Rychlost

Usain Bolt uběhl v roce 2009 na mistrovství světa v Berlíně 100 m za 9,58 s. Jak rychlý to byl běh? Kdyby celou dobu držel stejné tempo, připadlo by na každou sekundu

$$\frac{100\mathrm{m}}{9,58\mathrm{s}}\doteq 10,44\mathrm{m}/\mathrm{s},$$

to je přes deset metrů každou sekundu. A kolik je to v kilometrech za hodinu?

$$10,44\mathrm{m}/\mathrm{s}=10,44\cdot 3,6\mathrm{km}/\mathrm{h}\doteq 37,6\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

V ulici s padesátkou by Bolt autům chvíli stačil. Aspoň na stovce, déle by tempo nevydržel.

Vzorec pro rychlost

Pokud hledáte jen vzorec, rychlost v vypočítáte tak, že dráhu s vydělíte časem t, za který ji těleso urazilo:

$$v=\frac{s}{t}$$

Rychlost udává, kolik dráhy těleso urazí za jednotku času, například za sekundu nebo za hodinu. Čím větší dráha za stejný čas, tím větší rychlost. A když stejnou dráhu urážíme déle, rychlost klesá, vždyť čas stojí ve jmenovateli.

Jednotku dostaneme tak, že vydělíme jednotku dráhy jednotkou času. Dráha v metrech a čas v sekundách dají metry za sekundu, m/s. Dráha v kilometrech a čas v hodinách dají kilometry za hodinu, km/h. Mezi oběma jednotkami se převádí číslem 3,6: z m/s na km/h násobíme, opačně dělíme.

Průměrná rychlost

Cesta z Prahy do Brna po dálnici D1 měří asi 205 km. Novákovi tam jeli 2,5 h, a to i s přestávkou na pumpě. Jak rychle tedy jeli?

Zkusme to spočítat:

$$v=\frac{205\mathrm{km}}{2,5\mathrm{h}}=82\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Tachometr v autě ale 82 km/h skoro nikdy neukazoval. Na dálnici ukazoval kolem 130 km/h, v koloně u Velkého Meziříčí 20 km/h a na pumpě nulu. Číslo 82 km/h je průměrná rychlost: rychlost, kterou by auto muselo jet celou dobu bez přestání, aby do Brna dorazilo ve stejném čase. Značíme ji v_p a počítáme jako celkovou dráhu dělenou celkovým časem:

$$v_p=\frac{s}{t}$$

Do celkového času patří všechno, i zastávky. Kdyby si Novákovi na pumpě poseděli o hodinu déle, ujeli by stejných 205 km za 3,5 h a průměrná rychlost by klesla na

$$v_p=\frac{205\mathrm{km}}{3,5\mathrm{h}}\doteq 58,6\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

Průměrná byla i Boltova rychlost 10,44 m/s z úvodu. Bolt vybíhal z bloků z nuly, první metry teprve zrychloval, a tak běžel na začátku pomaleji a v závěru rychleji. Při měření v Berlíně uběhl úsek mezi 60. a 80. metrem, tedy 20 m, za 1,61 s:

$$v_p=\frac{20\mathrm{m}}{1,61\mathrm{s}}\doteq 12,42\mathrm{m}/\mathrm{s}\doteq 44,7\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Na krátkém úseku ve druhé polovině závodu byl tedy o dost rychlejší, než říká průměr přes celou stovku.

Tam 60, zpátky 40

Tuhle úlohu zadávají v písemkách i v přijímačkách, protože skoro každý napoprvé odpoví špatně. Pan Dvořák jede autem do 120 km vzdálené chalupy rychlostí 60 km/h. Na zpáteční cestě je silnice ucpaná, takže jede jen 40 km/h. Jaká byla jeho průměrná rychlost na celé cestě tam a zpátky?

