Rovnoměrný pohyb po kružnici

Koník na kolotoči, hrot vteřinové ručičky nebo kamínek zaklíněný ve vzorku pneumatiky (sledovaný z auta) krouží po kružnici. Pokud přitom drží stále stejné tempo, mluvíme o rovnoměrném pohybu po kružnici: trajektorie je kružnice a velikost rychlosti se nemění. Za stejné časy opíše stejně dlouhé oblouky.

Směr rychlosti se naproti tomu mění neustále, protože šipka rychlosti míří vždy po tečně ke kružnici. Pohyb je rovnoměrný jen co do velikosti rychlosti. Jak ho popsat čísly?

Na přímce stačilo k určení polohy jediné číslo, poloha na ose. Na kružnici vystačíme s jedním číslem taky: s úhlem, o který se těleso od startu otočilo. Úhly nás tu proto budou provázet na každém kroku.

Perioda a frekvence

Kolotoč na pouti se rozjede a pak se točí stále stejným tempem. Stoupnete si k němu se stopkami a naměříte, že kamarádka na koníkovi se kolem vás mihne každých deset sekund. Doba jednoho oběhu se jmenuje perioda, značí se T a měří se v sekundách:

$$T=10\mathrm{s}$$

Zeptat se můžeme i opačně: kolik oběhů stihne kolotoč za jednu sekundu. To je frekvence f. Když jeden oběh trvá deset sekund, za jednu sekundu stihne kolotoč desetinu oběhu. Obecně frekvenci spočteme jako jeden oběh dělený periodou:

$$f=\frac{1}{T}$$

Dosadíme:

$$f=\frac{1}{10\mathrm{s}}=0,1{\mathrm{s}}^{-1}$$

Jednotka „za sekundu“, tedy $\frac{1}{\mathrm{s}}$, nese jméno hertz a značku Hz. Kolotoč má frekvenci 0,1 Hz. Vztah platí i naopak, $T=\frac{1}{f}$: čím víc oběhů za sekundu, tím kratší je jeden oběh. Perioda s frekvencí vypovídají o téže věci z opačných stran: jedna udává sekundy na oběh, druhá oběhy za sekundu.

Vteřinová ručička obejde ciferník za minutu, její perioda je proto T = 60 s a frekvence $f=\frac{1}{60\mathrm{s}}\doteq \mathrm{0,017}\mathrm{Hz}$. Perioda minutové ručičky je celá hodina, 3 600 s. Co se vleče, má dlouhou periodu a malou frekvenci; co se žene, má to obráceně.

Motory a pračky frekvenci uvádějí v otáčkách za minutu. Pračka, která ždímá na 1 200 ot/min, otočí bubnem dvanáctsetkrát za minutu. Minuta má šedesát sekund, takže za sekundu je to

$$f=\frac{1200\mathrm{ot}}{60\mathrm{s}}=20\mathrm{ot}/\mathrm{s}=20\mathrm{Hz}.$$

Otáčka je pouhý počet, takže otáčky za sekundu a hertzy splývají. Jedna otáčka bubnu trvá

$$T=\frac{1}{f}=\frac{1}{20\mathrm{Hz}}=0,05\mathrm{s},$$

pět setin sekundy. Není divu, že prádlo za okénkem vidíte jen jako šmouhu.

Úhel měřený obloukem

Kolotoč se za nějakou dobu otočí o určitý úhel. Ve stupních ho měřit umíme: čtvrt otáčky je 90°, celá otáčka 360°. Fyzika ale úhly měří raději v radiánech a hned uvidíme proč.

Představte si úhel s vrcholem ve středu kružnice. Jeho ramena vytnou na kružnici oblouk délky s. Na větší kružnici je oblouk téhož úhlu delší, a to přesně tolikrát, kolikrát je větší poloměr: dvakrát větší kružnice, dvakrát delší oblouk. Podíl délky oblouku a poloměru proto nezávisí na velikosti kružnice, jen na úhlu. Právě tenhle podíl udává velikost úhlu v radiánech:

$$\phi =\frac{s}{r}$$

Úhlu, o který se těleso na kružnici otočí, říkáme úhlová dráha a značíme ho řeckým písmenem φ (fí). Jeden radián je úhel, jehož oblouk je stejně dlouhý jako poloměr. Číslo v radiánech proto říká, kolik poloměrů se do oblouku vejde.

A kolik radiánů je celá otáčka? Oblouk je pak celý obvod kružnice, tedy 2π · r:

$$\phi =\frac{2\pi \cdot r}{r}=2\pi$$

Poloměr se vykrátil, jak jsme čekali. Celá otáčka má 2π radiánů, zhruba 6,28:

$$360°=2\pi \mathrm{rad}$$

Půl otáčky je π rad = 180°, čtvrt otáčky $\frac{\pi }{2}\mathrm{rad}=90°$. Jeden radián je $\frac{360°}{2\pi }\doteq 57,3°$, takže se do celého kruhu vejde šest radiánů a kousek navíc.

