Momentum ve İtme

Bir deponun avlusunda tır 10 km/h süratle geri geri gidiyor, yani yaklaşık amatör bir koşucunun temposuyla. Atış poligonunda ise mermi 800 m/s süratle çıkıyor. Hangisini durdurmak daha zordur? Mermi hızda önde, tır kütlede. Fizikte bu karşılaştırma için kütle ile hızı birleştiren bir nicelik vardır. Adı momentumdur ve kütle ile hızın çarpımıdır:

$P = m \cdot v$

Gündelik dille momentum, cismin içinde ne kadar hareket olduğunu söyler. Birimi kilogram çarpı metre bölü saniyedir, kg·m/s. Bu birim, newton gibi kendine ait bir ad almamıştır.

Kütlesi iki kat olan cismin momentumu aynı hızda iki kat büyüktür, kütlesi aynı ama hızı iki kat olan cismin momentumu da. Bu deneyimimizle uyuşur. Sağlık topu, aynı hızla atılmış futbol topundan daha zor yakalanır, havadan vurulmuş top da sana yalnızca uzatılan toptan daha zor.

Tır mı Mermi mi?

Tırın kütlesi 40 t = 40.000 kg. Hızı saniyede metreye çevirelim, 10 km/h ≈ 2,78 m/s, ve yerine koyalım:

$P = 40.000 kg \cdot 2, 78 m / s \approx 111.000 kg \cdot m / s$

Merminin kütlesi 10 g = 0,01 kg:

$P = 0, 01 kg \cdot 800 m / s = 8 kg \cdot m / s$

Yavaş tırın momentumu, hızlı merminin momentumundan neredeyse on dört bin kat büyüktür. Mermi yaklaşık üç yüz kat daha hızlı gider, ama tır dört milyon kat daha kütlelidir. Mermiyi kum torbası durdurur, tır ise torbayı itip kenara atar. Bir cismi durdurmanın ne kadar zor olduğunu neden tam da momentumun belirlediğini birazdan göreceğiz.

Hız bir vektördür, bu yüzden momentum da bir vektördür:

$\vec{P} = m \cdot \vec{v}$

Kütle pozitif bir sayıdır, bu yüzden momentum her zaman hızla aynı yöne bakar. Birbirine doğru aynı hızla giden iki özdeş tırın momentumları aynı büyüklükte ama zıt yönlüdür. Doğru üzerinde bir pozitif yön seçeriz ve ona ters bakan momentum, hız gibi, eksi işareti alır.

Momentum Nasıl Değişir

Cismin momentumu ancak hızı değişirse değişir ve bunun için kuvvet gerekir. Newton’ın ikinci hareket yasasından, F = m · a’dan yola çıkarız ve ivme yerine hızın zamana göre değişimini koyarız, $a = \frac{Δ v}{Δ t}$ :

$F = m \cdot \frac{Δ v}{Δ t}$

Kütle değişmez, dolayısıyla kütle çarpı hızın değişimi, momentumun değişimidir. Cismin başlangıçta hızı v₀ ve momentumu P₀ = m · v₀, sonunda hızı v ve momentumu P = m · v olsun:

$\begin{aligned} m \cdot Δ v & = m \cdot (v - v_{0}) = m \cdot v - m \cdot v_{0} \\ = P - P_{0} = Δ P \end{aligned}$

Bunu dinamiğin temel prensibinde yerine koyunca Newton’ın ikinci hareket yasasının momentumla yazılmış hâlini elde ederiz:

$F = \frac{Δ P}{Δ t}$

Kuvvet, birim zamandaki momentum değişimidir; tıpkı ivmenin birim zamandaki hız değişimi olması gibi. Vektörlerle $\vec{F} = \frac{Δ \vec{P}}{Δ t}$ , yani momentum bileşke kuvvetin yönünde değişir. Newton yasayı kendisi momentum üzerinden ifade etti: hareketin değişimi derken momentumun değişimini kastetti.

Kuvvetin İtmesi

Formülü Δt süresiyle çarpalım:

$F \cdot Δ t = Δ P$

Kuvvet ile etki süresinin çarpımına itme denir, I = F · Δt. Birimi newton çarpı saniyedir ve momentumun birimiyle aynıdır:

$N \cdot s = {kg \cdot m / s}^{2} \cdot s = kg \cdot m / s$

İtme, momentumun değişimine eşittir. Buradan önemli bir sonuç çıkar: cisim belirli bir momentumu kaybedecekse, mesela duracaksa, itme baştan belirlidir. Büyük kuvvet bunu kısa sürede yapar, küçük kuvvet uzun sürede. Süre iki kat uzunsa kuvvet yarıdır, on kat uzunsa onda biridir.

