Rovnoměrný přímočarý pohyb

Na dálnici zapnete tempomat na 108 km/h. Auto teď jede celou dobu stejně rychle, rovně za nosem, a ručička tachometru se ani nehne. Kolik metrů ujede za jednu sekundu? Rychlost si přepočteme na metry za sekundu, tedy vydělíme číslem 3,6:

$$108\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{108}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=30\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Každou sekundu auto ujede 30 m. Za dvě sekundy 60 m, za tři 90 m, a tak dál a dál, s každou sekundou o třicet metrů víc.

Vlevo vidíme silnici shora, auto po ní jede nahoru. Naše auto za sebou každou celou sekundu nechá na silnici oranžovou značku, třeba kapku barvy. Všechny značky jsou od sebe stejně daleko, po 30 m, protože auto za každou sekundu ujede stejnou dráhu. Vpravo je graf. Na vodorovné ose je čas t v sekundách, na svislé dráha s v metrech, kterou auto ujelo od první značky. Svislá osa má stejné měřítko jako silnice, takže červený bod v grafu stále sedí ve stejné výšce jako auto. V animaci uplyne šest sekund jízdy a s každou sekundou přibude značka na silnici i oranžový bod v grafu.

Pohyb po přímce, při kterém se velikost rychlosti tělesa nemění, nazýváme rovnoměrný přímočarý pohyb. Přímočarý je pohyb, jehož trajektorií je přímka. Rovnoměrný je takový, při kterém těleso za stejně dlouhé doby urazí stejné dráhy, což je totéž jako stálá velikost okamžité rychlosti. Auto, které jede stálou rychlostí po přímce, nemůže zatočit, protože by z přímky sjelo, a nemůže se ani otočit zpátky, protože by k tomu muselo zpomalit až na nulu. Nemění se tedy ani směr jeho rychlosti. Na rozdíl od auta na kruhovém objezdu zůstává stálá celá rychlost jako vektor, tedy velikost i směr.

Úplně přesně se takhle nepohybuje nic: vždycky trochu zafouká vítr nebo se silnice zvedne do kopce. Auto s tempomatem na rovné dálnici, eskalátor v metru nebo vlak na rovné trati se ale rovnoměrnému přímočarému pohybu hodně přibližují.

Vzorec pro dráhu

Pokud hledáte jen vzorec, dráhu s, kterou těleso urazí rovnoměrným pohybem rychlostí v za čas t, vypočítáte jako

$$s=v\cdot t$$

Odvodíme ho ze vzorce pro rychlost $v=\frac{s}{t}$, který už známe. Stačí obě strany vynásobit časem t:

$$\begin{array}{rcl}v& =& \frac{s}{t}/\cdot t\\ v\cdot t& =& s\end{array}$$

Lidsky řečeno: když auto ujede každou sekundu 30 m, ujede za deset sekund desetkrát tolik. Za minutu, tedy za 60 s, ujede auto s tempomatem

$$s=30\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 60\mathrm{s}=1800\mathrm{m}=1,8\mathrm{km}.$$

S jednotkami počítáme jako s čísly. Sekundy ve jmenovateli se vykrátí s těmi, kterými násobíme, a zbudou metry:

$$\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \mathrm{s}=\mathrm{m}$$

Kdyby vám vyšly třeba metry krát sekundy, víte, že se někde stala chyba.

Pozor, vzorec s = v · t platí jen pro rovnoměrný pohyb. Když rychlost kolísá, nevíme, kterou z nich do vzorce vzít. Pomůže nám jen průměrná rychlost, s = v_p · t. Novákovi jeli do Brna průměrně 82 km/h po dobu 2,5 h, takže ujeli 82 km/h · 2,5 h = 205 km, i když jejich tachometr ukazoval všechno možné od nuly po sto třicet.

Kolik to bude trvat?

Když vzorec s = v · t vydělíme rychlostí v, dostaneme čas:

$$t=\frac{s}{v}$$

Z Prahy do Brna vede dálnice D1 a měří asi 205 km. Kdyby auto jelo celou cestu stálou rychlostí 100 km/h, trvala by cesta

$$t=\frac{205\mathrm{km}}{100\mathrm{km}/\mathrm{h}}=2,05\mathrm{h}.$$

Dálnice sice rovná jako pravítko není, vzorci to ale nevadí. Dráha se měří podél trajektorie, takže s = v · t platí pro každý rovnoměrný pohyb, i pro auto, které stálou rychlostí projíždí zatáčky.

