Řešené příklady z dynamiky

Síly pochopíme nejlíp tak, že s nimi počítáme. Čeká vás třináct příkladů od skládání sil přes Newtonovy zákony, hybnost a tření až po zatáčku a setrvačnou sílu. Tři z nich (skluzavka, brzdění na sněhu a rozjezd vlaku) spojují síly s pohybem: ze sil spočítáme zrychlení a ze zrychlení rychlost nebo dráhu. Držíme se osvědčeného postupu: zápis, náčrtek sil, kladný směr, obecné řešení, dosazení s jednotkami a odpověď celou větou. Náčrtek si nakreslete sami, obrázek má jen první příklad. Zkuste každý příklad nejdřív sami.

Příklad 1: Dva traktory a uvízlý kombajn

Kombajn uvízl v blátě. Ven ho táhnou dva traktory, každý lanem silou 30 kN. Lana svírají úhel β = 60° a kombajn leží přesně na ose mezi nimi. Jak velká je výslednice?

Dvě síly F⃗_1 (červeně) a F⃗_2 (modře) z oranžového bodu, který znázorňuje kombajn, každá odkloněná o úhel α od osy, a zelená výslednice F⃗ podél osy

Řešení:

$\begin{aligned} F_{1} = F_{2} & = 30 kN = 30 000 N \\ β & = 60 ° \\ F & = ? (N) \end{aligned}$

Osu x zvolíme podél osy mezi lany, kladně ve směru tahu. Protože kombajn leží na ose, je každé lano odkloněné od ní o polovinu úhlu mezi lany, $α = \frac{β}{2} = 30 °$ . Obě síly rozložíme na složky. Složky kolmé k ose jsou stejně velké a opačné, a tak se vyruší. Podél osy zbudou dvě stejné složky F₁ · cos α:

$\begin{aligned} F & = 2 \cdot F_{1} \cdot \cos α = 2 \cdot 30 000 N \cdot \cos 30 ° \\ ≐ 51 962 N \end{aligned}$

Výslednice je asi 52 kN, ne 60 kN. Část tahu přijde nazmar, protože traktory táhnou každý trochu jinam. Čím víc se lana rozevřou, tím větší ztráta: při úhlu β = 120° mezi lany je α = 60° a výslednice 2 · 30 000 N · cos 60° = 30 000 N, jako by táhl jen jeden traktor.

Příklad 2: Motorový člun

Člun o hmotnosti 300 kg i s posádkou žene vpřed voda díky vrtuli silou 900 N. Odpor vody je 300 N. Jaké má člun zrychlení?

Řešení:

$\begin{aligned} m & = 300 kg \\ F_{1} & = 900 N, F_{2} = 300 N \\ a & = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

Za kladný vezmeme směr plavby. Odpor míří proti němu, takže ve výslednici má minus. Pak už jen sečteme síly a vydělíme hmotností:

$a = \frac{F_{1} - F_{2}}{m} = \frac{900 N - 300 N}{300 kg} = 2 {m / s}^{2}$

Jednotky sedí, newton na kilogram je metr za sekundu na druhou. Člun má zrychlení 2 m/s². Odpor vody s rychlostí roste, a až dosáhne 900 N, výslednice bude nulová a člun pojede stálou rychlostí.

Příklad 3: Kamion a osobní auto

Kamion o hmotnosti 10 000 kg narazí do osobního auta o hmotnosti 1 000 kg. Které těleso působí na druhé větší silou? Jaká zrychlení mají, když síla nárazu je 50 000 N?

Řešení: Většina lidí tipne kamion. Síly nárazu ale tvoří pár akce a reakce, a proto jsou stejně velké a opačné. Kamion tlačí auto silou 50 000 N a auto kamion také. Rozdíl je v tom, co síla s tělesem udělá.

$\begin{aligned} m_{1} & = 10 000 kg, m_{2} = 1 000 kg \\ F & = 50 000 N \\ a_{1} & = ? ({m / s}^{2}), a_{2} = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

Za kladný zvolíme směr jízdy kamionu:

$\begin{aligned} a_{1} & = \frac{- F}{m_{1}} = \frac{- 50 000 N}{10 000 kg} = - 5 {m / s}^{2} \\ a_{2} & = \frac{F}{m_{2}} = \frac{50 000 N}{1 000 kg} = 50 {m / s}^{2} \end{aligned}$

Kamion má zrychlení −5 m/s², tedy zpomaluje, zatímco auto získá zrychlení 50 m/s², asi pětkrát větší než tíhové. Proto dopadne hůř posádka auta, i když síly jsou stejné.