Artık kum torbasının mermiyi neden durdurduğunu, tırı ise durduramadığını biliyoruz. Mermi kumda yaklaşık binde bir saniyede durur, bu yüzden torba onu ortalama şu kuvvetle frenler:

$F = \frac{8 kg \cdot m / s}{0,001 s} = 8.000 N .$

Az değil, ama kum buna dayanır. Aynı büyüklükte kuvvetle tırı durdurmak isteseydi, onu şu kadar süre frenlemesi gerekirdi:

$Δ t = \frac{P}{F} = \frac{111.000 kg \cdot m / s}{8.000 N} \approx 14 s .$

Mermi yaklaşık 400 m/s · 0,001 s = 0,4 m’lik bir yolda durur (ortalama sürat çarpı süre). Tır on dört saniyede ortalama 1,39 m/s süratle neredeyse 20 m yol alırdı. Torbanın yirmi metre uzunluğunda olması gerekirdi, bu yüzden tır onu kenara itip yoluna devam eder.

İtme, cisim harekete geçerken de geçerlidir. Futbolcu kütlesi 0,45 kg olan duran topa vurur ve top 30 m/s süratle uçar. Top 0,45 kg · 30 m/s = 13,5 kg·m/s momentum kazandı. Ayağın topa değmesi yaklaşık saniyenin yüzde biri kadar sürer, bu yüzden ayak topa ortalama şu kuvvetle etki eder:

$F = \frac{13, 5 kg \cdot m / s}{0, 01 s} = 1.350 N .$

Daha sert vurmak isteyen topa ya daha büyük kuvvetle ya da daha uzun süre etki etmelidir. Bu yüzden gülle atıcısı gülleyi yalnızca bileğiyle fırlatmaz, kolunun bütün uzun hareketi boyunca iter.

Çarpışmadaki kuvvet sabit değildir, hızla yükselir ve yine düşer. Momentum değişiminden onun ortalamasını hesaplarız ve bu bize yeter.

Hava Yastığı

50 km/h süratle giden bir araba duvara çarpıyor. Kütlesi 70 kg olan yolcu emniyet kemerini takmış ve önünde hava yastığı (airbag) şişiyor. Kemer ve hava yastığı onu yaklaşık 0,1 s içinde durduruyor. Ona ne büyüklükte bir kuvvet uygularlar?

$\begin{aligned} m & = 70 kg \\ v_{0} & = 50 km / h \approx 13, 9 m / s \\ v & = 0 m / s \\ Δ t & = 0, 1 s \\ F & = ? (N) \end{aligned}$

Pozitif yön gidiş yönü olsun. Yolcu sahip olduğu momentumun hepsini kaybeder:

$P_{0} = m \cdot v_{0} = 70 kg \cdot 13, 9 m / s \approx 973 kg \cdot m / s$

Momentum değişimi ΔP = 0 kg·m/s − 973 kg·m/s = −973 kg·m/s. Eksi yalnızca kuvvetin gidiş yönüne ters baktığını söyler. Kuvvetin büyüklüğü:

$F = \frac{| Δ P |}{Δ t} = \frac{973 kg \cdot m / s}{0, 1 s} = 9.730 N$

Kilogram çarpı metre bölü saniyeyi saniyeye bölünce kg·m/s² çıkar, yani newton. Yolcuya yaklaşık 9.700 N etki eder. Onun ağırlığı 70 kg · 9,81 m/s² ≈ 690 N’dur, yani kemer ve hava yastığı onu yaklaşık on dört kat daha büyük kuvvetle frenler. Bu çok, ama insan bundan sağ çıkar.

Ne kemer ne de hava yastığı olsaydı, direksiyona ve gösterge paneline çarpardı ve yaklaşık 0,01 s’de dururdu. Aynı momentumu kaybeder, yalnızca onda biri kadar sürede:

$F = \frac{973 kg \cdot m / s}{0, 01 s} = 97.300 N$

Bu yaklaşık 97.000 N, on kat fazla ve ağırlığın yaklaşık yüz kırk katı. Hava yastığı yolcunun kaybettiği momentumu azaltmaz, onu kütlesi ve hızı belirler. Yalnızca onu daha uzun sürede, bu yüzden de daha küçük bir kuvvetle alır. Aynısını, çarpma sırasında yavaş yavaş ezilen ve durma süresini uzatan arabanın ezilme bölgesi de yapar.

Yumuşak İniş

Kütlesi 40 kg olan jimnastikçi Buse denge aletinden atlıyor ve 4 m/s süratle yere iniyor. Yere değmeden hemen önce momentumu

$P = 40 kg \cdot 4 m / s = 160 kg \cdot m / s .$

Sert zeminde dizleri bükülü olsa bile yaklaşık 0,05 s’de durur, altında esneyen minderde yaklaşık 0,25 s’de. Onu frenleyen bileşke kuvvet:

$\begin{aligned} F & = \frac{160 kg \cdot m / s}{0, 05 s} = 3.200 N \\ F & = \frac{160 kg \cdot m / s}{0, 25 s} = 640 N \end{aligned}$

Minderde kuvvet beş kat daha küçüktür, çünkü iniş beş kat daha uzun sürer. Buse iki durumda da momentumun hepsini kaybeder. Minder ne kadar momentumun kaybolacağını değiştirmez, onu yalnızca daha yavaş alır.

