Düzgün Çembersel Hareket

Atlıkarıncadaki at, saniye ibresinin ucu ya da lastik desenine sıkışmış küçük bir taş (arabadan bakılınca) çember üzerinde döner. Bunu hep aynı tempoyla yapıyorsa düzgün çembersel hareketten söz ederiz: yörünge bir çemberdir ve hızın büyüklüğü değişmez. Eşit sürelerde eşit uzunlukta yaylar çizer.

Hızın yönü ise durmadan değişir, çünkü hız oku her zaman çembere teğet boyunca bakar. Hareket yalnızca hızın büyüklüğü bakımından düzgündür. Onu sayılarla nasıl tanımlarız?

Doğru üzerinde konumu belirlemek için tek sayı yetiyordu, eksen üzerindeki konum. Çemberde de tek bir sayıyla idare ederiz: cismin başlangıçtan itibaren döndüğü açıyla. Açılar bu yüzden bize her adımda eşlik edecek.

Periyot ve Frekans

Lunaparktaki atlıkarınca harekete geçiyor ve sonra hep aynı tempoyla dönüyor. Yanına kronometreyle durup, atın üzerindeki arkadaşının yanından her on saniyede bir geçtiğini ölçüyorsun. Bir turun süresine periyot deriz, T ile gösterilir ve saniyeyle ölçülür:

$$T=10\mathrm{s}$$

Tersini de sorabiliriz: atlıkarınca bir saniyede kaç tur atar. Buna frekans f denir. Bir tur on saniye sürüyorsa, atlıkarınca bir saniyede turun onda birini yapar. Genel olarak frekansı, bir turun periyoda bölümü olarak hesaplarız:

$$f=\frac{1}{T}$$

Yerine koyalım:

$$f=\frac{1}{10\mathrm{s}}=0,1{\mathrm{s}}^{-1}$$

“Saniyede” birimi, yani $\frac{1}{\mathrm{s}}$, hertz adını ve Hz simgesini taşır. Atlıkarıncanın frekansı 0,1 Hz’dir. Bağıntı tersine de geçerlidir, $T=\frac{1}{f}$: saniyedeki tur ne kadar çoksa, bir tur o kadar kısadır. Periyot ve frekans aynı şeyi ters taraflardan anlatır: biri tur başına saniyeyi, öbürü saniyedeki turu söyler.

Saniye ibresi kadranı bir dakikada dolaşır, periyodu bu yüzden T = 60 s ve frekansı $f=\frac{1}{60\mathrm{s}}\approx \mathrm{0,017}\mathrm{Hz}$’dir. Yelkovanın periyodu bütün bir saattir, 3.600 s. Yavaş giden şeyin periyodu uzun, frekansı küçüktür, hızlı olanda ise tersi.

Motorlar ve çamaşır makineleri frekansı dakikadaki devir sayısıyla verir. 1.200 devir/min ile sıkan çamaşır makinesi, tamburunu dakikada bin iki yüz kez çevirir. Dakikada altmış saniye vardır, yani saniyede

$$f=\frac{1.200\mathrm{devir}}{60\mathrm{s}}=20\mathrm{devir}/\mathrm{s}=20\mathrm{Hz}.$$

Devir yalnızca bir sayıdır, bu yüzden saniyedeki devir ile hertz örtüşür. Tamburun bir devri

$$T=\frac{1}{f}=\frac{1}{20\mathrm{Hz}}=0,05\mathrm{s},$$

yani saniyenin yüzde beşi kadar sürer. Camın arkasındaki çamaşırı yalnızca bir bulanıklık olarak görmene şaşmamalı.

Yay ile Ölçülen Açı

Atlıkarınca belli bir sürede belli bir açı kadar döner. Bunu derece cinsinden ölçmeyi biliriz: çeyrek tur 90°, tam tur 360°. Ama fizik açıları radyan cinsinden ölçmeyi tercih eder ve nedenini hemen göreceğiz.

Köşesi çemberin merkezinde olan bir açı düşün. Kolları çemberden s uzunluğunda bir yay keser. Daha büyük çemberde aynı açının yayı daha uzundur, tam olarak yarıçapın büyüdüğü kat kadar: iki kat büyük çember, iki kat uzun yay. Yay uzunluğunun yarıçapa oranı bu yüzden çemberin büyüklüğüne değil, yalnızca açıya bağlıdır. Açının radyan cinsinden büyüklüğünü veren tam da bu orandır:

$$\phi =\frac{s}{r}$$

Cismin çember üzerinde döndüğü açıya açısal yer değiştirme deriz ve onu Yunan harfi φ (fi) ile gösteririz. Bir radyan, yayı yarıçapla aynı uzunlukta olan açıdır. Radyan cinsinden sayı bu yüzden yarıçapın yaya kaç kez sığdığını söyler.

