Çözümlü Dinamik Örnekleri

Kuvvetleri en iyi onlarla hesap yaparak anlarız. Seni kuvvetlerin toplanmasından Newton’ın hareket yasalarına, momentuma ve sürtünmeye, oradan da virajlara ve eylemsizlik kuvvetine uzanan on üç örnek bekliyor. Bunlardan üçü (kaydırak, karda frenleme ve trenin harekete geçmesi) kuvvetleri hareketle birleştiriyor: kuvvetlerden ivmeyi, ivmeden hızı ya da alınan yolu hesaplarız. Denenmiş yöntemi izliyoruz: yazılış, kuvvetlerin taslağı, pozitif yön, genel çözüm, birimli yerine koyma ve tam cümleyle cevap. Taslağı kendin çiz, şekil yalnızca ilk örnekte var. Her örneği önce kendin çözmeye çalış.

Örnek 1: İki Traktör ve Çamura Saplanan Biçerdöver

Biçerdöver çamura saplanmış. İki traktör onu halatlarla, her biri 30 kN kuvvetle çekerek çıkarmaya çalışıyor. Halatlar β = 60° açı yapıyor ve biçerdöver tam aralarındaki eksenin üzerinde duruyor. Bileşke kuvvet ne kadardır?

Biçerdöveri gösteren turuncu noktadan çıkan iki kuvvet, F⃗_1 (kırmızı) ve F⃗_2 (mavi), her biri eksenden α açısı kadar sapmış, ve eksen boyunca yeşil bileşke F⃗

Çözüm:

$\begin{aligned} F_{1} = F_{2} & = 30 kN = 30.000 N \\ β & = 60 ° \\ F & = ? (N) \end{aligned}$

x eksenini halatlar arasındaki eksen boyunca, çekme yönünde pozitif olarak seçeriz. Biçerdöver eksen üzerinde olduğu için her halat ondan halatlar arasındaki açının yarısı kadar sapmıştır, $α = \frac{β}{2} = 30 °$ . İki kuvveti de bileşenlerine ayırırız. Eksene dik bileşenler aynı büyüklükte ve zıt yönlüdür, bu yüzden birbirini yok eder. Eksen boyunca iki eşit F₁ · cos α bileşeni kalır:

$\begin{aligned} F & = 2 \cdot F_{1} \cdot \cos α = 2 \cdot 30.000 N \cdot \cos 30 ° \\ \approx 51.962 N \end{aligned}$

Bileşke yaklaşık 52 kN’dur, 60 kN değil. Çekmenin bir kısmı boşa gider, çünkü traktörlerin her biri biraz farklı yöne çeker. Halatlar ne kadar açılırsa kayıp o kadar büyük olur: halatlar arasında β = 120° olduğunda α = 60° ve bileşke 2 · 30.000 N · cos 60° = 30.000 N eder, sanki yalnızca bir traktör çekiyormuş gibi.

Örnek 2: Motorlu Tekne

Mürettebatıyla birlikte 300 kg kütleli tekneyi pervane sayesinde su 900 N kuvvetle ileri itiyor. Suyun direnci 300 N. Teknenin ivmesi nedir?

Çözüm:

$\begin{aligned} m & = 300 kg \\ F_{1} & = 900 N, F_{2} = 300 N \\ a & = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

Pozitif yön olarak seyir yönünü alırız. Direnç ona zıt yöne bakar, bu yüzden bileşkede eksi işaretiyle yer alır. Sonra yalnızca kuvvetleri toplar ve kütleye böleriz:

$a = \frac{F_{1} - F_{2}}{m} = \frac{900 N - 300 N}{300 kg} = 2 {m / s}^{2}$

Birimler uyuyor, newton bölü kilogram, metre bölü saniye karedir. Teknenin ivmesi 2 m/s²’dir. Suyun direnci hızla birlikte artar ve 900 N’a ulaştığında bileşke sıfır olur ve tekne sabit hızla gider.

Örnek 3: Kamyon ve Otomobil

10.000 kg kütleli bir kamyon 1.000 kg kütleli bir otomobile çarpıyor. Hangi cisim ötekine daha büyük kuvvet uygular? Çarpma kuvveti 50.000 N ise ivmeleri nedir?

