Volný pád

Pusťte naráz z ruky klíče a list papíru. Klíče cinknou o podlahu skoro hned, papír se ještě chvíli kolébá vzduchem. Těžší věci tedy padají rychleji? Právě to si skoro dva tisíce let myslela většina učenců, počínaje Aristotelem. Až Galileo Galilei na přelomu 16. a 17. století přišel na to, že rozdíl dělá vzduch. Kdyby žádný nebyl, padal by kámen, kladivo i ptačí pírko stejně rychle.

Podle pověsti Galileo studentům na důkaz shodil ze šikmé věže v Pise dvě různě těžké koule. Příběh je to pěkný, ale známe ho až od jeho žáka a životopisce a historici pochybují, že se tak opravdu stal. Galileo na to ve skutečnosti přišel trpělivějšími pokusy, ke kterým se ještě dostaneme.

Kladivo a pírko na Měsíci

Na Zemi se to ukazuje těžko, vzduch je totiž všude kolem nás. Na Měsíci ale žádný není. V roce 1971 tam astronaut David Scott z mise Apollo 15 před televizní kamerou pustil ze stejné výšky geologické kladivo a sokolí pírko. Pírko nebylo vybrané náhodou: přistávací modul mise nesl jméno Falcon, česky sokol. Obojí padalo stejně rychle a obojí dopadlo do prachu ve stejném okamžiku. Scott k tomu suše dodal, že pan Galileo měl pravdu.

Vlevo je Měsíc, vpravo pro srovnání Země se vzduchem.

Pohybu tělesa, které pustíme z klidu a které pak padá jen proto, že ho přitahuje Země (nebo Měsíc), bez jakéhokoli odporu vzduchu, říkáme volný pád. Na Měsíci padají volným pádem pírka i kladiva. Na Zemi se mu hodně blíží padající kámen, klíče nebo jablko, aspoň dokud nepadají z velké výšky. Pírko ani papír volným pádem nepadají, ty vzduch brzdí až moc.

Padá se zrychlením g

Galileo objevil ještě jednu věc. Rychlost padajícího tělesa roste rovnoměrně, za každou sekundu přibude stejně. Volný pád tak představuje rovnoměrně zrychlený pohyb z klidu. Jeho zrychlení je pro všechna tělesa na jednom místě stejné, nese název tíhové zrychlení a značí se g. Zní to divně, kladivo je přece mnohem těžší než pírko. Země ho sice přitahuje víc, ale stejně tak víc vzdoruje tomu, aby se rozpohybovalo, a obojí se přesně vyrovná. Proč tomu tak je, ukážou až síly. U nás je

$$g\approx 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2.$$

Volně padající kámen má každou sekundu rychlost o 9,81 m/s větší. Přesná hodnota se od místa k místu trochu liší: na rovníku je tíhové zrychlení asi 9,78 m/s², na pólech 9,83 m/s². Pro odhad z hlavy stačí 10 m/s². Na Měsíci je zhruba šestkrát menší, a Scottovo kladivo i pírko tak na Měsíci padaly znatelně pomaleji než kámen na Zemi.

Těleso padá po svislé přímce, kladný směr proto zvolíme dolů. Zrychlení i rychlost pak vyjdou kladné. Vzorce rovnoměrně zrychleného pohybu v = v₀ + a · t a $s=v_0\cdot t+\frac{1}{2}a{t}^2$ se tu zjednoduší. Těleso startuje z klidu, počáteční rychlost je proto v₀ = 0, a zrychlení je a = g. Dráhu budeme značit h jako výšku, protože říká, o kolik metrů těleso spadne. Zbude:

$$v=g\cdot t$$

$$h=\frac{1}{2}g{t}^2$$

Čas t měříme od puštění, v je rychlost v tom okamžiku a h výška, o kterou těleso za tu dobu kleslo. Za první sekundu nabere kámen rychlost 9,81 m/s a spadl o 4,9 m. Po dvou sekundách má 19,6 m/s a spadl o 19,6 m, po třech má 29,4 m/s a je už 44,1 m pod místem, odkud jsme ho pustili.

Napadne vás spočítat výšku jako rychlost krát čas. Ale rychlost 19,6 m/s má kámen až na konci druhé sekundy, předtím padal pomaleji, a výsledek by vyšel dvakrát větší. Právě kvůli tomu stojí ve vzorci polovina.

