Jak řešit příklady z kinematiky a dynamiky

Vlak jede po rovné trati stálou rychlostí 72 km/h. Za jak dlouho ujede 1,8 km?

Čas je dráha dělená rychlostí. Kdo ale vezme kalkulačku a vydělí 1,8 sedmdesáti dvěma, dostane 0,025 a neví, co si s tím počít. Sekundy to nejsou, minuty taky ne. A kdo vydělí 1 800 metrů sedmdesáti dvěma, dostane 25, což vypadá docela věrohodně, a přitom je to nesmysl. Takový příklad se spočítá snadno, těžší je v něm nic nepokazit. Ve fyzice se proto vyplatí postupovat u každého příkladu stejně, krok za krokem. Hned si je vyzkoušíme na tom vlaku.

Co víme a co hledáme

Ze zadání nejprve vypíšeme všechny veličiny, které známe, každou jejím písmenem, s číslem a jednotkou. Pod ně napíšeme, co hledáme, a místo čísla dáme otazník:

$$\begin{array}{rl}v& =72\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ s& =1,8\mathrm{km}\\ t& =?\end{array}$$

Může to působit jako zbytečné papírování, ve skutečnosti to ale ušetří spoustu trápení. Hned vidíme, co máme k dispozici a co chybí. V zadání psaném větami se čísla snadno přehlédnou nebo prohodí, ve sloupečku ne. Podle toho, které veličiny ve sloupečku jsou, poznáme i vzorec: dráha, rychlost a čas, to je s = v · t.

Převedeme jednotky

Rychlost máme v kilometrech za hodinu, dráhu v kilometrech. Před samotným počítáním obojí převedeme na základní jednotky, tedy na metry, sekundy a metry za sekundu. Rychlost vydělíme číslem 3,6:

$$72\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{72}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

a dráhu vynásobíme tisícem:

$$1,8\mathrm{km}=1,8\cdot 1000\mathrm{m}=1800\mathrm{m}.$$

Převedené hodnoty doplníme rovnou do zápisu:

$$\begin{array}{rl}v& =72\mathrm{km}/\mathrm{h}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ s& =1,8\mathrm{km}=1800\mathrm{m}\\ t& =?(\mathrm{s})\end{array}$$

Jednotka v závorce za otazníkem prozradí, v čem výsledek dostaneme. Když dosadíme metry a metry za sekundu, vyjde čas v sekundách.

Musí to být metry a sekundy? Nemusí. Klidně můžeme počítat i v kilometrech a hodinách. Dráha je v kilometrech, rychlost v kilometrech za hodinu, takže by vyšel čas v hodinách. Důležité je jediné: jednotky se nesmí míchat. Když vydělíme 1 800 m rychlostí 72, která je v kilometrech za hodinu, vyjde 25 něčeho, co nejsou sekundy ani hodiny. A právě to je ta věrohodně vypadající pětadvacítka z úvodu.

Náčrtek

Při úlohách o pohybu se skoro vždycky vyplatí nakreslit obrázek. Nemusí být hezký ani v měřítku. Stačí vlak jako krabička s koly, šipka, kam jede, a úsek trati, který má ujet.

Červená šipka je rychlost v, modrá kóta je dráha s, kterou má vlak ujet. Ke každé části obrázku připíšeme písmeno veličiny, případně i hodnotu. U jednoho vlaku na rovné trati je náčrtek skoro samozřejmý. Jakmile ale pojedou dvě auta proti sobě nebo bude vlak projíždět tunelem a bude záležet na jeho délce, často obrázek prozradí dřív než výpočet, co se v úloze vlastně děje.

Nejdřív písmena, čísla až nakonec

Čísla bychom nejraději dosadili hned. Lepší je ale nejprve celou úlohu vyřešit obecně, tedy jen s písmeny, a čísla dosadit až do hotového vzorce. Ze vzorce s = v · t vyjádříme čas a obě strany vydělíme rychlostí:

$$\begin{array}{rcl}v\cdot t& =& s/:v\\ t& =& \frac{s}{v}\end{array}$$

Až teď přijdou na řadu převedené hodnoty:

$$t=\frac{s}{v}=\frac{1800\mathrm{m}}{20\mathrm{m}/\mathrm{s}}=90\mathrm{s}$$

Vlak ujede 1,8 km za 90 s, tedy za minutu a půl.

Proč tolik ceremonií, když jsme mohli rovnou dělit? U tak krátkého příkladu je rozdíl malý, ale obecné řešení má několik výhod, které se u delších příkladů rychle projeví:

• Podle vzorce s písmeny poznáme, jestli dává smysl. Ve vzorci $t=\frac{s}{v}$ je dráha v čitateli, takže delší trať znamená delší čas. Rychlost je ve jmenovateli, takže rychlejší vlak to stihne dřív. Obojí sedí.
• Vzorec nám dovolí zkontrolovat jednotky, o tom za chvíli.
• Když se spleteme, víme, kde hledat. V řádku plném čísel se chyba schová mnohem líp.
• Kalkulačku vezmeme do ruky jen jednou a zaokrouhlujeme až výsledek. Proč na tom záleží, uvidíme u typických chyb.
• Když se změní zadání, třeba vlak pojede rychleji, stačí dosadit znovu. Vzorec už máme.

