Skaler ve Vektörel Büyüklükler

“Dışarıda 20 °C var.” Buna eklenecek bir şey yok, herkes mont alıp almayacağını bilir. Sıcaklığı bir sayı ve bir birim anlatır. Ama birine “100 m git” diyerek yol tarif etmeye çalış. Hemen soracaktır: Nereye? Düz mü, sola mı, geri mi? Kuzeye yüz metre onu gara götürür, güneye yüz metre ise doğruca göle. Böyle bir niceliğe sayı yetmez, yön de gerekir.

Skaler mi, Vektör mü?

Bir sayı ve bir birimle tam olarak anlatılan niceliklere skaler denir. Sıcaklık, zaman, kütle ya da alınan yol skalerdir. Bir poşetin kütlesinin 5 kg olduğunu ya da filmin 2 h sürdüğünü söylediğinde başka bir şey eklemene gerek kalmaz. Kütle ne sola ne de yukarı doğru yönelir.

Yönün de önemli olduğu niceliklere vektör diyoruz. Tipik bir vektör kuvvettir. Hiç dolap taşıyan biri, onu duvara doğru itmenin duvardan uzağa itmekten başka bir şey olduğunu bilir. Hız da bir vektördür: Gaziantep’e 90 km/h ile giden araba ile Gaziantep’ten 90 km/h ile gelen arabanın hız büyüklükleri aynıdır, yine de her biri başka yöne gider.

Vektörü sembolün üstündeki okla tanırız. Vektör olarak kuvvet $\overrightarrow{F}$ biçiminde yazılır. Bazen yönle ilgilenmeyiz ve yalnızca kuvvetin ne kadar büyük olduğunu bilmek isteriz. Bu kısma vektörün büyüklüğü denir ve ya dikey çizgilerle ya da oksuz sembolle yazılır:

$$|\overrightarrow{F}|=F$$

Kuvvetin büyüklüğü bir skalerdir, örneğin F = 300 N. Newton N kuvvetin birimidir, şimdilik onun hakkında daha fazlasına ihtiyacımız olmayacak. Kuvvet burada daha çok vektör örneği olarak işimize yarıyor.

Ok Olarak Vektör

Vektörü bir ok olarak çizeriz. Ok vektörün yönünü gösterir, uzunluğu da büyüklüğüne karşılık gelir. Oku çizebilmek için bir ölçek seçeriz, örneğin kâğıt üzerindeki bir santimetre 100 N anlamına gelsin. O zaman 300 N’luk kuvvet üç santimetre uzunluğunda bir ok olur, 50 N’luk kuvvet ise yalnızca yarım santimetre.

Şekilde üç kırmızı ok görüyoruz. Hepsinin uzunluğu da yönü de aynıdır, yani aynı vektörü $\overrightarrow{u}$ gösterirler, yalnızca üç farklı yerde çizilmişlerdir. Vektörü yalnızca büyüklüğü ve yönü belirler, okun nereden başladığının önemi yoktur. Bu yüzden oku istediğimiz gibi kaydırabiliriz, yalnızca döndüremeyiz, kısaltıp uzatamayız. Bu, toplama yaparken hemen işimize yarayacak.

Mavi ok $\overrightarrow{w}$ kırmızı oklarla aynı uzunluktadır, ama başka yöne bakar, yani farklı bir vektördür. İki vektörün büyüklüğü aynıdır, $|\overrightarrow{u}|=|\overrightarrow{w}|$, yine de $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{w}$ olur.

Vektörlerin Toplanması

Emre dağ evinden yola çıkar ve doğuya 3 km yürür. Sonra dönüp kuzeye bir 4 km daha yürür. Dağ evinden ne kadar uzaktadır?

Bunu çizelim. Şekilde kuzey yukarıda, doğu sağdadır ve bir kare bir kilometre eder. Turuncu nokta dağ evi, kırmızı ok ilk kısım, mavi ok ikinci kısımdır.