Příklad 4: Váha ve výtahu jedoucím dolů

Radek o hmotnosti 80 kg stojí ve výtahu na váze. Výtah jede dolů a před přízemím brzdí se zpomalením 1,5 m/s². Co ukáže váha?

Řešení: Nahoru bude kladný směr. Výtah jede dolů a zpomaluje, takže jeho zrychlení míří nahoru: a = 1,5 m/s².

$\begin{aligned} m & = 80 kg \\ a & = 1, 5 {m / s}^{2} \\ F_{N} & = ? (N) \end{aligned}$

Radka táhne dolů tíhová síla a nahoru ho nese normálová síla váhy. Podle druhého zákona F_N − m · g = m · a, takže normálová síla vyjde stejně jako u výtahu, který se rozjíždí nahoru:

$\begin{aligned} F_{N} & = m \cdot (g + a) \\ = 80 kg \cdot (9, 81 {m / s}^{2} + 1, 5 {m / s}^{2}) \\ = 904, 8 N \end{aligned}$

Váha dělí sílu tíhovým zrychlením a ukáže $\frac{F_{N}}{g} = \frac{904, 8 N}{9, 81 {m / s}^{2}} ≐ 92 kg$ . V klidu by ukázala jeho skutečných 80 kg. Radek se cítí těžší, i když jede dolů. Záleží na směru zrychlení, ne na směru jízdy.

Příklad 5: Vozítko na Marsu

Vozítko Perseverance má hmotnost 1 025 kg. Jak velká tíhová síla na něj působí na Zemi a jak velká na Marsu, kde je tíhové zrychlení 3,71 m/s²?

Řešení:

$\begin{aligned} m & = 1 025 kg \\ g & = 3, 71 {m / s}^{2} \\ F_{G} & = ? (N) \end{aligned}$

Tíhová síla je hmotnost krát tíhové zrychlení. Na Marsu

$F_{G} = m \cdot g = 1 025 kg \cdot 3, 71 {m / s}^{2} ≐ 3 803 N,$

na Zemi stejným výpočtem s g = 9,81 m/s²

$F_{G} = 1 025 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2} ≐ 10 055 N .$

Na Marsu působí na vozítko tíhová síla asi 3,8 kN, něco přes třetinu pozemských 10 kN. Hmotnost má ovšem všude stejnou, a tak se při stejné síle rozjíždí stejně neochotně.

Příklad 6: Tenisové podání

Tenista podává míček o hmotnosti 57 g, který je v nejvyšším bodě nadhozu skoro v klidu. Raketa se ho dotýká 5 ms a míček odletí rychlostí 50 m/s. Jak velkou průměrnou silou na něj raketa působí?

Řešení:

$\begin{aligned} m & = 57 g = 0,057 kg \\ v_{0} & = 0 m / s, v = 50 m / s \\ Δ t & = 5 ms = 0,005 s \\ F & = ? (N) \end{aligned}$

Kladný směr volíme ve směru letu míčku. Síla se rovná změně hybnosti za dobu, po kterou působí, tedy impulz dělený dobou nárazu:

$\begin{aligned} F & = \frac{Δ p}{Δ t} = \frac{m \cdot (v - v_{0})}{Δ t} \\ = \frac{0,057 kg \cdot 50 m / s}{0,005 s} = 570 N \end{aligned}$

To je asi tolik, jako kdyby na míčku stál člověk o hmotnosti 58 kg, jenže jen pět tisícin sekundy. Raketa tlačí na míček průměrnou silou 570 N. Při dvakrát delším doteku by na stejnou rychlost stačila poloviční síla.

Příklad 7: Hokejisté v klinči

Hokejista o hmotnosti 90 kg jede rychlostí 6 m/s a čelně se srazí se soupeřem o hmotnosti 80 kg, který mu jede naproti rychlostí 4 m/s. Po srážce se do sebe zaklesnou. Jak rychle a kam se pohybují?

Řešení: Kladný směr míří tam, kam jede první hokejista, a rychlost soupeře je proto záporná.

$\begin{aligned} m_{1} & = 90 kg, v_{1} = 6 m / s \\ m_{2} & = 80 kg, v_{2} = - 4 m / s \\ v^{'} & = ? (m / s) \end{aligned}$

Na ledu je tření malé a srážka krátká, dvojici proto bereme jako izolovanou soustavu. Podle zákona zachování hybnosti je hybnost před srážkou stejná jako po ní:

$m_{1} \cdot v_{1} + m_{2} \cdot v_{2} = (m_{1} + m_{2}) \cdot v^{'}$

$\begin{aligned} v^{'} & = \frac{m_{1} \cdot v_{1} + m_{2} \cdot v_{2}}{m_{1} + m_{2}} \\ = \frac{90 kg \cdot 6 m / s + 80 kg \cdot (- 4 m / s)}{170 kg} \\ ≐ 1, 29 m / s \end{aligned}$

Výsledek je kladný, dvojice se tedy sune tam, kam jel hokejista s větší hmotností i rychlostí, a to asi 1,3 m/s. Kdo zapomene na znaménko, dostane nesmyslných 5,1 m/s.

