Zrychlení

Výrobci aut se rádi chlubí, za kolik sekund jejich vůz zrychlí z nuly na sto. U běžného rodinného auta vychází zhruba deset sekund. Co to číslo vlastně říká? Nejdřív přepočteme sto kilometrů za hodinu na metry za sekundu:

$$100\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{100}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\doteq 27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Za deset sekund tedy auto nabere 27,8 m/s. Kdyby přidávalo rovnoměrně, jelo by s každou sekundou o desetinu z toho rychleji, o 2,78 m/s, zaokrouhleně o 2,8 m/s. Po první sekundě by jelo 2,8 m/s, po druhé 5,6 m/s, po třetí 8,4 m/s a po desáté oněch 27,8 m/s. Veličinu, která udává, o kolik se rychlost změní za sekundu, nazýváme zrychlení.

Obrázek ukazuje dvě silnice nad sebou. Obě auta po sobě každou celou sekundu nechávají oranžovou značku. Horní auto drží celou dobu stejné tempo, 7 m/s, a značky má proto od sebe stejně daleko. Dolní auto se rozjíždí z klidu a zrychluje právě o 2,8 m/s každou sekundu. V první sekundě ujede jen kousek, sotva metr a půl, pak ale s každou sekundou víc, protože jede čím dál rychleji. Jeho značky jsou proto od sebe čím dál dál, o kolik, spočítáme za chvíli. Za pět sekund jsou obě auta na stejném místě, 35 m od startu. Dolní auto zpočátku zaostávalo, nakonec jelo rychleji a horní auto dohnalo přesně v cíli.

Vzorec pro zrychlení

Pokud hledáte jen vzorec, zrychlení a vypočítáte tak, že změnu rychlosti Δv vydělíte dobou Δt, za kterou se rychlost změnila:

$$a=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}$$

Řecké Δ značí změnu. Změna rychlosti je rozdíl rychlosti na konci a na začátku. Počáteční rychlost označíme v₀, konečnou v:

$$\mathrm{\Delta }v=v-v_0$$

Pro auto z úvodu zapíšeme zadání:

$$\begin{array}{rl}{v}_0& =0\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v& =100\mathrm{km}/\mathrm{h}\doteq 27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ \mathrm{\Delta }t& =10\mathrm{s}\\ a& =?\end{array}$$

Dosadíme:

$$a=\frac{v-v_0}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}-0\mathrm{m}/\mathrm{s}}{10\mathrm{s}}\doteq 2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Rodinné auto má zrychlení asi 2,8 m/s². Ve skutečnosti auto nezrychluje celou dobu stejně, s vyšším rychlostním stupněm už přidává míň. Vypočítané číslo je proto průměrné zrychlení za celých deset sekund. Okamžité zrychlení získáme stejným trikem jako okamžitou rychlost: změnu rychlosti změříme za tak krátkou dobu Δt, aby se zrychlení během ní znatelně nezměnilo. Kdo zná derivace, pozná v tom derivaci rychlosti podle času, a = v'(t).

Proč metry za sekundu na druhou

Jednotku zrychlení získáme dělením jednotky rychlosti jednotkou času. Dělit číslem je totéž jako násobit jeho převrácenou hodnotou:

$$\frac{\mathrm{m}/\mathrm{s}}{\mathrm{s}}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \frac{1}{\mathrm{s}}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}\cdot \mathrm{s}}={\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Dvě sekundy ve jmenovateli vypadají podivně, ale každá je tam z jiného důvodu. První patří k rychlosti (kolik metrů za sekundu auto jede), druhá říká, za jak dlouho se ta rychlost změnila. Zápis 2,8 m/s² proto čtěte jako „každou sekundu o 2,8 m/s rychleji“.

Kdo raději počítá v kilometrech za hodinu, může to vyjádřit i tak: auto, které zrychlí z nuly na sto za deset sekund, přidá každou sekundu 10 km/h. Výsledek 10 km/h za sekundu je plnohodnotné zrychlení, jen v jednotce, kterou nikdo nepoužívá, protože míchá hodiny se sekundami.

Pozor na záměnu: velké zrychlení neznamená velkou rychlost. Auto na dálnici s tempomatem nastaveným na 130 km/h má zrychlení nulové, protože jeho rychlost se nemění. Auto rozjíždějící se na zelenou jede zpočátku skoro nulovou rychlostí, a přitom má zrychlení pořádné. Zrychlení neříká, jak rychle těleso jede, ale jak rychle se jeho rychlost mění.

