Nakloněná rovina

Vojta postaví sáňky na zasněžený kopec a pustí je. Sáňky se rozjedou a cestou nabírají rychlost. Dolů je přitom táhne jen Země a tíhová síla míří svisle dolů, ne šikmo po svahu. Proč nepadají kolmo k zemi, ale jedou podél kopce? A proč z mírného svahu sjedou pomaleji než ze strmého? Obojí vysvětlí jeden trik: tíhovou sílu rozložíme na dvě složky.

Svah, skluzavka, rampa i šikmé prkno se ve fyzice jmenují nakloněná rovina. Jak moc je nakloněná, udává úhel α, který svírá s vodorovnou zemí.

Rozklad tíhové síly

Tíhovou sílu $\vec{F_{G}}$ nahradíme dvěma silami, které dohromady působí stejně. Jedna míří podél svahu dolů, druhá kolmo do svahu. Tíhová síla tak vychází jako úhlopříčka obdélníku sestrojeného z obou složek, jako u každého rozkladu síly.

Rozklad tíhové síly F⃗_G, která působí na sáňky, na složku F⃗_1 podél svahu a složku F⃗_2 kolmo ke svahu

Modrá čárkovaná složka ${\vec{F}}_{1}$ táhne sáňky dolů po svahu, kdežto ta druhá, ${\vec{F}}_{2}$ , je tlačí do sněhu. Sama o sobě nikam nepohne, protože sníh sáňky nepropustí. Z celé tíhové síly tedy sáňky rozjíždí jen část F₁, což odpovídá na první otázku.

Jaké jsou velikosti složek? Tíhová síla, složka ${\vec{F}}_{2}$ a šedá čárkovaná úsečka z hrotu ${\vec{F}}_{2}$ k hrotu $\vec{F_{G}}$ tvoří pravoúhlý trojúhelník s pravým úhlem u hrotu ${\vec{F}}_{2}$ . Tíhová síla je v něm přeponou a úhel u těžiště mezi ní a složkou ${\vec{F}}_{2}$ je na obrázku označený α, stejně jako sklon svahu. Proč tomu tak je, ukážeme za chvíli. Nejdřív si připomeňme sinus a kosinus: sinus úhlu v pravoúhlém trojúhelníku je poměr protilehlé odvěsny a přepony, kosinus poměr přilehlé odvěsny a přepony. Naproti úhlu α leží čárkovaná odvěsna stejně dlouhá jako F₁, přilehlá odvěsna je F₂, takže

$\sin α = \frac{F_{1}}{F_{G}}, \cos α = \frac{F_{2}}{F_{G}} .$

Obě rovnosti vynásobíme tíhovou silou:

$\begin{aligned} F_{1} & = F_{G} \cdot \sin α \\ F_{2} & = F_{G} \cdot \cos α \end{aligned}$

Zbývá slíbené zdůvodnění. Tíhová síla je kolmá k vodorovné zemi, složka ${\vec{F}}_{2}$ je kolmá ke svahu. Představte si, že zem i svah otočíme o pravý úhel. Ze země se stane svislice, ze svahu kolmice ke svahu, a úhel mezi nimi se otáčením nezmění. Úhel mezi tíhovou silou a kolmicí ke svahu je proto stejný jako úhel mezi zemí a svahem. Platí totiž, že dva ostré úhly s navzájem kolmými rameny jsou stejně velké.

Komu otáčení nevoní, může počítat. Prodlužme tíhovou sílu svisle dolů až k zemi. Svislice, zem a svah tvoří pravoúhlý trojúhelník s úhlem α dole u země, takže u svahu má úhel 90° − α. Kolmice ke svahu svírá se svahem pravý úhel, a od svislice se proto odklání o 90° − (90° − α) = α.

Že je to správně, ověříme na krajních případech. Na vodorovné zemi je α = 0°, sin α = 0 a cos α = 1. Složka podél svahu zmizí a celá tíhová síla tlačí do podložky, přesně jak má. Čím strmější svah, tím větší sinus a tím silněji to sáňky táhne dolů. To je odpověď na druhou otázku.

Zkusme to s Vojtovými sáňkami o hmotnosti 10 kg na svahu se sklonem 30°. Tíhová síla je

$F_{G} = m \cdot g = 10 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2} = 98, 1 N .$

Dosadíme sin 30° = 0,5 a cos 30° ≐ 0,866:

$\begin{aligned} F_{1} & = 98, 1 N \cdot 0, 5 = 49, 05 N \\ F_{2} & = 98, 1 N \cdot 0,866 ≐ 85 N \end{aligned}$

Pozor, 49,05 N + 85 N není 98,1 N. Složky totiž sčítáme jako šipky, ne jako čísla.

V písemce se často stane, že někdo sinus a kosinus prohodí. Nemusíte si pamatovat, který kam patří, stačí myslet na vodorovnou zem. Tam musí složka podél svahu zmizet, a nulu při 0° dává sinus, ne kosinus. Složka podél svahu je tedy ta se sinem.