Sert zemine ve mindere inişte bileşke kuvvet F’nin zamana t göre değişimi

Kırmızı dikdörtgen zemine inişi, mavi dikdörtgen minderi gösteriyor. Dikdörtgenin yüksekliği ortalama kuvvet, genişliği iniş süresidir, dolayısıyla dikdörtgenin alanı kuvvet çarpı süre, yani itmedir. Kırmızı dikdörtgen maviden beş kat daha yüksek ve beş kat daha dardır ve ikisinin alanı eşittir, 160 N·s, çünkü iki iniş de Buse’den aynı momentumu aldı. Gerçek kuvvet inişte hızla yükselir ve yine düşer. O zaman itme, kuvvet eğrisinin altındaki alandır ve ortalama kuvvet, aynı alana sahip dikdörtgenin yüksekliğidir.

Zemin de minder de bu sırada Buse’nin ağırlığı, yani yaklaşık 390 N kadar daha fazla bastırmalıdır, çünkü Dünya iniş sırasında da onu aşağı çeker. Bileşke kuvvet, yüzeyin yukarı ittiği kuvvetle ağırlığın farkıdır.

Aynı ilkeyi uzun atlamadaki kum, sırıkla atlamadaki minder ya da duvardan atlarken dizleri bükmek kullanır.

Top Yakalarken Eller Neden Geri Çekilir

Sert atılmış bir topu yakalarken eller topla birlikte kendiliğinden vücuda doğru geri gider. Top böylece daha uzun sürede ve daha küçük kuvvetle frenlenir ve avuçlar acımaz. Ellerini sert tutan, topu çok kısa sürede, büyük kuvvetle durdurur ve top çoğu zaman elinden sıçrar. Bunu en iyi, hiç çiğ yumurta yakalamayı denemiş olan bilir.

Sert elle (üstte) ve topla birlikte geri giden gevşek elle (altta) yakalanan top

Turuncu işaretler topun eşit aralıklı anlardaki yerini kaydediyor. Üstte top sert kırmızı ele çarpar ve neredeyse anında durur. Altta mavi el onunla geri gider ve top yavaş yavaş yavaşlar, işaretler birbirine yaklaşır. Gri kontur elin nereden başladığını gösteriyor. Altta durma çok daha uzun sürer, bu yüzden el topu çok daha küçük kuvvetle frenler.

Kütlesi 0,4 kg olan bir hentbol topu 15 m/s süratle uçuyor ve momentumu 6 kg·m/s. Sert eller onu yaklaşık 0,01 s’de 600 N kuvvetle durdurur, gevşek eller 0,1 s’de yalnızca 60 N kuvvetle.

Sekme Durmaktan Daha Kötüdür

Kütlesi 0,06 kg olan bir oyun hamuru topunu duvara 20 m/s süratle fırlatıyorsun. Pozitif yönü duvara doğru seçelim. Top yapışır, bu yüzden momentumu 1,2 kg·m/s’den sıfıra iner:

$\begin{aligned} Δ P & = P - P_{0} = 0 kg \cdot m / s - 1, 2 kg \cdot m / s \\ = - 1, 2 kg \cdot m / s \end{aligned}$

Şimdi kütlesi ve sürati aynı olan bir tenis topu alalım. İdeal durumda sekip aynı 20 m/s süratle geri uçar, yani pozitif yöne ters, ve momentumu −1,2 kg·m/s olur:

$\begin{aligned} Δ P & = P - P_{0} \\ = (- 1, 2 kg \cdot m / s) - 1, 2 kg \cdot m / s \\ = - 2, 4 kg \cdot m / s \end{aligned}$

Momentum değişimi iki kat çıkar. Duvar tenis topunu önce durdurmalı, sonra bir de geri göndermelidir. Temas süresi aynıysa duvar bu yüzden tenis topuna oyun hamuruna uyguladığından iki kat büyük kuvvet uygular. Tenis topu hâlâ aynı süratle uçtuğuna göre momentum değişmedi demek hatadır. Hızın büyüklüğü aynıdır ama yönü zıttır ve momentum bir vektördür. Bu yüzden sert ellerinden sıçrayan top, avucunda kalmasından daha çok acıtır.

Peki tenis topunun sekerken kaybettiği momentum nereye gitti? Ve duvara değil de harekete geçebilecek başka bir cisme çarparsa ne olur?

Bununla nasıl hesap yapıldığını, tüfeğin ateşlenirken neden atıcının omzuna geri teptiğini ve birbirine kenetlenmiş vagonların ne kadar hızlı gittiğini bir sonraki makale, Momentumun Korunumu, gösterecek.

« Önceki: Ağırlık ve Görünür Ağırlık

Sonraki: Momentumun Korunumu »