Tíhová síla a tíha

„Vážím 70 kilo,“ říká Martin. Všichni vědí, co tím myslí, a přesto by fyzik zvedl obočí. Kilogram je jednotka hmotnosti, ne síly, a když Martin stojí na váze, tlačí na ni silou, která se měří v newtonech. Doma na podlaze je to jen slovíčkaření, ve výtahu nebo na Měsíci už ne.

Hmotnost a tíhová síla

Hmotnost m vyjadřuje, jak moc těleso vzdoruje změně rychlosti. Měří se v kilogramech a nezávisí na tom, kde těleso je. Martin má hmotnost 70 kg doma, v letadle i na Měsíci.

Tíhová síla $\overrightarrow{F_G}$ je síla, kterou těleso přitahuje Země. Míří svisle dolů a její velikost určíme jako

$$F_G=m\cdot g,$$

kde g ≈ 9,81 m/s² je tíhové zrychlení. Jednotku m/s² můžeme číst i jako N/kg, protože N = kg·m/s². Tíhové zrychlení tak zároveň udává, že Země u povrchu táhne každý kilogram silou 9,81 N. Těleso s dvojnásobnou hmotností táhne Země dvakrát silněji.

Pro Martina vychází

$$F_G=70\mathrm{kg}\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 687\mathrm{N}.$$

Na Měsíci je tíhové zrychlení jen asi 1,62 m/s², zhruba šestkrát menší. Měsíc proto táhne Martina silou

$$F_G=70\mathrm{kg}\cdot 1,62{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 113\mathrm{N}.$$

Tíhová síla se zmenšila na šestinu, hmotnost zůstala 70 kg. Na Měsíci by Martin vyskočil mnohem výš, jenže kdyby chtěl roztlačit nebo zastavit naložený vozík, zabrat by musel stejně jako doma. Kolik síly změna rychlosti vyžaduje, určuje podle zákona síly hmotnost, a ta se nezměnila. A kopnout do balvanu by na Měsíci bolelo pořád stejně.

Normálová síla a tíha

Martin stojí doma na váze. Země ho táhne dolů, a přesto nepadá, protože ho váha tlačí nahoru normálovou silou $\overrightarrow{F_N}$. Martin se nehýbe, výslednice je nulová, takže obě síly mají stejnou velikost, F_N = F_G ≈ 687 N.

Odkud se normálová síla bere? Podlaha i deska váhy se pod Martinem nepatrně prohnou, podobně jako pružina, a snaží se vrátit do původního tvaru. Čím víc na ně tlačí, tím víc se prohnou a tím silněji tlačí zpátky. Podložka si tak sama vyrobí přesně tolik síly, kolik je potřeba, ovšem jen do určité meze: tenký led na rybníku nebo shnilé prkno to nevydrží.

Normálová síla působí na Martina. Podle zákona akce a reakce tlačí Martin na váhu stejně velkou silou dolů. Síle, kterou těleso tlačí na podložku nebo táhne za závěs, říkáme tíha. Tíhová síla a tíha se pletou snadno, protože v klidu mají stejnou velikost a obě míří dolů. Rozdíl je v tom, na co působí:

• tíhová síla působí na těleso, táhne ho Země,
• tíha působí na podložku nebo závěs, tlačí na ni nebo za něj táhne těleso.

U závěsu to funguje stejně. Batoh o hmotnosti 8 kg na věšáku táhne Země tíhovou silou asi 78 N a háček ho drží stejně velkou silou nahoru. Batoh přitom táhne háček dolů svou tíhou, také 78 N.

Tíha má vždy stejnou velikost jako síla, kterou podložka nebo závěs působí na těleso, protože spolu tvoří dvojici akce a reakce. S tíhovou silou se ale rovnat nemusí, jak za chvíli uvidíme.