Stopy po stejných časech

Na obrázku padá kulička, zpomaleně, aby bylo něco vidět, a po každém stejně dlouhém úseku času, třeba po desetině sekundy, za sebou nechá oranžovou stopu. Stopy se od sebe vzdalují čím dál víc, protože kulička je s každým okamžikem rychlejší. Za jeden díl času kulička klesne o jeden díl dráhy, za dva díly času o 2² = 4 díly, za tři o 3² = 9 a za čtyři o 4² = 16 dílů. Úseky mezi stopami pak měří 1, 4 − 1 = 3, 9 − 4 = 5 a 16 − 9 = 7 dílů. Sousední druhé mocniny se liší o lichá čísla.

Volný pád byl na tehdejší hodiny příliš rychlý, a tak Galileo pouštěl kuličky po mírně skloněném žlabu, kde se všechno odehrává pomaleji. Našel přesně tahle lichá čísla, 1 : 3 : 5 : 7.

Jak hluboká je studna?

U chalupy máte starou studnu a chcete vědět, jak hluboko je hladina. Pustíte do ní kámen a stopkami změříte, že šplouchne za 2 s. Nejdřív si vypíšeme, co o pádu víme:

$$\begin{array}{rl}t& =2\mathrm{s}\\ g& =9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ h& =?(\mathrm{m})\end{array}$$

Kámen padá z klidu, takže rovnou dosadíme do vzorce pro výšku:

$$\begin{array}{rl}h& =\frac{1}{2}\cdot g\cdot t^2=\frac{1}{2}\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (2\mathrm{s}{)}^2\\ & =\frac{1}{2}\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 4{\mathrm{s}}^2\doteq 19,6\mathrm{m}\end{array}$$

Sekundy na druhou se vykrátí a zůstanou metry. Hladina leží asi 19,6 m pod okrajem studny, pořádně hluboko. Jako rychlou zkoušku vezmeme zaokrouhleně g ≈ 10 m/s²: polovina z deseti krát čtyři je dvacet metrů. Sedí.

Čas, který zvuk šplouchnutí potřebuje na cestu zpátky nahoru, jsme zanedbali. Zvuk urazí dvacet metrů zhruba za šest setin sekundy, a to se proti dvěma sekundám skoro neprojeví. Ani odpor vzduchu kámen na dvaceti metrech příliš nezbrzdí.

Rychlost kamene tvoří v grafu přímku, která každou sekundu stoupne o 9,81 m/s. Její strmost je tíhové zrychlení g. Dráhu najdeme jako plochu pod grafem, tady jako červený trojúhelník s odvěsnami 2 s a 19,6 m/s. Jeho obsah je $\frac{1}{2}\cdot 2\mathrm{s}\cdot 19,6\mathrm{m}/\mathrm{s}=19,6\mathrm{m}$, přesně jak nám vyšlo ze vzorce.

Skok z desetimetrové věže

Nejvyšší plošina pro skoky do vody je deset metrů nad hladinou. Jak dlouho skokan padá a jakou rychlostí narazí do vody? Ve skutečnosti se z plošiny odráží a ve vzduchu se otáčí, ale zjednodušíme si to: prostě spadne z klidu jako kámen.

$$\begin{array}{rl}h& =10\mathrm{m}\\ g& =9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ t& =?(\mathrm{s})\\ v& =?(\mathrm{m}/\mathrm{s})\end{array}$$

Tentokrát známe výšku a hledáme čas, a ten musíme ze vzorce pro výšku vyjádřit. Obě strany nejprve vynásobíme dvěma, čímž zmizí zlomek. Potom je vydělíme tíhovým zrychlením a na pravé straně zbude jen čas na druhou:

$$\begin{array}{rcl}h& =& \frac{1}{2}g{t}^2/\cdot 2\\ 2h& =& g{t}^2/:g\\ \frac{2h}{g}& =& t^2\end{array}$$

Zatím máme čas na druhou, potřebujeme ale čas samotný. Pomůže odmocnina: odmocníme obě strany. Záporný výsledek nás nezajímá, čas od puštění je kladný:

$$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$$

Dosadíme:

$$\begin{array}{rl}t& =\sqrt{\frac{2\cdot 10\mathrm{m}}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}}\doteq \sqrt{2,04{\mathrm{s}}^2}\\ & \doteq 1,43\mathrm{s}\end{array}$$