Mavi ok dağ evinden değil, kırmızı okun sonundan çıkıyor. Çünkü Emre kuzeye doğru, doğuya gidip vardığı yerden yürümüştür. Vektörler böyle toplanır: ikinci oku, birincinin sonunda başlayacak biçimde kaydırırız. Toplam, birinci okun başından ikincinin sonuna giden oktur. Şekilde yeşil olan bu ok, Emre’nin nereye vardığını gösterir. Animasyon bunu adım adım gösterir: mavi ok önce kırmızıyla aynı yerden çıkar, sonra onun sonuna kayar ve ancak ondan sonra yeşil ok belirir.

Vektörler yerine sıradan sayıları toplarsak 3 km + 4 km = 7 km çıkar. Emre gerçekten yedi kilometre yürümüştür, ama dağ evinden o kadar uzak değildir. Dolambaçlı gitmiştir, yeşil ok kestirmedir ve bu yüzden iki yolun toplamından daha kısadır.

Yeşil ok kaç birim uzunluktadır? Kırmızı, mavi ve yeşil ok birlikte bir dik üçgen oluşturur, yani bir açısı dik olan üçgen. Dik açıyı oluşturan iki kenara dik kenar, üçüncü, en uzun ve dik açının karşısındaki kenara hipotenüs denir. Dik üçgen için Pisagor teoremi geçerlidir: hipotenüsün karesi, dik kenarların kareleri toplamına eşittir. Dik kenarlar 3 km ve 4 km uzunluğundadır, yani hipotenüs c için şu geçerlidir:

$$c^2=(3\mathrm{km}{)}^2+(4\mathrm{km}{)}^2.$$

Kareleri alalım. Birimin de karesi alınır, kilometre çarpı kilometre kilometrekaredir:

$$c^2=9{\mathrm{km}}^2+16{\mathrm{km}}^2=25{\mathrm{km}}^2$$

Ve karekök alalım:

$$c=\sqrt{25{\mathrm{km}}^2}=5\mathrm{km}$$

Emre dağ evinden 5 km uzaktadır. Başladığımız yerden bittiğimiz yere giden oka fizikte yer değiştirme denir. Yürünen kilometrelerden farklı olarak bu bir vektördür: beş kilometrenin yanı sıra dağ evinin hangi yönde olduğunu da söyler. Yöne yazının sonunda döneceğiz.

Toplamı, sayılardaki gibi, yalnızca oklarla yazabiliriz. İki vektörü, $\overrightarrow{u}$ ve $\overrightarrow{w}$’yi, topladığımızda yeni bir vektör, $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}$ elde ederiz. Dikkat, toplamın büyüklüğü genel olarak büyüklüklerin toplamı değildir. Emre’nin yolunun ilk kısmını $\overrightarrow{u}$, ikincisini $\overrightarrow{w}$ olarak adlandırırsak, toplamın büyüklüğü

$$|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}|=5\mathrm{km},$$

büyüklüklerin toplamı ise

$$|\overrightarrow{u}|+|\overrightarrow{w}|=3\mathrm{km}+4\mathrm{km}=7\mathrm{km}.$$

Paralelkenar Kuralı

Köpek gezdiren birinin tasmada iki köpeği var. Her biri başka yöne çekiyor, biri ${\overrightarrow{F}}_1$ kuvvetiyle, diğeri ${\overrightarrow{F}}_2$ kuvvetiyle ve iki kuvvet de tasmaları tutan ele etki ediyor. Köpekler onu birlikte nereye çekiyor?

Kuvvetler aynı noktaya etki ettiği için okları en doğal biçimde ortak bir başlangıçtan çizeriz. Bileşke kuvveti paralelkenar kuralıyla buluruz. Her okun ucundan, diğerine paralel kesikli bir çizgi çekeriz. Böylece bir paralelkenar oluşur ve ortak noktadan çıkan köşegeni aradığımız toplam olan $\overrightarrow{F}={\overrightarrow{F}}_1+{\overrightarrow{F}}_2$ olur.