Sedí jednotky?

Dosazovali jsme i s jednotkami a s těmi počítáme stejně jako s čísly. Metry se zkrátí s metry a dělit zlomkem je totéž jako násobit převráceným zlomkem:

$$\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}=\mathrm{m}\cdot \frac{\mathrm{s}}{\mathrm{m}}=\mathrm{s}$$

Vyšly sekundy, tedy jednotka času, který hledáme. S kilometry a hodinami by to dopadlo stejně:

$$\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{km}/\mathrm{h}}=\mathrm{km}\cdot \frac{\mathrm{h}}{\mathrm{km}}=\mathrm{h}$$

Kontrola jednotek odhalí i špatně vyjádřený vzorec. Kdo by prohodil čitatele se jmenovatelem a počítal $t=\frac{v}{s}$, dostal by

$$\frac{\mathrm{m}/\mathrm{s}}{\mathrm{m}}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \frac{1}{\mathrm{m}}=\frac{1}{\mathrm{s}},$$

a to není jednotka času. Hned víme, že je něco špatně, a nemusíme ani nic počítat.

Obě cesty dají totéž

Vlak si ještě jednou projedeme v kilometrech a hodinách, ať se přesvědčíme, že to funguje:

$$t=\frac{s}{v}=\frac{1,8\mathrm{km}}{72\mathrm{km}/\mathrm{h}}=\mathrm{0,025}\mathrm{h}$$

Tady je ono záhadné 0,025 z úvodu. Tentokrát víme, že jde o hodiny, protože kilometry dělené kilometry za hodinu dají hodiny. Na sekundy převedeme tak, že za hodinu dosadíme 3 600 s:

$$\mathrm{0,025}\mathrm{h}=\mathrm{0,025}\cdot 3600\mathrm{s}=90\mathrm{s}$$

Vyšlo stejných 90 s. Která cesta je lepší? Záleží na zadání. V kinematice a dynamice budeme skoro vždycky převádět na metry a sekundy, protože v nich se počítají i zrychlení a síly. U cestování autem nebo vlakem, kde je všechno v kilometrech a hodinách, bývá pohodlnější zůstat u nich.

Je výsledek rozumný?

Nakonec odhadneme, jestli výsledek dává smysl. Rychlost 72 km/h znamená 72 km za šedesát minut, tedy 1,2 km za minutu. Dráha 1,8 km je jedenapůlkrát delší, takže to vlaku bude trvat jedenapůlkrát déle než minutu. Minuta a půl, sedí. Odpověď: vlak ujede 1,8 km za minutu a půl.

Často stačí obyčejná zkušenost. Pavla jde pěšky do školy 1,5 km a trvá jí to 18 min. Jakou rychlostí jde? Kdo vydělí metry minutami, dostane

$$\frac{1500}{18}\doteq 83,3,$$

a když zapomene, že to jsou metry za minutu, a ne za sekundu, a „převede“ na kilometry za hodinu, vyjde mu 83,3 · 3,6 ≐ 300. Pavla by chodila do školy rychlostí 300 km/h, rychleji než Pendolino. Takový výsledek je chybný, i když netušíme, kde se chyba stala. Správně převedeme minuty na sekundy, 18 · 60 s = 1 080 s, a dostaneme

$$v=\frac{s}{t}=\frac{1500\mathrm{m}}{1080\mathrm{s}}\doteq 1,39\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Po vynásobení číslem 3,6 je to zhruba 5 km/h, obyčejná chůze. Pro hrubou kontrolu se hodí tabulka rychlostí: chodec jde kolem 5 km/h, cyklista kolem 20 km/h, auto na dálnici 130 km/h. Auto, které jede 3 000 km/h, nebo vlak, který kilometr ujede za tři sekundy, je jasný signál, že je třeba hledat chybu.

Postup v kostce

Celý postup jsme si prošli na vlaku. Shrneme ho:

1. Zápis. Vypíšeme, co známe, každou veličinu písmenem, číslem a jednotkou, a co hledáme, s otazníkem.

2. Převod jednotek. Všechno převedeme na stejné jednotky, obvykle na metry, sekundy a metry za sekundu.

3. Náčrtek. Nakreslíme, co se děje, a k obrázku připíšeme veličiny.

4. Obecné řešení. Ze vzorce vyjádříme hledanou veličinu, jen s písmeny.

5. Dosazení. Do hotového vzorce dosadíme čísla i s jednotkami a vypočítáme výsledek.

6. Kontrola jednotek. Zkontrolujeme, že vyšla jednotka hledané veličiny.

7. Odhad. Zeptáme se, jestli je výsledek rozumný, a odpovíme celou větou na otázku ze zadání.

Stejně budeme postupovat ve všech dalších příkladech, včetně dynamiky. Tam se k veličinám přidají síly a náčrtek bude ještě důležitější, protože do něj budeme kreslit, která síla kam působí.