Podívejme se, co se stalo s jednotkami. Délka oblouku i poloměr jsou v metrech a při dělení se metry vykrátí, $\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{m}}=1$. Radián je proto bezrozměrná jednotka, vlastně holé číslo, stejně jako měřítko mapy, i to je podílem dvou délek. Značka rad jen připomíná, že to číslo znamená úhel, a ve výpočtech ji smíme připsat i vynechat. Hned se nám to hodí.

Vraťme se ke kolotoči. Vnitřní koník, 2 m od středu, se posune po svém oblouku o 3 m. O jaký úhel se otočil? Do vzorce dosadíme oblouk a poloměr:

$$\phi =\frac{s}{r}=\frac{3\mathrm{m}}{2\mathrm{m}}=1,5\mathrm{rad}$$

Poloměr se do oblouku vejde jedenapůlkrát. Ve stupních je to 1,5 · 57,3° ≐ 86°, skoro čtvrt otáčky.

Proč ne stupně? Číslo 360 je dohoda zděděná od starých Babyloňanů, kdežto radián vychází přímo z kružnice. Díky tomu se délka oblouku spočítá úplně jednoduše, s = φ · r. Se stupni by v tom vzorci strašil zlomek $\frac{2\pi }{360}$. Ve fyzikálních vzorcích se proto úhly skoro vždy dosazují v radiánech. Kdo počítá sinus nebo kosinus takového úhlu na kalkulačce, musí ji přepnout z režimu DEG do RAD. Kdo chce o radiánech vědět víc, najde je v článku Radián.

Úhlová rychlost

Tempo otáčení kolotoče vyjadřuje úhlová rychlost ω (omega). Je to úhel, o který se otočí za jednotku času:

$$\omega =\frac{\phi }{t}$$

Úhel měříme v radiánech a čas v sekundách, úhlová rychlost se proto měří v rad/s. Při rovnoměrném pohybu po kružnici se těleso za stejně dlouhé doby otočí o stejné úhly, takže úhlová rychlost je stálá.

Za jednu periodu se kolotoč otočí o celou otáčku, o 2π radiánů. Proto

$$\omega =\frac{2\pi }{T}.$$

Do vzorce půjde perioda našeho kolotoče:

$$\omega =\frac{2\pi \mathrm{rad}}{10\mathrm{s}}=\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\doteq 0,63\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

Každou sekundu se kolotoč otočí o něco víc než o půl radiánu, tedy asi o 36°. Vteřinová ručička je při periodě 60 s šestkrát pomalejší, $\omega =\frac{2\pi \mathrm{rad}}{60\mathrm{s}}\doteq \mathrm{0,105}\mathrm{rad}/\mathrm{s}$. Protože $\frac{1}{T}=f$, platí také ω = 2π · f. Buben pračky má úhlovou rychlost

$$\omega =2\pi \cdot 20\mathrm{Hz}=40\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}\doteq 126\mathrm{rad}/\mathrm{s}.$$

Frekvenci a úhlovou rychlost snadno zaměníte, tak si dejte pozor. Obě popisují, jak rychle se kolotoč točí, jen v jiných jednotkách: frekvence v otáčkách za sekundu, úhlová rychlost v radiánech za sekundu. Jedna otáčka má 2π radiánů, a proto je úhlová rychlost vždycky 2πkrát větší číslo než frekvence. Kdo 2π zapomene, dostane pro kolotoč 0,1 rad/s místo 0,63 rad/s. Radián je holé číslo, takže rad/s i Hz jsou po vykrácení obě jen „za sekundu“. Úhlovou rychlost přesto v hertzích nepíšeme, právě aby si ji nikdo nespletl s frekvencí.

Při stálé úhlové rychlosti vyjde úhel stejně jako dráha při rovnoměrném přímočarém pohybu, jen s úhlovou rychlostí místo rychlosti a úhlem místo dráhy. Z $\omega =\frac{\phi }{t}$ vynásobením časem dostaneme φ = ω · t. Za 2,5 s se kolotoč otočí o

$$\phi =\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 2,5\mathrm{s}=\frac{\pi }{2}\mathrm{rad},$$

tedy o čtvrt otáčky. Čtvrtina periody ostatně trvá právě 2,5 s.

Na úhlové rychlosti je podstatné, že je společná celému kolotoči. Koník u kraje i koník u středu se otočí jednou dokola za stejných deset sekund, každou sekundu o stejný úhel.