Příklad 8: Lavička v tělocvičně

Dřevěná lavička o hmotnosti 25 kg stojí na dřevěné podlaze. Součinitel klidového tření je 0,5, smykového 0,3. Rozhýbe ji vodorovná síla 100 N? A jaké bude mít lavička zrychlení, když ji tlačíme silou 130 N?

Řešení:

$\begin{aligned} m & = 25 kg \\ f_{0} & = 0, 5, f = 0, 3 \\ F_{1} & = 100 N, F_{2} = 130 N \\ a & = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

Na vodorovné podlaze je normálová síla rovna tíhové, F_N = m · g. Největší klidové tření je

$f_{0} \cdot m \cdot g = 0, 5 \cdot 25 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2} ≐ 123 N .$

Síla 100 N je menší, lavička stojí a klidové tření má přesně 100 N. Síla 130 N ji utrhne a brzdí ji už jen smykové tření. Kladný směr volíme ve směru tlačení:

$\begin{aligned} a & = \frac{F_{2} - f \cdot m \cdot g}{m} \\ = \frac{130 N - 0, 3 \cdot 25 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2}}{25 kg} \\ ≐ 2, 26 {m / s}^{2} \end{aligned}$

Lavička se rozjede se zrychlením asi 2,3 m/s². Stovkou s ní nepohneme vůbec.

Příklad 9: Skluzavka

Dítě sjíždí z klidu po skluzavce dlouhé 4 m se sklonem 30°. Součinitel smykového tření kalhot o skluzavku je 0,3. Jak rychle dojede dolů?

Řešení:

$\begin{aligned} α & = 30 °, f = 0, 3 \\ s & = 4 m, v_{0} = 0 m / s \\ v & = ? (m / s) \end{aligned}$

Kladný směr volíme dolů podél skluzavky. Složka tíhové síly podél svahu je m · g · sin α, tření f · m · g · cos α míří proti pohybu. Po vykrácení hmotnosti zbude zrychlení na svahu s třením, a = g · (sin α − f · cos α). Pro představu vychází asi 2,36 m/s².

Čas neznáme, rychlost dole proto dá vztah bez času v² = 2 · a · s. Dosadíme do něj zrychlení obecně:

$\begin{aligned} v & = \sqrt{2 \cdot g \cdot s \cdot (\sin α - f \cdot \cos α)} \\ = \sqrt{2 \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \cdot 4 m \cdot (\sin 30 ° - 0, 3 \cdot \cos 30 °)} \\ ≐ 4, 34 m / s \end{aligned}$

Dítě dojede rychlostí asi 4,3 m/s, tedy necelých 16 km/h. Bez tření by to bylo přes 6 m/s.

Příklad 10: Cyklista v zatáčce

Jak nejrychleji smí cyklista projet vodorovnou zatáčkou o poloměru 12 m na suchém asfaltu se součinitelem tření 0,7? A jak rychle na mokrém se součinitelem 0,5?

Řešení:

$\begin{aligned} r & = 12 m \\ f & = 0, 7 \\ v_{max} & = ? (m / s) \end{aligned}$

Cyklistu na kružnici drží jen tření pneumatik, které míří do středu zatáčky. To musí stačit na dostředivou sílu, $\frac{m \cdot v^{2}}{r} \leq f \cdot m \cdot g$ . Hmotnost se vykrátí:

$\begin{aligned} v_{max} & = \sqrt{f \cdot g \cdot r} = \sqrt{0, 7 \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \cdot 12 m} \\ ≐ 9, 1 m / s \end{aligned}$

To je asi 33 km/h. Na mokru vyjde stejným výpočtem 7,7 m/s, necelých 28 km/h. Hmotnost se vykrátila, takže cyklista s větší hmotností to nemá snazší ani obtížnější. Při vyšší rychlosti kola ujedou ven ze zatáčky.

Příklad 11: Bedýnka v brzdící dodávce

V dodávce leží na dřevěné podlaze dřevěná bedýnka s nářadím o hmotnosti 30 kg, součinitel klidového tření je 0,5. Řidič brzdí se zpomalením 6 m/s². Posuďte situaci zevnitř dodávky: ujede bedýnka dopředu?

Řešení: Dodávka brzdí, takže je neinerciální soustavou. V ní na bedýnku navíc působí setrvačná síla opačná ke zrychlení dodávky, tedy dopředu. Kladný směr volíme dopředu.

