Eylemsizlik Kuvvetleri

Nehir Konya’ya giden bir trende yolculuk ediyor ve pencere kenarındaki kancaya ipe bağlı bir peluş maymun asmış. Tren dururken maymun dik aşağı sarkıyor. Tren hareket eder etmez maymun geriye, gidiş yönünün tersine sapıyor ve tren hızlandığı sürece eğik asılı kalıyor. Kim itti ki onu? Kimse. Maymun vagonla birlikte hemen harekete geçmedi, o kadar.

Referans Sistemi Hızlandığında

Önce olaya perondan bakalım. Tren ileri doğru hızlanıyor ve maymun eylemsizlik prensibine göre olduğu yerde kalmak ister. Kanca ise onu birlikte sürükler, ip eğilir ve maymunu ileri çekmeye başlar. Her şey birbirine uyuyor: maymun hızlanıyor, çünkü ona sıfırdan farklı bir bileşke kuvvet etki ediyor.

Vagonun içindeki Nehir durumu başka türlü görüyor. Maymun ona göre durgun asılı, ama eğik. Ona aşağı doğru ağırlık, yukarı ve ileri eğik doğru ipin kuvveti etki ediyor. Bu ikisi toplanınca sıfır etmiyor, çünkü ip biraz ileriye çekiyor ve hiçbir şey buna engel olmuyor. Newton’ın hareket yasalarına göre maymun ileri doğru harekete geçmeliydi, ama yine de durgun asılı. Hızlanan trene bağlı referans sisteminde eylemsizlik prensibi de dinamiğin temel prensibi de geçerli değil.

Böyle bir sisteme ivmeli referans sistemi denir. Eylemsiz bir sisteme, örneğin eylemsiz saydığımız Dünya’ya göre ivmelenen her sistem buna girer: harekete geçen ya da fren yapan tren veya otobüs, kalkış sırasında asansör, virajdaki araba, atlıkarınca.

Eylemsizlik Kuvveti

Nehir ise çaresini biliyor. Sadece vagondaki her cisme trenin ivmesinin tersine bakan bir kuvvet daha etki ediyormuş gibi hesap yapacak:

$$\overrightarrow{F_e}=-m\cdot \overrightarrow{a},$$

burada m cismin kütlesi, $\overrightarrow{a}$ referans sisteminin, burada trenin ivmesidir. Bu kuvvete eylemsizlik kuvveti denir. Eksi işareti zıt yönü gösterir: tren ileri doğru harekete geçer, eylemsizlik kuvveti geriye bakar. Nehir bunu diğer kuvvetlere eklerse maymuna etki eden kuvvetler toplam sıfır eder ve vagonda Newton’ın birinci ve ikinci hareket yasası yeniden geçerli olur.

Eylemsizlik kuvvetinin neyi anlattığını kendi tecrübemizden biliyoruz. Harekete geçerken koltuğa “yapışırız”, frenlerken kemerlere doğru “savruluruz”. Ama bu epey tuhaf bir kuvvettir.

Kimsenin Uygulamadığı Kuvvet

Şimdiye kadar hesaba kattığımız bütün kuvvetler bir cismin ötekine etkisiydi: ip maymunu çeker, Dünya maymunu çeker. Eylemsizlik kuvvetini hiçbir şey uygulamaz. Maymunu kimin geriye ittiğini aramayı dene. Kimseyi bulamazsın. Bu yüzden eylemsizlik kuvvetinin tepkisi de yoktur. Newton’ın üçüncü hareket yasasına göre tepki, kuvveti uygulayan cisme etki etmeliydi, oysa böyle bir cisim yok.

Eylemsizlik kuvveti, hızlanan sistemle birlikte giden gözlemcinin yardımcı aracıdır. Peronda duran gözlemci onsuz da idare eder ve onu şekle çizmez. Bu yüzden ona hayali kuvvet de denir. Bu, hiçbir şey hissetmeyeceğin anlamına gelmez. Koltuk seni harekete geçerken gerçekten sırtından iter, ama bu koltuğun seni trenle birlikte harekete geçiren gerçek kuvvetidir.