Proč okraj jede rychleji

Na kolotoči vedle sebe jezdí dva koníci, vnitřní 2 m od středu a vnější 4 m od středu. Jedou spolu jako na jedné tyči, a proto za stejný čas opíší stejný úhel. Vnější koník ale jede po větší kružnici, a proto za tutéž dobu urazí dvakrát delší oblouk. Oba udělají za jízdu stejný počet kol, jenže kolo vnějšího koníka je dvakrát delší. Animace to ukazuje: paprsek s oběma koníky se otáčí jako celek, úhel mají společný a červená stopa přesto roste dvakrát rychleji než modrá.

Za stejný čas dvojnásobná dráha znamená dvojnásobnou rychlost. Pojďme ji spočítat. Za jeden oběh urazí koník celý obvod své kružnice 2π · r a trvá mu to jednu periodu T. Rychlost je dráha lomeno čas:

$$v=\frac{2\pi \cdot r}{T}$$

Pozor, r je vzdálenost od středu, poloměr kružnice, po níž koník jede, a ne průměr celého kolotoče. Pro vnějšího koníka dosadíme 4 m:

$$v=\frac{2\pi \cdot 4\mathrm{m}}{10\mathrm{s}}\doteq 2,5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

To je zhruba 9 km/h, slušný poklus. Vnitřní koník:

$$v=\frac{2\pi \cdot 2\mathrm{m}}{10\mathrm{s}}\doteq 1,26\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

To je asi 4,5 km/h, obyčejná chůze. Kdo stojí přesně ve středu, otáčí se na místě a nikam nejede. Proto se děti rvou o koníky na kraji, však tam taky víc fouká. Kdo si sedne blízko středu, jede vlastně na poníkovi.

K rychlosti se dá dojít i od úhlové rychlosti. Rychlost je dráha za čas, $v=\frac{s}{t}$, a dráha po kružnici je délka oblouku s = φ · r. Dosadíme:

$$v=\frac{\phi \cdot r}{t}=\frac{\phi }{t}\cdot r$$

Zlomek $\frac{\phi }{t}$ je úhlová rychlost, takže

$$v=\omega \cdot r.$$

Rychlost v se zvlášť označuje jako obvodová, ať se nezaměňuje s úhlovou. Při stejné úhlové rychlosti roste přímo úměrně se vzdáleností od středu. Ověříme to na vnějším koníkovi:

$$v=\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 4\mathrm{m}=\frac{4\pi }{5}\mathrm{m}/\mathrm{s}\doteq 2,5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Sedí. Pro vnitřního koníka vyjde $\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 2\mathrm{m}\doteq 1,26\mathrm{m}/\mathrm{s}$, přesně polovina. Podívejte se na jednotky: radián za sekundu krát metr dá metr za sekundu, protože radián je holé číslo a z výsledku beze stopy zmizí. Kdybychom úhel dosadili ve stupních, vyšlo by nesmyslné číslo, protože vzorec s = φ · r platí jen pro radiány.

Vzorec poslouží i opačným směrem. Majitel kolotoče by chtěl, aby vnější koník jel 3 m/s. Jak rychle se musí kolotoč točit? Ze vztahu v = ω · r vydělíme obě strany poloměrem:

$$\omega =\frac{v}{r}=\frac{3\mathrm{m}/\mathrm{s}}{4\mathrm{m}}=0,75\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

Periodu dostaneme ze vztahu $\omega =\frac{2\pi }{T}$, stačí v něm prohodit periodu s úhlovou rychlostí:

$$T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi \mathrm{rad}}{0,75\mathrm{rad}/\mathrm{s}}\doteq 8,4\mathrm{s}$$

Jeden oběh kolotoče proto musí trvat asi osm a půl sekundy místo deseti. Vnitřní koník pak pojede poloviční rychlostí, 1,5 m/s.

Pro opačný extrém sáhneme po hodinách. Hrot minutové ručičky dlouhé 10 cm obíhá s periodou 3 600 s, takže

$$v=\frac{2\pi \cdot 0,1\mathrm{m}}{3600\mathrm{s}}\doteq \mathrm{0,000}17\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

To je asi šestina milimetru za sekundu, takže hlemýžď by ho předběhl. Pohyb ručičky proto okem nevidíme, ale po pěti minutách už ano.

Na závěr se vrátíme k pračce. Buben má poloměr asi 25 cm, tedy 0,25 m, a úhlovou rychlost 40π rad/s:

$$v=40\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 0,25\mathrm{m}=10\pi \mathrm{m}/\mathrm{s}\doteq 31,4\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

To je asi 113 km/h. Ponožka přitisknutá ke stěně bubnu se při ždímání řítí rychlostí auta na dálnici, i když pračka zůstává stát v koupelně.

Koník na kolotoči i ponožka v bubnu jedou pořád stejně rychle, a přece jejich šipka rychlosti každou chvíli míří jinam. Proč je takový pohyb zrychlený, kam to zrychlení míří a jak je velké, ukáže další článek, Dostředivé zrychlení.