Pohyb a klid

Představte si, že sedíte ve vlaku z Prahy do Brna a čtete si. Pohybujete se? Soused naproti by řekl, že ne. Celou cestu sedíte na stejném místě, metr od něj, a ani jednou jste se nehnuli. Jenže paní, která stojí na nástupišti v Pardubicích, by tvrdila, že kolem ní právě prolétáte rychlostí 160 km/h. A oba mají pravdu.

Nahoře se na vlak díváme z nástupiště, dole z vagonu. Obě červené šipky ukazují tentýž pohyb, jen viděný pokaždé odjinud.

Tenhle klam zná každý, kdo někdy seděl ve stojícím vlaku na nádraží: vlak na vedlejší koleji se pomalu rozjede a vám na okamžik připadá, že se rozjíždíte vy. Teprve když se podíváte na budovu nádraží, zjistíte, že stojíte. Oko prostě potřebuje něco, k čemu může pohyb vztáhnout.

Vztažná soustava

Zda se těleso pohybuje, nebo je v klidu, nelze určit samo o sobě. Vždycky musíme dodat vůči čemu. Tomu tělesu, vůči kterému pohyb posuzujeme, říkáme vztažné těleso. Pro souseda ve vlaku je to vagon, pro paní na nástupišti Země.

Těleso je v klidu, když svou polohu vůči vztažnému tělesu nemění. Vůči vagonu jste v klidu, vůči Zemi se pohybujete. Paní na nástupišti naopak vůči Zemi stojí, ale vůči vám ujíždí dozadu rychlostí 160 km/h. Pohyb i klid jsou relativní, tedy závislé na tom, odkud se díváme.

Aby šlo polohu popsat čísly, připevníme k vztažnému tělesu soustavu souřadnic. Vybereme si bod, kterému říkáme počátek, a z něj vedeme osy x a y, jako když v matematice kreslíte graf. Na nádraží by počátek mohl být třeba u výpravčího, osa x podél kolejí a osa y kolmo k nim. Poloha tělesa je pak dána dvěma čísly: jak daleko leží ve směru jedné osy a jak daleko ve směru druhé. Ve vlaku si zvolíme počátek třeba u dveří vagonu. Vztažné těleso spolu se soustavou souřadnic a s hodinami, které měří čas, se dohromady jmenuje vztažná soustava.

Vaši polohu ve vagonu, černou tečku, tak určuje červená vzdálenost podél osy x a modrá vzdálenost podél osy y.

Ve všedním životě tvoří vztažnou soustavu skoro vždycky Země, a proto ji často ani nezmiňujeme. Když řekneme, že auto jede 90 km/h nebo že dům stojí, myslíme tím vůči Zemi. Ani „nehybný“ dům ale není v klidu úplně. Země se otáčí kolem své osy, takže dům v Česku za den opíše kružnici dlouhou asi 26 000 km. Za hodinu tedy urazí přes 1 000 km. K tomu Země obíhá Slunce rychlostí asi 30 km/s. Než dočtete tuhle větu, uletíte se Zemí i s domem a gaučem nějakých sto padesát kilometrů. Ani Slunce ale v klidu není, obíhá kolem středu Galaxie. Těleso v klidu „doopravdy“, tedy bez udání vůči čemu, prostě neexistuje.

Hmotný bod

Auto na dálnici D1 mezi Prahou a Brnem je dlouhé asi 4,5 m. Celá trasa měří zhruba 205 km. Kdybyste celou dálnici nakreslili na papír jako čáru dlouhou 20 cm, auto by na tom obrázku měřilo asi 4 µm, šestnáctkrát méně, než je tloušťka vlasu. Pokud chceme vědět, kdy auto do Brna dorazí, nezáleží na tom, jak je dlouhé, kde má volant a jestli má otevřené okno. Můžeme si ho představit jako jediný bod, který se posouvá po mapě.

Takovému zjednodušení se říká hmotný bod. Je to těleso, jehož rozměry můžeme v dané situaci zanedbat. Nahradíme ho bodem, kterému necháme hmotnost celého tělesa. Ve fyzice se s hmotnými body počítá mnohem snáz než se skutečnými tělesy, která se mohou otáčet, prohýbat nebo měnit tvar.