Kolik je 2,05 h v hodinách a minutách? Určitě ne dvě hodiny a pět minut. Hodina má šedesát minut, ne sto. Dvě celé hodiny necháme a zbylých pět setin hodiny převedeme na minuty:

$$0,05\mathrm{h}=0,05\cdot 60\min =3\min$$

Cesta by trvala 2 h a 3 min.

Zbývá třetí veličina, rychlost. Tu spočítáme vzorcem $v=\frac{s}{t}$. Eliška jede na kole po rovné cyklostezce podél Vltavy pořád stejným tempem a 6 km ujede za 20 min. Dvacet minut je třetina hodiny:

$$v=\frac{6\mathrm{km}}{\frac{1}{3}\mathrm{h}}=18\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Dělení třetinou je totéž jako násobení třemi, proto vyšlo 6 · 3 = 18. Kdo nemá rád zlomky, převede všechno na metry a sekundy. Dvacet minut je 20 · 60 s = 1 200 s:

$$v=\frac{6000\mathrm{m}}{1200\mathrm{s}}=5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Obě cesty dají totéž, protože 5 m/s krát 3,6 je 18 km/h.

Graf dráhy je přímka

Zapíšeme si dráhy auta s tempomatem z úvodu do tabulky:

Každý řádek tabulky je jeden bod grafu: čas odměříme na vodorovné ose, dráhu na svislé. Přesně tak vznikly oranžové body v animaci nahoře. Leží všechny na jedné přímce, která vychází z počátku. Proč zrovna na přímce?

Z každého bodu vede k dalšímu stejný schod: o jednu sekundu doprava (modře) a o 30 m nahoru (červeně). Schody jsou všechny stejně široké a stejně vysoké, takže spojnice sousedních bodů mají stejný sklon a navazují na sebe bez zalomení. Všechny body tedy sedí na jedné rovné čáře. Kdyby auto někde zrychlilo, byl by tam schod vyšší a čára by se zalomila nahoru. Totéž platí i mezi celými sekundami. Za půl sekundy auto ujede 15 m, za desetinu sekundy 3 m, a všechny tyhle body leží na téže přímce. Proto graf kreslíme plnou čarou, ne jen jako sedm teček.

Jak moc je přímka strmá, poznáme podle toho, o kolik stoupne, když se posuneme o kus doprava. Šířku schodu, tedy změnu času, zapíšeme Δt a výšku schodu, změnu dráhy, Δs. Jejich podílem dostaneme strmost:

$$\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{30\mathrm{m}}{1\mathrm{s}}=30\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Vyšlo číslo, které už známe: rychlost auta. Strmost grafu dráhy je rychlost. Je to přesně vzorec $v=\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}$ pro okamžitou rychlost, jen u rovnoměrného pohybu nemusíme hlídat, aby byl úsek krátký. Vezmeme-li větší kus grafu, vyjde strmost stejně. Mezi první a pátou sekundou uplynuly 4 s a auto za ně ujelo 150 m − 30 m = 120 m:

$$\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{120\mathrm{m}}{4\mathrm{s}}=30\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Matematik by řekl, že dráha je lineární funkcí času. Lineární funkce se zapisují předpisem y = a · x + b a jejich grafem je vždycky přímka. Číslo a říká, o kolik y vzroste, když x vzroste o jedničku, a říká se mu směrnice. Číslo b určuje, ve které výšce přímka protne svislou osu. Náš vzorec s = v · t je lineární funkce, ve které je místo x čas, místo y dráha, směrnicí je rychlost a b = 0, takže přímka prochází počátkem. Taková závislost je přímá úměrnost: za dvakrát delší čas ujede auto dvakrát delší dráhu, za třikrát delší trojnásobnou.

Rychlejší auto, strmější graf

Na mostě naše auto s tempomatem předjíždí kamion, který jede 72 km/h, tedy

$$72\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{72}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Čas i dráhu obou budeme měřit od mostu a oba grafy nakreslíme do jednoho obrázku.

Červená přímka auta je strmější než modrá přímka kamionu, protože auto každou sekundu ujede víc. Čím strmější graf dráhy, tím rychlejší pohyb. Kdyby kamion stál, jeho graf by byl vodorovný, se strmostí nula.

