Hareket Problemleri

Sabah saat sekizde Adana’dan O-52 otoyoluna 90 km/h süratle bir araba çıkıyor. Tam o sırada karşıdan, Gaziantep’ten ikinci bir araba 115 km/h süratle yola çıkıyor. İki şehir arasındaki otoyol 205 km uzunluğunda. Arabalar ne zaman ve nerede karşılaşır?

Hareket problemleri her seferinde farklı görünür, ama hemen hepsi aynı püf noktasıyla çözülür. Her araç için t anında nerede olduğunu yazarız, sonra ikisinin de aynı yerde olduğu anı ararız. Her şey sabit süratle gittiği için düzgün doğrusal hareketin formülleri ve problemleri çözmenin bildik yöntemi yeter.

Karşılıklı Giden İki Araba

Bildiğimizi ve aradığımızı yazarız. Adana’dan çıkan arabaya 1, Gaziantep’ten çıkana 2 indisini veririz:

$\begin{aligned} v_{1} & = 90 km / h \\ v_{2} & = 115 km / h \\ s & = 205 km \\ t & = ? \\ x & = ? \end{aligned}$

Her şey kilometre ve saat cinsinden, birimler karışmıyor, bu yüzden çevirmemiz gerekmez. Süre saat cinsinden çıkar.

Çizim yardımcı olur. Otoyol boyunca x eksenini uzatırız. Başlangıç noktasını Adana’ya koyarız, yani Gaziantep 205 km’dedir.

Çizim: otoyol boyunca x ekseni, Adana’dan çıkan kırmızı araba v_1 süratiyle sağa, Gaziantep’ten çıkan mavi araba v_2 süratiyle sola gidiyor

Kırmızı araba eksen yönünde gidiyor, bu yüzden konumu doğrudan aldığı yoldur:

$x_{1} = v_{1} \cdot t$

Mavi araba 205 km’de başlar ve eksenin tersi yönünde gider. Konumu bu yüzden her saat 115 km azalır:

$x_{2} = s - v_{2} \cdot t$

Buradaki eksi, Ozan’ın eve dönerken grafiğinin inmesiyle aynı nedenden gelir. Bir fizikçi mavi arabanın hızının −115 km/h olduğunu rahatça söylerdi. Biz sürati hız göstergesinin gösterdiği gibi pozitif bırakır, yönü formüldeki işaretle yazarız.

Arabalar aynı yerde olduklarında, yani x₁ = x₂ olduğunda karşılaşır. Problemi genel olarak çözeriz:

$\begin{array}{rcl} v_{1} \cdot t & = & s - v_{2} \cdot t / + v_{2} \cdot t \\ v_{1} \cdot t + v_{2} \cdot t & = & s \\ t \cdot (v_{1} + v_{2}) & = & s / : (v_{1} + v_{2}) \\ t & = & \frac{s}{v_{1} + v_{2}} \end{array}$

İkinci satır denklemler olmadan da anlamlıdır. v₁ · t ifadesi kırmızı arabanın yolu, v₂ · t mavi arabanın yoludur ve birlikte şehirler arasındaki bütün mesafeyi alırlar. Her saat birbirlerine 90 km + 115 km = 205 km yaklaşırlar. Yerine koyalım:

$\begin{aligned} t & = \frac{205 km}{90 km / h + 115 km / h} \\ = \frac{205 km}{205 km / h} = 1 h \end{aligned}$

Birimler uyuyor: kilometrenin saatte kilometreye bölümü saattir. Karşılaşma yerini, süreyi arabalardan herhangi birinin konumuna koyarak buluruz:

$x_{1} = 90 km / h \cdot 1 h = 90 km$

Kontrol için: mavi araba o anda 205 km − 115 km = 90 km’dedir, yani aynı yerde. Tahmin de uyuyor. İki araba da aynı süratle gitseydi yolun ortasında karşılaşırlardı. Gaziantep’ten çıkan araba daha hızlı gidiyor, bu yüzden Adana’ya daha yakın bir yerde karşılaşırlar. Cevap: arabalar saat dokuzda, Adana’dan 90 km uzakta karşılaşır. Sürücüler muhtemelen el sallamaya bile fırsat bulamaz, çünkü birbirlerine tam da saatte bu 205 km ile yaklaşıyorlar.

