sembolünün önüne büyük Yunan harfi Δ (delta) koyarak gösteririz ve bu yüzden yer değiştirme şöyle yazılır:

$$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}$$

“Delta r” diye okunur ve hep birlikte tek bir semboldür, çarpım değil. Neden değişim? Şekle bak. Mavi ${\overrightarrow{r}}_1$ oku ve ardından yeşil ok birlikte mavi ${\overrightarrow{r}}_2$ okunu verir. Vektörlerde böyle işler, ikinci ok birincinin bittiği yerde başlar:

$${\overrightarrow{r}}_1+\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_2$$

Her iki taraftan ${\overrightarrow{r}}_1$’i çıkaralım:

$$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_2-{\overrightarrow{r}}_1$$

Yer değiştirme, son konum ile ilk konumun farkıdır. O başlangıç noktasını başka bir yere koysaydık, iki mavi ok değişirdi, ama yeşil ok aynı kalırdı. Yani yer değiştirme başlangıç noktasını nereye seçtiğimize değil, yalnızca cismin nerede başlayıp nerede bittiğine bağlıdır. Yer değiştirmenin büyüklüğünü, yani yeşil okun uzunluğunu $|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|$ ile yazarız.

Alınan yol ile yer değiştirme arasında iki fark vardır. Alınan yol skalerdir, yer değiştirme yönü de olan bir vektördür. Ayrıca alınan yol bütün yolu sayar, yer değiştirme ise yalnızca başlangıcı ve sonu. Emre dolambaçlı gitse de, yolda unuttuğu telefon için üç kez geri dönse de, yer değiştirme aynı kalır. İki nokta arasındaki en kısa bağlantı doğru parçasıdır, bu yüzden yer değiştirmenin büyüklüğü alınan yolu asla aşmaz, $|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|\le s$. Eşit olmaları yalnızca cisim doğru boyunca hareket eder ve bir kez bile geri dönmezse mümkündür.

Sahanın Etrafında Bir Tur

Okul sahasının etrafında, çember biçiminde, 400 m uzunluğunda bir koşu pisti vardır. Zeynep startta koşmaya başlar ve bütün turu koşar. Aldığı yol ne kadardır ve yer değiştirmesi nedir?

Alınan yol açık, bütün yörünge 400 m uzunluğunda, yani s = 400 m. Ama Zeynep tam olarak başladığı yere geldi. Başlangıç ve bitiş çakışır, bir noktadan aynı noktaya giden okun hiçbir uzunluğu yoktur. Bu sıfır vektörüdür:

$$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}=\overrightarrow{0}$$

Zeynep dört yüz metre koştu, yine de yer değiştirmesi sıfırdır. Başlangıçtan hiç kıpırdamasaydı da yer değiştirme aynı çıkardı. Bu yüzden alınan yolu yer değiştirmeyle asla karıştırma.

Şimdi Zeynep yalnızca yarım tur koşsun. Alınan yol 400 m’nin yarısıdır, yani s = 200 m. Zeynep çemberin öbür tarafında, başlangıcın tam karşısında bitirdi. Yeşil yer değiştirme oku çemberin merkezinden geçer, bu yüzden uzunluğu çaptır, yani yarıçap r’nin iki katı. Yarıçapı çevreden buluruz. Çemberin çevresi 2π · r’dir ve 400 m olduğunu biliyoruz:

$$\begin{array}{rcl}2\pi \cdot r& =& 400\mathrm{m}/:2\pi \\ r& =& \frac{400\mathrm{m}}{2\pi }\end{array}$$

Yer değiştirmenin büyüklüğü yarıçapın iki katıdır. Paydadaki iki ile paydaki iki sadeleşir:

$$\begin{array}{rl}|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|& =2\cdot r=2\cdot \frac{400\mathrm{m}}{2\pi }\\ & =\frac{400\mathrm{m}}{\pi }\end{array}$$

π yerine yaklaşık 3,14 koyarız:

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|\approx \frac{400\mathrm{m}}{3,14}\approx 127\mathrm{m}$$

Yarım turdan sonra Zeynep, 200 m koşmasına rağmen starttan yaklaşık 127 m uzaktadır. Pistin yarıçapı bu arada bunun yarısıdır, yaklaşık 63,7 m.