Svádí to sečíst obě rychlosti a vydělit dvěma:

$$\frac{60\mathrm{km}/\mathrm{h}+40\mathrm{km}/\mathrm{h}}{2}=50\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

To je ale špatně. Průměrná rychlost není průměr rychlostí, ale celková dráha dělená celkovým časem. Nejprve proto zjistíme, jak dlouho jel v každém směru. Tam ujel 120 km rychlostí 60 km/h. Ze vzorce $v=\frac{s}{t}$ vyjádříme čas tak, že obě strany vynásobíme t a vydělíme v:

$$t=\frac{s}{v}$$

Cesta tam trvala

$$t_1=\frac{120\mathrm{km}}{60\mathrm{km}/\mathrm{h}}=2\mathrm{h}$$

a cesta zpátky

$$t_2=\frac{120\mathrm{km}}{40\mathrm{km}/\mathrm{h}}=3\mathrm{h}.$$

Celkem ujel 240 km za 5 h. Průměrná rychlost je

$$v_p=\frac{240\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=48\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

Pan Dvořák jel průměrnou rychlostí 48 km/h, ne 50 km/h. Kam se ztratily dva kilometry za hodinu? Odpověď ukáže obrázek.

Každý obdélník představuje hodinu jízdy a číslo v něm udává, kolik kilometrů za ni pan Dvořák ujel. Cesta tam, červeně, mu zabrala dvě hodiny, cesta zpátky, modře, tři. Obě cesty jsou stejně dlouhé, 120 km, ale pomalou rychlostí jel déle. Když z pěti hodin uděláme průměr, má čtyřicítka tři hlasy a šedesátka jen dva:

$$\begin{array}{rl}{v}_p& =\frac{(60+60+40+40+40)\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}\\ & =\frac{240\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=48\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Zelený řádek ukazuje, že pět hodin po 48 km/h dá stejných 240 km. Průměr 50 km/h by vyšel, jen kdyby pan Dvořák jel oběma rychlostmi stejně dlouho, třeba hodinu šedesátkou a hodinu čtyřicítkou. Tady jel stejně daleko, ne stejně dlouho, a průměr se proto přiklonil k pomalejší rychlosti.

Ještě zákeřnější je ta samá úloha naruby. Pan Dvořák jel tam zase 60 km/h a chtěl by mít na celé cestě průměr 80 km/h. Jak rychle musí jet zpátky? Odpověď 100 km/h se nabízí, ale už víme, že rychlosti se takhle průměrovat nedají. Celou cestu 240 km by průměrnou rychlostí 80 km/h ujel za

$$t=\frac{240\mathrm{km}}{80\mathrm{km}/\mathrm{h}}=3\mathrm{h}.$$

Dvě hodiny už ale spotřeboval cestou tam. Na zpáteční 120 km mu zbývá jediná hodina, takže musí jet 120 km/h. A kdyby chtěl průměr 120 km/h? Celou cestu by musel ujet za dvě hodiny, a ty už má za sebou. Zpátky by musel dorazit v nulovém čase, takže to nejde, ať pojede sebrychleji.

Okamžitá rychlost

Tachometr v autě neukazuje průměrnou rychlost za celou cestu. Ukazuje, jak rychle auto jede právě teď. Tomu říkáme okamžitá rychlost. Jak ji ale spočítat, když vzorec vyžaduje nějakou dráhu a nějaký čas, a přitom okamžik netrvá vůbec?