Maymun Dışarıdan ve İçeriden

Tren 0,8 m/s² ivmeyle harekete geçerken maymunun hangi açıyla saptığını hesaplayalım. Bunu hemen iki kere yapacağız, bir kez perondan, bir kez vagondan.

Perondan. Maymuna ağırlık $\overrightarrow{G}$ ve düşeyden α açısı kadar sapmış ip kuvveti $\overrightarrow{F}$ etki eder. Maymun trenle birlikte hızlanır, bu yüzden iki kuvvetin bileşkesi dinamiğin temel prensibine göre $m\cdot \overrightarrow{a}$’dır ve yatay olarak ileri bakar. İp kuvvetini iki bileşene ayırırız. Düşey bileşen ağırlığı dengeler, yatay bileşen bileşkeyi oluşturur:

$$F\cdot \cos \alpha =m\cdot g,F\cdot \sin \alpha =m\cdot a$$

Vagondan. Maymun durgun asılı, yani bileşke kuvvet sıfırdır. Ağırlık ve ipin yanı sıra ona şimdi geriye doğru m · a büyüklüğünde eylemsizlik kuvveti de etki ediyor. İp kuvvetinin düşey bileşeni ağırlığı, yatay bileşeni eylemsizlik kuvvetini dengeler:

$$F\cdot \cos \alpha =m\cdot g,F\cdot \sin \alpha =m\cdot a$$

Tamamen aynı denklemleri elde ettik, yalnızca her seferinde başka türlü yorumladık. m · a çarpımı dışarıdan bileşkeydi, içeriden eylemsizlik kuvveti. İkinci denklemi birinciye böleriz. Kütle de ip kuvveti de sadeleşir ve sinüsün kosinüse oranı tanjanttır:

$$\tan \alpha =\frac{a}{g}$$

Yerine koyarız:

$$\tan \alpha =\frac{0,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx \mathrm{0,082}$$

Tanjantı 0,082 olan açıyı hesap makinesinde tan⁻¹ tuşuyla buluruz: α ≈ 4,7°. Maymun beş dereceden biraz az sapar, şekil okunaklı olsun diye açıyı abartıyor. Kütlenin önemi yok, ağır bir sırt çantası da kancada tam aynı şekilde sapardı. Tersi de işe yarar: açıyı ölçen, trenin ivmesini bulur. İpteki maymun oldukça iyi bir ivme ölçer.

Asansör İçeriden

Yukarı doğru a ivmesiyle harekete geçen asansörde eylemsizlik kuvveti ağırlık gibi aşağı bakar. İçerideki yolcuya Dünya birden daha güçlü çekiyormuş gibi gelir, sanki yer çekimi ivmesi g’den g + a’ya çıkmış gibi. Elindeki çanta ağırlaşmış görünür ve zemin daha çok bastırmak zorundadır. Asansör yukarıda fren yapınca ivme aşağı bakar, eylemsizlik kuvveti yukarı bakar ve görünür ağırlıktan bir parça götürür.

Asansör kopup g ivmesiyle düşseydi, yukarı doğru m · g eylemsizlik kuvveti ağırlığı tam olarak yok ederdi ve yolcu içeride havada asılı kalırdı. Dışarıdan bakınca olay aynıdır, yalnızca başka görünür: yolcu asansörle birlikte düşer ve zemin ona bastırmaz.

Merkezkaç Kuvveti

Atlıkarınca dönüyor, yani her noktasının merkeze doğru ω² · r merkezcil ivmesi var. Eylemsizlik kuvveti ters yöne, yani eksenden dışarı bakar ve ona merkezkaç kuvveti denir:

$$F_{\mathrm{mk}}=m\cdot {\omega }^2\cdot r=\frac{m\cdot v^2}{r}$$

Atlıkarıncayla birlikte dönen cisim için merkezcil kuvvetle aynı büyüklüktedir, yalnızca ters yöne bakar ve yalnızca dönen sistemde vardır. Gündelik dilde merkezkaç kuvvetiyle tam olarak bunu kastederiz: virajda yolcuyu kapıya bastıran şey. Arabanın içinde bu makul bir anlatımdır. Kaldırımdan bakınca ise dışarı doğru hiçbir kuvvet görünmez. Yalnızca yolcuyu viraj merkezine doğru iten ve arabayla dönmeye zorlayan kapı görünür.

