Slovní úlohy o pohybu

V osm ráno vyjede z Prahy po dálnici D1 auto rychlostí 90 km/h. Naproti mu ve stejnou chvíli vyráží z Brna druhé auto rychlostí 115 km/h. Dálnice mezi městy měří 205 km. Kdy a kde se auta potkají?

Úlohy o pohybu se pokaždé tváří jinak, ale skoro všechny jdou rozlousknout stejným trikem. Pro každé vozidlo napíšeme, kde je v čase t, a potom hledáme okamžik, kdy jsou obě na stejném místě. Vše jede stálou rychlostí, takže nám stačí vzorce pro rovnoměrný přímočarý pohyb a obvyklý postup řešení příkladů.

Dvě auta proti sobě

Zapíšeme, co víme a co hledáme. Auto z Prahy dostane index 1, auto z Brna index 2:

$\begin{aligned} v_{1} & = 90 km / h \\ v_{2} & = 115 km / h \\ s & = 205 km \\ t & = ? \\ x & = ? \end{aligned}$

Všechno je v kilometrech a hodinách, jednotky se nemíchají, takže převádět nemusíme. Čas nám vyjde v hodinách.

Pomůže náčrtek. Podél dálnice natáhneme osu x. Počátek dáme do Prahy, takže Brno leží na 205 km.

Náčrtek: osa x podél dálnice, červené auto z Prahy jede rychlostí v_1 doprava, modré auto z Brna rychlostí v_2 doleva

Červené auto jede ve směru osy, takže jeho poloha je prostě dráha, kterou ujelo:

$x_{1} = v_{1} \cdot t$

Modré auto začíná na 205 km a jede proti směru osy. Jeho poloha se proto každou hodinu o 115 km zmenší:

$x_{2} = s - v_{2} \cdot t$

Minus tu je z téhož důvodu, proč klesal graf Ondry na cestě domů. Fyzik by klidně řekl, že modré auto má rychlost −115 km/h. My rychlost necháme kladnou, tak jak ji ukazuje tachometr, a směr zapíšeme znaménkem ve vzorci.

Auta se potkají, když jsou na stejném místě, tedy když x₁ = x₂. Úlohu vyřešíme obecně:

$\begin{array}{rcl} v_{1} \cdot t & = & s - v_{2} \cdot t / + v_{2} \cdot t \\ v_{1} \cdot t + v_{2} \cdot t & = & s \\ t \cdot (v_{1} + v_{2}) & = & s / : (v_{1} + v_{2}) \\ t & = & \frac{s}{v_{1} + v_{2}} \end{array}$

Druhý řádek dává smysl i bez rovnic. Výraz v₁ · t je dráha červeného auta, v₂ · t dráha modrého a dohromady ujedou celou vzdálenost mezi městy. Za každou hodinu se k sobě přiblíží o 90 km + 115 km = 205 km. Dosadíme:

$\begin{aligned} t & = \frac{205 km}{90 km / h + 115 km / h} \\ = \frac{205 km}{205 km / h} = 1 h \end{aligned}$

Jednotky sedí: kilometry dělené kilometry za hodinu jsou hodiny. Místo setkání dostaneme, když čas dosadíme do polohy kteréhokoli z aut:

$x_{1} = 90 km / h \cdot 1 h = 90 km$

Pro kontrolu: modré auto je v tu chvíli na 205 km − 115 km = 90 km, tedy na stejném místě. Sedí i odhad. Kdyby obě auta jela stejně rychle, potkala by se v půli cesty. Auto z Brna jede rychleji, takže se potkají blíž k Praze. Odpověď: auta se potkají v devět hodin, 90 km od Prahy. Zamávat si řidiči nejspíš nestihnou, vždyť se k sobě řítí právě těmi 205 km za hodinu.

Průsečík grafů

Tutéž úlohu zvládneme i bez rovnice. Polohy obou aut zakreslíme do jednoho grafu, tak jako dřív auto s kamionem.

Graf polohy auta z Prahy (červeně) a auta z Brna (modře). Oranžový průsečík ukazuje, kdy a kde se auta potkají

Červená přímka vychází z počátku a stoupá se strmostí 90 km/h. Modrá začíná ve výšce 205 km a klesá, protože auto jede proti směru osy. Klesá strměji, než červená stoupá, protože auto z Brna je rychlejší. Do Prahy, kde je poloha nulová, dojede za necelé dvě hodiny.

Kde se přímky protnou, mají obě auta ve stejném čase stejnou polohu. To je přesně setkání. Z oranžového průsečíku sestoupíme na časovou osu a přečteme 1 h, doleva na svislou osu a přečteme 90 km.

