Hybnost a impulz síly

Dvorem skladu couvá kamion rychlostí 10 km/h, přibližně tempem rekreačního běžce. Na střelnici zase vylétne kulka rychlostí 800 m/s. Které z nich se zastaví hůř? Kulka vede v rychlosti, kamion v hmotnosti. Fyzika má pro tenhle souboj veličinu, která hmotnost a rychlost spojuje dohromady. Říká se jí hybnost a je to součin hmotnosti a rychlosti:

$$p=m\cdot v$$

Lidově řečeno, hybnost říká, kolik pohybu v tělese je. Jednotkou je kilogram krát metr za sekundu, kg·m/s. Vlastní jméno, jako má newton, tahle jednotka nedostala.

Dvakrát hmotnější těleso má při stejné rychlosti dvakrát větší hybnost, dvakrát rychlejší těleso se stejnou hmotností taky. Odpovídá to zkušenosti. Medicinbal se chytá hůř než fotbalový míč hozený stejně rychle a míč kopnutý z voleje zase hůř než ten, který vám někdo jen podá.

Kamion, nebo kulka?

Kamion má hmotnost 40 t = 40 000 kg. Rychlost převedeme na metry za sekundu, 10 km/h ≈ 2,78 m/s, a dosadíme:

$$p=40000\mathrm{kg}\cdot 2,78\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 111000\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Kulka má hmotnost 10 g = 0,01 kg:

$$p=0,01\mathrm{kg}\cdot 800\mathrm{m}/\mathrm{s}=8\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Hybnost pomalého kamionu je skoro čtrnáct tisíckrát větší než hybnost rychlé kulky. Kulka sice letí zhruba třistakrát rychleji, jenže kamion je čtyřmilionkrát hmotnější. Kulku zastaví pytel s pískem, kamion ho odsune. Proč právě hybnost rozhoduje o tom, jak těžké je těleso zastavit, uvidíme za chvíli.

Rychlost je vektor, a tak je vektor i hybnost:

$$\overrightarrow{p}=m\cdot \overrightarrow{v}$$

Hmotnost je kladné číslo, takže hybnost míří vždycky stejně jako rychlost. Dva stejné kamiony, které jedou stejně rychle proti sobě, mají stejně velkou hybnost, ale opačného směru. Na přímce si určíme kladný směr a hybnost mířící proti němu dostane znaménko minus, stejně jako rychlost.

Jak hybnost změnit

Hybnost tělesa se změní, jen když se změní jeho rychlost, a na to je potřeba síla. Vyjdeme z druhého Newtonova zákona F = m · a a za zrychlení dosadíme změnu rychlosti za čas, $a=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}$:

$$F=m\cdot \frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}$$

Hmotnost se nemění, takže hmotnost krát změna rychlosti je změna hybnosti. Těleso mělo na začátku rychlost v₀ a hybnost p₀ = m · v₀, na konci rychlost v a hybnost p = m · v:

$$\begin{array}{rl}m\cdot \mathrm{\Delta }v& =m\cdot (v-v_0)=m\cdot v-m\cdot v_0\\ & =p-p_0=\mathrm{\Delta }p\end{array}$$

Po dosazení do zákona síly získáme druhý Newtonův zákon zapsaný přes hybnost:

$$F=\frac{\mathrm{\Delta }p}{\mathrm{\Delta }t}$$

Síla je změna hybnosti za jednotku času, podobně jako zrychlení je změna rychlosti za jednotku času. Ve vektorech $\overrightarrow{F}=\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{p}}{\mathrm{\Delta }t}$, takže hybnost se mění ve směru výsledné síly. Sám Newton zákon vyslovil přes hybnost: změnou pohybu myslel změnu hybnosti.

Impulz síly

Vzorec vynásobíme dobou Δt:

$$F\cdot \mathrm{\Delta }t=\mathrm{\Delta }p$$

Součinu síly a doby jejího působení se říká impulz síly, I = F · Δt. Jednotkou je newton krát sekunda a je to totéž co jednotka hybnosti:

$$\mathrm{N}·\mathrm{s}={\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot \mathrm{s}=\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Impulz síly se rovná změně hybnosti. Plyne z toho důležitá věc: když má těleso ztratit určitou hybnost, třeba se zastavit, je impulz daný. Velká síla to zvládne za krátkou dobu, malá síla za dlouhou. Dvakrát delší doba znamená poloviční sílu, desetkrát delší desetinovou.

