Skaláry a vektory

„Venku je 20 °C.“ Víc už není třeba dodávat, každý ví, jestli si vzít bundu. Teplotu popíše číslo a jednotka. Jenže zkuste někomu poradit cestu větou „jděte 100 m“. Hned se zeptá: kam? Rovně, doleva, zpátky? Sto metrů na sever ho přivede k nádraží, sto metrů na jih rovnou do rybníka. Takové veličině nestačí číslo, potřebujeme k ní i směr.

Skalár, nebo vektor?

Veličiny, které úplně popíše číslo s jednotkou, se jmenují skaláry. Skalár je teplota, čas, hmotnost nebo dráha. Když řeknete, že taška má hmotnost 5 kg nebo že film trvá 2 h, nemusíte už nic přidávat. Hmotnost nemíří doleva ani nahoru.

Veličiny, u kterých záleží i na směru, nazýváme vektory. Typickým vektorem je síla. Kdo někdy přesouval skříň, ví, že tlačit ji ke zdi je něco jiného než od zdi. Vektorem je i rychlost: auto, které jede 90 km/h do Brna, a auto, které jede 90 km/h z Brna, mají stejně velkou rychlost, a přesto každé jede jinam.

Vektor poznáme podle šipky nad značkou. Síla jako vektor se píše $\overrightarrow{F}$. Někdy nás ale směr nezajímá a chceme jen vědět, jak velká síla je. Té části říkáme velikost vektoru a zapisujeme ji buď svislými čarami, nebo prostě značkou bez šipky:

$$|\overrightarrow{F}|=F$$

Velikost síly je skalár, třeba F = 300 N. Newton N je jednotka síly, víc o něm zatím potřebovat nebudeme. Síla nám tu poslouží hlavně jako příklad vektoru.

Vektor jako šipka

Vektor nakreslíme jako šipku. Míří tam, kam vektor, a její délka odpovídá jeho velikosti. Abychom mohli šipku nakreslit, zvolíme si měřítko, například že jeden centimetr na papíře znamená 100 N. Síla 300 N je pak šipka dlouhá tři centimetry, síla 50 N jen půl centimetru dlouhá.

Na obrázku vidíme tři červené šipky. Všechny mají stejnou délku i směr, takže představují jeden a tentýž vektor $\overrightarrow{u}$, jen nakreslený na třech různých místech. Vektor je určený jen velikostí a směrem, na tom, odkud šipka vychází, nezáleží. Šipku proto smíme libovolně posouvat, jen ji nesmíme otočit ani zkrátit či prodloužit. Hned se nám to hodí při sčítání.

Modrá šipka $\overrightarrow{w}$ je stejně dlouhá jako červené, jenže míří jinam, takže jde o jiný vektor. Oba vektory mají stejnou velikost, $|\overrightarrow{u}|=|\overrightarrow{w}|$, a přesto platí $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{w}$.

Sčítání vektorů

Petr vyrazí od chaty a ujde 3 km na východ. Potom zahne a ujde ještě 4 km na sever. Jak daleko od chaty je?

Nakreslíme si to. Na obrázku je sever nahoře, východ vpravo a jeden čtvereček měří kilometr. Oranžová tečka je chata, červená šipka je první úsek a modrá šipka druhý.

Modrá šipka nevychází od chaty, ale z konce červené. Petr totiž šel na sever až z místa, kam došel na východ. Tak se vektory sčítají: druhou šipku přesuneme tak, aby začínala na konci první. Součet je pak šipka, která vede od začátku první šipky ke konci druhé. Na obrázku je zelená a ukazuje, kde Petr skončil. Animace to předvede postupně: modrá šipka nejdřív vyjde ze stejného místa jako červená, pak se přesune na její konec a teprve potom naskočí zelená.

Sečteme-li místo vektorů obyčejná čísla, vyjde 3 km + 4 km = 7 km. Sedm kilometrů Petr opravdu nachodil, jenže od chaty tak daleko není. Šel oklikou, zelená šipka je zkratka, a proto je kratší než obě cesty dohromady.