Peki tam tur kaç radyandır? Yay o zaman çemberin çevresinin tamamıdır, yani 2π · r:

$$\phi =\frac{2\pi \cdot r}{r}=2\pi$$

Yarıçap sadeleşti, beklediğimiz gibi. Tam turun ölçüsü 2π radyandır, yaklaşık 6,28:

$$360°=2\pi \mathrm{rad}$$

Yarım tur π rad = 180°, çeyrek tur $\frac{\pi }{2}\mathrm{rad}=90°$’dir. Bir radyan $\frac{360°}{2\pi }\approx 57,3°$ eder, yani tam bir tura altı radyan ve biraz daha sığar.

Birimlere ne olduğuna bakalım. Yay uzunluğu da yarıçap da metredir ve bölünce metreler sadeleşir, $\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{m}}=1$. Radyan bu yüzden boyutsuz bir birimdir, aslında düz bir sayıdır, harita ölçeği gibi, o da iki uzunluğun oranıdır. rad simgesi yalnızca sayının bir açı anlamına geldiğini hatırlatır ve hesaplarda onu yazabiliriz de yazmayabiliriz de. Bu hemen işimize yarayacak.

Atlıkarıncaya dönelim. Merkezden 2 m uzaktaki iç at, kendi yayı boyunca 3 m ilerliyor. Hangi açı kadar döndü? Formüle yayı ve yarıçapı koyarız:

$$\phi =\frac{s}{r}=\frac{3\mathrm{m}}{2\mathrm{m}}=1,5\mathrm{rad}$$

Yarıçap yaya bir buçuk kez sığar. Derece olarak bu 1,5 · 57,3° ≈ 86°, neredeyse çeyrek tur.

Neden derece değil? 360 sayısı eski Babillilerden miras kalmış bir anlaşmadır, radyan ise doğrudan çemberden çıkar. Bu sayede yay uzunluğu çok basit hesaplanır, s = φ · r. Dereceyle bu formülde can sıkıcı bir $\frac{2\pi }{360}$ kesri dolaşırdı. Fizik formüllerine açılar bu yüzden hemen her zaman radyan cinsinden konur. Böyle bir açının sinüsünü ya da kosinüsünü hesap makinesinde hesaplayacak olan, onu DEG kipinden RAD kipine geçirmelidir. Radyanlar hakkında daha fazlasını öğrenmek isteyen Radyan Cinsinden Açı Ölçüsü yazısında bulur.

Açısal Hız

Atlıkarıncanın dönme temposunu açısal hız ω (omega) ifade eder. Birim zamanda dönülen açıdır:

$$\omega =\frac{\phi }{t}$$

Açıyı radyanla, zamanı saniyeyle ölçeriz, açısal hız bu yüzden rad/s ile ölçülür. Düzgün çembersel harekette cisim eşit sürelerde eşit açılar kadar döner, dolayısıyla açısal hız sabittir.

Bir periyotta atlıkarınca tam tur, yani 2π radyan döner. Bu yüzden

$$\omega =\frac{2\pi }{T}.$$

Formüle bizim atlıkarıncanın periyodunu koyalım:

$$\omega =\frac{2\pi \mathrm{rad}}{10\mathrm{s}}=\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\approx 0,63\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

Her saniye atlıkarınca yarım radyandan biraz fazla, yani yaklaşık 36° döner. Saniye ibresi 60 s periyotla altı kat daha yavaştır, $\omega =\frac{2\pi \mathrm{rad}}{60\mathrm{s}}\approx \mathrm{0,105}\mathrm{rad}/\mathrm{s}$. $\frac{1}{T}=f$ olduğundan ω = 2π · f de geçerlidir. Çamaşır makinesinin tamburunun açısal hızı

$$\omega =2\pi \cdot 20\mathrm{Hz}=40\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}\approx 126\mathrm{rad}/\mathrm{s}.$$

Frekansı ve açısal hızı kolayca karıştırırsın, dikkat et. İkisi de atlıkarıncanın ne kadar hızlı döndüğünü anlatır, yalnızca farklı birimlerle: frekans saniyedeki turla, açısal hız saniyedeki radyanla. Bir turda 2π radyan vardır, bu yüzden açısal hız her zaman frekanstan 2π kat büyük bir sayıdır. 2π’yi unutan, atlıkarınca için 0,63 rad/s yerine 0,1 rad/s bulur. Radyan düz bir sayı olduğundan rad/s ile Hz sadeleştirmeden sonra ikisi de yalnızca “saniyede”dir. Yine de açısal hızı hertzle yazmayız, tam da kimse onu frekansla karıştırmasın diye.

Sabit açısal hızda açı, düzgün doğrusal harekette yolun bulunduğu gibi bulunur, yalnızca hız yerine açısal hız, yol yerine açı koyarak. $\omega =\frac{\phi }{t}$ bağıntısını zamanla çarparak φ = ω · t elde ederiz. 2,5 s’de atlıkarınca

$$\phi =\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 2,5\mathrm{s}=\frac{\pi }{2}\mathrm{rad},$$

yani çeyrek tur döner. Zaten periyodun dörtte biri tam olarak 2,5 s sürer.

Açısal hızın önemli yanı, bütün atlıkarıncaya ortak olmasıdır. Kenardaki at da merkeze yakın at da aynı on saniyede bir kez döner, her saniye aynı açı kadar.