Teď už víme, proč pytel s pískem kulku zastaví a kamion ne. Kulka se v písku zastaví asi za tisícinu sekundy, takže ji pytel brzdí průměrnou silou

$$F=\frac{8\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}{\mathrm{0,001}\mathrm{s}}=8000\mathrm{N}.$$

Málo to není, ale písek to vydrží. Kdyby měl stejně velkou silou zastavit kamion, musel by ho brzdit

$$\mathrm{\Delta }t=\frac{p}{F}=\frac{111000\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}{8000\mathrm{N}}\approx 14\mathrm{s}.$$

Kulka se zabrzdí na dráze asi 400 m/s · 0,001 s = 0,4 m (průměrná rychlost krát doba). Kamion by za čtrnáct sekund průměrnou rychlostí 1,39 m/s ujel skoro 20 m. Pytel by musel měřit dvacet metrů, a tak ho kamion prostě odsune a jede dál.

Impulz platí i obráceně, když se těleso rozjíždí. Fotbalista nakopne stojící míč o hmotnosti 0,45 kg a míč odletí rychlostí 30 m/s. Míč získal hybnost 0,45 kg · 30 m/s = 13,5 kg·m/s. Dotek nohy trvá asi setinu sekundy, takže noha na míč působí průměrnou silou

$$F=\frac{13,5\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}{0,01\mathrm{s}}=1350\mathrm{N}.$$

Kdo chce kopnout silněji, musí na míč působit buď větší silou, nebo déle. Proto koulař nehází koulí jen zápěstím, ale tlačí ji po celé dlouhé dráze ruky.

Síla při nárazu stálá není, rychle vzroste a zase klesne. Ze změny hybnosti spočítáme její průměr, a ten nám bude stačit.

Airbag

Představte si auto, které jede rychlostí 50 km/h a narazí do zdi. Cestující o hmotnosti 70 kg je připoutaný a před ním se nafoukne airbag. Pás s airbagem ho zastaví zhruba za 0,1 s. Jak velkou silou na něj působí?

$$\begin{array}{rl}m& =70\mathrm{kg}\\ v_0& =50\mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v& =0\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ \mathrm{\Delta }t& =0,1\mathrm{s}\\ F& =?(\mathrm{N})\end{array}$$

Kladný směr bude směr jízdy. Cestující přijde o celou hybnost, kterou měl:

$$p_0=m\cdot v_0=70\mathrm{kg}\cdot 13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 973\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Změna hybnosti je Δp = 0 kg·m/s − 973 kg·m/s = −973 kg·m/s. Minus jen říká, že síla míří proti směru jízdy. Velikost síly:

$$F=\frac{|\mathrm{\Delta }p|}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{973\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}{0,1\mathrm{s}}=9730\mathrm{N}$$

Když kilogram krát metr za sekundu vydělíme sekundou, vyjde kg·m/s², tedy newton. Na cestujícího působí asi 9 700 N. Jeho tíhová síla je 70 kg · 9,81 m/s² ≈ 690 N, takže pás a airbag ho brzdí silou asi čtrnáctkrát větší. Hodně, ale přežije se to.

Kdyby pás ani airbag neměl, narazil by do volantu a palubní desky a zastavil by se asi za 0,01 s. Hybnost ztratí stejnou, jen za desetinu času:

$$F=\frac{973\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}{0,01\mathrm{s}}=97300\mathrm{N}$$

To je asi 97 000 N, desetkrát víc a asi stoštyřicetkrát víc než tíhová síla. Airbag nezmenší hybnost, o kterou cestující přijde, ta je daná jeho hmotností a rychlostí. Jen ji odebírá déle, a proto menší silou. Totéž dělá deformační zóna auta, která se při nárazu postupně mačká a prodlužuje dobu zastavení.

