Zákon zachování hybnosti

Hybnost nevznikne z ničeho a ani beze stopy nezmizí. Dá se jen předat z jednoho tělesa na druhé. Ať do sebe narazí dva vozíky, nebo se od sebe odstrčí dva lidé, jeden hybnost získá a druhý přesně stejnou ztratí. Součet obou hybností zůstane takový, jaký byl. Tomu se říká zákon zachování hybnosti a patří k nejužitečnějším zákonům celé fyziky. Díky němu spočítáme, co se po srážce stane, aniž bychom znali síly, které při ní působily, i dobu jejich působení.

Izolovaná soustava

Aby zákon platil, musíme si nejdřív říct, o jakých tělesech mluvíme. Vybereme si několik těles, která nás zajímají, třeba dva vagony, a těm budeme říkat soustava. Síly, kterými na sebe tělesa soustavy působí navzájem, jsou vnitřní síly. Síly, kterými na ně působí něco zvenku, třeba Země nebo koleje, jsou vnější síly.

Soustava je izolovaná, když na ni nepůsobí žádné vnější síly, nebo když se vnější síly navzájem vyruší a jejich výslednice je nulová. Dokonale izolovaná soustava na Zemi neexistuje, často se jí ale hodně přibližujeme. Bruslaře na ledě táhne Země dolů a led je stejně velkou silou drží zespodu, takže se tyhle dvě síly vyruší. Tření bruslí je malé a zanedbáme ho.

Kámen padající ze skály naopak izolovanou soustavou není. Táhne ho Země, to je vnější síla, a jeho hybnost proto roste. Když ale do soustavy přibereme i Zemi, síla mezi kamenem a Zemí se stane vnitřní. Kámen táhne Zemi k sobě stejně velkou silou, jakou Země táhne jeho, a Země získá stejně velkou hybnost opačného směru, jen při své obrovské hmotnosti s nepatrnou rychlostí. Podobně je to s tenisákem odraženým od zdi. Hybnost 2,4 kg·m/s, o kterou přišel, převzala zeď a s ní celá Země, která se kvůli své hmotnosti rozjela nepozorovatelně pomalu.

Celková hybnost soustavy je vektorový součet hybností všech jejích těles. U dvou těles:

$\vec{p} = {\vec{p}}_{1} + {\vec{p}}_{2}$

Když se tělesa pohybují po jedné přímce, zvolíme si kladný směr a hybnosti sčítáme jako čísla se znaménkem. Těleso, které jede proti kladnému směru, má zápornou hybnost.

Proč se celková hybnost nemění

Vezměme dvě tělesa izolované soustavy, která na sebe chvíli působí, ať už se srazí, nebo se od sebe odstrčí. Jiné síly na ně nepůsobí, nebo se vyruší, takže hybnost každého z nich mění jen síla toho druhého. Těleso 2 působí na těleso 1 silou ${\vec{F}}_{1}$ . Podle třetího Newtonova zákona působí těleso 1 na těleso 2 stejně velkou silou opačného směru:

${\vec{F}}_{2} = - {\vec{F}}_{1}$

Obě síly vzniknou ve stejném okamžiku a ve stejném okamžiku zmizí, takže působí stejně dlouho, po dobu Δt. Impulz síly se rovná změně hybnosti, proto se hybnosti obou těles změní o

$\begin{aligned} Δ {\vec{p}}_{1} & = {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t \\ Δ {\vec{p}}_{2} & = {\vec{F}}_{2} \cdot Δ t = - {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t \end{aligned}$

Změny hybnosti jsou stejně velké a opačné. Sečteme je:

$\begin{aligned} Δ {\vec{p}}_{1} + Δ {\vec{p}}_{2} & = {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t - {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t \\ = \vec{0} \end{aligned}$

Celková hybnost se nezměnila. Co jedno těleso získalo, druhé ztratilo. Síla při srážce sice není stálá, ale to nevadí. Celou srážku rozdělíme na kratičké okamžiky; v každém z nich jsou obě síly stejně velké a opačné, takže se celková hybnost nezmění ani v jednom.

Uvnitř soustavy se tělesa můžou srážet, tlačit i odpuzovat, jak chtějí. Vnitřní síly vždycky přicházejí v párech akce a reakce, takže celkovou hybnost změnit nemůžou. Změnit ji umí jen vnější síla. Totéž platí pro víc těles, každá dvojice si hybnost jen vyměňuje. Baron Prášil, který se prý sám vytáhl za vlasy z bažiny, si to tedy vymyslel. Ruka táhne za vlasy, vlasy za ruku a obě síly zůstávají uvnitř barona a jeho celkovou hybnost nezmění. Tím jsme odvodili zákon:

Celková hybnost izolované soustavy se nemění. Hybnosti před dějem (bez čárky) a po něm (s čárkou) mají stejný součet:

${\vec{p}}_{1} + {\vec{p}}_{2} = {\vec{p}}_{1}^{'} + {\vec{p}}_{2}^{'}$

Pozor, stálý je jen součet. Hybnost jednotlivých těles se měnit může a obvykle se mění.