O tom, zda smíme těleso považovat za hmotný bod, však nerozhoduje těleso samo, ale otázka, kterou si klademe. Při parkování ovšem to samé auto hmotným bodem není. Tam rozhodují právě jeho rozměry: jestli se vejde mezi dvě jiná auta a kolik centimetrů zbývá k obrubníku. Země je zase při oběhu kolem Slunce hmotný bod. Její průměr, asi 12 700 km, je proti vzdálenosti od Slunce, 150 000 000 km, zanedbatelný. Když nás ale zajímá střídání dne a noci, musíme počítat s tím, že je to otáčející se koule, a bodem ji nahradit nejde.

Na dlouhé cestě vlevo stačí auto nahradit bodem, při parkování vpravo rozhodují jeho rozměry.

Trajektorie

Čáru, kterou hmotný bod při pohybu opisuje, nazýváme trajektorie. Někdy ji dokonce vidíme: letadlo vysoko na nebi za sebou nechává bílou kondenzační stopu, lyžař ve sněhu stopu. Trajektorie může být přímka, kružnice nebo jakákoli jiná křivka.

Stejně jako pohyb a klid závisí na vztažné soustavě i trajektorie. Podívejme se na ventilek na předním kole bicyklu. Když se cyklista za jízdy podívá dolů na přední kolo, vidí, že se kolo točí na místě a ventilek obíhá dokola. Jeho trajektorií je kružnice. Kamarádka, která stojí na chodníku a dívá se, jak cyklista projíždí kolem, ale žádnou kružnici nevidí. Kolo se valí dopředu, ventilek se s ním posouvá, a tak kreslí řadu oblouků.

Na obrázku je nahoře kolo z pohledu cyklisty, tedy ve vztažné soustavě spojené s rámem kola. Oranžový ventilek obíhá po červené kružnici. Dole je stejné kolo ve vztažné soustavě spojené se zemí. Šedá čárkovaná kružnice ukazuje, kde kolo bylo, když ventilek stál dole u silnice. Než se kolo jednou otočí, nakreslí ventilek červený oblouk. Obě poloviny obrázku zachycují tentýž pohyb téhož ventilku, jen z pohledu dvou různých vztažných soustav. Animace to ukazuje krok za krokem: kolo se nahoře točí a dole zároveň valí, a ventilek přitom kreslí obě stopy současně.

Křivka, kterou ventilek kreslí z chodníku, se jmenuje cykloida. Špičky má dole, v místech, kde se ventilek dotkne silnice. Kolo po silnici neklouže, odvaluje se po ní, takže místo, které se zrovna dotýká země, na okamžik stojí. Ventilek se tam zastaví a vzápětí se zvedá, nejdřív skoro svisle vzhůru. Přesně vzato sedí ventilek na ráfku o pár centimetrů blíž ke středu, než je povrch pneumatiky, takže se silnice nedotkne a jeho křivka je dole místo špiček jen ostře zahnutá. Skoro přesnou cykloidu by nakreslil například kamínek uvízlý ve vzorku pneumatiky.

Kolik ujede kolo za jednu otáčku? Když neklouže, odvine se celý jeho obvod po silnici jako metr ze svinovací pásky. Obvod kružnice s poloměrem r je 2π · r, kde π ≐ 3,14, takže se střed kola za jednu otáčku posune právě o 2π · r. Kolo bicyklu má obvod něco přes 2 m, takže na jednom kilometru udělá skoro pět set otáček.

Stejný princip platí i ve vlaku. Pokud vlak jede stálou rychlostí po rovné trati a vy ve vagonu upustíte jablko, padá vám přímo k nohám, svisle dolů. Paní na nástupišti ho vidí padat a zároveň ujíždět s vlakem dopředu, takže pro ni letí po šikmém oblouku.

Vlevo je pád jablka tak, jak ho vidíte vy ve vagonu, vpravo tak, jak ho vidí paní na nástupišti.

Dráha

Délka trajektorie, kterou těleso urazí, se jmenuje dráha a značí se s. Dráha je skalár, tedy číslo s jednotkou. Měří ji počítadlo kilometrů v autě: přičítá každý metr, který auto ujede, ať jede rovně, zatáčí, nebo couvá. Dráha proto s časem nikdy neklesá. Po návratu domů vám nachozené kilometry nikdo neodečte.