Mimochodem, tíhovou sílu necítíme. Táhne stejně za každý kousek těla, za ruce, žaludek i hlavu, a nic ji nemá jak poznat. Pocítíme teprve to, jak nás zespodu tlačí podlaha nebo židle a jak se pod tím tlakem tělo trochu stlačuje. Právě normálová síla odpovídá tomu, co běžně považujeme za pocit vlastní váhy.

Co ukazuje váha v koupelně

Osobní váha skrývá pružinu nebo pružný kovový pásek, který se pod zatížením prohne. Měří tedy sílu, kterou na ni tlačíte, čili vaši tíhu, a je to vlastně siloměr. Na displeji ale nesvítí newtony, nýbrž kilogramy. Výrobce předpokládal, že na váze budete stát v klidu na Zemi, kde na ni tlačíte silou m · g. Naměřenou sílu proto vydělí tíhovým zrychlením:

$$\frac{687\mathrm{N}}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 70\mathrm{kg}$$

Když tedy Martin říká „vážím 70 kilo“, myslí svou hmotnost a ta opravdu je 70 kg. Fyzikálně přesně by řekl, že má hmotnost 70 kg a tíhu 687 N. Doma to vyjde nastejno, protože váha převádí jedno na druhé pořád stejným číslem.

Kdyby Martin vzal tutéž váhu s sebou na Měsíc, tlačil by na ni silou jen 113 N. Váha by poslušně dělila číslem 9,81 m/s² a ukázala by

$$\frac{70\mathrm{kg}\cdot 1,62{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 11,6\mathrm{kg}.$$

Martin přitom nezhubl ani o gram, váha jen počítá s tím, že stojí na Zemi. Chybou by proto bylo napsat, že má na Měsíci hmotnost 11,6 kg. Hmotnost by na Měsíci správně určily jen rovnoramenné váhy, které těleso srovnávají se závažím, protože Měsíc táhne obě misky stejně slabě.

Váha ve výtahu

Martin nastoupí do výtahu v přízemí, stoupne si na váhu a jede nahoru. Působí na něj dvě síly: tíhová síla dolů a normálová síla váhy nahoru. Kladný směr zvolíme nahoru, takže výslednice je F_N − F_G a podle zákona síly se rovná m · a:

$$F_N-m\cdot g=m\cdot a$$

Přičteme m · g a vytkneme hmotnost:

$$F_N=m\cdot (g+a)$$

Výtah se rozjíždí a má zrychlení 2 m/s² nahoru. To je pořádně svižný výtah: běžné se rozjíždějí zhruba s polovičním zrychlením, aby cestujícím nebylo nepříjemně. Dosadíme:

$$\begin{array}{rl}{F}_N& =70\mathrm{kg}\cdot (9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2+2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2)\\ & \approx 827\mathrm{N}\end{array}$$

Váha sílu vydělí číslem 9,81 m/s² a ukáže asi 84 kg. Martin na displeji přibral 14 kilo. Ve skutečnosti ho váha musí nejen nést, ale ještě roztlačit směrem nahoru, a tlačí proto silněji. Toto zesílené tlačení Martin pocítí v nohou jako tíhu navíc. Tíhová síla se přitom nezměnila, Země ho táhne pořád silou 687 N.

Jakmile výtah jede stálou rychlostí, je zrychlení nulové a F_N = m · g. Váha ukazuje opět 70 kg a Martin by se zavřenýma očima nepoznal, jestli jede, nebo stojí. Rychlost necítíme, cítíme jen zrychlení.

Před cílovým patrem výtah brzdí. Rychlost míří nahoru, ale ubývá, takže zrychlení míří dolů, a = −2 m/s²:

$$\begin{array}{rl}{F}_N& =70\mathrm{kg}\cdot (9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2-2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2)\\ & \approx 547\mathrm{N}\end{array}$$

Váha ukáže asi 56 kg a Martin má chvilku pocit, že je lehčí.

