Setrvačné síly

Nela jede vlakem do Olomouce a na háček u okna si na šňůrce pověsila plyšovou opičku. Když vlak stojí, visí opička svisle dolů. Jakmile se vlak rozjede, odkloní se dozadu, proti směru jízdy, a šikmo zůstane viset, dokud vlak zrychluje. Kdopak do ní strčil? Nikdo. Opička se prostě nerozjela hned s vagonem.

Když vztažná soustava zrychluje

Nejdřív se na to podívejme z nástupiště. Vlak zrychluje dopředu a opička by podle zákona setrvačnosti nejraději zůstala, kde je. Háček ji ale táhne s sebou, šňůrka se nakloní a začne opičku tahat dopředu. Vše do sebe zapadá: opička zrychluje, protože na ni působí nenulová výsledná síla.

Nela uvnitř vagonu vidí situaci jinak. Opička vůči ní visí v klidu, jenže šikmo. Působí na ni tíhová síla dolů a síla šňůrky šikmo nahoru a dopředu. Ty dvě se na nulu nesečtou, šňůrka totiž táhne kousek dopředu a nic jí v tom nebrání. Podle Newtonových zákonů by se opička měla rozjet dopředu, a přesto v klidu visí. Ve vztažné soustavě spojené se zrychlujícím vlakem zákon setrvačnosti ani druhý Newtonův zákon tu neplatí.

Takové soustavě se říká neinerciální vztažná soustava. Patří sem každá soustava, která vůči inerciální soustavě, třeba vůči Zemi, kterou bereme za inerciální, zrychluje: vlak nebo autobus, který se rozjíždí nebo brzdí, výtah při rozjezdu, auto v zatáčce, kolotoč.

Setrvačná síla

Nela si ale umí poradit. Prostě bude počítat, jako by na každé těleso ve vagonu působila ještě jedna síla navíc, která míří proti zrychlení vlaku:

$$\overrightarrow{F_s}=-m\cdot \overrightarrow{a},$$

kde m je hmotnost tělesa a $\overrightarrow{a}$ je zrychlení vztažné soustavy, tady vlaku. Této síle se říká setrvačná síla. Znaménko minus značí opačný směr: vlak se rozjíždí dopředu, setrvačná síla míří dozadu. Přičte-li ji Nela k ostatním silám, dají síly působící na opičku dohromady nulu a první i druhý Newtonův zákon ve vagonu zase platí.

Co popisuje setrvačná síla, známe na vlastní kůži. Při rozjezdu nás „tiskne“ do sedadla, při brzdění „hází“ dopředu do pásů. Jenže je to síla pořádně zvláštní.

Síla, kterou nikdo nevyvíjí

Všechny síly, se kterými jsme dosud počítali, byly působením jednoho tělesa na druhé: šňůrka táhne opičku, Země přitahuje opičku. Setrvačnou sílu nevyvíjí nic. Zkuste hledat, kdo opičku tlačí dozadu. Nenajdete nikoho. Proto setrvačná síla nemá ani reakci. Podle třetího Newtonova zákona by reakce musela působit na původce síly, a žádný původce není.

Setrvačná síla je pomůcka pozorovatele, který se veze se zrychlující soustavou. Pozorovatel na nástupišti se bez ní obejde a do obrázku ji nekreslí. Proto se jí také říká zdánlivá síla. To ale neznamená, že nic nepocítíte. Sedadlo vás při rozjezdu opravdu tlačí do zad, jenže to je skutečná síla sedadla, která vás rozjíždí spolu s vlakem.

Opička zvenku a zevnitř

Spočítejme, o jaký úhel se opička odkloní, když se vlak rozjíždí se zrychlením 0,8 m/s². Uděláme to hned dvakrát, jednou z nástupiště a jednou z vagonu.

Z nástupiště. Na opičku působí tíhová síla $\overrightarrow{F_G}$ a síla šňůrky $\overrightarrow{F}$, která je od svislice odkloněná o úhel α. Opička se rozjíždí s vlakem, proto je výslednice obou sil podle druhého Newtonova zákona $m\cdot \overrightarrow{a}$ a míří vodorovně dopředu. Sílu šňůrky rozložíme na dvě složky. Svislá vyrovnává tíhovou sílu, vodorovná tvoří výslednici:

$$F\cdot \cos \alpha =m\cdot g,F\cdot \sin \alpha =m\cdot a$$

Z vagonu. Opička visí v klidu, výslednice je tedy nulová. Kromě tíhové síly a šňůrky na ni teď působí i setrvačná síla velikosti m · a dozadu. Svislá složka síly šňůrky vyrovnává tíhovou sílu, vodorovná setrvačnou:

$$F\cdot \cos \alpha =m\cdot g,F\cdot \sin \alpha =m\cdot a$$

Dostali jsme naprosto stejné rovnice, jen jsme je pokaždé vyložili jinak. Součin m · a byl zvenku výslednice, zevnitř setrvačná síla. Druhou rovnici vydělíme první. Hmotnost i síla šňůrky se vykrátí a podíl sinu a kosinu je tangens:

$$\tan \alpha =\frac{a}{g}$$

Dosadíme:

$$\tan \alpha =\frac{0,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\doteq \mathrm{0,082}$$

Úhel, jehož tangens je 0,082, najdeme na kalkulačce tlačítkem tan⁻¹: α ≐ 4,7°. Opička se vychýlí o necelých pět stupňů, obrázek úhel kvůli čitelnosti přehání. Na hmotnosti nezáleží, těžký batoh by se na háčku odklonil úplně stejně. Funguje to i opačně: kdo změří úhel, zjistí zrychlení vlaku. Opička na šňůrce je docela slušný měřič zrychlení.