Bu neden işe yarar? Paralelkenarın sağdaki kesikli kenarı mavi okla aynı uzunluktadır ve ona paraleldir. Yani bu, kırmızı ${\overrightarrow{F}}_1$’in sonuna kaydırılmış mavi ok ${\overrightarrow{F}}_2$’dir. Bunu önceki bölümden zaten biliyoruz: ikinci oku birincinin sonuna kaydırmıştık. Her iki yol, yani paralelkenar ve okları arka arkaya dizmek, hep aynı sonuca götürür. Okları arka arkaya dizmek ardı ardına gerçekleşen olaylarda (önce doğuya, sonra kuzeye), paralelkenar ise aynı noktaya aynı anda etki eden kuvvetlerde işe yarar.

Yeşil ok, köpeklerin sahibini nereye çektiğini gösterir. Bileşke kuvvete net kuvvet de denir. Her biri biraz başka yöne çektiği için bileşke kuvvet, ikisi de aynı yöne çekseydi olacağından küçüktür. Büyüklüğünü şekilde ölçekle ölçeriz. Şimdilik onu yalnızca iki durumda hesaplayabiliriz: kuvvetler birbirine dik olduğunda, tıpkı Emre’nin yolunun iki kısmı gibi, ya da aynı doğru üzerinde olduklarında (bu hemen aşağıda).

Aynı Doğru Üzerindeki Vektörler

En kolay hesap, vektörlerin aynı doğru üzerinde olduğu durumdadır. İki arkadaş bozulmuş bir arabayı itiyor. Biri 300 N, diğeri 250 N kuvvetle, ikisi de ileri doğru itiyor. Okları arka arkaya koyarız ve uzunluğu doğrudan toplam olan bir ok elde ederiz:

$$F=300\mathrm{N}+250\mathrm{N}=550\mathrm{N}$$

Kırmızı ve mavi ok iki arkadaşın kuvvetleridir, yeşil ok bileşke kuvvettir.

Başka bir durum: ip çekme oyunu. Bir takım sağa 300 N, diğeri sola 250 N kuvvetle çekiyor. İki kuvvet de ipin ortasındaki düğüme etki eder ve tam birbirine zıt yönlüdür. Oklar düğümden zıt taraflara çıkar, bu yüzden bileşke kuvvet farktır:

$$F=300\mathrm{N}-250\mathrm{N}=50\mathrm{N}$$

Şekilde birinci takımın kuvveti kırmızı, ikincinin mavi, bileşke kuvvet yeşildir. 50 N’luk bileşke kuvvet sağa, güçlü takımın tarafına yönelir. İki takım da aynı güçte çekseydi bileşke kuvvet sıfır olurdu ve kuvvetler birbirini dengelerdi. Büyüklükleri yalnızca vektörler aynı ya da tam zıt yöne bakıyorsa sıradan sayılar gibi toplarız ve çıkarırız.

Ters Vektör ve Sayıyla Çarpma

$\overrightarrow{u}$ ile aynı büyüklüğe sahip, ama tam ters yöne bakan vektöre ters vektör denir ve $-\overrightarrow{u}$ yazılır. Aşağıdaki şekilde mavi olandır. Bir vektöre ters vektörünü eklersek, çıktığımız yere döneriz ve sıfır vektörünü elde ederiz:

$$\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{u})=\overrightarrow{0}$$

Aynı güçteki iki takımın ip çekme oyunu da böyle biter. Ters vektör sayesinde çıkarma da yapılabilir: $\overrightarrow{w}$’yi çıkarmak, $-\overrightarrow{w}$’yi eklemek demektir, yani $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{w})$.

