Kinematik ve Dinamik Problemleri Nasıl Çözülür

Bir tren düz rayda sabit 72 km/h süratle gidiyor. 1,8 km’yi ne kadar sürede alır?

Süre, alınan yolun süratine bölümüdür. Ama hesap makinesini alıp 1,8’i yetmiş ikiye bölen biri 0,025 bulur ve bununla ne yapacağını bilemez. Saniye değil, dakika da değil. 1.800 metreyi yetmiş ikiye bölen ise 25 bulur ki bu oldukça inandırıcı görünür, oysa saçmadır. Böyle bir problemi hesaplamak kolaydır, zor olan hata yapmamaktır. Fizikte bu yüzden her problemde aynı yoldan, adım adım gitmek işe yarar. Hemen bu tren üzerinde deneyelim.

Neyi Biliyoruz, Neyi Arıyoruz

Önce problemden bildiğimiz bütün nicelikleri, her birini harfi, sayısı ve birimiyle yazarız. Onların altına neyi aradığımızı yazar, sayı yerine soru işareti koyarız:

$$\begin{array}{rl}v& =72\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ s& =1,8\mathrm{km}\\ t& =?\end{array}$$

Bu gereksiz kâğıt işi gibi görünebilir, aslında ise bir sürü dertten kurtarır. Neyin elimizde olduğunu, neyin eksik olduğunu hemen görürüz. Cümlelerle yazılmış bir problemde sayılar kolayca gözden kaçar ya da karışır, sütunda ise karışmaz. Sütunda hangi nicelikler olduğuna bakarak formülü de anlarız: alınan yol, sürat ve zaman, yani s = v · t.

Birimleri Çeviririz

Süratimiz saatte kilometre, yolumuz kilometre. Hesaplamaya başlamadan önce ikisini temel birimlere, yani metre, saniye ve saniyede metreye çeviririz. Sürati 3,6 sayısına böleriz:

$$72\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{72}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

yolu ise bin ile çarparız:

$$1,8\mathrm{km}=1,8\cdot 1.000\mathrm{m}=1.800\mathrm{m}.$$

Çevrilmiş değerleri hemen kayda ekleriz:

$$\begin{array}{rl}v& =72\mathrm{km}/\mathrm{h}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ s& =1,8\mathrm{km}=1.800\mathrm{m}\\ t& =?(\mathrm{s})\end{array}$$

Soru işaretinden sonraki parantezdeki birim, sonucu neyle elde edeceğimizi söyler. Metre ve saniyede metreyi yerine koyarsak süre saniye cinsinden çıkar.

Mutlaka metre ve saniye mi olmalı? Hayır. İstersek kilometre ve saatle de hesap yapabiliriz. Yol kilometre, sürat saatte kilometre olduğundan süre saat cinsinden çıkardı. Önemli olan tek şey şu: birimler karıştırılmamalı. 1.800 m’yi saatte kilometre cinsinden olan 72 süratine bölersek, saniye de saat de olmayan bir şeyin 25’i çıkar. Girişteki o inandırıcı görünen yirmi beş tam da budur.

Çizim

Hareket problemlerinde neredeyse her zaman bir şekil çizmek işe yarar. Güzel ya da ölçekli olması gerekmez. Tekerlekli bir kutu gibi tren, nereye gittiğini gösteren bir ok ve alması gereken ray parçası yeter.

Kırmızı ok v hızıdır, mavi ölçü çizgisi trenin alması gereken s yoludur. Şeklin her parçasına nicelik harfini, gerekirse değerini de yazarız. Düz rayda tek bir tren için çizim neredeyse kendiliğinden anlaşılır. Ama iki araba birbirine doğru gittiğinde ya da tren bir tünelden geçerken uzunluğu önemli olduğunda, şekil çoğu zaman problemde aslında ne olduğunu hesaptan önce gösterir.