Měkký dopad

Gymnastka Bára o hmotnosti 40 kg seskočí z kladiny a dopadne rychlostí 4 m/s. Těsně před dopadem má hybnost

$$p=40\mathrm{kg}\cdot 4\mathrm{m}/\mathrm{s}=160\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Na tvrdé podlaze se zastaví i s pokrčenými koleny asi za 0,05 s, na žíněnce, která se pod ní prohne, asi za 0,25 s. Výsledná síla, která ji brzdí:

$$\begin{array}{rl}F& =\frac{160\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}{0,05\mathrm{s}}=3200\mathrm{N}\\ F& =\frac{160\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}{0,25\mathrm{s}}=640\mathrm{N}\end{array}$$

Na žíněnce je síla pětkrát menší, protože dopad trvá pětkrát déle. Celou hybnost Bára ztratí v obou případech. Žíněnka nezmění, kolik hybnosti zmizí, jen ji bere pomaleji.

Červený obdélník je dopad na podlahu, modrý na žíněnku. Výška obdélníku je průměrná síla, šířka doba dopadu, takže obsah obdélníku je síla krát doba, tedy impulz. Červený obdélník je pětkrát vyšší a pětkrát užší než modrý a oba mají stejný obsah 160 N·s, protože oba dopady vzaly Báře stejnou hybnost. Skutečná síla při dopadu rychle vyskočí a zase klesne. Impulz je pak obsah plochy pod její křivkou a průměrná síla je výška obdélníku se stejným obsahem.

Podlaha i žíněnka přitom musí tlačit ještě o Bářinu tíhovou sílu, asi o 390 N, víc, protože Země ji táhne dolů i během dopadu. Výsledná síla je rozdílem síly, kterou podložka tlačí nahoru, a tíhové síly.

Tentýž princip využívá písek u skoku do dálky, matrace při skoku o tyči nebo pokrčení kolen, když seskočíte ze zídky.

Proč se při chytání stahují ruce

Při chytání prudce hozeného míče ruce s ním samy couvnou k tělu. Míč tak brzdí delší dobu a menší silou a dlaně nebolí. Kdo nastaví ruce tuhé, zastaví míč za kratičkou chvíli, velkou silou, a míč mu často odskočí. Nejlíp to ví každý, kdo někdy chytal syrové vejce.

Oranžové značky zaznamenávají, kde byl míč po stejně dlouhých chvílích. Nahoře se míč o tuhou červenou ruku zastaví skoro okamžitě. Dole s ním modrá ruka couvne a míč zpomaluje postupně, značky se k sobě přibližují. Šedý obrys ukazuje, odkud ruka začínala. Zastavení dole trvá mnohem déle, a proto ruka brzdí míč mnohem menší silou.

Házenkářský míč o hmotnosti 0,4 kg letí rychlostí 15 m/s a má hybnost 6 kg·m/s. Tuhé ruce ho zastaví asi za 0,01 s silou 600 N, povolené za 0,1 s silou jen 60 N.

Odraz je horší než zastavení

Mrštíte o zeď kouli z plastelíny o hmotnosti 0,06 kg rychlostí 20 m/s. Kladný směr zvolíme ke zdi. Koule se přilepí, takže její hybnost se změní z 1,2 kg·m/s na nulu:

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }p& =p-p_0=0\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}-1,2\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ & =-1,2\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

Teď si vezměme tenisák se stejnou hmotností i rychlostí. V ideálním případě se odrazí a letí zpátky stejnou rychlostí 20 m/s, tedy proti kladnému směru, a jeho hybnost je −1,2 kg·m/s:

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }p& =p-p_0\\ & =(-1,2\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s})-1,2\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ & =-2,4\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

Změna hybnosti vyjde dvojnásobná. Zeď musí tenisák nejdřív zastavit a pak ho ještě vyslat zpátky. Při stejně dlouhém dotyku proto zeď tlačí na tenisák dvakrát větší silou než na plastelínu. Chybou by bylo říct, že se hybnost nezměnila, když tenisák letí pořád stejně rychle. Rychlost má stejnou velikost, ale opačný směr, a hybnost je vektor. Proto také míč, který vám z tuhých rukou odskočí, bolí víc, než kdyby vám v dlaních zůstal.

Kam se ale poděla hybnost, kterou tenisák při odrazu ztratil? A co když místo do zdi narazí do jiného tělesa, které se může rozjet?

Jak se s tím počítá, proč puška při výstřelu kopne střelce do ramene a jak rychle jedou spojené vagony, ukazuje další článek, Zákon zachování hybnosti.