Vektörü bir sayıyla da çarpabiliriz. Yeşil vektör $2\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{u}$ ile aynı yöne bakar, ama iki kat uzundur. Bu, $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u}$ ile aynıdır, arka arkaya iki aynı ok. Negatif bir sayıyla çarptığımızda vektör ayrıca yön değiştirir: turuncu vektör $-2\overrightarrow{u}$ iki kat uzundur ve ters yöne bakar. Ters vektör $-\overrightarrow{u}$ aslında −1 sayısıyla çarpılmış $\overrightarrow{u}$ vektörüdür.

Fizikte bu şu anlama gelir: kuvveti iki katına çıkarıp aynı yönde etki ettirirsek $2\overrightarrow{F}$ kuvvetini elde ederiz. Büyüklük iki katına çıkar, yön aynı kalır.

Sinüs ve Kosinüs

Eğik bir vektörü çoğu zaman birbirine dik iki vektöre, örneğin bir yatay ve bir düşey vektöre ayırmak işe yarar. Bunun için iki yeni kavram tanımamız gerekir: sinüs ve kosinüs. İkisi de dik üçgenden çıkar.

Şekildeki üçgenin dik açısı C köşesindedir, hipotenüs siyah c kenarıdır. A köşesindeki α açısına bakalım. Kırmızı a dik kenarı onun karşısında yer alır, bu yüzden ona karşı dik kenar denir. Mavi b dik kenarı α açısını hipotenüsle birlikte oluşturur, ona komşu dik kenar denir.

α açısının sinüsü, karşı dik kenarın hipotenüse oranıdır, kosinüsü ise komşu dik kenarın hipotenüse oranıdır:

$$\sin \alpha =\frac{a}{c},\cos \alpha =\frac{b}{c}$$

Böyle bir oran ne işe yarar? Bütün üçgeni iki kat büyüt. Bütün kenarlar iki kat uzun olur, ama açılar aynı kalır. $\frac{a}{c}$ oranı değişmez, çünkü pay da payda da iki kat büyür. Yani sinüs ve kosinüs çizilen üçgenin büyüklüğüne değil, yalnızca α açısının büyüklüğüne bağlıdır. 30°’lik açının sinüsü, üçgeni deftere de çizsen okul bahçesine de çizsen hep aynıdır.

Dik üçgende hipotenüs en uzun kenar olduğu için iki oran da her zaman birden küçük çıkar. Bir dar açının sinüsü ya da kosinüsü hiçbir zaman biri aşmaz.

Herhangi bir açının sinüsünü ve kosinüsünü hesap makinesi hesaplar, üzerinde sin ve cos tuşlarını bulursun. Ama hesap makinesinin derece ile hesap yaptığına dikkat et. Ekranda DEG yerine RAD ya da GRAD görüyorsan, makine başka açı birimleriyle hesaplıyordur ve saçma sonuçlar çıkar. Bu, sınavlardaki en sık hatalardan biridir. Sitede sinüs hesap makinesini ya da kosinüs hesap makinesini kullanabilirsin, iki fonksiyonun diğer özelliklerini Sinüs, Kosinüs, Tanjant ve Kotanjant Özellikleri yazısında bulursun.

Hesap Makinesiz Üç Açı

30°, 45° ve 60°’lik açıların sinüsünü ve kosinüsünü hesap makinesi olmadan da hesaplayabiliriz. Bunun için bir eşkenar üçgen ve bir kare yeter.