Zpětný ráz pušky

Myslivec vystřelí z pušky o hmotnosti 4 kg. Kulka o hmotnosti 10 g vyletí rychlostí 800 m/s. Jak rychle se puška pohne dozadu? Ruce ani rameno myslivce zatím neřešíme, puška prostě visí volně ve vzduchu.

$\begin{aligned} m_{1} & = 10 g = 0, 01 kg \\ v_{1}^{'} & = 800 m / s \\ m_{2} & = 4 kg \\ v_{2}^{'} & = ? (m / s) \end{aligned}$

Kladný směr zvolíme ve směru letu kulky. Před výstřelem puška i kulka stojí, celková hybnost je nulová. Nulová musí být i po výstřelu:

$m_{1} \cdot v_{1}^{'} + m_{2} \cdot v_{2}^{'} = 0$

Odečteme hybnost kulky a vydělíme hmotností pušky:

$v_{2}^{'} = - \frac{m_{1} \cdot v_{1}^{'}}{m_{2}}$

Dosadíme:

$v_{2}^{'} = - \frac{0, 01 kg \cdot 800 m / s}{4 kg} = - 2 m / s$

Puška se rozjede rychlostí 2 m/s a minus říká, že dozadu, proti letu kulky. Kulka i puška mají hybnost stejně velkou, 8 kg·m/s, jen opačného směru. Puška má ale čtyřistakrát větší hmotnost, a proto je čtyřistakrát pomalejší. Hybnost spalin, které vyletí z hlavně spolu s kulkou, jsme zanedbali.

Dva metry za sekundu jsou přes sedm kilometrů za hodinu. Kdo pušku drží jen volně, schytá pažbou do ramene pořádnou ránu. Proto se pažba opírá pevně o rameno. Puška se pak rozjíždí i se střelcem a hybnost 8 kg·m/s se rozdělí na mnohem větší hmotnost. Se střelcem o hmotnosti 80 kg je to

$v = \frac{8 kg \cdot m / s}{84 kg} \approx 0, 1 m / s .$

Střelce to jen lehce postrčí, a když se pevně zapře do země, ani to ne.

Dvě bruslařky

Na ledě stojí proti sobě bruslařky Tereza a Lucie. Opřou se dlaněmi o dlaně a odstrčí se. Tereza má hmotnost 50 kg, Lucie 60 kg. Lucie odjede rychlostí 1 m/s. Jak rychle odjede Tereza?

Kladný směr zvolíme ve směru, kam odjíždí Lucie, a Terezu označíme indexem 1. Před odstrčením obě stojí, takže celková hybnost je nulová i potom:

$m_{1} \cdot v_{1}^{'} + m_{2} \cdot v_{2}^{'} = 0$

Vyjádříme Terezinu rychlost a dosadíme:

$\begin{aligned} v_{1}^{'} & = - \frac{m_{2} \cdot v_{2}^{'}}{m_{1}} \\ = - \frac{60 kg \cdot 1 m / s}{50 kg} = - 1, 2 m / s \end{aligned}$

Tereza odjede rychlostí 1,2 m/s na opačnou stranu. Ověříme si, že se hybnosti opravdu odečtou na nulu:

$50 kg \cdot (- 1, 2 m / s) + 60 kg \cdot 1 m / s = 0$

Každá z nich dostala hybnost 60 kg·m/s, každá na jinou stranu.

Tereza (červeně) a Lucie (modře) před odstrčením (šedě) a po něm, rychlosti v⃗_1' a v⃗_2'

Rychlosti bruslařek jsou v poměru 1,2:1, tedy 6:5, a to je obrácený poměr jejich hmotností 50:60. Lehčí bruslařka odjíždí rychleji. Na tom, jak silně se odstrkovaly, nezáleží. Kdyby se stejně dlouho odstrkovaly dvakrát větší silou, odjely by obě dvakrát rychleji, ale poměr zůstane 6:5.

A nezáleží ani na tom, která z nich tlačila. Svádí to myslet si, že když tlačí jen Tereza a Lucie drží ruce pevně, odjede hlavně Lucie. Síly v páru jsou ale stejně velké, ať tlačí kdokoli, a lehčí Tereza odjede zase rychleji.

Na stejném principu stojí skok z malé loďky na břeh. Skokan se odráží od loďky a loďka od něj, takže zatímco on letí dopředu, loďka ujíždí dozadu. Když je lehká, ujede mu kus a skokan místo na břeh doskočí do vody.