Kolik měří zelená šipka? Červená, modrá a zelená spolu tvoří pravoúhlý trojúhelník, tedy trojúhelník, který má jeden úhel pravý. Dvě strany, které svírají pravý úhel, se jmenují odvěsny, a ta třetí, nejdelší, naproti pravému úhlu, je přepona. Pro pravoúhlý trojúhelník platí Pythagorova věta: druhá mocnina přepony je rovna součtu druhých mocnin odvěsen. Odvěsny měří 3 km a 4 km, takže pro přeponu c platí

$$c^2=(3\mathrm{km}{)}^2+(4\mathrm{km}{)}^2.$$

Umocníme. Umocňuje se i jednotka, kilometr krát kilometr je kilometr čtvereční:

$$c^2=9{\mathrm{km}}^2+16{\mathrm{km}}^2=25{\mathrm{km}}^2$$

A odmocníme:

$$c=\sqrt{25{\mathrm{km}}^2}=5\mathrm{km}$$

Petr je od chaty vzdálený 5 km. Šipce vedoucí z místa, kde jsme začali, do místa, kde jsme skončili, se ve fyzice říká posunutí. Na rozdíl od nachozených kilometrů je to vektor: kromě pěti kilometrů říká i to, kterým směrem chata leží. Ke směru se vrátíme na konci článku.

Zapsat součet můžeme stejně jako u čísel, jen se šipkami. Když dva vektory $\overrightarrow{u}$ a $\overrightarrow{w}$ sečteme, dostaneme nový vektor $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}$. Pozor, velikost součtu obecně není součet velikostí. Označíme-li Petrův první úsek $\overrightarrow{u}$ a druhý $\overrightarrow{w}$, je velikost součtu

$$|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}|=5\mathrm{km},$$

kdežto součet velikostí

$$|\overrightarrow{u}|+|\overrightarrow{w}|=3\mathrm{km}+4\mathrm{km}=7\mathrm{km}.$$

Pravidlo rovnoběžníku

Pejskař má na vodítku dva psy. Každý táhne jinam, jeden silou ${\overrightarrow{F}}_1$, druhý silou ${\overrightarrow{F}}_2$, a obě síly působí na ruku, ve které pejskař drží vodítka. Kam ho psi táhnou dohromady?

Síly působí ve stejném bodě, proto šipky nejpřirozeněji nakreslíme ze společného začátku. Výslednou sílu najdeme pravidlem rovnoběžníku. Z konce každé šipky vedeme čárkovaně rovnoběžku s tou druhou. Tak vznikne rovnoběžník a jeho úhlopříčka vycházející ze společného bodu je hledaný součet $\overrightarrow{F}={\overrightarrow{F}}_1+{\overrightarrow{F}}_2$.

Proč to funguje? Pravá čárkovaná strana rovnoběžníku je stejně dlouhá jako modrá šipka a je s ní rovnoběžná. Je to tedy modrá šipka ${\overrightarrow{F}}_2$, jen posunutá na konec červené ${\overrightarrow{F}}_1$. To už známe z předchozí části: druhou šipku jsme přesunuli na konec první. Oba postupy, rovnoběžník i řetězení šipek za sebe, vedou vždy ke stejnému výsledku. Šipky za sebe se hodí na děje, které probíhají postupně (nejdřív na východ, pak na sever), rovnoběžník na síly, které působí najednou ve stejném bodě.

Zelená šipka ukazuje, kam pejskaře psi táhnou. Výsledné síle se říká také výslednice. Protože každý táhne trochu jinam, je výsledná síla menší, než kdyby oba táhli stejným směrem. Její velikost odměříme na obrázku v měřítku. Spočítat ji zatím dokážeme jen ve dvou případech: když jsou síly na sebe kolmé, jako byly Petrovy dva úseky, nebo když leží na jedné přímce (to je hned níž).