Grafiklerin Kesişimi

Aynı problemi denklem olmadan da çözebiliriz. İki arabanın konumunu tek bir grafiğe çizeriz, tıpkı daha önce araba ile kamyonda yaptığımız gibi.

Adana’dan çıkan arabanın (kırmızı) ve Gaziantep’ten çıkan arabanın (mavi) konum-zaman grafiği. Turuncu kesişim noktası arabaların ne zaman ve nerede karşılaştığını gösteriyor

Kırmızı doğru başlangıç noktasından çıkar ve 90 km/h eğimle yükselir. Mavi 205 km yüksekliğinde başlar ve alçalır, çünkü araba eksenin tersi yönünde gidiyor. Kırmızının yükselişinden daha dik alçalır, çünkü Gaziantep’ten çıkan araba daha hızlıdır. Konumun sıfır olduğu Adana’ya iki saatten az bir sürede varır.

Doğruların kesiştiği yerde iki araba aynı anda aynı konumdadır. Karşılaşma tam olarak budur. Turuncu kesişim noktasından zaman eksenine ineriz ve 1 h okuruz, sola düşey eksene gideriz ve 90 km okuruz.

x₁ = x₂ denklemini çözmek, iki doğrunun kesişimini bulmakla aynı şeydir, yalnızca çizmek yerine hesaplarız. Grafik problemde ne olduğunu gösterir ve hızlı bir tahmin verir. Denklem ise kesişim bölmelerin arasına düşse bile kesin sayıyı verir.

Yakalama

Adana’dan bir bisikletli sabit 18 km/h süratle yola çıkıyor. Ondan bir saat sonra aynı yoldan bir araba 54 km/h süratle yola çıkıyor. Araba bisikletliyi ne zaman ve nerede yakalar?

Zamanı nereden ölçeceğimize karar verelim. En rahatı, kronometreyi araba yola çıktığı anda başlatmaktır. Bisikletlinin o sırada arkasında bir saatlik yol vardır, bu da 18 km’lik bir ön fark demektir. Bu, s = s₀ + v · t formülündeki s₀ başlangıç yoludur. Bisikletli yalnızca ileri gider ve eksenin başlangıcından çıkmıştır, bu yüzden başlangıç yolu başlangıç konumuyla çakışır. Ekseni yol boyunca, başlangıç noktası Adana’da olacak biçimde uzatırız. Bisikletliye 1, arabaya 2 indisini veririz:

$\begin{aligned} v_{1} & = 18 km / h \\ v_{2} & = 54 km / h \\ s_{0} & = 18 km \\ t & = ? \\ x & = ? \end{aligned}$

İkisi de eksen yönünde gidiyor, bu yüzden konumları

$\begin{aligned} x_{1} & = s_{0} + v_{1} \cdot t, \\ x_{2} & = v_{2} \cdot t . \end{aligned}$

Araba bisikletliyi aynı yerde olduklarında yakalar, x₂ = x₁:

$\begin{array}{rcl} v_{2} \cdot t & = & s_{0} + v_{1} \cdot t / - v_{1} \cdot t \\ t \cdot (v_{2} - v_{1}) & = & s_{0} / : (v_{2} - v_{1}) \\ t & = & \frac{s_{0}}{v_{2} - v_{1}} \end{array}$

Bu sefer paydada süratlerin farkı var. Araba her saat ön farktan 54 km − 18 km = 36 km kapatır, tıpkı daha önce arabanın kamyonun önündeki farkının süratlerin farkı kadar büyümesi gibi. Hesaplayalım:

$\begin{aligned} t & = \frac{18 km}{54 km / h - 18 km / h} \\ = \frac{18 km}{36 km / h} = 0, 5 h \end{aligned}$

Araba bisikletliyi yarım saatte, yani 30 min’de yakalar. Karşılaşma yerini arabanın konumundan okuruz:

$x_{2} = 54 km / h \cdot 0, 5 h = 27 km$

Bisikletli aynı anda 18 km + 18 km/h · 0,5 h = 27 km’dedir, uyuyor. Cevap: araba bisikletliyi yola çıktıktan yarım saat sonra, Adana’dan 27 km uzakta yakalar.