Çözüm: Çoğu kişi kamyonu tahmin eder. Ama çarpma kuvvetleri bir etki-tepki çiftidir ve bu yüzden aynı büyüklükte ve zıt yönlüdür. Kamyon otomobili 50.000 N kuvvetle iter, otomobil de kamyonu. Fark, kuvvetin cisme ne yaptığındadır.

$\begin{aligned} m_{1} & = 10.000 kg, m_{2} = 1.000 kg \\ F & = 50.000 N \\ a_{1} & = ? ({m / s}^{2}), a_{2} = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

Pozitif yön olarak kamyonun gidiş yönünü seçeriz:

$\begin{aligned} a_{1} & = \frac{- F}{m_{1}} = \frac{- 50.000 N}{10.000 kg} = - 5 {m / s}^{2} \\ a_{2} & = \frac{F}{m_{2}} = \frac{50.000 N}{1.000 kg} = 50 {m / s}^{2} \end{aligned}$

Kamyonun ivmesi −5 m/s²’dir, yani yavaşlar, otomobilin ivmesi ise 50 m/s² olur, yer çekimi ivmesinin yaklaşık beş katı. Bu yüzden kuvvetler aynı olduğu hâlde otomobildekiler daha kötü etkilenir.

Örnek 4: Aşağı İnen Asansörde Baskül

80 kg kütleli Okan asansörde baskülün üzerinde duruyor. Asansör aşağı iniyor ve zemin kata gelmeden 1,5 m/s² yavaşlamayla frenliyor. Baskül ne gösterir?

Çözüm: Yukarı pozitif yön olsun. Asansör aşağı iniyor ve yavaşlıyor, yani ivmesi yukarı bakar: a = 1,5 m/s².

$\begin{aligned} m & = 80 kg \\ a & = 1, 5 {m / s}^{2} \\ N & = ? (N) \end{aligned}$

Okan’ı aşağı ağırlık çeker, yukarı baskülün normal kuvveti taşır. Newton’ın ikinci hareket yasasına göre N − m · g = m · a, yani normal kuvvet yukarı harekete geçen asansördeki gibi çıkar:

$\begin{aligned} N & = m \cdot (g + a) \\ = 80 kg \cdot (9, 81 {m / s}^{2} + 1, 5 {m / s}^{2}) \\ = 904, 8 N \end{aligned}$

Baskül kuvveti yer çekimi ivmesine böler ve $\frac{N}{g} = \frac{904, 8 N}{9, 81 {m / s}^{2}} \approx 92 kg$ gösterir. Durgun asansörde gerçek 80 kg’sini gösterirdi. Okan aşağı gittiği hâlde kendini daha ağır hisseder. Önemli olan ivmenin yönüdür, gidiş yönü değil.

Örnek 5: Mars’taki Araç

Perseverance gezgin aracının kütlesi 1.025 kg. Üzerine Dünya’da ne kadar, yer çekimi ivmesi 3,71 m/s² olan Mars’ta ise ne kadar ağırlık etki eder?

Çözüm:

$\begin{aligned} m & = 1.025 kg \\ g & = 3, 71 {m / s}^{2} \\ G & = ? (N) \end{aligned}$

Ağırlık kütle çarpı yer çekimi ivmesidir. Mars’ta

$G = m \cdot g = 1.025 kg \cdot 3, 71 {m / s}^{2} \approx 3.803 N,$

Dünya’da aynı hesapla g = 9,81 m/s² alarak

$G = 1.025 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \approx 10.055 N .$

Mars’ta araca yaklaşık 3,8 kN ağırlık etki eder, Dünya’daki 10 kN’un üçte birinden biraz fazla. Kütlesi ise her yerde aynıdır ve bu yüzden aynı kuvvetle aynı isteksizlikle harekete geçer.

Örnek 6: Tenis Servisi

Tenisçi, atışın en yüksek noktasında neredeyse durgun olan 57 g kütleli topa servis atıyor. Raket ona 5 ms temas ediyor ve top 50 m/s süratle fırlıyor. Raket topa ortalama ne kadar kuvvet uygular?