Posunutí

Turista Petr vyšel z chaty, ušel 3 km na východ a pak 4 km na sever. Nachodil dohromady 7 km, ale od chaty byl vzdálený jen 5 km. Šipka z místa, kde začal, do místa, kde skončil, je jeho posunutí. Teď už můžeme obě veličiny pojmenovat přesně: dráha byla 7 km, velikost posunutí 5 km.

Posunutí se šikovně zapíše pomocí vektorů. Polohu tělesa ve vztažné soustavě popíšeme šipkou, která vede z počátku do místa, kde těleso právě je. Té šipce se říká polohový vektor a značí se $\overrightarrow{r}$.

Černá čára na obrázku je trajektorie a oranžově jsou vyznačená dvě místa, kterými těleso postupně prošlo. Modré šipky jsou polohové vektory: ${\overrightarrow{r}}_1$ ukazuje, kde těleso bylo na začátku, a ${\overrightarrow{r}}_2$, kde bylo na konci. Červeně je zvýrazněný úsek trajektorie mezi nimi, tedy dráha, kterou těleso urazilo. Zelená šipka, která vede z prvního místa do druhého, je posunutí.

Posunutí říká, o kolik se poloha změnila. Změnu fyzikální veličiny značíme velkým řeckým písmenem Δ (delta) před její značkou, a proto se posunutí píše

$$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}$$

Čte se „delta er“ a celé dohromady je to jedna značka, ne součin. Proč změna? Podívejte se na obrázek. Modrá šipka ${\overrightarrow{r}}_1$ a za ní zelená šipka dají dohromady modrou šipku ${\overrightarrow{r}}_2$. Tak to u vektorů funguje, druhá šipka začíná tam, kde končí první:

$${\overrightarrow{r}}_1+\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_2$$

Odečteme ${\overrightarrow{r}}_1$ od obou stran:

$$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_2-{\overrightarrow{r}}_1$$

Posunutí je rozdíl konečné a počáteční polohy. Kdybychom počátek O dali jinam, změnily by se obě modré šipky, ale zelená by zůstala stejná. Posunutí tedy nezávisí na tom, kam si počátek zvolíme, jen na tom, kde těleso začalo a kde skončilo. Velikost posunutí, tedy délku zelené šipky, zapíšeme $|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|$.

Mezi dráhou a posunutím jsou dva rozdíly. Dráha je skalár, posunutí vektor, který má i směr. A dráha počítá celou cestu, kdežto posunutí jen začátek a konec. Ať šel Petr oklikou, nebo se cestou třikrát vracel pro zapomenutý mobil, posunutí zůstane stejné. Nejkratší spojnicí dvou bodů je úsečka, a proto velikost posunutí nikdy nepřekročí dráhu, $|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|\le s$. Stejně velké jsou jen tehdy, když se těleso pohybuje po přímce a ani jednou se neotočí zpátky.

Kolečko kolem hřiště

Školní hřiště obíhá běžecký okruh ve tvaru kružnice, dlouhý 400 m. Jana se rozběhne na startu a oběhne celé kolečko. Jakou urazila dráhu a jaké je její posunutí?

Dráha je jasná, celá trajektorie je dlouhá 400 m, takže s = 400 m. Jana ale doběhla přesně tam, odkud vyběhla. Začátek i konec splývají a šipka z bodu do téhož bodu nemá žádnou délku. Je to nulový vektor:

$$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}=\overrightarrow{0}$$

Jana naběhala čtyři sta metrů, a přesto je její posunutí nulové. Kdyby se celou dobu nehnula ze startu, vyšlo by posunutí stejně. Dráhu s posunutím tedy nikdy nezaměňujte.