Normálová síla na svahu

Sníh působí na sáňky normálovou silou $\vec{F_{N}}$ , a ta je vždycky kolmá k podložce, tady tedy kolmo ke svahu ven. Kolmo ke svahu se sáňky nehýbou, nezabořují se ani neodlétají. Síly v tomto směru jsou proto v rovnováze a normálová síla vyrovná složku ${\vec{F}}_{2}$ :

$F_{N} = F_{G} \cdot \cos α$

Na svahu je normálová síla menší než tíhová. Pro Vojtovy sáňky je to 85 N, ne 98,1 N. Tady se v písemkách chybuje nejčastěji: kdo z vodorovné podlahy převezme F_N = m · g, dostane na svahu špatně i tření.

Čím strmější svah, tím menší kosinus, tím slaběji sáňky tlačí do sněhu a tím menší je i tření. U svislé stěny je cos 90° = 0 a normálová síla zmizí úplně.

Sáňky bez tření

Začněme dokonale hladkým svahem, třeba sáňkami s ocelovými skluznicemi na ledu. Odpor vzduchu zanedbáme. Normálová síla vyruší složku ${\vec{F}}_{2}$ a zbude jediná síla podél svahu, F₁. Podle zákona síly se rovná hmotnosti krát zrychlení:

$m \cdot a = m \cdot g \cdot \sin α$

Vydělíme hmotností:

$a = g \cdot \sin α$

Hmotnost se vykrátila. Prázdné sáňky i sáňky s Vojtou by po hladkém svahu zrychlovaly stejně, podobně jako lehké i těžké těleso padají se stejným zrychlením. Sáňky s větší hmotností táhne dolů sice větší síla, jenže stejnou měrou se hůř rozjíždějí.

Pro svah se sklonem 30°:

$a = 9, 81 {m / s}^{2} \cdot 0, 5 ≐ 4, 9 {m / s}^{2}$

Přesně polovina tíhového zrychlení. Sedí i krajní případy: na vodorovné zemi je sin α = 0 a sáňky se samy nerozjedou, u svislé stěny je sin 90° = 1 a a = g, tedy volný pád.

Sáňky s třením

Na skutečném sněhu ale sáňky brzdí tření. Třecí síla $\vec{F_{t}}$ míří podél svahu nahoru, proti pohybu, a je úměrná normálové síle. Na svahu ale do vzorce nepatří celá tíhová síla, jen její část F_G · cos α, tedy normálová síla:

$F_{t} = f \cdot F_{N} = f \cdot F_{G} \cdot \cos α$

Pro skluznice na uježděném sněhu vezmeme f = 0,1. Ocelové nebo plastové skluznice kloužou po sněhu mnohem líp než třeba guma. Vojtovy sáňky brzdí síla

$F_{t} = 0, 1 \cdot 85 N ≐ 8, 5 N .$

Všechny síly, které působí na sáňky na svahu: tíhová síla F⃗_G se složkami, normálová síla F⃗_N a třecí síla F⃗_t, kreslená pro větší tření, než mají sáňky na sněhu

Výslednice podél svahu je složka F₁ zmenšená o tření, asi 49,05 N − 8,5 N ≐ 40,6 N, a zrychlení je

$a = \frac{40, 6 N}{10 kg} ≐ 4, 06 {m / s}^{2} .$

Obecně: zákon síly podél svahu zní

$m \cdot a = m \cdot g \cdot \sin α - f \cdot m \cdot g \cdot \cos α,$

a když rovnici vydělíme hmotností, dostaneme vzorec pro zrychlení na svahu s třením:

$a = g \cdot (\sin α - f \cdot \cos α)$

I tady se hmotnost vykrátila. Po dosazení 9,81 m/s² · (0,5 − 0,1 · 0,866) vyjde opět 4,06 m/s².

Na mírnějším svahu se sklonem 10° je sin 10° ≐ 0,174 a cos 10° ≐ 0,985, takže

$\begin{aligned} a & = 9, 81 {m / s}^{2} \cdot (0,174 - 0, 1 \cdot 0,985) \\ ≐ 0, 74 {m / s}^{2} . \end{aligned}$

Sklon je třikrát menší, ale zrychlení víc než pětkrát. Tření tu sebere většinu složky podél svahu. A na svahu se sklonem 5° by závorka vyšla záporná: rozjeté sáňky by zpomalovaly, až by se zastavily. Proč pak zůstanou stát, vysvětlí další oddíl.