Çözüm:

$\begin{aligned} m & = 57 g = 0,057 kg \\ v_{0} & = 0 m / s, v = 50 m / s \\ Δ t & = 5 ms = 0,005 s \\ F & = ? (N) \end{aligned}$

Pozitif yön olarak topun uçuş yönünü alırız. Kuvvet, momentum değişiminin bu değişimin gerçekleştiği süreye bölümüdür, yani itme çarpma süresine bölünür:

$\begin{aligned} F & = \frac{Δ P}{Δ t} = \frac{m \cdot (v - v_{0})}{Δ t} \\ = \frac{0,057 kg \cdot 50 m / s}{0,005 s} = 570 N \end{aligned}$

Bu, topun üzerinde 58 kg kütleli bir insan duruyormuş gibi bir kuvvettir, ama yalnızca saniyenin binde beşi kadar. Raket topa ortalama 570 N kuvvetle bastırır. Temas iki kat uzun olsaydı aynı hız için yarısı kadar kuvvet yeterdi.

Örnek 7: Kenetlenen Hokeyciler

90 kg kütleli bir hokeyci 6 m/s süratle gidiyor ve ona doğru 4 m/s süratle gelen 80 kg kütleli rakibiyle kafa kafaya çarpışıyor. Çarpışmadan sonra birbirlerine kenetleniyorlar. Hangi sürat ve yönle hareket ederler?

Çözüm: Pozitif yön, birinci hokeycinin gittiği yön olsun; bu yüzden rakibin hızı negatiftir.

$\begin{aligned} m_{1} & = 90 kg, v_{1} = 6 m / s \\ m_{2} & = 80 kg, v_{2} = - 4 m / s \\ v^{'} & = ? (m / s) \end{aligned}$

Buzda sürtünme küçüktür ve çarpışma kısadır, bu yüzden ikiliyi yalıtılmış sistem sayarız. Momentumun korunumuna göre çarpışmadan önceki momentum sonrakine eşittir:

$m_{1} \cdot v_{1} + m_{2} \cdot v_{2} = (m_{1} + m_{2}) \cdot v^{'}$

$\begin{aligned} v^{'} & = \frac{m_{1} \cdot v_{1} + m_{2} \cdot v_{2}}{m_{1} + m_{2}} \\ = \frac{90 kg \cdot 6 m / s + 80 kg \cdot (- 4 m / s)}{170 kg} \\ \approx 1, 29 m / s \end{aligned}$

Sonuç pozitif, yani ikili kütlesi de hızı da daha büyük olan hokeycinin gittiği yöne doğru, yaklaşık 1,3 m/s ile kayıyor. İşareti unutan, anlamsız 5,1 m/s bulur.

Örnek 8: Spor Salonunda Bank

25 kg kütleli ahşap bir bank ahşap zeminde duruyor. Statik sürtünme katsayısı 0,5, kinetik sürtünme katsayısı 0,3. Yatay 100 N kuvvet onu harekete geçirir mi? Ve onu 130 N kuvvetle itersek bankın ivmesi ne olur?

Çözüm:

$\begin{aligned} m & = 25 kg \\ k_{s} & = 0, 5, k = 0, 3 \\ F_{1} & = 100 N, F_{2} = 130 N \\ a & = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

Yatay zeminde normal kuvvet ağırlığa eşittir, N = m · g. En büyük statik sürtünme şudur:

$k_{s} \cdot m \cdot g = 0, 5 \cdot 25 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \approx 123 N .$

100 N kuvvet bundan küçüktür, bank duruyor ve statik sürtünme tam 100 N’dur. 130 N kuvvet onu yerinden koparır ve onu artık yalnızca kinetik sürtünme frenler. Pozitif yönü itme yönünde alırız:

$\begin{aligned} a & = \frac{F_{2} - k \cdot m \cdot g}{m} \\ = \frac{130 N - 0, 3 \cdot 25 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2}}{25 kg} \\ \approx 2, 26 {m / s}^{2} \end{aligned}$

Bank yaklaşık 2,3 m/s² ivmeyle harekete geçer. Yüz newtonla onu hiç kıpırdatamayız.

Örnek 9: Kaydırak

Bir çocuk 4 m uzunluğunda ve 30° eğimli kaydıraktan durgun hâlden kayıyor. Pantolon ile kaydırak arasındaki kinetik sürtünme katsayısı 0,3. Aşağıya ne kadar hızlı varır?