Srážka vagonů

Na seřaďovacím nádraží jede vagon o hmotnosti 20 t rychlostí 2 m/s a narazí do stojícího vagonu stejné hmotnosti. Samočinná spřáhla při nárazu zaklapnou a vagony pokračují spojené. Jak rychle?

Srážce, po níž tělesa zůstanou spojená a pokračují společně, se říká nepružná srážka. Kladný směr zvolíme ve směru jízdy prvního vagonu.

$\begin{aligned} m_{1} & = m_{2} = 20 t = 20 000 kg \\ v_{1} & = 2 m / s \\ v_{2} & = 0 m / s \\ v^{'} & = ? (m / s) \end{aligned}$

Po srážce mají oba vagony stejnou rychlost v', takže jejich hybnost je hybnost jednoho tělesa o hmotnosti m₁ + m₂. Zákon zachování hybnosti:

$m_{1} \cdot v_{1} + m_{2} \cdot v_{2} = (m_{1} + m_{2}) \cdot v^{'}$

Před srážkou má hybnost jen první vagon:

$20 000 kg \cdot 2 m / s = 40 000 kg \cdot m / s$

Stejnou hybnost musí mít po srážce oba vagony dohromady. Vydělíme ji jejich celkovou hmotností:

$v^{'} = \frac{40 000 kg \cdot m / s}{40 000 kg} = 1 m / s$

Spojené vagony jedou rychlostí 1 m/s, polovinou původní rychlosti. Hmotnost se zdvojnásobila a hybnost zůstala stejná, takže rychlost musela klesnout na polovinu. Kdyby vagon narazil do stojící dvojice spřažených vagonů, rozdělila by se stejná hybnost na trojnásobnou hmotnost 60 000 kg a všechny tři by jely třetinovou rychlostí, asi 0,67 m/s.

Vagon narazí do stojícího vagonu a spojené vagony pokračují poloviční rychlostí

Oranžové značky ukazují, kde byl předek červeného vagonu po stejně dlouhých chvílích. Dokud červený vagon jede sám, jsou od sebe stejně daleko. Po spojení s modrým vagonem jsou rozestupy pořád stejné, jen poloviční.

Teď přijde zrádnější případ. Druhý vagon nestojí, ale jede proti prvnímu rychlostí 1 m/s. Proti kladnému směru, takže v₂ = −1 m/s. Chybou by bylo sečíst hybnosti obou vagonů bez ohledu na směr, spojené vagony by pak vyšly rychlostí 1,5 m/s. Rychlost druhého vagonu proto dosadíme i se znaménkem minus:

$\begin{aligned} v^{'} & = \frac{20 000 kg \cdot 2 m / s + 20 000 kg \cdot (- 1 m / s)}{40 000 kg} \\ = \frac{20 000 kg \cdot m / s}{40 000 kg} = 0, 5 m / s \end{aligned}$

Spojené vagony pojedou rychlostí 0,5 m/s ve směru, kterým jel první vagon. Kdyby jely proti sobě stejně rychle, zastavily by se na místě.

Vagony přece jen nejsou izolovaná soustava, kola se třou o koleje. Tyhle vnější síly jsou ale malé a srážka trvá jen zlomek sekundy, takže za tu dobu změní hybnost vagonů zanedbatelně. Síly mezi narážejícími vagony jsou mnohonásobně větší. Proto můžeme zákon zachování hybnosti u srážek používat, i když soustava úplně izolovaná není.

Raketa

Raketa stojí ve vesmíru daleko od planet a její celková hybnost je i s palivem nulová. Motor spaluje palivo a vyhání horké plyny tryskou dozadu obrovskou rychlostí. Plyny tak dostávají hybnost dozadu, a aby celková hybnost rakety s plyny zůstala nulová, musí raketa nabrat stejně velkou hybnost dopředu. Raketa je vlastně puška, která každou sekundu vypálí dozadu obrovské množství drobných „kulek“ a sama se pokaždé o kousek zrychlí dopředu.

Na soustavu raketa a plyny nemusí nic zvenku působit, raketa nepotřebuje žádnou zem ani vzduch a zrychluje i ve vzduchoprázdnu. Odráží se od plynů, které si sama nese a sama vyhazuje. Čím víc plynu za sekundu vyhodí a čím rychleji, tím větší hybnost mu předá a tím víc sama zrychlí.

Hybnost se při srážce jen přelévá z tělesa na těleso. Síla, která pohyb opravdu ubírá a nakonec zastaví skoro všechno, co se po zemi sune, je tření. O něm je další článek, Tření.

« Předchozí: Hybnost a impulz síly

Další: Tření »