Solda kenarı 2 olan bir eşkenar üçgen görüyoruz. Bütün açıları 60°’dir. Kesikli çizgiyle gösterilen yükseklik onu iki eş dik üçgene ayırır. Kırmızı olanın hipotenüsü 2’dir, alt dik kenarı 1’dir, çünkü kenarın yarısıdır, açıları ise aşağıda 60° ve yukarıda 30°’dir, çünkü yükseklik üst açıyı ortadan böler. Yüksekliğin uzunluğunu Pisagor teoreminden buluruz: $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$. Geriye tanımlara yerleştirmek kalır. 30°’lik açının karşısında 1 dik kenarı bulunur, yani

$$\sin 30°=\frac{1}{2},\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx \mathrm{0,866.}$$

60°’lik açıda tersi olur, karşısında $\sqrt{3}$ yüksekliği bulunur:

$$\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx \mathrm{0,866},\cos 60°=\frac{1}{2}.$$

Sağda kenarı 1 olan, köşegenle bölünmüş bir kare var. Köşegen dik açıyı ortadan böler, bu yüzden mavi üçgenin açısı 45°, iki dik kenarı 1 uzunluğunda, hipotenüsü ise $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$’dir. Sinüs de kosinüs de aynı çıkar:

$$\sin 45°=\cos 45°=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx \mathrm{0,707}$$

Hepsi bir arada:

İlginç olan, 30°’nin sinüsünün 60°’nin kosinüsü olması ve tersinin de geçerli olmasıdır. Bu tesadüf değil: bir dar açının karşı dik kenarı, diğerinin komşu dik kenarıdır.

Vektörü Bileşenlerine Ayırma

Ali kızakta küçük kardeşini çekiyor. İpi elinde tutuyor, bu yüzden ip yatay değil, yukarı doğru eğik gidiyor ve yerle 30°’lik bir açı yapıyor. Ali ipi 100 N’luk kuvvetle çekiyor. Ama kızak yerde gidiyor, havaya doğru eğik gitmiyor. Bu kuvvetin ne kadarı gerçekten ileri gidiyor?

Eğik $\overrightarrow{F}$ kuvvetini bir yatay ve bir düşey kuvvet çiftiyle değiştiririz. Bunlara bileşen diyoruz ve x ve y eksenlerine göre ${\overrightarrow{F}}_x$ ve ${\overrightarrow{F}}_y$ diye yazılır. Bileşenleri, toplamları tam olarak asıl kuvvete eşit olacak biçimde seçeriz:

$$\overrightarrow{F}={\overrightarrow{F}}_x+{\overrightarrow{F}}_y$$

Şekilde yeşil $\overrightarrow{F}$ kuvveti ve bileşenleri var, kırmızı yatay olan ve mavi düşey olan. Kesikli çizgilerle bir dikdörtgen tamamlanmıştır. Sağdaki kesikli kenar, kırmızının sonuna kaydırılmış mavi bileşendir, yani kırmızı ve mavi ok arka arkaya gerçekten yeşili verir. Bu, paralelkenar kuralının tersidir: orada iki kuvvetten bir kuvvet yapmıştık, burada bir kuvvetten iki kuvvet yapıyoruz. Paralelkenar burada dikdörtgendir, çünkü bileşenler birbirine diktir.

Kırmızı bileşen, sağdaki kesikli kenar ve yeşil kuvvet bir dik üçgen oluşturur. Hipotenüs, büyüklüğü F olan $\overrightarrow{F}$ kuvvetidir. Yatay bileşen α açısının komşu dik kenarıdır, düşey bileşen ise karşı dik kenarla aynı uzunluktadır. Sinüs ve kosinüsün tanımlarından

$$\cos \alpha =\frac{F_x}{F},\sin \alpha =\frac{F_y}{F}.$$

İki denklemi de kuvvetin büyüklüğü F ile çarparsak, bileşenlerin büyüklükleri için formülleri buluruz:

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =F\cdot \cos \alpha \\ F_y& =F\cdot \sin \alpha \end{array}$$

Ali’nin değerlerini yerine koyalım. Yatay bileşen

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =100\mathrm{N}\cdot \cos 30°\\ & \approx 100\mathrm{N}\cdot \mathrm{0,866}=86,6\mathrm{N}\end{array}$$

ve düşey bileşen

$$\begin{array}{rl}{F}_y& =100\mathrm{N}\cdot \sin 30°\\ & =100\mathrm{N}\cdot 0,5=50\mathrm{N}.\end{array}$$

Kızağı ileri doğru yüz newtonun yalnızca yaklaşık 86,6 N’u çekiyor. Geriye kalan 50 N’luk düşey bileşen kızağı biraz hafifletir, yani kızak kara daha az bastırır.