Çözüm:

$\begin{aligned} α & = 30 °, k = 0, 3 \\ s & = 4 m, v_{0} = 0 m / s \\ v & = ? (m / s) \end{aligned}$

Pozitif yönü kaydırak boyunca aşağı seçeriz. Ağırlığın yamaç boyunca bileşeni m · g · sin α’dır, sürtünme k · m · g · cos α harekete zıt yöne bakar. Kütle sadeleşince geriye sürtünmeli yamaçtaki ivme kalır, a = g · (sin α − k · cos α). Fikir vermesi için yaklaşık 2,36 m/s² çıkar.

Süreyi bilmiyoruz, bu yüzden alttaki hızı zamansız bağıntı v² = 2 · a · s verir. İvmeyi ona genel hâliyle koyarız:

$\begin{aligned} v & = \sqrt{2 \cdot g \cdot s \cdot (\sin α - k \cdot \cos α)} \\ = \sqrt{2 \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \cdot 4 m \cdot (\sin 30 ° - 0, 3 \cdot \cos 30 °)} \\ \approx 4, 34 m / s \end{aligned}$

Çocuk aşağıya yaklaşık 4,3 m/s, yani 16 km/h’ten biraz az bir süratle varır. Sürtünme olmasaydı 6 m/s’den fazla olurdu.

Örnek 10: Virajdaki Bisikletçi

Bisikletçi, yarıçapı 12 m olan yatay bir virajı sürtünme katsayısı 0,7 olan kuru asfaltta en fazla ne kadar hızlı geçebilir? Ya katsayısı 0,5 olan ıslak asfaltta?

Çözüm:

$\begin{aligned} r & = 12 m \\ k & = 0, 7 \\ v_{max} & = ? (m / s) \end{aligned}$

Bisikletçiyi çember üzerinde yalnızca lastiklerin virajın merkezine bakan sürtünmesi tutar. Bu, merkezcil kuvvete yetmelidir, $\frac{m \cdot v^{2}}{r} \leq k \cdot m \cdot g$ . Kütle sadeleşir:

$\begin{aligned} v_{max} & = \sqrt{k \cdot g \cdot r} = \sqrt{0, 7 \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \cdot 12 m} \\ \approx 9, 1 m / s \end{aligned}$

Bu yaklaşık 33 km/h’tir. Islakta aynı hesapla 7,7 m/s çıkar, 28 km/h’ten az. Kütle sadeleştiği için kütlesi büyük bisikletçinin işi ne kolaydır ne zor. Daha yüksek süratte tekerlekler virajdan dışarı kayar.

Örnek 11: Fren Yapan Kamyonetteki Alet Kasası

Kamyonetin ahşap zemininde 30 kg kütleli, aletlerle dolu ahşap bir kasa duruyor, statik sürtünme katsayısı 0,5. Sürücü 6 m/s² yavaşlamayla frenliyor. Durumu kamyonetin içinden değerlendir: kasa ileri kayar mı?

Çözüm: Kamyonet fren yapıyor, yani ivmeli bir referans sistemidir. Bu sistemde kasaya ek olarak kamyonetin ivmesine zıt, yani ileri bakan bir eylemsizlik kuvveti etki eder. Pozitif yönü ileri seçeriz.

$\begin{aligned} m & = 30 kg, k_{s} = 0, 5 \\ a & = - 6 {m / s}^{2} \end{aligned}$

Kamyonetin ivmesi geriye bakar ve bu yüzden negatiftir. Eylemsizlik kuvveti ve en büyük statik sürtünme:

$\begin{aligned} F_{e} & = - m \cdot a = - 30 kg \cdot (- 6 {m / s}^{2}) = 180 N \\ k_{s} \cdot m \cdot g & = 0, 5 \cdot 30 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \approx 147 N \end{aligned}$

Eylemsizlik kuvveti pozitif çıktı, yani ileri bakar. Sürtünme kasayı tutamaz, kasa ileri kayar. Onu ancak k_s · g ≈ 4,9 m/s² yavaşlamaya kadar tutardı, kütle sadeleşir. Dışarıdan durum aynı görünür, yalnızca eylemsizlik kuvveti olmadan: 6 m/s² yavaşlama için kasanın 180 N sürtünmeye ihtiyacı olurdu, ama statik sürtünme en fazla 147 N verir. Kasa bu yüzden kamyonetten daha az yavaşlar.

