Druhý Newtonův zákon

V supermarketu vedle sebe čekají dva nákupní vozíky. Jeden je prázdný a má hmotnost 10 kg, druhý je naložený vodou a konzervami a má 25 kg. Do obou strčíte stejně, silou 50 N. Prázdný vozík vyrazí jako střela, plný se jen líně rozhýbe. Kolik přesně, to prozradí druhý Newtonův zákon, kterému se taky říká zákon síly. Tření koleček pro jednoduchost zanedbáme.

Oba vozíky startují z klidu a oranžové značky ukazují polohu jejich předku v pravidelných časových odstupech. U obou se rozestupy prodlužují, oba tedy mají zrychlení. Prázdný vozík ale za stejnou dobu ujede dva a půlkrát delší dráhu než plný, protože jeho zrychlení je dva a půlkrát větší. Šipky síly jsou přitom u obou vozíků stejně dlouhé. Rozdíl dělá jen náklad.

Zákon síly

Isaac Newton ho v roce 1687 zapsal zhruba takto:

Změna pohybu je úměrná působící síle a děje se ve směru přímky, ve které síla působí.

Hmotnost tu chybí jen zdánlivě. Pohybem Newton myslel součin hmotnosti a rychlosti, takže je v něm schovaná.

Dnešní řečí: čím větší síla na těleso působí, tím větší zrychlení má, a čím větší je jeho hmotnost, tím zrychlení menší:

$$a=\frac{F}{m}$$

Zdvojnásobíme-li sílu, zdvojnásobí se i zrychlení. Zdvojnásobíme-li hmotnost, zrychlení klesne na polovinu. Častěji se zákon zapisuje vynásobený hmotností:

$$F=m\cdot a$$

Síla i zrychlení jsou vektory, takže úplný zápis je $\overrightarrow{F}=m\cdot \overrightarrow{a}$. Zrychlení míří vždycky stejným směrem jako síla. Strčíte-li do vozíku dopředu, má zrychlení dopředu. Zatáhnete-li za něj dozadu, má zrychlení dozadu, a pokud jel dopředu, zpomaluje.

Jednu věc si pohlídejte: $\overrightarrow{F}$ je výslednice všech sil, které na těleso působí, ne jen ta, které si všimneme nejdřív. Když je výslednice nulová, je nulové i zrychlení a těleso stojí nebo jede rovnoměrně přímočaře. Přesně to říká první Newtonův zákon, druhý ho v sobě obsahuje jako zvláštní případ.

Vraťme se k vozíkům a spočítejme jejich zrychlení. Začneme prázdným:

$$a=\frac{50\mathrm{N}}{10\mathrm{kg}}=5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

A plný:

$$a=\frac{50\mathrm{N}}{25\mathrm{kg}}=2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Proč nám vyšly metry za sekundu na druhou, vysvětlíme za chvíli. Zrychlení 5 m/s² znamená, že rychlost prázdného vozíku přibývá každou sekundu o 5 m/s, u plného jen o 2 m/s. Plný vozík je dva a půlkrát hmotnější, takže jeho zrychlení je dva a půlkrát menší. Kdybyste do prázdného vozíku strčili dvakrát silněji, silou 100 N, měl by zrychlení dvojnásobné, 10 m/s².

Vozík ale nikdo netlačí dlouho. Když strčíte na půl sekundy, prázdný vozík se rozjede na 5 m/s² · 0,5 s = 2,5 m/s, plný jen na 2 m/s² · 0,5 s = 1 m/s.

Hmotnost jako míra setrvačnosti

Těleso setrvává ve své rychlosti, dokud ho síla nedonutí ji změnit. Tomu se říká setrvačnost. Druhý zákon k ní přidává číslo: čím větší hmotnost, tím víc se těleso změně rychlosti brání. Hmotnost je míra setrvačnosti.

Proto prázdný vozík rozhýbete jedním prstem, kdežto zastavit rozjetý plný vozík dá zabrat. Stejný důvod stojí za tím, že se kamion od semaforu rozjíždí pomaleji než osobní auto, přestože má mnohem silnější motor.

Větší těleso přitom nemusí být hmotnější. Míč na plážový volejbal je větší než bowlingová koule, ale kopnout do koule byste nechtěli. Koule je totiž mnohem hmotnější, takže stejně silný kop ji jen mírně rozhýbe a noha se o ni zarazí.