Vektory na jedné přímce

Nejsnáze se počítá, když vektory leží na jedné přímce. Dva kamarádi tlačí porouchané auto. Jeden tlačí silou 300 N, druhý silou 250 N, oba dopředu. Šipky položíme za sebe a vyjde nám šipka, jejíž délka je prostě součet:

$$F=300\mathrm{N}+250\mathrm{N}=550\mathrm{N}$$

Červená a modrá šipka jsou síly obou kamarádů, zelená je výsledná síla.

Jiná situace: přetahovaná s lanem. Jedno družstvo táhne doprava silou 300 N, druhé doleva silou 250 N. Obě síly působí na uzel uprostřed lana a míří přesně proti sobě. Šipky vycházejí z uzlu na opačné strany, a proto je výsledná síla rozdíl:

$$F=300\mathrm{N}-250\mathrm{N}=50\mathrm{N}$$

Síla prvního družstva je na obrázku červeně, druhého modře a výsledná síla zeleně. Výsledná síla 50 N míří doprava, na stranu silnějšího družstva. Kdyby obě družstva táhla stejně silně, výsledná síla by byla nulová a síly by se vyrovnaly. Jen když vektory míří stejným, nebo přesně opačným směrem, se jejich velikosti sčítají a odčítají jako obyčejná čísla.

Opačný vektor a násobení číslem

Vektor, který má stejnou velikost jako $\overrightarrow{u}$, ale míří přesně opačně, se jmenuje opačný vektor a píše se $-\overrightarrow{u}$. Na obrázku níž je modře. Přičteme-li k vektoru jeho opačný vektor, vrátíme se tam, odkud jsme vyšli, a dostaneme nulový vektor:

$$\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{u})=\overrightarrow{0}$$

Takhle skončí přetahovaná dvou stejně silných družstev. Díky opačnému vektoru jde i odčítat: odečíst $\overrightarrow{w}$ znamená přičíst $-\overrightarrow{w}$, tedy $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{w})$.

Vektor můžeme také vynásobit číslem. Zelený vektor $2\overrightarrow{u}$ míří stejně jako $\overrightarrow{u}$, ale je dvakrát delší. Je to totéž jako $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u}$, dvě stejné šipky za sebou. Když násobíme záporným číslem, vektor navíc obrátí směr: oranžový vektor $-2\overrightarrow{u}$ je dvakrát delší a míří opačně. Opačný vektor $-\overrightarrow{u}$ je vlastně vektor $\overrightarrow{u}$ vynásobený číslem −1.

Ve fyzice to znamená: zdvojnásobíme-li sílu a necháme ji působit stejným směrem, dostaneme sílu $2\overrightarrow{F}$. Velikost se zdvojnásobí, směr zůstane.

Sinus a kosinus

Šikmý vektor se často vyplatí rozložit na dva kolmé, třeba na vodorovný a svislý. K tomu si musíme zavést dva nové pojmy, sinus a kosinus. Oba vycházejí z pravoúhlého trojúhelníku.

Trojúhelník na obrázku má pravý úhel u vrcholu C, přeponou je černá strana c. Podíváme se na úhel α u vrcholu A. Červená odvěsna a leží naproti němu, proto se jí říká protilehlá. Modrá odvěsna b úhel α svírá spolu s přeponou, té se říká přilehlá.

Sinus úhlu α je poměr protilehlé odvěsny a přepony, kosinus je poměr přilehlé odvěsny a přepony:

$$\sin \alpha =\frac{a}{c},\cos \alpha =\frac{b}{c}$$

K čemu je takový poměr dobrý? Zvětšete celý trojúhelník dvakrát. Všechny strany budou dvakrát delší, ale úhly zůstanou stejné. Poměr $\frac{a}{c}$ se nezmění, protože se dvakrát zvětší čitatel i jmenovatel. Sinus a kosinus proto nezávisí na velikosti nakresleného trojúhelníku, ale jen na velikosti úhlu α. Úhel 30° má sinus pořád stejný, ať trojúhelník kreslíte do sešitu, nebo na školní hřiště.