Burada da konum grafiğini çizelim. Zaman ekseninde bu sefer arabanın yola çıkışından itibaren dakikalar var, böylece şekilde ondalık sayılar görünmez.

Bisikletlinin (mavi) ve arabanın (kırmızı) konum-zaman grafiği, zaman arabanın yola çıkışından itibaren dakika cinsinden. Turuncu kesişim noktası arabanın bisikletliyi ne zaman ve nerede yakaladığını gösteriyor

Bisikletlinin mavi doğrusu başlangıç noktasında değil, 18 km yüksekliğinde başlar, tıpkı kilometre taşını geçen arabanın grafiği gibi. Arabanın kırmızı doğrusu sıfırdan çıkar ve daha diktir. Doğrular arasındaki düşey fark bisikletlinin ön farkıdır. Her dakika küçülür, 30 min ve 27 km’deki kesişimde tamamen kaybolur. Kesişimden sonra kırmızı doğru maviden yukarıdadır: araba bisikletliyi geçti ve artık uzaklaşıyor.

Dikkat, neye cevap verdiğimize bak. Yarım saati arabanın yola çıkışından itibaren ölçüyoruz. Bisikletli o sırada zaten bir buçuk saattir pedal çeviriyor. Kronometreyi onunla başlatsaydık bir buçuk saat çıkardı. İkisi de doğrudur, her süre başka bir andan itibaren ölçülür ve bu yüzden cevapta onu belirtmemiz gerekir.

Formülden bir şey daha okuruz. Araba yalnızca 18 km/h ile gitseydi paydada sıfır olurdu. Sıfıra bölünmez ve araba bisikletliyi Ceyhan’da bile yakalayamazdı.

Tünelde Tren

200 m uzunluğundaki tren, 1 km uzunluğundaki bir tünelden sabit 72 km/h süratle geçiyor. Tünelden tamamen geçmesi, yani lokomotifin girişinden son vagonun çıkışına kadar, ne kadar sürer?

Tünelin uzunluğunu süratle bölmek cazip gelir. Ama burada treni noktasal cisim saymamamız gerekir, çünkü sonucu tam da uzunluğu belirler ve bunu çizim olmadan kolayca gözden kaçırırız.

Gri kesikli çizgiyle tren, ön ucu tünele girerken, düz çizgiyle tren, son ucu tünelden çıkarken. Ön uç iki konumda da turuncu, kırmızıyla aldığı s yolu

Trenin tek bir noktasını izlemek yeter: lokomotifin ön ucu (turuncu). Başlangıçta tünel girişindedir. Son vagon tünelden çıkarken ön uç çıkışın, trenin bütün uzunluğu kadar ötesindedir. Yani tünelin uzunluğunu (mavi) ve buna ek olarak trenin uzunluğunu (yeşil) almıştır:

$s = 1.000 m + 200 m = 1.200 m$

Uzunluklar metre cinsinden, bu yüzden sürati saniyede metreye çeviririz:

$v = 72 km / h = \frac{72}{3, 6} m / s = 20 m / s$

Süre, yolun süratine bölümüdür:

$t = \frac{s}{v} = \frac{1.200 m}{20 m / s} = 60 s$

Metrenin saniyede metreye bölümü saniyedir, yani tren tünelden bir dakikada geçer. Yalnızca tünelin uzunluğunu alan, 50 s bulmuştur. Ama o anda lokomotif daha yeni çıkıyor ve bütün tren arkasında hâlâ tünelin içinde. Tahmin uyuyor: tren bir kilometreyi elli saniyede, fazladan iki yüz metreyi de on saniyede alır.