Önce Harfler, Sayılar En Sona

Sayıları hemen yerine koymak isteriz. Ama daha iyisi, bütün problemi önce genel olarak, yani yalnızca harflerle çözmek ve sayıları ancak hazır formüle koymaktır. s = v · t formülünden süreyi çekeriz, iki tarafı süratle böleriz:

$$\begin{array}{rcl}v\cdot t& =& s/:v\\ t& =& \frac{s}{v}\end{array}$$

Şimdi çevrilmiş değerlerin sırası geldi:

$$t=\frac{s}{v}=\frac{1.800\mathrm{m}}{20\mathrm{m}/\mathrm{s}}=90\mathrm{s}$$

Tren 1,8 km’yi 90 s’de, yani bir buçuk dakikada alır.

Doğrudan bölebilecekken neden bu kadar tören? Bu kadar kısa bir problemde fark küçüktür, ama genel çözümün birkaç avantajı vardır ve uzun problemlerde çabuk ortaya çıkar:

• Harfli formüle bakarak anlamlı olup olmadığını anlarız. $t=\frac{s}{v}$ formülünde yol kesrin payındadır, bu yüzden daha uzun ray daha uzun süre demektir. Sürat ise paydadadır, bu yüzden daha hızlı tren oraya daha çabuk varır. İkisi de uyuyor.
• Formül, birimleri kontrol etmemize izin verir, bundan birazdan söz edeceğiz.
• Yanılırsak nerede arayacağımızı biliriz. Sayılarla dolu bir satırda hata çok daha iyi saklanır.
• Hesap makinesini yalnızca bir kez elimize alırız ve yuvarlamayı yalnızca sonuca yaparız. Bunun neden önemli olduğunu tipik hatalarda göreceğiz.
• Problem değişirse, örneğin tren daha hızlı giderse, yeniden yerine koymak yeter. Formül zaten elimizde.

Birimler Uyuyor mu?

Yerine koyarken birimleri de yazdık ve onlarla da sayılarla yaptığımız gibi hesap yaparız. Metreler metrelerle sadeleşir ve bir kesre bölmek, ters kesirle çarpmakla aynıdır:

$$\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}=\mathrm{m}\cdot \frac{\mathrm{s}}{\mathrm{m}}=\mathrm{s}$$

Saniye çıktı, yani aradığımız süre biriminin kendisi. Kilometre ve saatle de sonuç aynı olurdu:

$$\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{km}/\mathrm{h}}=\mathrm{km}\cdot \frac{\mathrm{h}}{\mathrm{km}}=\mathrm{h}$$

Birim kontrolü, yanlış çekilmiş bir formülü de ortaya çıkarır. Pay ile paydanın yerini değiştirip $t=\frac{v}{s}$ hesaplayan biri şunu bulurdu:

$$\frac{\mathrm{m}/\mathrm{s}}{\mathrm{m}}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \frac{1}{\mathrm{m}}=\frac{1}{\mathrm{s}},$$

bu da bir zaman birimi değildir. Hiçbir şey hesaplamamıza gerek kalmadan bir şeylerin yanlış olduğunu hemen anlarız.

İki Yöntem de Aynı Sonucu Verir

Treni bir de kilometre ve saatle gidelim, çalıştığına kendimizi ikna edelim:

$$t=\frac{s}{v}=\frac{1,8\mathrm{km}}{72\mathrm{km}/\mathrm{h}}=\mathrm{0,025}\mathrm{h}$$

İşte girişteki o gizemli 0,025. Bu sefer saat olduğunu biliyoruz, çünkü kilometrenin saatte kilometreye bölümü saat verir. Saniyeye saatin yerine 3.600 s koyarak çeviririz:

$$\mathrm{0,025}\mathrm{h}=\mathrm{0,025}\cdot 3.600\mathrm{s}=90\mathrm{s}$$

Aynı 90 s çıktı. Hangi yöntem daha iyi? Probleme bağlıdır. Kinematik ve dinamikte hemen hemen her zaman metre ve saniyeye çevireceğiz, çünkü ivmeler ve kuvvetler de onlarla hesaplanır. Her şeyin kilometre ve saat olduğu araba ya da trenle yolculukta ise onlarda kalmak daha rahattır.