Přepona je v pravoúhlém trojúhelníku nejdelší strana, takže oba poměry vyjdou vždycky menší než jedna. Sinus ani kosinus ostrého úhlu nikdy nepřekročí jedničku.

Sinus a kosinus libovolného úhlu spočítá kalkulačka, najdete na ní tlačítka sin a cos. Dejte si ale pozor, aby kalkulačka počítala ve stupních. Pokud na displeji nevidíte DEG, ale RAD nebo GRAD, počítá v jiných jednotkách úhlu a vyjdou nesmysly. Je to jedna z nejčastějších chyb v písemkách. Na webu můžete použít kalkulačku sinu nebo kosinu, další vlastnosti obou funkcí najdete v článku Sinus a cosinus.

Tři úhly bez kalkulačky

Pro úhly 30°, 45° a 60° sinus a kosinus spočítáme i bez kalkulačky. Vystačíme si s rovnostranným trojúhelníkem a čtvercem.

Vlevo vidíme rovnostranný trojúhelník o straně 2. Všechny jeho úhly mají 60°. Čárkovaná výška ho rozdělí na dva shodné pravoúhlé trojúhelníky. Ten červený má přeponu 2, spodní odvěsnu 1, protože je to polovina strany, a úhly 60° dole a 30° nahoře, protože výška půlí horní úhel. Délku výšky dopočítáme z Pythagorovy věty: $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$. Zbývá dosadit do definic. Úhlu 30° leží naproti odvěsna 1, takže

$$\sin 30°=\frac{1}{2},\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}\doteq \mathrm{0,866.}$$

U úhlu 60° je to obráceně, naproti němu leží výška $\sqrt{3}$:

$$\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}\doteq \mathrm{0,866},\cos 60°=\frac{1}{2}.$$

Vpravo je čtverec se stranou 1, rozdělený úhlopříčkou. Úhlopříčka půlí pravý úhel, takže modrý trojúhelník má úhel 45°, obě odvěsny délky 1 a přeponu $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$. Sinus i kosinus vyjdou stejně:

$$\sin 45°=\cos 45°=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\doteq \mathrm{0,707}$$

Všechno pohromadě:

Zajímavé je, že sinus 30° je kosinus 60° a naopak. To není náhoda: protilehlá odvěsna jednoho ostrého úhlu je přilehlou odvěsnou toho druhého.

Rozklad vektoru do složek

Pepa veze na sáňkách malou sestru. Provaz drží v ruce, a tak nevede vodorovně, ale šikmo vzhůru a se zemí svírá úhel 30°. Pepa za něj táhne silou 100 N. Sáňky ale jedou po zemi, ne šikmo do vzduchu. Kolik z té síly jde opravdu dopředu?

Šikmou sílu $\overrightarrow{F}$ nahradíme dvojicí sil, vodorovnou a svislou. Říkáme jim složky a značí se ${\overrightarrow{F}}_x$ a ${\overrightarrow{F}}_y$ podle os x a y. Zvolíme je tak, aby se jejich součet přesně rovnal původní síle:

$$\overrightarrow{F}={\overrightarrow{F}}_x+{\overrightarrow{F}}_y$$

Na obrázku je zelená síla $\overrightarrow{F}$ a její složky, červená vodorovná a modrá svislá. Čárkovaně je doplněný obdélník. Pravá čárkovaná strana je modrá složka posunutá na konec červené, takže červená a modrá šipka za sebou opravdu dají zelenou. Je to pravidlo rovnoběžníku obráceně: tam jsme ze dvou sil dělali jednu, tady z jedné dvě. Rovnoběžník je v tomhle případě obdélník, protože složky jsou na sebe kolmé.