Z grafu se dají hodnoty také odečítat, proto jsme do něj nakreslili mřížku. Kam dojede kamion za 3 s? Na vodorovné ose najdeme trojku a po čárkované čáře stoupáme nahoru, dokud nenarazíme na modrou přímku. Odtud zamíříme doleva na svislou osu a přečteme 60 m. Obráceně se zeptáme, kdy bude auto 120 m za mostem. Na svislé ose najdeme 120, jdeme doprava k červené přímce a pak dolů na časovou osu: za 4 s. Obojí si můžeme ověřit výpočtem:

$$20\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 3\mathrm{s}=60\mathrm{m},\frac{120\mathrm{m}}{30\mathrm{m}/\mathrm{s}}=4\mathrm{s}$$

Svislá vzdálenost mezi přímkami ukazuje, o kolik je auto před kamionem. Po šesti sekundách je to 180 m − 120 m = 60 m. Náskok každou sekundu naroste o 10 m, což je přesně rozdíl obou rychlostí, 30 m/s − 20 m/s = 10 m/s.

Když auto nezačíná na nule

Zatím jsme dráhu měřili od místa, kde jsme spustili stopky. Stopky ale často zapneme, až když má těleso kus cesty za sebou. Podél dálnice D1 stojí kilometrovníky, sloupky s čísly, které ukazují, kolik kilometrů je to od začátku dálnice v Praze. U Mirošovic auto míjí 21. kilometr a od té chvíle jede stálou rychlostí 90 km/h. Na kterém kilometru bude za dvě hodiny?

Za dvě hodiny ujede 90 km/h · 2 h = 180 km. Na kilometrovníku ale nebude 180, protože auto nevyjelo z nuly. Počítáme, jako by už ve chvíli, kdy jsme spustili stopky, mělo za sebou 21 km, protože kilometrovník měří od začátku dálnice. Té dráze se říká počáteční dráha a značí se s₀. Dráhu v čase t pak dostaneme tak, že k počáteční dráze přičteme, co auto ujelo od spuštění stopek:

$$s=s_0+v\cdot t$$

Dosadíme:

$$\begin{array}{rl}s& =21\mathrm{km}+90\mathrm{km}/\mathrm{h}\cdot 2\mathrm{h}\\ & =21\mathrm{km}+180\mathrm{km}=201\mathrm{km}\end{array}$$

Za dvě hodiny bude auto na 201. kilometru. Když je počáteční dráha nulová, dostaneme původní vzorec s = v · t.

Graf už nezačíná v počátku, ale na svislé ose ve výšce s₀ = 21 km, kterou ukazuje modrá úsečka. Strmost je pořád rychlost, za každou hodinu graf stoupne o 90 km. Šedá čárkovaná přímka je graf auta, které jede stejně rychle, ale vyjelo ze začátku dálnice. Obě přímky jsou rovnoběžné, protože mají stejnou strmost. Červená je jen o s₀ výš. V řeči lineární funkce y = a · x + b je a rychlost a b počáteční dráha.

Otočme to: kdy dojede auto k 156. kilometru? Svádí to vydělit 156 devadesáti, ale tím bychom zjistili, za jak dlouho by dojelo ze začátku dálnice. Vyjdeme ze vzorce a čas z něj vyjádříme:

$$\begin{array}{rcl}{s}_0+v\cdot t& =& s/-s_0\\ v\cdot t& =& s-s_0/:v\\ t& =& \frac{s-s_0}{v}\end{array}$$

Dosadíme:

$$t=\frac{156\mathrm{km}-21\mathrm{km}}{90\mathrm{km}/\mathrm{h}}=\frac{135\mathrm{km}}{90\mathrm{km}/\mathrm{h}}=1,5\mathrm{h}$$

K 156. kilometru dojede auto za hodinu a půl, tedy za 1 h a 30 min.

Číslo z kilometrovníku přesně vzato neříká, jakou dráhu auto ujelo, ale kde na dálnici je. Dokud auto jede jen dopředu, je to totéž jako dráha, kterou by ujelo od začátku dálnice. Proč na tom záleží, uvidíme na konci článku.

Graf rychlosti

Do grafu můžeme kreslit i rychlost. Auto s tempomatem jede pořád 30 m/s, ať je čas jakýkoli, a proto je graf jeho rychlosti vodorovná čára ve výšce 30.