Řešit rovnici x₁ = x₂ je totéž jako hledat průsečík dvou přímek, jen místo kreslení počítáme. Graf ukáže, co se v úloze děje, a dá rychlý odhad. Rovnice dá přesné číslo i tehdy, když průsečík padne mezi dílky.

Dohánění

Z Benešova vyjede cyklista stálou rychlostí 18 km/h. Hodinu po něm se po stejné silnici vydá auto rychlostí 54 km/h. Kdy a kde cyklistu dožene?

Rozhodněme se, odkud budeme měřit čas. Nejpohodlnější je spustit stopky ve chvíli, kdy vyjíždí auto. Cyklista má tou dobou za sebou hodinu jízdy, to je náskok 18 km. To je jeho počáteční dráha s₀ ze vzorce s = s₀ + v · t. Cyklista jede jen dopředu a vyjel z počátku osy, a jeho počáteční dráha proto splývá s počáteční polohou. Osu povedeme podél silnice s počátkem v Benešově. Cyklista bude mít index 1, auto index 2:

$\begin{aligned} v_{1} & = 18 km / h \\ v_{2} & = 54 km / h \\ s_{0} & = 18 km \\ t & = ? \\ x & = ? \end{aligned}$

Oba jedou ve směru osy, takže jejich polohy jsou

$\begin{aligned} x_{1} & = s_{0} + v_{1} \cdot t, \\ x_{2} & = v_{2} \cdot t . \end{aligned}$

Auto dožene cyklistu, když budou na stejném místě, x₂ = x₁:

$\begin{array}{rcl} v_{2} \cdot t & = & s_{0} + v_{1} \cdot t / - v_{1} \cdot t \\ t \cdot (v_{2} - v_{1}) & = & s_{0} / : (v_{2} - v_{1}) \\ t & = & \frac{s_{0}}{v_{2} - v_{1}} \end{array}$

Tentokrát stojí ve jmenovateli rozdíl rychlostí. Auto každou hodinu ukrojí z náskoku 54 km − 18 km = 36 km, tak jako dřív rostl náskok auta před kamionem o rozdíl jejich rychlostí. Spočítáme:

$\begin{aligned} t & = \frac{18 km}{54 km / h - 18 km / h} \\ = \frac{18 km}{36 km / h} = 0, 5 h \end{aligned}$

Auto dožene cyklistu za půl hodiny, tedy za 30 min. Místo setkání vyčteme z polohy auta:

$x_{2} = 54 km / h \cdot 0, 5 h = 27 km$

Cyklista je ve stejné chvíli na 18 km + 18 km/h · 0,5 h = 27 km, sedí to. Odpověď: auto dožene cyklistu půl hodiny poté, co vyjelo, 27 km od Benešova.

I tady nakreslíme graf polohy. Na časové ose jsou tentokrát minuty od výjezdu auta, aby se v obrázku neobjevila desetinná čísla.

Graf polohy cyklisty (modře) a auta (červeně), čas v minutách od výjezdu auta. Oranžový průsečík ukazuje, kdy a kde auto cyklistu dožene

Modrá přímka cyklisty nezačíná v počátku, ale ve výšce 18 km, stejně jako graf auta, které míjelo kilometrovník. Červená přímka auta vychází z nuly a je strmější. Svislý odstup mezi přímkami je náskok cyklisty. Každou minutu se zmenšuje, až v průsečíku na 30 min a 27 km zmizí úplně. Za průsečíkem leží červená přímka nad modrou: auto cyklistu předjelo a už se vzdaluje.

Pozor, na co odpovídáme. Půl hodiny měříme od výjezdu auta. Cyklista v tu chvíli šlape už hodinu a půl. Kdybychom stopky spustili s ním, vyšla by hodina a půl. Obojí platí, každý čas se jen měří od jiné chvíle, a tu proto musíme v odpovědi uvést.

Ze vzorce vyčteme ještě jednu věc. Kdyby auto jelo jen 18 km/h, byla by ve jmenovateli nula. Nulou dělit nejde a auto by cyklistu nedohnalo ani v Táboře.

Vlak v tunelu

Vlak dlouhý 200 m projíždí stálou rychlostí 72 km/h tunelem, který měří 1 km. Jak dlouho mu trvá projet tunelem celý, tedy od vjezdu lokomotivy do výjezdu posledního vagonu?

Svádí to vydělit délku tunelu rychlostí. Vlak tu ale nesmíme považovat za hmotný bod, protože o výsledku rozhoduje právě jeho délka, a bez náčrtku to snadno přehlédneme.