Örnek 12: Karda Frenleme

Karlı yolda araba 45 km/h süratle gidiyor ve sürücü tekerlekler kilitlenecek şekilde frene basıyor. Lastiklerin karda kinetik sürtünme katsayısı 0,3. Fren mesafesi ne kadardır ve frenleme ne kadar sürer?

Çözüm:

$\begin{aligned} v & = 45 km / h = 12, 5 m / s \\ k & = 0, 3 \\ s_{f} & = ? (m), t = ? (s) \end{aligned}$

Gidiş yönü pozitif olsun. Yavaşlatan yalnızca sürtünmedir, $m \cdot | a | = k \cdot m \cdot g$ , yani yavaşlama $| a | = k \cdot g$ ’dir. Bunu fren mesafesi formülüne koyarız:

$\begin{aligned} s_{f} & = \frac{v^{2}}{2 \cdot k \cdot g} = \frac{(12, 5 m / s)^{2}}{2 \cdot 0, 3 \cdot 9, 81 {m / s}^{2}} \approx 26, 5 m \\ t & = \frac{v}{k \cdot g} = \frac{12, 5 m / s}{0, 3 \cdot 9, 81 {m / s}^{2}} \approx 4, 2 s \end{aligned}$

Araba 26,5 m’de durur ve dört saniyeden fazla frenler. Kuruda 0,7 katsayısıyla ona 11,4 m yeterdi. Formülde kütle yok, bu yüzden tam yüklü araba da aynı şekilde frenler, en azından bu basitleştirmede.

Örnek 13: Trenin Harekete Geçmesi

400 t kütleli bir tren istasyondan harekete geçiyor. Raylar lokomotifin tekerlekleri aracılığıyla treni 200 kN kuvvetle ileri itiyor, harekete karşı dirençler 40 kN. Kuvvetler değişmiyorsa 90 km/h hıza ne kadar sürede ve ne kadar yol alarak ulaşır?

Çözüm:

$\begin{aligned} m & = 400 t = 400.000 kg \\ F_{1} & = 200.000 N, F_{2} = 40.000 N \\ v & = 90 km / h = 25 m / s \\ t & = ? (s), s = ? (m) \end{aligned}$

Pozitif yönü gidiş yönünde seçeriz. Önce dinamik, dinamiğin temel prensibi:

$a = \frac{F_{1} - F_{2}}{m} = \frac{160.000 N}{400.000 kg} = 0, 4 {m / s}^{2}$

Sonra durgun hâlden düzgün hızlanan hareketin kinematiği ve zamansız bağıntı:

$\begin{aligned} t & = \frac{v}{a} = \frac{25 m / s}{0, 4 {m / s}^{2}} = 62, 5 s \\ s & = \frac{v^{2}}{2 \cdot a} = \frac{(25 m / s)^{2}}{2 \cdot 0, 4 {m / s}^{2}} \approx 781 m \end{aligned}$

Doğrulama: ortalama sürat 12,5 m/s’dir ve 62,5 s’de bu aynı 781 m eder. Trenin yaklaşık bir dakikaya ve bir kilometreden kısa bir yola ihtiyacı var. Gerçekte direnç hızla artar ve bu yüzden harekete geçiş biraz daha uzun sürer.

Yolun Sonu

Böylece kinematik ve dinamik ders kitabımız sona eriyor. Nicelik ve birimin aslında ne olduğuyla başladık, sürat ve ivme üzerinden kuvvetlere ve Newton’ın hareket yasalarına geldik ve sonunda ikisini birleştirdik: kuvvet ivmenin ne kadar büyük olduğunu söyler, ivme de cismin nereye ve ne kadar hızlı gittiğini. Bu ikiliyle hareket ve kuvvetler üzerine örneklerin çoğunu çözebilirsin. İş ve enerji daha sonra gelecek.

« Önceki: Çözümlü Kinematik Örnekleri

Sonraki: Diğer »