Peki çeyrek tur? Alınan yol 400 m’nin dörtte biridir, yani s = 100 m. Yer değiştirme bu sefer merkezden değil, eğik gider.

Hem başlangıcı hem de Zeynep’in yeni yerini çemberin merkeziyle birleştiririz. İki mavi yarıçap birbirine diktir, çünkü Zeynep çemberin dörtte birini koştu, ve yer değiştirmeyle birlikte bir dik üçgen oluşturur. Yarıçaplar onun dik kenarları, yer değiştirme ise hipotenüsüdür. Emre’nin yürüyüşünde olduğu gibi Pisagor teoremini kullanırız:

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}{|}^2=r^2+r^2=2\cdot r^2.$$

Karekök alalım. r²’nin karekökü r’dir, yani

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|=\sqrt{2}\cdot r.$$

Yarıçap 63,7 m ve $\sqrt{2}\approx \mathrm{1,414}$ değerlerini koyalım:

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|\approx \mathrm{1,414}\cdot 63,7\mathrm{m}\approx 90\mathrm{m}$$

Üç durum bir arada:

Alınan yol sürekli artarken, yer değiştirmenin büyüklüğü önce artar, sonra yine sıfıra kadar azalır. Zeynep starttan en uzak noktaya turun yarısında ulaşır ve sonunda yine starttadır.

Hareket Çeşitleri

Hareketler iki bakış açısına göre sınıflandırılır. Bunlardan ilki yörüngenin biçimidir. Yörünge bir doğruysa doğrusal hareketten söz ederiz. Asansör ya da ağaçtan düşen elma böyle hareket eder. Yörünge eğriyse eğrisel hareket vardır. Eğrisel hareketler arasında en önemlisi, örneğin atlıkarıncada ya da akrebin ucunda olduğu gibi, çember üzerindeki harekettir.

İkinci bakış açısı, cismin ne kadar hızlı hareket ettiğidir. Cisim eşit uzunlukta sürelerde hep aynı yolu alıyorsa (her saniyede aynı, ama saniyenin her onda birinde ya da yüzde birinde de), hareket düzgündür. Metrodaki yürüyen merdiven ya da dönen bir atlıkarınca böyle gider. Eşit uzunlukta sürelerde alınan yollar farklıysa, yani cisim hızlanıyor ya da yavaşlıyorsa, hareket değişkendir. Elma düşerken hızlanır, asansör kalkarken hızlanır ve kata gelmeden fren yapar, trafikte kalan araba bir süre sürünür, bir süre durur.

İki bakış açısını istediğimiz gibi birleştirebiliriz:

Dikkat, bu sınıflandırma da referans sistemine bağlıdır. Sibop, sabit hızla giden bisikletçinin gözünde çember üzerinde düzgün hareket eder. Kaldırımdan bakıldığında ise hareketi eğrisel ve değişkendir: yolun yanında neredeyse durur, yukarıda ise tekerleğin merkezinden neredeyse iki kat hızlı koşar. Çünkü yukarıda tekerleğin ileri hareketine, sibobun merkez etrafındaki hareketi eklenir ve bu hareket orada da ileri doğrudur, aşağıda ise geriye doğrudur ve tekerleğin hareketini neredeyse yok eder. Sibop hep aynıdır, yalnızca ona başka bir yerden bakarız.

Düzgün ve değişken hareketi şimdiye kadar yalnızca cismin eşit uzunlukta sürelerde ne kadar yol aldığına bakarak tanıdık. Eksik olan, yürüyen merdivenin ne kadar hızlı gittiğini ve sibobun yukarıda aşağıdan ne kadar hızlı koştuğunu söyleyecek sayıdır. O sayı sürattir ve ona bir sonraki yazı, Sürat ve Hız, ayrılmıştır.