Metry se vykrátí a sekundy na druhou přejdou ze jmenovatele do čitatele. Odmocnina z nich pak dá sekundy. Rychlost dopadu pak vyjde ze vzorce pro rychlost:

$$\begin{array}{rl}v& =g\cdot t\doteq 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 1,43\mathrm{s}\\ & \doteq 14\mathrm{m}/\mathrm{s}\doteq 50\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Skokan padá necelou sekundu a půl a do vody narazí rychlostí asi 14 m/s, tedy zhruba 50 km/h. Tak rychle jezdí auta po městě.

Rychlost dopadu se dá zjistit i bez času. Ze vztahu $v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$ s nulovou počáteční rychlostí, zrychlením g a dráhou h vyjde $v=\sqrt{2\cdot g\cdot h}$. Po dosazení máme $\sqrt{196,2{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}\doteq 14\mathrm{m}/\mathrm{s}$, totéž co předtím.

Pozor na jednu zradu. Z dvojnásobné výšky nepadá skokan dvakrát déle. Výška je ve vzorci pod odmocninou, takže z dvaceti metrů by padal jen asi 2,02 s. Shoduje se to se studnou: za dvě sekundy kámen spadl o necelých dvacet metrů.

Stejný vzorec poslouží i k zábavnému pokusu. Kamarád drží svisle pravítko a vy máte palec a ukazováček rozevřené kolem jeho spodního konce. Kamarád ho bez varování pustí a vy ho co nejrychleji chytíte. Když pravítko stihne propadnout o 20 cm, padalo $\sqrt{\frac{2\cdot 0,2\mathrm{m}}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}}\doteq 0,2\mathrm{s}$, a to je vaše reakční doba.

Odpor vzduchu a parašutista

Kdyby nebylo vzduchu, měl by parašutista po patnácti sekundách pádu rychlost v = 9,81 m/s² · 15 s ≐ 147 m/s, víc než 500 km/h, a zrychloval by dál. Tak rychle ale nikdy nepadá, protože vzduch padajícímu tělesu klade odpor, a tím větší, čím rychleji se pohybuje.

Hned po výskoku z letadla je parašutista pomalý, odpor vzduchu je malý a padá skoro volným pádem. S rychlostí ale odpor sílí, rychlost přibývá čím dál pomaleji, až přestane růst úplně. Parašutista pak padá stálou rychlostí, které říkáme mezní rychlost. Rozpláclý na břiše dosáhne zhruba 200 km/h. Otevřený padák odpor prudce zvětší a rychlost klesne na pár metrů za sekundu, s nimiž se dá bezpečně přistát.

Vzduch se hodí i za deště. Kapka z mraku ve výšce dvou kilometrů by bez odporu vzduchu dopadla rychlostí $\sqrt{2\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 2000\mathrm{m}}\doteq 198\mathrm{m}/\mathrm{s}$, přes 700 km/h, rychlostí letadla. Doopravdy ale i velké kapky padají jen asi 9 m/s.

Pírko a list papíru mají mezní rychlost velmi malou, dosáhnou jí skoro okamžitě, a proto se snášejí tak pomalu. Proč tolik záleží na tvaru a hmotnosti, ukáže dynamika. Kámen do studny nebo skokan z věže mají rychlosti nanejvýš kolem sedmdesáti kilometrů za hodinu a při nich je odpor vzduchu ještě malý, vzorce volného pádu proto sedí dobře.

Kalkulačka volného pádu

Vyplňte dobu pádu a kalkulačka vám řekne, z jaké výšky těleso spadlo a jakou rychlostí dopadlo. Počítá s g = 9,81 m/s² a bez odporu vzduchu.

A obráceně: zadejte výšku a kalkulačka určí, jak dlouho těleso padá a jakou rychlostí dopadne.

Padající kámen koná jediný pohyb, svisle dolů. Často ale těleso koná několik pohybů najednou: loďku, která míří na protější břeh, unáší proud, a kapky deště, které padají svisle, letí z jedoucího auta šikmo. Kam loďka dopluje a jak musí mířit, aby přistála přímo naproti, spočítáme v dalším článku, Skládání pohybů.