Červená složka, pravá čárkovaná strana a zelená síla tvoří pravoúhlý trojúhelník. Přeponou je síla $\overrightarrow{F}$ s velikostí F. Vodorovná složka je přilehlá odvěsna úhlu α a svislá složka je stejně dlouhá jako protilehlá odvěsna. Z definic sinu a kosinu platí

$$\cos \alpha =\frac{F_x}{F},\sin \alpha =\frac{F_y}{F}.$$

Obě rovnice vynásobíme velikostí síly F a dostaneme vzorce pro velikosti složek:

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =F\cdot \cos \alpha \\ F_y& =F\cdot \sin \alpha \end{array}$$

Dosadíme Pepovy hodnoty. Vodorovná složka je

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =100\mathrm{N}\cdot \cos 30°\\ & \doteq 100\mathrm{N}\cdot \mathrm{0,866}=86,6\mathrm{N}\end{array}$$

a svislá

$$\begin{array}{rl}{F}_y& =100\mathrm{N}\cdot \sin 30°\\ & =100\mathrm{N}\cdot 0,5=50\mathrm{N}.\end{array}$$

Dopředu táhne sáňky jen asi 86,6 N ze sta. Zbylá svislá složka 50 N sáňky trochu nadlehčuje, takže přitlačují na sníh méně.

Všimněte si, že 86,6 N + 50 N dává víc než 100 N. To není chyba, složky jsou vektory a nesčítají se jako čísla. Sčítat se dají jen šipky, za sebou, a ty dají zpátky původních 100 N.

A co když Pepa provaz zvedne výš, na 60°? Pak

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =100\mathrm{N}\cdot \cos 60°\\ & =100\mathrm{N}\cdot 0,5=50\mathrm{N}.\end{array}$$

Dopředu by táhl jen polovinou síly. Čím strměji provaz vede, tím menší část síly jde dopředu a tím víc sáňky nadlehčuje.

Zpětné složení

Zatím jsme sílu rozkládali. Často je potřeba opak: známe dvě kolmé složky a chceme celý vektor. Složky jsou odvěsny pravoúhlého trojúhelníku a vektor je jeho přepona, takže velikost spočítáme Pythagorovou větou:

$$F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}$$

Ověříme to na sáňkách. Dosadíme složky:

$$F=\sqrt{(86,6\mathrm{N}{)}^2+(50\mathrm{N}{)}^2}$$

Umocníme:

$$\begin{array}{rl}F& =\sqrt{7499,56{\mathrm{N}}^2+2500{\mathrm{N}}^2}\\ & =\sqrt{9999,56{\mathrm{N}}^2}\end{array}$$

A odmocníme:

$$F\doteq 100,0\mathrm{N}$$

Dostali jsme původní sílu. Drobná odchylka pod odmocninou vznikla tím, že jsme kosinus zaokrouhlili na 0,866.

Teď se můžeme vrátit k Petrovi a jeho procházce. Jeho posunutí má složky 3 km na východ a 4 km na sever a velikost už známe, 5 km. Zbývá směr. Označme α úhel, který zelená šipka svírá s červenou, tedy se směrem na východ. Severní složka 4 km leží naproti němu a přepona měří 5 km:

$$\sin \alpha =\frac{4\mathrm{km}}{5\mathrm{km}}=0,8$$

Kilometry se vykrátily, sinus je obyčejné číslo bez jednotky. Úhel, jehož sinus je 0,8, najde kalkulačka tlačítkem sin⁻¹ (bývá nad tlačítkem sin, na webu poslouží kalkulačka arkus sinu):

$$\alpha \doteq 53°$$

Petrovo posunutí je tedy 5 km ve směru, který se od východu stáčí o 53° k severu. Velikost a směr, víc vektor nepotřebuje. Kdyby se Petr chtěl vrátit nejkratší cestou, šel by po opačném vektoru: 5 km opačným směrem, tedy na jihozápad, o něco víc na jih než na západ.

Posunutí nás bude provázet celou kinematikou. V dalším článku, Pohyb a klid, ho postavíme proti dráze a ukážeme, proč se běžkyně po celém kolečku kolem hřiště vlastně nikam neposunula.