Proč se značky rozestupují

Podívejme se znovu na dolní auto z obrázku. Má zrychlení 2,8 m/s², takže za první sekundu zrychlí z nuly na 2,8 m/s. Rychlost roste rovnoměrně, takže první sekundu jede v průměru poloviční rychlostí, 1,4 m/s, a ujede 1,4 m. Ve druhé sekundě zrychlí z 2,8 m/s na 5,6 m/s, jede průměrně 4,2 m/s a ujede 4,2 m, třikrát víc než v první. Ve třetí sekundě jede průměrně 7 m/s, stejně jako horní auto, a ujede stejných 7 m.

Každou sekundu se průměrná rychlost zvětší o 2,8 m/s, a ujetý kus silnice proto o 2,8 m. Rozestupy značek jsou postupně 1,4 m, 4,2 m, 7 m, 9,8 m a 12,6 m, v poměru 1:3:5:7:9, a dohromady dají 35 m. Horní auto jede celou dobu 7 m/s a za pět sekund ujede taky 35 m. Že průměrná rychlost leží přesně uprostřed mezi rychlostí na začátku a na konci sekundy, platí jen při rovnoměrném růstu rychlosti. Proč, zdůvodníme u rovnoměrně zrychleného pohybu.

Brzdění

Auto jede rychlostí 72 km/h, tedy 20 m/s, řidič zabrzdí a za 4 s auto stojí. Konečná rychlost je nulová, počáteční 20 m/s:

$$a=\frac{v-v_0}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{0\mathrm{m}/\mathrm{s}-20\mathrm{m}/\mathrm{s}}{4\mathrm{s}}=-5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Zrychlení vyšlo záporné. Rychlost auta neroste, naopak klesá, a to každou sekundu o 5 m/s. Hovorově bychom řekli zpomalení, fyzik ale řekne, že auto zpomaluje se zrychlením −5 m/s², neboli se zpomalením 5 m/s². Obojí znamená totéž.

Co ale znaménko minus doopravdy znamená? Rychlost je vektor a zrychlení taky. Šipka zrychlení $\overrightarrow{a}$ ukazuje, kterým směrem se rychlost mění.

Obě auta jedou doprava, a proto červená šipka rychlosti $\overrightarrow{v}$ míří doprava. Horní auto zrychluje a zelená šipka zrychlení $\overrightarrow{a}$ míří stejně jako rychlost: každou sekundu se k rychlosti kousek přidá a šipka rychlosti se prodlouží. Dolní auto brzdí a jeho zrychlení míří opačně, dozadu. Každou sekundu se šipka rychlosti zkrátí, až z ní nic nezbude. Na přímce na směr stačí znaménko. Když kladný směr zvolíme ve směru jízdy, jako u brzdícího auta, míří kladné zrychlení stejně jako rychlost a těleso zrychluje. Záporné míří proti rychlosti a těleso zpomaluje.

Zrychlení v zatáčce

Auto objíždí kruhový objezd a tachometr ukazuje pořád 54 km/h. Rychlost jako vektor se přesto mění, protože šipka rychlosti se neustále stáčí. A kde se mění rychlost, je i zrychlení. Zrychlení jako vektor je změna vektoru rychlosti za jednotku času:

$$\overrightarrow{a}=\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{{\overrightarrow{v}}_2-{\overrightarrow{v}}_1}{\mathrm{\Delta }t}$$

Dva vektory odečteme tak, že obě šipky přeneseme do jednoho bodu. Rozdíl ${\overrightarrow{v}}_2-{\overrightarrow{v}}_1$ je pak šipka od hrotu ${\overrightarrow{v}}_1$ k hrotu ${\overrightarrow{v}}_2$, protože když ji k ${\overrightarrow{v}}_1$ přidáme, dostaneme právě ${\overrightarrow{v}}_2$. Šipky rychlosti na objezdu jsou stejně dlouhé, ale míří jinam, takže jejich rozdíl nulový není. Auto, které projíždí zatáčku stálou rychlostí, má nenulové zrychlení. Nezpůsobuje ho plyn ani brzda, ale zatáčení.