$\begin{aligned} m & = 30 kg, f_{0} = 0, 5 \\ a & = - 6 {m / s}^{2} \end{aligned}$

Zrychlení dodávky míří dozadu, a proto je záporné. Setrvačná síla a největší klidové tření:

$\begin{aligned} F_{s} & = - m \cdot a = - 30 kg \cdot (- 6 {m / s}^{2}) = 180 N \\ f_{0} \cdot m \cdot g & = 0, 5 \cdot 30 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2} ≐ 147 N \end{aligned}$

Setrvačná síla vyšla kladná, míří tedy dopředu. Tření bedýnku nezadrží, ujede dopředu. Zadrželo by ji jen do zpomalení f₀ · g ≐ 4,9 m/s², hmotnost se vykrátí. Zvenku vypadá situace stejně, jen bez setrvačné síly: ke zpomalení 6 m/s² by bedýnka potřebovala tření 180 N, klidové tření dá ale nejvýš 147 N. Bedýnka proto zpomaluje méně než dodávka.

Příklad 12: Brzdění na sněhu

Po zasněžené silnici jede auto rychlostí 45 km/h a řidič zabrzdí tak, že kola se zablokují. Součinitel smykového tření pneumatik na sněhu je 0,3. Jak dlouhá je brzdná dráha a jak dlouho brzdění trvá?

Řešení:

$\begin{aligned} v & = 45 km / h = 12, 5 m / s \\ f & = 0, 3 \\ s_{b} & = ? (m), t = ? (s) \end{aligned}$

Směr jízdy bude kladný. Zpomaluje jen tření, $m \cdot | a | = f \cdot m \cdot g$ , takže zpomalení je $| a | = f \cdot g$ . Dosadíme ho do vzorce pro brzdnou dráhu:

$\begin{aligned} s_{b} & = \frac{v^{2}}{2 \cdot f \cdot g} = \frac{(12, 5 m / s)^{2}}{2 \cdot 0, 3 \cdot 9, 81 {m / s}^{2}} ≐ 26, 5 m \\ t & = \frac{v}{f \cdot g} = \frac{12, 5 m / s}{0, 3 \cdot 9, 81 {m / s}^{2}} ≐ 4, 2 s \end{aligned}$

Auto zastaví po 26,5 m a brzdí přes čtyři sekundy. Na suchu se součinitelem 0,7 by mu stačilo 11,4 m. Hmotnost ve vzorci chybí, takže i plně naložené auto brzdí stejně, alespoň v tomto zjednodušení.

Příklad 13: Rozjezd vlaku

Vlak o hmotnosti 400 t se rozjíždí z nádraží. Koleje tlačí přes kola lokomotivy vlak dopředu silou 200 kN, odpory proti pohybu jsou 40 kN. Za jak dlouho a po jaké dráze dosáhne rychlosti 90 km/h, jestliže se síly nemění?

Řešení:

$\begin{aligned} m & = 400 t = 400 000 kg \\ F_{1} & = 200 000 N, F_{2} = 40 000 N \\ v & = 90 km / h = 25 m / s \\ t & = ? (s), s = ? (m) \end{aligned}$

Kladný směr zvolíme po směru jízdy. Nejdřív dynamika, zákon síly:

$a = \frac{F_{1} - F_{2}}{m} = \frac{160 000 N}{400 000 kg} = 0, 4 {m / s}^{2}$

Pak kinematika rovnoměrně zrychleného pohybu z klidu a vztah bez času:

$\begin{aligned} t & = \frac{v}{a} = \frac{25 m / s}{0, 4 {m / s}^{2}} = 62, 5 s \\ s & = \frac{v^{2}}{2 \cdot a} = \frac{(25 m / s)^{2}}{2 \cdot 0, 4 {m / s}^{2}} ≐ 781 m \end{aligned}$

Zkouška: průměrná rychlost je 12,5 m/s a za 62,5 s to dá stejných 781 m. Vlak potřebuje asi minutu a necelý kilometr. Ve skutečnosti odpor s rychlostí narůstá, a rozjezd proto trvá o něco déle.

Konec cesty

Tím učebnice kinematiky a dynamiky končí. Začali jsme u toho, co je to vůbec veličina a jednotka, přes rychlost a zrychlení jsme došli k silám a Newtonovým zákonům a nakonec jsme oboje spojili: síla řekne, jak velké je zrychlení, a zrychlení, kam a jak rychle se těleso dostane. S touhle dvojicí zvládnete většinu příkladů o pohybu a silách. Práce a energie přijdou na řadu později.

« Předchozí: Řešené příklady z kinematiky

Další: Ostatní »