Teď si Jana střihne jen půl kolečka. Dráha je polovina z 400 m, tedy s = 200 m. Jana skončila na druhé straně kružnice, přesně naproti startu. Zelená šipka posunutí vede středem kružnice, takže její délka je průměr, tedy dvakrát poloměr r. Poloměr zjistíme z obvodu. Obvod kružnice je 2π · r a víme, že měří 400 m:

$$\begin{array}{rcl}2\pi \cdot r& =& 400\mathrm{m}/:2\pi \\ r& =& \frac{400\mathrm{m}}{2\pi }\end{array}$$

Velikost posunutí je dvojnásobek poloměru. Dvojka v čitateli se zkrátí s dvojkou ve jmenovateli:

$$\begin{array}{rl}|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|& =2\cdot r=2\cdot \frac{400\mathrm{m}}{2\pi }\\ & =\frac{400\mathrm{m}}{\pi }\end{array}$$

Za π dosadíme přibližně 3,14:

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|\doteq \frac{400\mathrm{m}}{3,14}\doteq 127\mathrm{m}$$

Po půl kolečku je Jana od startu vzdálená asi 127 m, přestože uběhla 200 m. Poloměr okruhu je mimochodem polovina z toho, asi 63,7 m.

A co čtvrt kolečka? Dráha je čtvrtina z 400 m, tedy s = 100 m. Posunutí tentokrát nevede středem, ale šikmo.

Spojíme start i Janino nové místo se středem kružnice. Oba modré poloměry jsou na sebe kolmé, protože Jana uběhla čtvrtinu kružnice, a s posunutím tvoří pravoúhlý trojúhelník. Poloměry jsou jeho odvěsny a posunutí přepona. Použijeme Pythagorovu větu jako u Petrovy procházky:

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}{|}^2=r^2+r^2=2\cdot r^2.$$

Odmocníme. Odmocnina z r² je r, takže

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|=\sqrt{2}\cdot r.$$

Dosadíme poloměr 63,7 m a $\sqrt{2}\doteq \mathrm{1,414}$:

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|\doteq \mathrm{1,414}\cdot 63,7\mathrm{m}\doteq 90\mathrm{m}$$

Všechny tři případy pohromadě:

Zatímco dráha pořád roste, velikost posunutí nejdřív roste a pak zase klesá až na nulu. Nejdál od startu je Jana v půlce kola a na konci je zase na startu.

Druhy pohybů

Pohyby se dělí podle dvou hledisek. Prvním z nich je tvar trajektorie. Když je trajektorie přímka, mluvíme o přímočarém pohybu. Tak se pohybuje výtah nebo jablko, které padá ze stromu. Když je trajektorie zakřivená, jde o křivočarý pohyb. Mezi křivočarými pohyby je nejdůležitější pohyb po kružnici, třeba na kolotoči nebo u hrotu hodinové ručičky.

Druhým hlediskem je, jak rychle se těleso pohybuje. Když za stejně dlouhé doby urazí vždy stejnou dráhu (za každou sekundu stejně, ale i za každou desetinu nebo setinu sekundy), je pohyb rovnoměrný. Tak jede eskalátor v metru nebo roztočený kolotoč. Když se dráhy uražené za stejně dlouhé doby liší, těleso tedy zrychluje nebo zpomaluje, je pohyb nerovnoměrný. Jablko při pádu zrychluje, výtah se rozjíždí a před patrem brzdí a auto v koloně se chvíli plíží a chvíli stojí.

Obě hlediska spolu můžeme libovolně kombinovat:

Pozor, i tohle dělení závisí na vztažné soustavě. Ventilek se z pohledu cyklisty, který jede stálou rychlostí, pohybuje rovnoměrně po kružnici. Z chodníku je jeho pohyb křivočarý a nerovnoměrný: u silnice skoro zastaví, zatímco nahoře se žene skoro dvakrát rychleji než střed kola. Nahoře se totiž k pohybu kola dopředu přičte pohyb ventilku kolem středu, který tam míří taky dopředu, kdežto dole míří dozadu a pohyb kola skoro vyruší. Ventilek je pořád tentýž, jen se na něj díváme z jiného místa.

Rovnoměrný a nerovnoměrný pohyb jsme zatím poznávali jen podle toho, jaké dráhy těleso urazí za stejně dlouhé doby. Chybí nám číslo, které by řeklo, jak rychle eskalátor jede a o kolik rychleji se žene ventilek nahoře než dole. Tím číslem je rychlost a věnuje se jí další článek, Rychlost.