Dráhu na žádné ose tohoto grafu nenajdeme. Je schovaná v ploše pod grafem. Pod čarou za prvních deset sekund vznikl červený obdélník široký 10 s a vysoký 30 m/s. Jeho obsah, šířka krát výška, je

$$30\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 10\mathrm{s}=300\mathrm{m}.$$

To je přesně dráha s = v · t, kterou auto za deset sekund ujede. Obsah tu nevychází v metrech čtverečních, ale v metrech, protože strany obdélníku nejsou délky, ale rychlost a čas. Bílé čáry dělí obdélník na deset proužků, jeden za každou sekundu. Každý má obsah 30 m/s · 1 s = 30 m, stejně jako je třicet metrů mezi sousedními značkami na silnici v animaci na začátku.

Proč se zdržovat s plochou, když stačí vynásobit? Protože plocha pod grafem rychlosti znamená dráhu i tehdy, když graf vodorovný není. Až se dostaneme ke zrychlenému pohybu, bude graf rychlosti stoupat a pod ním bude místo obdélníku trojúhelník nebo lichoběžník. Dráhu pak spočítáme jako jejich obsah a stačí k tomu vzorce pro obsah trojúhelníku a obdélníku, lichoběžník se na ně dá rozdělit.

Stojí, nebo jede zpátky?

Ondra ráno vyrazí na kole z domu po rovné silnici. Dvě hodiny jede stálou rychlostí 20 km/h, potom hodinu obědvá v hospodě a nakonec se stejnou rychlostí vrací domů.

Na svislé ose tentokrát není dráha, ale poloha. Podél silnice natáhneme osu x a počátek dáme k Ondrovi domů. Poloha x pak říká, jak daleko od domova po silnici Ondra je, tak jako kilometrovník ukazuje, kde na silnici auto je. Šedá čárkovaná čára je dráha, kterou Ondra ujel a kterou ukazuje cyklopočítač na řídítkách. Do konce oběda se s polohou kryje. Červený úsek už známe. Za dvě hodiny Ondra ujede 40 km a graf stoupá se strmostí 20 km/h.

Modrý úsek je vodorovný. Čas běží, ale Ondra zůstává 40 km od domova, takže stojí. Vodorovný graf znamená klid, strmost je nulová a rychlost taky.

Zelený úsek klesá. Ondra se vrací a jeho poloha x se každou hodinu zmenší o 20 km. Klesající graf znamená pohyb zpátky. Jak rychle Ondra jede, poznáme podle toho, o kolik graf za hodinu klesne, tady o 20 km, takže jede 20 km/h. Rychlost má teď opačný směr než ráno. Proto jí fyzici někdy přidělují znaménko minus, které říká, že poloha x s časem klesá.

Teď je vidět, proč jsme u kilometrovníku rozlišovali, kde těleso je a jakou dráhu ujelo. Cyklopočítač měří dráhu, a ta s časem nikdy neklesá. Čárkovaná čára proto po obědě stoupá dál a večer skončí na 80 km, zatímco graf polohy skončil na nule, protože Ondra je zase doma. Při jízdě jedním směrem se poloha a dráha liší jen o počáteční hodnotu, proto u kilometrovníku stačil vzorec pro dráhu s = s₀ + v · t. Když se těleso otáčí, musíme počítat s polohou.

Celý Ondrův výlet rovnoměrný není, skládá se ze tří rovnoměrných kousků. Průměrná rychlost za celý den je celková dráha dělená celkovým časem, i s obědem. Celková dráha není koncová poloha, ta je nulová. Je to 80 km, kde končí čárkovaný graf, neboli 40 km + 0 km + 40 km:

$$v_p=\frac{80\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=16\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Svislý úsek v grafu nikdy nebude. Znamenal by, že se Ondra během nulového času přenesl o kus dál. A graf, který by se stáčel doleva, by znamenal, že Ondrovi běží čas pozpátku. Ani jedno se zatím nikomu nepodařilo.

Kalkulačka

První kalkulačka spočítá dráhu z rychlosti a času, druhá čas z dráhy a rychlosti. Předvyplněné hodnoty pocházejí z příkladů v článku: deset sekund s tempomatem na 108 km/h a cesta z Prahy do Brna stálou stovkou.

Se vzorcem s = s₀ + v · t a grafem dráhy se dají řešit i slovní úlohy, v nichž jedno auto dohání druhé nebo dva vlaky jedou proti sobě. Každé vozidlo má v grafu svou přímku a místo, kde se potkají, je průsečík přímek. K takovým úlohám se ještě dostaneme.

Než se do nich pustíme, projdeme si v článku Jak řešit příklady z kinematiky a dynamiky postup, který se vyplatí u každého fyzikálního příkladu: zápis zadání, převod jednotek, náčrtek a obecné řešení.