V animaci výtah chvíli stojí, pak se rozjede nahoru, jede stálou rychlostí, zabrzdí a zastaví. Modrá tíhová síla zůstává stále stejně dlouhá. Zelená normálová síla a zelený sloupec vpravo, který ukazuje údaj váhy, se při rozjezdu prodlouží a při brzdění zkrátí. Černá šipka vedle kabiny ukazuje, kam míří zrychlení. Šedá čárkovaná čára značí údaj v klidu, displej nad sloupcem ukazuje údaj v kilogramech.

Cestou dolů je to naopak. Při rozjezdu dolů míří zrychlení dolů a váha ukazuje méně, při brzdění před přízemím míří nahoru a váha ukazuje víc. Rozhoduje směr zrychlení, ne směr jízdy:

Dá se počítat i pozpátku. Váha ve výtahu ukazuje 77 kg, jaké zrychlení má výtah? Váha naměřila sílu F_N = 77 kg · 9,81 m/s². Ze vzorce pro normálovou sílu vyjádříme zrychlení, rovnici vydělíme hmotností a odečteme g:

$$a=\frac{F_N}{m}-g=\frac{77\mathrm{kg}\cdot g}{70\mathrm{kg}}-g=0,1\cdot g$$

Výtah má zrychlení asi 0,98 m/s² nahoru. Buď se rozjíždí nahoru, nebo brzdí cestou dolů, to váha nerozliší.

Padající výtah a beztíže

A co když se lano přetrhne? Skutečný výtah by zastavily záchytné brzdy, které se zakousnou do vodicích kolejnic, ale pojďme to domyslet. Výtah i Martin pak padají jen vlivem tíhové síly, stejně jako při volném pádu, a mají zrychlení g dolů, tedy a = −g:

$$F_N=m\cdot (g-g)=0\mathrm{N}$$

Váha ukazuje nulu. Martin i váha padají úplně stejně, Martin na ni vůbec netlačí a ona netlačí na něj. Kdyby pustil z ruky klíče, zůstaly by viset ve vzduchu vedle něj, protože padají stejně jako on i kabina. Tomu se říká beztíže neboli beztížný stav. Tíha je nulová, nic netlačí na podložku ani netáhne za závěs.

Tíhová síla ale nulová není. Země táhne Martina pořád silou 687 N a právě proto padá. Beztíže neznamená, že gravitace zmizela, jen že ji zespodu nic nevyrovnává. Bezpečně si ji vyzkoušejí cestující ve speciálním letadle, které asi dvacet sekund letí tak, aby mělo zrychlení přesně g dolů. Lidé uvnitř se po celou dobu vznášejí. Slabší verzi téhož zažijete v autě, které rychle přejede vrchol kopce. Na chvilku má zrychlení dolů, sedačka tlačí méně a žaludek se zhoupne.

Přetížení silami

Přetížení říká, kolikrát silněji nás tlačí podložka, než když v klidu stojíme. Teď ho umíme zapsat silami. Je to poměr normálové síly a tíhové síly:

$$\frac{F_N}{m\cdot g}=\frac{m\cdot (g+a)}{m\cdot g}=\frac{g+a}{g}$$

Hmotnost se vykrátila, přetížení tedy na ní nezávisí. Těžký i lehký cestující ve stejném výtahu zažijí stejné přetížení. Při rozjezdu nahoru vychází

$$\frac{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2+2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 1,2,$$

tedy přetížení 1,2g. Při brzdění je to 0,8g, v klidu i při stálé rychlosti 1g a v padajícím výtahu 0g. Přetížení je tedy totéž, co ukazuje váha, jen vydělené tím, co by ukazovala v klidu: 84 kg ku 70 kg je zase 1,2.

Zatím jsme zkoumali, co dělá síla, která působí pořád. Co když udeří jen na zlomek sekundy, třeba při nárazu nebo kopnutí do míče? Na to se podívá další článek, Hybnost a impulz síly.