Kenar Neden Daha Hızlı Gider

Atlıkarıncada yan yana iki at gidiyor, iç at merkezden 2 m, dış at merkezden 4 m uzakta. Tek bir çubuk üzerinde gibi birlikte giderler, bu yüzden aynı sürede aynı açı kadar dönerler. Ama dış at daha büyük bir çember üzerinde gider ve aynı sürede iki kat uzun yay alır. İkisi de yolculukta aynı sayıda tur atar, yalnızca dış atın turu iki kat uzundur. Animasyon bunu gösterir: iki atı taşıyan kol bir bütün olarak döner, açı ortaktır, kırmızı iz yine de maviden iki kat hızlı uzar.

Aynı sürede iki kat yol, iki kat sürat demektir. Hesaplayalım. Bir turda at kendi çemberinin tamamını, 2π · r yolunu alır ve bu ona bir periyot T sürer. Sürat, yol bölü zamandır:

$$v=\frac{2\pi \cdot r}{T}$$

Dikkat, r merkezden uzaklıktır, atın üzerinde gittiği çemberin yarıçapıdır, bütün atlıkarıncanın çapı değil. Dış at için 4 m koyarız:

$$v=\frac{2\pi \cdot 4\mathrm{m}}{10\mathrm{s}}\approx 2,5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Bu yaklaşık 9 km/h, iyi bir koşu temposu. İç at:

$$v=\frac{2\pi \cdot 2\mathrm{m}}{10\mathrm{s}}\approx 1,26\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Bu yaklaşık 4,5 km/h, sıradan bir yürüyüş. Tam merkezde duran olduğu yerde döner ve hiçbir yere gitmez. Çocuklar kenardaki atlar için bu yüzden kapışır, zaten orada rüzgâr da daha çok eser. Merkeze yakın oturan aslında midilli üzerinde gider.

Bu bağıntıya açısal hızdan da varılabilir. Sürat, alınan yolun süreye bölümüdür, $v=\frac{s}{t}$, çember üzerindeki yol da yay uzunluğudur, s = φ · r. Yerine koyalım:

$$v=\frac{\phi \cdot r}{t}=\frac{\phi }{t}\cdot r$$

$\frac{\phi }{t}$ kesri açısal hızdır, yani

$$v=\omega \cdot r.$$

v hızına açısal hızla karıştırılmasın diye ayrıca çizgisel hız deriz. Aynı açısal hızda merkezden uzaklıkla doğru orantılı artar. Dış atta kontrol edelim:

$$v=\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 4\mathrm{m}=\frac{4\pi }{5}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 2,5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Uyuyor. İç at için $\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 2\mathrm{m}\approx 1,26\mathrm{m}/\mathrm{s}$ çıkar, tam yarısı. Birimlere bak: saniyede radyan çarpı metre, saniyede metre verir, çünkü radyan düz bir sayıdır ve sonuçtan iz bırakmadan kaybolur. Açıyı derece olarak koysaydık saçma bir sayı çıkardı, çünkü s = φ · r formülü yalnızca radyan için geçerlidir.

Formül ters yönde de işe yarar. Atlıkarıncanın sahibi dış atın 3 m/s ile gitmesini istesin. Atlıkarınca ne kadar hızlı dönmelidir? v = ω · r bağıntısında iki tarafı yarıçapa böleriz:

$$\omega =\frac{v}{r}=\frac{3\mathrm{m}/\mathrm{s}}{4\mathrm{m}}=0,75\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

Periyodu $\omega =\frac{2\pi }{T}$ bağıntısından buluruz, bunda periyotla açısal hızın yerini değiştirmek yeter:

$$T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi \mathrm{rad}}{0,75\mathrm{rad}/\mathrm{s}}\approx 8,4\mathrm{s}$$

Atlıkarıncanın bir turu bu yüzden on saniye yerine yaklaşık sekiz buçuk saniye sürmelidir. İç at o zaman yarı hızla, 1,5 m/s ile gider.

Öbür uç için saate bakalım. 10 cm uzunluğundaki yelkovanın ucu 3.600 s periyotla döner, yani

$$v=\frac{2\pi \cdot 0,1\mathrm{m}}{3.600\mathrm{s}}\approx \mathrm{0,000}17\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Bu saniyede milimetrenin altıda biri kadardır, bir salyangoz bile onu geçerdi. Yelkovanın hareketini bu yüzden gözle göremeyiz, ama beş dakika sonra görürüz.

Sonunda çamaşır makinesine dönelim. Tamburun yarıçapı yaklaşık 25 cm, yani 0,25 m ve açısal hızı 40π rad/s’dir:

$$v=40\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 0,25\mathrm{m}=10\pi \mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 31,4\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Bu yaklaşık 113 km/h eder. Sıkma sırasında tambur duvarına yapışan çorap, makine banyoda dursa da otoyoldaki bir arabanın hızıyla savrulur.

Atlıkarıncadaki at da tamburdaki çorap da hep aynı hızla gider ve yine de hız okları her an başka yöne bakar. Böyle bir hareketin neden ivmeli olduğunu, bu ivmenin nereye baktığını ve ne kadar büyük olduğunu bir sonraki makale, Merkezcil İvme gösterecek.