Příklad: Auto projede čtvrtinu objezdu stálou rychlostí 54 km/h = 15 m/s za 3 s. Na začátku jede na východ, na konci na sever. Jak velké je jeho průměrné zrychlení a kam míří? Zapíšeme zadání:

$$\begin{array}{rl}{v}_1& =15\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v_2& =15\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ \mathrm{\Delta }t& =3\mathrm{s}\\ a& =?\end{array}$$

Šipka ${\overrightarrow{v}}_1$ míří na východ, na obrázku doprava, šipka ${\overrightarrow{v}}_2$ na sever, nahoru.

Vpravo jsou obě šipky přenesené do jednoho bodu a svírají pravý úhel. Zelený rozdíl $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$ vede od hrotu ${\overrightarrow{v}}_1$ k hrotu ${\overrightarrow{v}}_2$, tedy o 15 m/s doleva a o 15 m/s nahoru. Je přeponou pravoúhlého trojúhelníku, takže jeho velikost spočítáme Pythagorovou větou:

$$\mathrm{\Delta }v=\sqrt{{15}^2+{15}^2}\mathrm{m}/\mathrm{s}=\sqrt{450}\mathrm{m}/\mathrm{s}\doteq 21,2\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Rozdíl míří šikmo doleva nahoru, na severozápad, stejně jako šedá šipka vlevo, která vede z poloviny čtvrtiny do středu objezdu. Zrychlení dostaneme, když změnu rychlosti vydělíme dobou. Dělení číslem šipku jen zkrátí, takže zrychlení míří taky do středu objezdu. Dosadíme:

$$a=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}\doteq \frac{21,2\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\doteq 7,1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Auto má průměrné zrychlení asi 7,1 m/s² do středu objezdu. To je skoro jako při prudkém brzdění na suché silnici, kolem 7 m/s², a přitom tachometr pořád ukazuje 54 km/h. Proto se v zatáčce musíte zapřít, i když řidič nepřidává ani nebrzdí. Vyšlo nám zrychlení průměrné, za celou čtvrtinu objezdu. Okamžité zrychlení v každém místě zatáčky spočítáme přesně u dostředivého zrychlení.

Přetížení

Zrychlení auta cítíme na vlastním těle: sportovní auto vás při rozjezdu vmáčkne do sedadla. Jak silně, se porovnává s tíhovým zrychlením g ≈ 9,81 m/s². S tímto zrychlením padá kámen, který pustíte z ruky, pokud ho nebrzdí vzduch. Sportovní auto zvládne z nuly na sto za tři sekundy, takže má zrychlení

$$a=\frac{27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\doteq 9,3{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2,$$

skoro stejné jako padající kámen.

Přetížení udává, kolikrát silněji vás tlačí sedačka, podlaha nebo opěradlo než při klidném sezení. Když teď sedíte na židli, je přetížení 1g, přestože nezrychlujete. Přetížení tedy není totéž co zrychlení. Při 4g by vás sedačka tlačila čtyřikrát silněji, jako byste vážili čtyřikrát víc.

Ve sportovním autě při plném plynu vás opěradlo tlačí do zad skoro stejně silně jako sedačka zespodu, protože auto zrychluje skoro jako padající kámen. Na horské dráze vás v nejnižším místě údolí nebo smyčky přitiskne k sedačce přetížení 3 až 4g. Vozík tam rychle mění směr z jízdy dolů na jízdu nahoru, a to je velké zrychlení mířící vzhůru.

Cestou dolů tlačí sedačka slaběji než při sezení, v nejnižším místě údolí asi třikrát silněji.

Pilot stíhačky v ostré zatáčce snese až 9g, ale jen ve speciální kombinéze, která brání tomu, aby mu krev odtekla z hlavy do nohou. Netrénovaný člověk by při takovém přetížení za pár sekund omdlel. Zajímavé je, že ve volném pádu nic necítíme, i když zrychlujeme: nic nás netlačí, přetížení je nulové a tělo je v beztíži. Proč vlastně zrychlení cítíme jako tlak sedačky, vysvětlí až dynamika, tedy část o silách.

Nejjednodušší je pohyb, při kterém se zrychlení vůbec nemění, jako u dolního auta na prvním obrázku. Rychlost pak roste každou sekundu o stejný kus a dráhu i rychlost v libovolném okamžiku umíme spočítat jednoduchými vzorci. Takovému pohybu se věnuje další článek, Rovnoměrně zrychlený pohyb.