Setrvačnosti se nezbavíme ani tam, kde věci nic neváží. Astronaut na vesmírné stanici zvedne jednou rukou stokilovou bednu, protože bedna i stanice spolu padají kolem Země a bedna se v beztíži vznáší. Jakmile ji ale chce po stanici rozhýbat nebo zastavit, musí do ní zabrat stejně jako na Zemi. Bedna má pořád hmotnost 100 kg a stejnou setrvačnost.

Odkud se vzal newton

Jednotka síly je newton, N = kg·m/s². Proč zrovna tohle, vysvětluje druhý zákon, podle kterého je newton definovaný: jeden newton je síla, která tělesu o hmotnosti 1 kg udělí zrychlení 1 m/s². Dosadíme do F = m · a:

$$1\mathrm{N}=1\mathrm{kg}\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=1{\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Z toho vyplývá i jednotka zrychlení u vozíků. Vydělíme newton kilogramem:

$$\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{kg}}=\frac{{\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{\mathrm{kg}}={\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Kilogramy se vykrátí a zbydou metry za sekundu na druhou.

Jak velký je jeden newton? Asi jako když v ruce držíte malé jablko. Postavte na dokonale hladký led litrovou láhev vody o hmotnosti asi 1 kg a táhněte ji pořád stejnou silou 1 N. Láhev zrychluje celou dobu: po sekundě pojede 1 m/s, po dvou 2 m/s. Stálá síla nedrží stálou rychlost, ale pořád ji mění.

Jakou silou se rozjíždí auto

Rodinné auto o hmotnosti 1 200 kg zrychlí z nuly na 100 km/h za deset sekund, takže má zrychlení asi 2,8 m/s². Jak velká výsledná síla k tomu musí na auto působit?

$$\begin{array}{rl}m& =1200\mathrm{kg}\\ a& =2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ F& =?(\mathrm{N})\end{array}$$

Vzorec už je vyjádřený, takže dosadíme rovnou:

$$\begin{array}{rl}F& =m\cdot a\\ & =1200\mathrm{kg}\cdot 2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ & =3360\mathrm{N}\end{array}$$

Jednotky vycházejí: kilogram krát metr za sekundu na druhou je newton. Na auto musí působit výsledná síla asi 3 360 N, tedy přes tři kilonewtony. Všimněte si slova výsledná. Proti pohybu auta působí i odpor vzduchu a valivý odpor pneumatik, takže silnice musí auto přes kola tlačit ještě o něco víc.

Víc sil najednou

Většinou na těleso působí několik sil a pak se postupuje vždycky stejně:

• nakreslete síly, které na těleso působí, a zvolte kladný směr,
• sečtěte je a dostanete výslednici,
• vydělte ji hmotností a dostanete zrychlení.

Kreslete jen síly, které působí na těleso, které vás zajímá. Síla, kterou auto tlačí na silnici, do výpočtu zrychlení auta nepatří, ta působí na silnici. Na tomhle postupu stojí celá dynamika, v dalších článcích k němu přibudou jen nové druhy sil.

Naše auto z předchozího příkladu teď jede po okresce a řidič přidá plyn. Silnice ho přes kola tlačí dopředu silou F₁ = 3 000 N, odpor vzduchu a valivý odpor ho brzdí silou F₂ = 600 N.

Červená šipka je tah, modrá odpor a zelená výslednice, všechny ve stejném měřítku. Svisle na auto působí ještě tíhová síla dolů a silnice ho stejně velkou silou tlačí nahoru. Vzájemně se ruší, proto je do obrázku nekreslíme.

Kladný směr zvolíme ve směru jízdy. Síly mají opačný směr, takže se jejich velikosti odečtou:

$$F=F_1-F_2=3000\mathrm{N}-600\mathrm{N}=2400\mathrm{N}$$

Vydělíme hmotností:

$$a=\frac{F}{m}=\frac{2400\mathrm{N}}{1200\mathrm{kg}}=2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Auto má zrychlení 2 m/s². Častou chybou je vydělit hmotností jen tah. Vyšlo by 2,5 m/s² a to je moc, protože odpor vzduchu by se v takovém výpočtu ztratil.

Stejný postup funguje i pro další situace. Na dálnici jede auto stálou rychlostí, odpor je tu zhruba 600 N a tah je stejně velký jako odpor, výslednice je nulová a zrychlení taky. Když řidič pustí plyn, tah zmizí a zbude jen odpor, který míří proti kladnému směru (brzdění motorem zanedbáme):

$$a=\frac{-600\mathrm{N}}{1200\mathrm{kg}}=-0,5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Záporné zrychlení znamená, že auto zpomaluje.