Sonuç Makul mü?

Sonunda sonucun anlamlı olup olmadığını tahmin ederiz. 72 km/h sürat, altmış dakikada 72 km, yani dakikada 1,2 km demektir. 1,8 km yol bir buçuk kat daha uzun, yani trenin bu yolu alması dakikadan bir buçuk kat daha uzun sürecek. Bir buçuk dakika, uyuyor. Cevap: tren 1,8 km’yi bir buçuk dakikada alır.

Çoğu zaman sıradan bir deneyim yeter. Pınar okula 1,5 km yürüyor ve 18 min sürüyor. Hangi süratle yürüyor? Metreyi dakikaya bölen biri

$$\frac{1.500}{18}\approx 83,3,$$

bulur ve bunun saniyede değil dakikada metre olduğunu unutup saatte kilometreye “çevirirse” 83,3 · 3,6 ≈ 300 çıkar. Pınar okula 300 km/h süratle gidiyor olurdu, yüksek hızlı bir trenden bile hızlı. Hatanın nerede yapıldığını bilmesek de böyle bir sonuç yanlıştır. Doğrusu, dakikayı saniyeye çevirmektir, 18 · 60 s = 1.080 s, ve şu çıkar:

$$v=\frac{s}{t}=\frac{1.500\mathrm{m}}{1.080\mathrm{s}}\approx 1,39\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

3,6 ile çarpınca bu yaklaşık 5 km/h eder, sıradan bir yürüyüş. Kaba bir kontrol için sürat tablosu işe yarar: yaya yaklaşık 5 km/h, bisikletli yaklaşık 20 km/h, otoyolda araba 130 km/h ile gider. 3.000 km/h ile giden bir araba ya da bir kilometreyi üç saniyede alan bir tren, hata aramak gerektiğinin açık işaretidir.

Yöntemin Özeti

Bütün yöntemi tren üzerinde gördük. Özetleyelim:

1. Verilenler. Bildiklerimizi, her niceliği harfi, sayısı ve birimiyle, aradığımızı da soru işaretiyle yazarız.

2. Birim dönüşümü. Her şeyi aynı birimlere, genellikle metre, saniye ve saniyede metreye çeviririz.

3. Çizim. Olanı çizer ve şekle nicelikleri yazarız.

4. Genel çözüm. Formülden aranan niceliği, yalnızca harflerle, çekeriz.

5. Yerine koyma. Hazır formüle sayıları birimleriyle birlikte koyar ve sonucu hesaplarız.

6. Birim kontrolü. Aranan niceliğin biriminin çıktığını kontrol ederiz.

7. Tahmin. Sonucun makul olup olmadığını sorar ve problemdeki soruyu tam cümleyle cevaplarız.

Bundan sonraki bütün örneklerde, dinamikte de aynı şekilde ilerleyeceğiz. Orada niceliklere kuvvetler eklenir ve çizim daha da önemli olur, çünkü hangi kuvvetin nereye etki ettiğini ona çizeceğiz.

Tipik Hatalar

Saat yerine konan dakikalar. Yaya 5 km/h süratle yürüyor. 15 min’de nereye varır? s = v · t formülüne doğrudan on beşi koyan biri

$$s=5\cdot 15=75,$$

bulur ve sürat saatte kilometre olduğu için 75 km yazar. Bu, yayanın çeyrek saatte Ankara’dan neredeyse Kırıkkale’ye kadar gitmesi demek olurdu. Sürat saatte kilometre cinsinden olduğuna göre süre de saat cinsinden olmalıdır. On beş dakika çeyrek saattir, 0,25 h:

$$s=v\cdot t=5\mathrm{km}/\mathrm{h}\cdot 0,25\mathrm{h}=1,25\mathrm{km}$$

Sayıları birimsiz yerine koyduğumuzda böyle bir hatayı kolayca gözden kaçırırız. Birimlerle saatte kilometre çarpı dakika çıkardı ve bu sadeleşmez.