86,6 N + 50 N toplamının 100 N’dan fazla ettiğine dikkat et. Bu bir hata değil, bileşenler vektördür ve sayılar gibi toplanmaz. Yalnızca oklar, arka arkaya, toplanabilir ve onlar da asıl 100 N’u geri verir.

Peki Ali ipi daha yukarı kaldırıp 60°’ye çıkarsa? O zaman

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =100\mathrm{N}\cdot \cos 60°\\ & =100\mathrm{N}\cdot 0,5=50\mathrm{N}.\end{array}$$

İleri doğru kuvvetin yalnızca yarısıyla çekmiş olur. İp ne kadar dik giderse, kuvvetin ileri giden kısmı o kadar küçülür ve kızağı o kadar çok hafifletir.

Bileşenleri Yeniden Birleştirme

Şimdiye kadar kuvveti ayırdık. Çoğu zaman tersi gerekir: birbirine dik iki bileşeni biliyoruz ve vektörün tamamını istiyoruz. Bileşenler bir dik üçgenin dik kenarlarıdır ve vektör onun hipotenüsüdür, yani büyüklüğü Pisagor teoremiyle hesaplarız:

$$F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}$$

Bunu kızak üzerinde doğrulayalım. Bileşenleri yerine koyalım:

$$F=\sqrt{(86,6\mathrm{N}{)}^2+(50\mathrm{N}{)}^2}$$

Kareleri alalım:

$$\begin{array}{rl}F& =\sqrt{7.499,56{\mathrm{N}}^2+2.500{\mathrm{N}}^2}\\ & =\sqrt{9.999,56{\mathrm{N}}^2}\end{array}$$

Ve karekök alalım:

$$F\approx 100,0\mathrm{N}$$

Asıl kuvveti elde ettik. Kökün içindeki küçük sapma, kosinüsü 0,866’ya yuvarlamamızdan kaynaklandı.

Şimdi Emre’ye ve yürüyüşüne dönebiliriz. Onun yer değiştirmesinin bileşenleri doğuya 3 km ve kuzeye 4 km’dir, büyüklüğünü de zaten biliyoruz, 5 km. Geriye yön kaldı. Yeşil okun kırmızıyla, yani doğu yönüyle yaptığı açıya α diyelim. 4 km’lik kuzey bileşeni onun karşısındadır ve hipotenüs 5 km uzunluğundadır:

$$\sin \alpha =\frac{4\mathrm{km}}{5\mathrm{km}}=0,8$$

Kilometreler sadeleşti, sinüs birimsiz sıradan bir sayıdır. Sinüsü 0,8 olan açıyı hesap makinesi sin⁻¹ tuşuyla bulur (çoğunlukla sin tuşunun üzerindedir, sitede arcsin hesap makinesi işini görür):

$$\alpha \approx 53°$$

Yani Emre’nin yer değiştirmesi, doğudan kuzeye doğru 53° sapan bir yönde 5 km’dir. Bir vektörün daha fazlasına ihtiyacı yoktur: büyüklük ve yön. Emre en kısa yoldan geri dönmek isteseydi ters vektör boyunca giderdi: ters yönde 5 km, yani güneybatıya, batıdan çok biraz daha güneye doğru.

Yer değiştirme bütün kinematik boyunca bizimle olacak. Bir sonraki yazıda, Hareket ve Durgunluk yazısında, onu alınan yolla karşılaştıracağız ve bir koşucunun sahanın çevresinde tam bir tur attıktan sonra aslında neden hiç yer değiştirmediğini göstereceğiz.