Výtah zevnitř

Ve výtahu, který se rozjíždí nahoru se zrychlením a, míří setrvačná síla dolů, stejně jako tíhová. Cestujícímu uvnitř připadá, že Země najednou přitahuje silněji, jako by tíhové zrychlení narostlo z g na g + a. Taška v ruce se zdá těžší a podlaha musí tlačit víc. Když pak výtah nahoře brzdí, zrychlení míří dolů, setrvačná síla nahoru a ukrojí si kus tíhy.

Kdyby se výtah utrhl a padal se zrychlením g, setrvačná síla m · g nahoru by tíhovou sílu přesně vyrušila a cestující by se uvnitř vznášel. Zvenku je to stejný děj, jen vypadá jinak: cestující padá spolu s výtahem a podlaha na něj netlačí.

Odstředivá síla

Kolotoč se otáčí, takže každý jeho bod má dostředivé zrychlení ω² · r do středu. Setrvačná síla míří opačně, tedy ven od osy, a říká se jí odstředivá síla:

$$F_o=m\cdot {\omega }^2\cdot r=\frac{m\cdot v^2}{r}$$

U tělesa, které se s kolotočem točí, je stejně velká jako dostředivá síla, jen míří opačně, a existuje jen v soustavě, která se otáčí. Právě tohle v běžné řeči myslíme odstředivou silou: to, co v zatáčce tiskne cestujícího ke dveřím. Uvnitř auta je to rozumný popis. Z chodníku ale žádnou sílu ven nikdo nevidí. Spatří jen dveře, které cestujícího tlačí do středu zatáčky a nutí ho zatáčet s autem.

Tomáš má 30 kg a sedí na kolotoči na dětském hřišti, 1,5 m od osy. Drží se madla a táta kolotoč roztočí na jednu otáčku za 4 s. Tomášova rychlost je

$$\begin{array}{rl}v& =\frac{2\pi \cdot r}{T}=\frac{2\pi \cdot 1,5\mathrm{m}}{4\mathrm{s}}\\ & =0,75\pi \mathrm{m}/\mathrm{s}\doteq 2,36\mathrm{m}/\mathrm{s}.\end{array}$$

Z lavičky jede Tomáš po kružnici, a proto ho madlo musí táhnout do středu dostředivou silou. Její velikost F_d je velikost zelené síly madla (tření o sedátko nepočítáme):

$$\begin{array}{rl}{F}_d& =\frac{m\cdot v^2}{r}=\frac{30\mathrm{kg}\cdot (0,75\pi \mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{1,5\mathrm{m}}\\ & =11,25{\pi }^2\mathrm{N}\doteq 111\mathrm{N}\end{array}$$

Z kolotoče Tomáš sedí v klidu. Ven ho táhne odstředivá síla, podle stejného vzorce zase 111 N, a madlo ho stejně velkou silou drží dovnitř. Síly jsou v rovnováze. Reakcí na sílu madla ale odstředivá síla není, obě působí na Tomáše. Reakcí je Tomášův tah za madlo. Oba popisy se shodnou v tom, co Tomáš skutečně pocítí: v rukou musí udržet asi 111 N, jako by zvedal jedenáctikilovou tašku. Svislé síly, tíhovou a normálovou, jsme vynechali, protože se vyruší.

Co když se Tomáš pustí? Jakmile madlo přestane táhnout, žádná vodorovná síla nepůsobí a sedátko ho neudrží, protože tření o sedátko zanedbáváme. Tomáš podle zákona setrvačnosti pokračuje rovně, po tečně ke kružnici. Přesně tak se chová kámen, když se přetrhne provázek. Z kolotoče to vypadá jinak: Tomáš se od osy vzdaluje a zároveň zaostává za otáčením. Toto stáčení zevnitř zařídí ještě jedna setrvačná síla, Coriolisova, která v otáčející se soustavě působí na tělesa, jež se v ní pohybují.

Kdy který popis použít

Oba popisy jsou správné a dospějí ke stejným výsledkům. Zvenku, z inerciální soustavy, kreslíme jen skutečné síly a jejich výslednice je $m\cdot \overrightarrow{a}$. Zevnitř přidáme setrvačnou sílu, a když je těleso vůči vozidlu v klidu, je součet všech sil nulový. Zevnitř se vyplatí počítat tehdy, když nás zajímá, jak se něco chová vůči vozidlu: jak se odkloní opička, kolik ukáže váha ve výtahu.

Potíž nastane, když se oba popisy smíchají. Třeba někdo kreslí auto v zatáčce z pohledu silnice a přidá k tření i odstředivou sílu ven. Síly se mu pak vyruší, výslednice vyjde nulová, a auto by tak podle zákona setrvačnosti jelo rovně, nikoli po kružnici. Odstředivá síla do obrázku zvenku nepatří. Patří jen tomu, kdo sedí uvnitř a točí se s ostatními.

Tímto článkem končí série výkladových článků o kinematice a dynamice. Následují Řešené příklady z kinematiky a po nich příklady z dynamiky.