Can’ın kütlesi 30 kg’dır ve çocuk parkındaki atlıkarıncada eksenden 1,5 m uzakta oturuyor. Tutacağa tutunuyor ve babası atlıkarıncayı 4 s’de bir tur döndürecek şekilde çeviriyor. Can’ın sürati

$$\begin{array}{rl}v& =\frac{2\pi \cdot r}{T}=\frac{2\pi \cdot 1,5\mathrm{m}}{4\mathrm{s}}\\ & =0,75\pi \mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 2,36\mathrm{m}/\mathrm{s}.\end{array}$$

Banktan bakınca Can çember üzerinde gidiyor ve bu yüzden tutacak onu merkeze doğru merkezcil kuvvetle çekmek zorunda. Büyüklüğü F_M, yeşil tutacak kuvvetinin büyüklüğüdür (oturağa sürtünmeyi hesaba katmıyoruz):

$$\begin{array}{rl}{F}_M& =\frac{m\cdot v^2}{r}=\frac{30\mathrm{kg}\cdot (0,75\pi \mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{1,5\mathrm{m}}\\ & =11,25{\pi }^2\mathrm{N}\approx 111\mathrm{N}\end{array}$$

Atlıkarıncadan bakınca Can durgun oturuyor. Onu dışarı merkezkaç kuvveti çekiyor, aynı formüle göre yine 111 N, ve tutacak onu aynı büyüklükte bir kuvvetle içeri tutuyor. Kuvvetler dengede. Ama merkezkaç kuvveti tutacak kuvvetinin tepkisi değildir, ikisi de Can’a etki eder. Tepki, Can’ın tutacağı çekmesidir. İki anlatım da Can’ın gerçekten ne hissedeceği konusunda uyuşur: ellerinde yaklaşık 111 N tutmak zorundadır, sanki on bir kilogramlık bir çantayı kaldırıyormuş gibi. Düşey kuvvetleri, ağırlığı ve normal kuvveti, dengelendikleri için dışarıda bıraktık.

Can bırakırsa ne olur? Tutacak çekmeyi bırakır bırakmaz yatay hiçbir kuvvet etki etmez ve oturak onu tutamaz, çünkü oturağa sürtünmeyi ihmal ediyoruz. Can eylemsizlik prensibine göre çembere teğet boyunca düz gitmeye devam eder. İp koptuğunda taş tam böyle davranır. Atlıkarıncadan bakınca ise başka görünür: Can eksenden uzaklaşır ve aynı zamanda dönüşün gerisinde kalır. İçeriden bakınca bu sapmayı bir eylemsizlik kuvveti daha sağlar: dönen sistemde hareket eden cisimlere etki eden Coriolis kuvveti.

Hangi Anlatım Ne Zaman Kullanılır

İki anlatım da doğrudur ve aynı sonuçlara varır. Dışarıdan, eylemsiz sistemden, yalnızca gerçek kuvvetleri çizeriz ve bileşkeleri $m\cdot \overrightarrow{a}$’dır. İçeriden eylemsizlik kuvvetini ekleriz ve cisim araca göre durgunsa bütün kuvvetlerin toplamı sıfırdır. İçeriden hesap yapmak, bizi bir şeyin araca göre nasıl davrandığı ilgilendirdiğinde işe yarar: maymun nasıl sapar, asansördeki baskül ne gösterir.

Zorluk, iki anlatım karıştırıldığında çıkar. Örneğin biri virajdaki arabayı yoldan bakan birinin gözüyle çizer ve sürtünmeye bir de dışarı merkezkaç kuvveti ekler. Kuvvetleri birbirini yok eder, bileşke sıfır çıkar ve araba eylemsizlik prensibine göre çember üzerinde değil, düz giderdi. Merkezkaç kuvveti dışarıdan bakan şekle ait değildir. Yalnızca içeride oturup diğerleriyle birlikte dönene aittir.

Bu makaleyle kinematik ve dinamik konusundaki anlatım makaleleri dizisi sona eriyor. Sırada Çözümlü Kinematik Örnekleri ve onlardan sonra çözümlü dinamik örnekleri var.