Postup funguje i opačným směrem, ze zrychlení zpět na sílu. Jak velký tah potřebuje auto, aby mělo i s odporem 600 N zrychlení 2,8 m/s²? Výslednice musí být F = m · a = 3 360 N, jak jsme spočítali výš. Ze vztahu pro výslednici vyjádříme tah:

$$\begin{array}{rcl}{F}_1-F_2& =& F/+F_2\\ F_1& =& F+F_2\end{array}$$

Dosadíme:

$$F_1=3360\mathrm{N}+600\mathrm{N}=3960\mathrm{N}$$

Tah tedy musí dosáhnout skoro čtyř kilonewtonů. Kdo by na odpor zapomněl, jeho auto by se rozjíždělo pomaleji, než vyšlo ve výpočtu.

Proč těžké a lehké padají stejně

Ve volném pádu mají všechna tělesa na jednom místě stejné zrychlení g ≈ 9,81 m/s², kámen i klíče. Člověka to svádí k domněnce, že těžší kámen musí padat rychleji, protože ho Země táhne větší silou. Táhne, jenže těžší kámen má zároveň větší hmotnost, a tak se změně rychlosti víc brání.

Kolik váží kilogram, ukáže siloměr: Země táhne každý kilogram silou asi 9,81 N. Tíhová síla tedy roste přímo úměrně s hmotností:

$$F_G=m\cdot g$$

Číslo g tu vystupuje jako síla na kilogram, N/kg, a to je totéž co m/s². Míč o hmotnosti 0,5 kg táhne Země silou asi 4,9 N, bowlingovou kouli o hmotnosti 5 kg desetkrát větší silou, asi 49 N. Koule má ale taky desetkrát větší hmotnost:

$$a=\frac{F_G}{m}=\frac{49\mathrm{N}}{5\mathrm{kg}}=\frac{4,9\mathrm{N}}{0,5\mathrm{kg}}\approx 9,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Desetkrát větší síla, desetkrát větší hmotnost, stejné zrychlení. Obecně $a=\frac{m\cdot g}{m}=g$, hmotnost se vykrátí.

Hmotnost hraje dvojí roli: určuje, jak silně Země těleso táhne, a zároveň, jak moc se těleso brání změně rychlosti. Že v obou rolích vystupuje totéž číslo, není samozřejmost; ověřuje se měřením a platí s obrovskou přesností. Díky tomu padá kladivo stejně jako hřebík.

Ve vzduchu přibude odpor, který míří nahoru, a výslednice je tíhová síla zmenšená o odpor. U kamene je odpor proti tíhové síle zanedbatelný, u pírka, které skoro nic neváží, sebere z tíhové síly skoro všechno. Proto pírko na Zemi plachtí a kámen padá. Odpor vzduchu závisí na tvaru a rychlosti tělesa, ne na jeho hmotnosti. Stejně velké kuličky z oceli a z polystyrenu brzdí vzduch při stejné rychlosti stejně. Čím větší ale hmotnost, tím méně odpor ubere ze zrychlení, takže ocelové kuličce sebere jen nepatrný kousek, kdežto polystyrenovou znatelně zbrzdí.

Proč nás sedačka tlačí do zad

Když auto prudce vyrazí, cítíte, jak vás opěradlo tlačí do zad. To je ta síla, která vám uděluje stejné zrychlení jako autu, a teď ji umíme spočítat. Spolujezdkyně má hmotnost 60 kg. V rodinném autě se zrychlením 2,8 m/s² ji opěradlo tlačí silou

$$F=60\mathrm{kg}\cdot 2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=168\mathrm{N}.$$

Ve sportovním autě se zrychlením 9,3 m/s² je to už

$$F=60\mathrm{kg}\cdot 9,3{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=558\mathrm{N}.$$

Pro srovnání, zespodu ji sedačka podpírá silou rovnou tíhové síle, 60 kg · 9,81 m/s² ≈ 589 N. Opěradlo tedy tlačí do zad skoro stejně silně jako sedačka zespodu, a proto mluvíme o přetížení skoro 1g ve vodorovném směru. Poměr obou sil je stejný jako poměr zrychlení $\frac{9,3{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 0,95$, hmotnost spolujezdkyně se zase vykrátí.

Druhý zákon tedy říká, co síla s tělesem udělá. Zbývá otázka, odkud se síly berou a na koho působí. Když strčíte do vozíku, cítíte, že vozík tlačí zpátky na vaši ruku. Tomu se věnuje třetí Newtonův zákon.

Jak síly v párech fungují, ukáže další článek, Třetí Newtonův zákon.