Pomůžeme si průměrnou rychlostí na čím dál kratším úseku. Auto vyráží od semaforu a o 100 m dál stojí lampa. Zajímá nás, jak rychle auto jede právě u lampy. K lampě postavíme světelnou závoru, jaká se používá při měření času na atletice, a druhou postupně 100 m, 10 m a 1 m za lampu. Závory změří, jak dlouho auto každý úsek jelo, a z toho spočítáme průměrnou rychlost:

Na stometrovém úseku vyšla průměrná rychlost 24,14 m/s. Auto ale po celých sto metrů zrychlovalo, takže na konci úseku jelo mnohem rychleji než u lampy a průměr tím vyšel větší. Na deseti metrech už auto stihne zrychlit méně a na jednom metru skoro vůbec. Čím kratší úsek, tím méně se rychlost během něj změní a tím víc se průměrná rychlost blíží rychlosti u lampy. Výsledky se ustalují kolem 20 m/s. Na úseku 10 cm by vyšlo 20,005 m/s, na milimetru ještě o kousek méně. Okamžitá rychlost auta u lampy je proto 20 m/s, tedy 20 · 3,6 km/h = 72 km/h. Právě to by v tu chvíli ukazoval tachometr.

Okamžitou rychlost tedy dostaneme jako průměrnou rychlost na velmi krátkém úseku. Kus dráhy, který těleso urazí, zapíšeme Δs a dobu, za kterou ho urazí, Δt. Řecké Δ znamená změnu. Pak

$$v=\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t},$$

kde doba Δt musí být natolik krátká, aby se rychlost během ní znatelně nezměnila. Jak krátká je dost krátká, záleží na pohybu. Auto, které jede po dálnici s tempomatem, změní rychlost za sekundu jen nepatrně. Auto při nárazu do zdi zastaví za desetinu sekundy.

Rovnoměrný pohyb je takový, při kterém těleso za stejně dlouhé doby urazí stejné dráhy. Teď ho můžeme popsat i jinak: je to pohyb, při kterém se velikost okamžité rychlosti nemění. Tachometr ukazuje pořád totéž číslo a průměrná rychlost na libovolném úseku je stejná jako okamžitá. U nerovnoměrného pohybu se okamžitá rychlost mění a průměrná rychlost je jen jakési číslo mezi nejmenší a největší okamžitou rychlostí.

Pro zvídavé: derivace

Kdo už zná limity a derivace, pozná, co jsme v tabulce dělali. Zkracovali jsme dobu Δt a sledovali, k čemu se blíží podíl $\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}$. Matematik by řekl, že okamžitá rychlost je limita tohoto podílu, tedy derivace dráhy podle času:

$$v=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=s^{\prime }(t)$$

Auto z tabulky ujelo za čas t od semaforu dráhu s = 1 m/s² · t², u lampy bylo po deseti sekundách. Derivace t² je 2t, takže

$$v=2\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot t=2\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 10\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s},$$

a to je přesně hodnota, ke které se blížila tabulka. Jinak se v celé kategorii bez derivací obejdeme.

Rychlost jako vektor

Auto objíždí kruhový objezd a tachometr celou dobu ukazuje stejných 30 km/h. Mění se rychlost auta, nebo ne?

Rychlost je vektor. Nestačí vědět, jak rychle auto jede, důležité je i kam. Šipku rychlosti značíme $\overrightarrow{v}$. Její velikost $v=|\overrightarrow{v}|$ je to, co ukazuje tachometr. Šipka míří tam, kam se těleso právě pohybuje.

Na obrázku auto jede po šedé čárkované kružnici proti směru hodinových ručiček, jak se na kruhovém objezdu jezdí. Červená šipka ukazuje jeho rychlost. Světlejší šipky ${\overrightarrow{v}}_1$ až ${\overrightarrow{v}}_4$ zachycují rychlost auta ve čtyřech místech, vždy po čtvrtině kola. V animaci objíždí auto objezd dokola a jeho šipka se postupně kryje s každou z nich. Šipka je celou dobu stejně dlouhá, protože tachometr ukazuje stále 30 km/h. Její směr se ale mění nepřetržitě.

Přeneseme teď všechny čtyři šipky do jednoho bodu. Šipky můžeme posouvat, pokud je neotočíme ani nezměníme jejich délku, takže jde pořád o tytéž vektory.