Šedě čárkovaně vlak, když jeho čelo vjíždí do tunelu, plně vlak, když z tunelu vyjíždí jeho konec. Čelo je v obou polohách oranžově, červeně dráha s, kterou ujede

Stačí sledovat jediný bod vlaku, čelo lokomotivy (oranžově). Na začátku je u vjezdu do tunelu. Když z tunelu vyjíždí poslední vagon, je čelo za výjezdem o celou délku vlaku. Ujelo tedy délku tunelu (modře) a k tomu délku vlaku (zeleně):

$s = 1 000 m + 200 m = 1 200 m$

Délky jsou v metrech, rychlost proto převedeme na metry za sekundu:

$v = 72 km / h = \frac{72}{3, 6} m / s = 20 m / s$

Čas je dráha dělená rychlostí:

$t = \frac{s}{v} = \frac{1 200 m}{20 m / s} = 60 s$

Metry dělené metry za sekundu jsou sekundy, takže vlak projede tunelem za minutu. Kdo vzal jen délku tunelu, dostal 50 s. V tu chvíli ale lokomotiva teprve vyjíždí ven a celý vlak je za ní ještě v tunelu. Odhad sedí: kilometr ujede vlak za padesát sekund a dvě stě metrů navíc za dalších deset.

Spočítejte si ještě, jak dlouho je v tunelu vlak celý. Začíná to ve chvíli, kdy do tunelu vjede poslední vagon a čelo je tedy 200 m za vjezdem. Končí, když čelo dojede k výjezdu. Čelo ujede 1 000 m − 200 m = 800 m, což mu zabere 40 s. Délka vlaku se tentokrát odečítá.

Po proudu a proti proudu

Po Labi pluje výletní loď. Vůči vodě jede rychlostí 15 km/h a řeka teče rychlostí 3 km/h. Za jak dlouho dopluje do přístavu 36 km po proudu a za jak dlouho se vrátí?

Rychlost lodi měříme vůči vodě. Kdyby lodník vypnul motor, voda by loď unášela rychlostí 3 km/h. Jako vždy záleží na tom, vůči čemu pohyb měříme. Vůči břehu loď po proudu za hodinu urazí 15 km vlastní silou a voda ji k tomu posune o další 3 km. Loď bude mít index 1, proud index 2. Čas po proudu označíme $t_{+}$ , protože se rychlosti sčítají, čas proti proudu $t_{-}$ :

$\begin{aligned} v_{1} & = 15 km / h \\ v_{2} & = 3 km / h \\ s & = 36 km \\ t_{+} & = ? \\ t_{-} & = ? \end{aligned}$

Po proudu se rychlosti sčítají a cesta trvá

$\begin{aligned} t_{+} & = \frac{s}{v_{1} + v_{2}} = \frac{36 km}{18 km / h} \\ = 2 h . \end{aligned}$

Proti proudu voda loď každou hodinu stáhne o 3 km zpátky a rychlosti se odečítají:

$\begin{aligned} t_{-} & = \frac{s}{v_{1} - v_{2}} = \frac{36 km}{12 km / h} \\ = 3 h \end{aligned}$

Kilometry dělené kilometry za hodinu dají hodiny. Loď dopluje do přístavu za dvě hodiny a zpátky za tři.

Kdyby proud dosáhl rychlosti lodi vůči vodě, byla by ve jmenovateli druhého vzorce nula, stejně jako u auta, které by za cyklistou jelo jen 18 km/h. Loď by proti proudu stála vůči břehu na místě a lodník by mohl nechat motor běžet celý den, výchozí přístav by se nepřiblížil ani o metr.

A teď chyták. Jakou průměrnou rychlostí loď plula na celé cestě tam a zpátky? Kdo řekne 15 km/h, protože proud jednou pomáhal a jednou škodil stejně, naletěl tak jako u úlohy tam 60, zpátky 40. Loď ujela 72 km za 5 h:

$v_{p} = \frac{72 km}{5 h} = 14, 4 km / h$

Proti proudu plula déle, tři hodiny místo dvou, a průměr se proto přiklonil k pomalejší rychlosti. Na stojaté vodě by stejných 72 km urazila za 4,8 h, tedy za 4 h a 48 min. Proud, který pomáhá i škodí stejně, výlet tam a zpátky vždycky prodlouží.

Ve všech úlohách v tomto článku jela auta, vlaky i lodě stálou rychlostí. Skutečné auto se ale musí nejdřív rozjet a před cílem zase zabrzdit. Jak popsat pohyb, při kterém se rychlost mění, si ukážeme v dalším článku, Zrychlení.

« Předchozí: Jak řešit příklady z kinematiky a dynamiky

Další: Zrychlení »