Saatin ondalıkları dakika değildir. Örneğin 1,5 h bir saat elli dakika değil, bir saat otuz dakikadır, çünkü bir saat yüz değil, altmış dakikadır. Aynı şekilde 0,25 h yirmi beş dakika değil, on beş dakikadır. Saatin ondalık kısmını dakikaya, altmışla çarparak çevirirsin:

$$0,25\mathrm{h}=0,25\cdot 60\min =15\min$$

Ara sonuçların yuvarlanması. Saatle hesaplanan trene yeniden bakalım. 0,025 h çıkmıştı. Virgülden sonra iki basamağa yuvarlamaya alışkın biri 0,03 h yazar ve devam eder:

$$0,03\mathrm{h}=0,03\cdot 3.600\mathrm{s}=108\mathrm{s}$$

90 s yerine 108 s çıktı, 18 s fazla. Hata %20’dir ve bu yalnızca masum görünen bir yuvarlama yüzünden. Sonuçta yalnızca saatin binde beşini ekledik, ama 0,025 küçük bir sayıdır ve binde beş onun tam beşte biridir. 3.600 ile çarpılınca saatin binde beşi 18 s oldu. Bu yüzden ara sonuçları hiç yuvarlama ya da sonuçta olmasını istediğinden en az iki üç basamak fazla tut. En güvenlisi genel çözümdür: sayılarla yalnızca sonda hesap yaparız ve yalnızca bir kez, hazır sonucu istediğimiz birimlerde, yuvarlarız.

Bisikletli Baştan Sona

Sonunda bir problemi baştan sona, adım adım gidelim. Bisikletli, bisiklet yolunda sabit 18 km/h süratle gidiyor. 4,5 km’yi ne kadar sürede alır?

Bildiklerimizi ve aradığımızı yazarız:

$$\begin{array}{rl}v& =18\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ s& =4,5\mathrm{km}\\ t& =?\end{array}$$

Yol kilometre, sürat saatte kilometre, birimler karışmıyor, yani bu sefer çevirmemiz gerekmez ve süre saat cinsinden çıkar. Kontrol için sonra saniye olarak da hesaplarız. Çizim neredeyse trenin aynısıdır:

Genel çözümü trenden biliyoruz, $t=\frac{s}{v}$. Yerine koyalım:

$$t=\frac{s}{v}=\frac{4,5\mathrm{km}}{18\mathrm{km}/\mathrm{h}}=0,25\mathrm{h}$$

Birimler uyuyor, kilometrenin saatte kilometreye bölümü saat verir. Çeyrek saat şuna karşılık gelir:

$$0,25\mathrm{h}=0,25\cdot 60\min =15\min .$$

Şimdi aynısını temel birimlerle yapalım. Çeviririz:

$$\begin{array}{rl}v& =18\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{18}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=5\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ s& =4,5\mathrm{km}=4.500\mathrm{m}\end{array}$$

ve yerine koyarız:

$$t=\frac{4.500\mathrm{m}}{5\mathrm{m}/\mathrm{s}}=900\mathrm{s}$$

Bir dakika altmış saniyedir, yani $900\mathrm{s}=\frac{900}{60}\min =15\min$. İki yöntem de aynı sonuca varır.

Sonuç anlamlı mı? Bisikletli bir saatte 18 km giderdi, çeyrek saatte yani dörtte birini, 4,5 km. Tam olarak alması gereken kadar. Cevabı tam cümleyle yazarız: bisikletli 4,5 km’yi 15 min’de alır.

Aynı yöntemle iki arabanın karşılaştığı ya da birinin diğerini yakaladığı hareket problemlerini de çözeriz. Orada hem çizim hem genel çözüm gerçekten işe yarar.