Typické chyby

Minuty dosazené jako hodiny. Chodec jde rychlostí 5 km/h. Kam dojde za 15 min? Kdo dosadí do s = v · t rovnou patnáctku, dostane

$$s=5\cdot 15=75,$$

a protože rychlost byla v kilometrech za hodinu, napíše 75 km. To by chodec za čtvrt hodiny došel z Prahy skoro do Plzně. Rychlost je v kilometrech za hodinu, takže čas musí být v hodinách. Patnáct minut je čtvrt hodiny, 0,25 h:

$$s=v\cdot t=5\mathrm{km}/\mathrm{h}\cdot 0,25\mathrm{h}=1,25\mathrm{km}$$

Takovou chybu snadno přehlédneme, když čísla dosazujeme bez jednotek. S jednotkami by nám vyšly kilometry za hodinu krát minuty, a to se nezkrátí.

Desetiny hodiny nejsou minuty. Třeba 1,5 h není hodina padesát, ale hodina a třicet minut, protože hodina má šedesát minut, ne sto. Stejně tak 0,25 h není dvacet pět minut, ale patnáct. Desetinnou část hodiny převedete na minuty tak, že ji vynásobíte šedesáti:

$$0,25\mathrm{h}=0,25\cdot 60\min =15\min$$

Zaokrouhlování mezivýsledků. Podívejme se znovu na vlak počítaný v hodinách. Vyšlo nám 0,025 h. Kdo je zvyklý zaokrouhlovat na dvě desetinná místa, napíše 0,03 h a pokračuje:

$$0,03\mathrm{h}=0,03\cdot 3600\mathrm{s}=108\mathrm{s}$$

Místo 90 s vyšlo 108 s, o 18 s víc. Chyba je dvacet procent, a to jen kvůli jednomu nevinně vypadajícímu zaokrouhlení. Přidali jsme přece jen pět tisícin hodiny, ale 0,025 je malé číslo a pět tisícin je celá pětina z něj. Po vynásobení číslem 3 600 se z pěti tisícin hodiny stalo 18 s. Mezivýsledky proto nezaokrouhlujte vůbec, nebo si ponechte aspoň o dvě tři číslice víc, než chcete mít ve výsledku. Nejjistější je obecné řešení: s čísly počítáme až na konci a zaokrouhlujeme jen jednou, až hotový výsledek v jednotkách, ve kterých ho chceme mít.

Cyklista od začátku do konce

Nakonec si jeden příklad projdeme celý, krok za krokem. Cyklista jede po cyklostezce stálou rychlostí 18 km/h. Za jak dlouho ujede 4,5 km?

Zapíšeme, co víme a co hledáme:

$$\begin{array}{rl}v& =18\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ s& =4,5\mathrm{km}\\ t& =?\end{array}$$

Dráha je v kilometrech a rychlost v kilometrech za hodinu, jednotky se nemíchají, takže tentokrát převádět nemusíme a čas nám vyjde v hodinách. Pro kontrolu si ho pak spočítáme ještě v sekundách. Náčrtek je skoro stejný jako u vlaku:

Obecné řešení známe z vlaku, $t=\frac{s}{v}$. Dosadíme:

$$t=\frac{s}{v}=\frac{4,5\mathrm{km}}{18\mathrm{km}/\mathrm{h}}=0,25\mathrm{h}$$

Jednotky sedí, kilometry dělené kilometry za hodinu dají hodiny. Čtvrt hodiny pak odpovídá

$$0,25\mathrm{h}=0,25\cdot 60\min =15\min .$$

Teď totéž v základních jednotkách. Převedeme:

$$\begin{array}{rl}v& =18\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{18}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=5\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ s& =4,5\mathrm{km}=4500\mathrm{m}\end{array}$$

a dosadíme:

$$t=\frac{4500\mathrm{m}}{5\mathrm{m}/\mathrm{s}}=900\mathrm{s}$$

Minuta má šedesát sekund, takže $900\mathrm{s}=\frac{900}{60}\min =15\min$. Obě cesty vedou ke stejnému výsledku.

Dává výsledek smysl? Za hodinu by cyklista ujel 18 km, za čtvrt hodiny tedy čtvrtinu, 4,5 km. Přesně tolik, kolik měl ujet. Odpověď napíšeme celou větou: cyklista ujede 4,5 km za 15 min.

Stejným postupem zvládneme i slovní úlohy o pohybu, v nichž se dvě auta potkávají nebo jedno dohání druhé. Tam se náčrtek i obecné řešení opravdu vyplatí.