Sen de trenin tamamının tünelin içinde ne kadar kaldığını hesapla. Bu, son vagon tünele girdiği ve ön ucun girişin 200 m ilerisinde olduğu anda başlar. Ön uç çıkışa vardığında biter. Ön uç 1.000 m − 200 m = 800 m gider ve bu ona 40 s sürer. Trenin uzunluğu bu sefer çıkarılır.

Akıntı Yönünde ve Akıntıya Karşı

Bir nehirde bir gezi teknesi yüzüyor. Suya göre 15 km/h hızla gidiyor ve nehir 3 km/h hızla akıyor. Akıntı yönünde 36 km uzaktaki limana ne kadar sürede varır ve ne kadar sürede geri döner?

Teknenin hızını suya göre ölçeriz. Kaptan motoru kapatsaydı, su tekneyi 3 km/h hızla sürüklerdi. Her zamanki gibi hareketi neye göre ölçtüğümüz önemlidir. Kıyıya göre tekne akıntı yönünde bir saatte kendi gücüyle 15 km gider ve su onu bunun üzerine 3 km daha ilerletir. Tekneye 1, akıntıya 2 indisini veririz. Akıntı yönündeki süreyi $t_{+}$ ile gösteririz, çünkü hızlar toplanır, akıntıya karşı süreyi $t_{-}$ ile:

$\begin{aligned} v_{1} & = 15 km / h \\ v_{2} & = 3 km / h \\ s & = 36 km \\ t_{+} & = ? \\ t_{-} & = ? \end{aligned}$

Akıntı yönünde hızlar toplanır ve yolculuk şu kadar sürer:

$\begin{aligned} t_{+} & = \frac{s}{v_{1} + v_{2}} = \frac{36 km}{18 km / h} \\ = 2 h . \end{aligned}$

Akıntıya karşı su tekneyi her saat 3 km geri çeker ve hızlar çıkarılır:

$\begin{aligned} t_{-} & = \frac{s}{v_{1} - v_{2}} = \frac{36 km}{12 km / h} \\ = 3 h \end{aligned}$

Kilometrenin saatte kilometreye bölümü saat verir. Tekne limana iki saatte varır, geri üç saatte.

Akıntı teknenin suya göre hızına ulaşsaydı, ikinci formülün paydasında sıfır olurdu, tıpkı bisikletlinin peşinden yalnızca 18 km/h ile giden araba gibi. Tekne akıntıya karşı kıyıya göre yerinde dururdu ve kaptan motoru bütün gün çalıştırabilirdi, çıkış limanı bir metre bile yaklaşmazdı.

Şimdi tuzak soru. Tekne gidiş dönüş bütün yolda ortalama hangi süratle gitti? Akıntı bir kez yardım edip bir kez engellediği için “15 km/h” diyen, gidişte 60, dönüşte 40 probleminde olduğu gibi tuzağa düşer. Tekne 72 km’yi 5 h’de gitti:

$v_{ort} = \frac{72 km}{5 h} = 14, 4 km / h$

Akıntıya karşı daha uzun, iki yerine üç saat gitti ve ortalama bu yüzden yavaş sürate doğru kaydı. Durgun suda aynı 72 km’yi 4,8 h’de, yani 4 h ve 48 min’de alırdı. Hem yardım eden hem engelleyen bir akıntı, gidiş dönüş yolculuğunu her zaman uzatır.

Bu yazıdaki bütün problemlerde arabalar, trenler ve tekneler sabit süratle gitti. Ama gerçek bir araba önce hızlanmak ve varmadan önce yeniden fren yapmak zorundadır. Hızın değiştiği bir hareketin nasıl tanımlanacağını bir sonraki yazıda, İvme yazısında göstereceğiz.

« Önceki: Kinematik ve Dinamik Problemleri Nasıl Çözülür

Sonraki: İvme »