Všechny čtyři šipky končí na stejné čárkované kružnici, mají tedy stejnou velikost, $|{\overrightarrow{v}}_1|=|{\overrightarrow{v}}_2|=|{\overrightarrow{v}}_3|=|{\overrightarrow{v}}_4|=30\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Každá však míří jinam, takže jde o čtyři různé vektory, ${\overrightarrow{v}}_1\ne {\overrightarrow{v}}_2$. Odpověď na otázku tedy zní: rychlost auta se mění, přestože tachometr ukazuje pořád totéž. Mění se její směr. Tachometr ukazuje jen velikost rychlosti, směr nevidí.

Rovnoměrný pohyb jsme poznávali podle drah, a dráha směr nemá. Za rovnoměrný proto považujeme pohyb, při kterém se nemění velikost rychlosti. Auto na objezdu tedy jede rovnoměrně, a přesto se jeho rychlost jako vektor mění. Že je to podstatný rozdíl, poznáte v autě sami: v zatáčce se musíte zapřít, i když řidič nesahá na plyn ani na brzdu. Proč tomu tak je, vysvětlíme později u zrychlení.

Zbývá zdůvodnit, proč šipka míří po tečně, tedy po přímce, která se trajektorie v daném místě jen dotkne. Vrátíme se k průměrné rychlosti, tentokrát jako k vektoru. Auto se za dobu Δt posune z bodu A do nějakého dalšího bodu trajektorie. Jeho posunutí je šipka $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}$ a průměrná rychlost jako vektor je

$$\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}}{\mathrm{\Delta }t}.$$

Pozor, velikost tohoto vektoru obecně není totéž co dráha dělená časem. Posunutí bývá kratší než dráha, a s dráhou splyne jen na velmi krátkém úseku.

Dělit vektor číslem znamená totéž, co ho násobit číslem $\frac{1}{\mathrm{\Delta }t}$. Šipka se tím jen zkrátí nebo natáhne, směr jí zůstane, a průměrná rychlost proto míří stejně jako posunutí.

Obrázek ukazuje černou trajektorii, po které auto jede zleva doprava. Zelené šipky jsou posunutí z bodu A za stále kratší dobu, do bodů ležících čím dál blíž k A. Dlouhé posunutí míří šikmo nahoru, kratší už méně, a čím kratší doba, tím víc se šipka přimyká k šedé čárkované tečně. Okamžitá rychlost je průměrná rychlost na velmi krátkém úseku, a proto míří po tečně, na obrázku ve směru červené šipky.

Tečnu k trajektorii dokonce můžete vidět. Jiskry od brusky odlétají od kotouče po tečně, ve směru, kterým se kousek kovu pohyboval v okamžiku, kdy se od kotouče utrhl. Stejně se chovají kapky, které odlétají z roztočeného deštníku. Kdyby auto na objezdu najelo na náledí a kola přestala držet, pojelo by dál zhruba rovně ve směru své šipky rychlosti, ne po kružnici.

Jak rychle se co pohybuje

Pro představu je tu několik typických rychlostí, zaokrouhlených:

Rychlost zvuku v tabulce platí pro vzduch o teplotě 20 °C. Zvuk je proti světlu pomalý, a proto blesk uvidíte dřív, než uslyšíte hrom: světlo k vám dorazí prakticky okamžitě, zvuk urazí kilometr asi za tři sekundy. Když mezi bleskem a hromem napočítáte devět sekund, bouřka je zhruba tři kilometry daleko. Světlo je ze všech nejrychlejší. Z Měsíce k nám dorazí za něco přes sekundu a ze Slunce asi za osm minut.

Kalkulačka

Zadejte dráhu a čas a kalkulačka vám spočítá průměrnou rychlost. Předvyplněné hodnoty pocházejí z cesty Novákových do Brna.

Nejjednodušší je pohyb, při kterém se rychlost nemění vůbec, ani velikostí, ani směrem. Takový pohyb je rovnoměrný a přímočarý a věnuje se mu další článek, Rovnoměrný přímočarý pohyb.