Kdy těleso zůstane stát

Vojta s bráškou vytáhnou sáňky zpátky nahoru a na mírnějším úseku cesty si chvíli odpočinou. Sáňky tam stojí a nesjedou. Drží je klidové tření, které je vždy přesně tak velké, aby vyrovnalo sílu táhnoucí sáňky dolů, tady složku F₁. Nejvýš může být f₀ · F_N, kde f₀ je součinitel klidového tření. Sáňky tedy zůstanou stát, dokud

$F_{G} \cdot \sin α \leq f_{0} \cdot F_{G} \cdot \cos α .$

Podíl sinu a kosinu se jmenuje tangens, $\tan α = \frac{\sin α}{\cos α}$ , v české škole se píše i tg. V pravoúhlém trojúhelníku je to poměr protilehlé a přilehlé odvěsny. Tíhová síla se vykrátí a po vydělení kosinem zbude

$\tan α \leq f_{0} .$

O tom, zda těleso na svahu sjede, nerozhoduje hmotnost, ale jen sklon a povrch. Úhel ze známého tangensu vrátí na kalkulačce tlačítko tan⁻¹.

Na svahu se sklonem 5° je tan 5° ≐ 0,087, méně než 0,1, a klidové tření je ještě větší než smykové. Zastavené sáňky se tam proto samy znovu nerozjedou. Vzorec se záporným zrychlením popisuje jen jízdu dolů.

Odtud plyne jednoduchý pokus. Postavte dřevěnou kostku ze stavebnice na prkno a jeden jeho konec pomalu zvedejte. Pro dřevo na dřevě je f₀ ≐ 0,5, takže se kostka dá do pohybu, když tan α dosáhne 0,5, tedy zhruba při 27°.

Stejně je to u zaparkovaného auta se zabrzděnými koly. Na suchém asfaltu ho udrží i hodně prudká ulice. Součinitel klidového tření je ale na náledí jen kolem 0,1 a tan α = 0,1 odpovídá sklonu necelých 6°. Takový kopec najdete skoro v každém městě a auto po ledu sjede, ať je lehké, nebo těžké.

Smykové tření je menší než klidové. Při sklonu kolem 20° proto kostka sama stojí, ale po ťuknutí se rozjede a dál zrychluje, protože tan 20° ≐ 0,36 je víc než smykové f = 0,3.

Příklad z písemky krok za krokem

Bedna s jablky o hmotnosti 20 kg leží na dřevěném prkně, které šikmo spojuje korbu auta se zemí. Prkno je dlouhé 2 m a se zemí svírá úhel 35°. Součinitel smykového tření dřeva na dřevě je 0,3, klidového 0,5. Rozjede se bedna sama? Jaké bude mít zrychlení a jak rychle dojede na zem?

Zapíšeme zadání. m = 20 kg, α = 35°, s = 2 m, f = 0,3, f₀ = 0,5, g = 9,81 m/s². Hledáme a a v. Jednotky jsou základní, nic převádět nemusíme.

Nakreslíme síly. Jsou stejné jako u sáněk.

Rozjede se? tan 35° ≐ 0,70 je víc než f₀ = 0,5. Klidové tření bednu neudrží.

Rozložíme tíhovou sílu. Pro představu v číslech: F_G = m · g = 196,2 N, sin 35° ≐ 0,5736 a cos 35° ≐ 0,8192. Podél prkna bednu táhne F₁ ≐ 112,5 N, do prkna ji tlačí F₂ ≐ 160,7 N. Dál ale počítáme s písmeny a čísla dosadíme až na konci.

Sečteme síly podél prkna. Kolmo k prknu se síly vyrovnají, takže F_N = m · g · cos α a třecí síla je F_t = f · m · g · cos α. Podél prkna táhne dolů F₁ a nahoru tření:

$m \cdot a = m \cdot g \cdot \sin α - f \cdot m \cdot g \cdot \cos α$

Vyjádříme zrychlení. Po vydělení hmotností:

$a = g \cdot (\sin α - f \cdot \cos α)$

Rychlost na konci. Bedna startuje z klidu a zrychluje rovnoměrně, takže v² = 2 · a · s a

$v = \sqrt{2 \cdot a \cdot s} .$

Dosadíme. Zrychlení necháme v kalkulačce nezaokrouhlené:

$\begin{aligned} a & = 9, 81 {m / s}^{2} \cdot (\sin 35 ° - 0, 3 \cdot \cos 35 °) \\ ≐ 3, 22 {m / s}^{2} \\ v & ≐ \sqrt{2 \cdot 3,216 {m / s}^{2} \cdot 2 m} \\ ≐ 3, 6 m / s \end{aligned}$

Kontrola: zrychlení je menší než g · sin 35° ≐ 5,6 m/s² bez tření, jak má být.

Bedna se rozjede sama, zrychluje asi o 3,22 m/s² a na zem dojede rychlostí asi 3,6 m/s, skoro 13 km/h. Jablka by si zasloužila, aby ji dole někdo chytil.

Na nakloněné rovině tedy stačí rozložit tíhovou sílu a dál se počítá jako na vodorovné zemi: kolmo k podložce rovnováha, podél ní zákon síly. Všechna tělesa ale zatím jezdila po přímce.

Co je potřeba, aby sáňky nebo auto zatočily, ukáže další článek, Dostředivá síla.

« Předchozí: Tření

Další: Dostředivá síla »