Fyzikální veličiny a jednotky

„Petr ujel 5.“ Pět čeho? Pět metrů je cesta k lednici a zpátky. Pět kilometrů už je slušná procházka. Pět tisíc kilometrů by autem stačilo z Prahy do Lisabonu a ještě většinu cesty zpátky. Holé číslo ve fyzice nic neříká, patří k němu jednotka:

$$s=5\mathrm{km}$$

Zápis se skládá ze tří částí. Modře je značka veličiny, tady s jako dráha. Červeně je číselná hodnota 5 a zeleně jednotka, kilometr. Číselná hodnota udává, kolikrát se jednotka do veličiny vejde. Pět kilometrů je pětkrát jeden kilometr:

$$s=5\cdot 1\mathrm{km}$$

Učebnice fyziky mají pro obě části zkrácený zápis, který vidíte dole na obrázku. Složené závorky kolem značky znamenají číselnou hodnotu, hranaté jednotku: {s} = 5 a [s] = km.

S rychlostí je to podobné. Věta „jel rychlostí 5“ může znamenat 5 km/h, což je obyčejná chůze, nebo 5 m/s, a to už je svižný běh. Bez jednotky nepoznáte, jestli Petr šel na procházku, nebo utíkal na autobus.

Co je fyzikální veličina

Fyzikální veličina je vlastnost, kterou umíme změřit, tedy porovnat s jednotkou a vyjádřit číslem. Veličinou je třeba délka stolu, doba, za kterou uvaříte vajíčko, hmotnost tašky s nákupem nebo teplota vody v hrnci. Krása naproti tomu veličina není. Neexistuje přístroj, který by ji změřil, ani jednotka, ve které by se udávala. Věta „tahle fotka má sedm krás“ nedává smysl.

Ke každé veličině patří značka, obvykle jedno písmeno. Dráha je s, čas t, hmotnost m a rychlost v. Písmena nejsou vybraná nazdařbůh, pocházejí z latiny: spatium je prostor, tempus čas, massa hmota a velocitas rychlost.

Soustava SI

Dřív si každé město měřilo po svém. Pražský loket měřil asi 59 cm, vídeňský skoro 78 cm, a kdo koupil látku v Praze a prodával ji ve Vídni, musel počítat s rozdílem. Dnes se skoro celý svět drží jedné soustavy, Mezinárodní soustavy jednotek SI (z francouzského Système international d'unités). Opírá se o sedm základních jednotek:

V kinematice a dynamice nám stačí první tři: metr, kilogram a sekunda.

Jak velký je metr? Vznikl v revoluční Francii jako desetimiliontina vzdálenosti od severního pólu k rovníku. Později se podle něj vyrobila tyč ze slitiny platiny a iridia a metr byla vzdálenost mezi dvěma ryskami na ní. Dnes se metr určuje pomocí světla: je to vzdálenost, kterou světlo urazí ve vakuu za $\frac{1}{299792458}\mathrm{s}$.

Kilogram byl původně hmotnost jednoho litru vody. Přes sto let pak jeho velikost určoval váleček ze slitiny platiny a iridia, vysoký i široký 39 mm, uložený v trezoru u Paříže. Při porovnávání s přesnými kopiemi vyšlo najevo, že se mezi sebou nepatrně rozcházejí. Od roku 2019 proto kilogram určuje přírodní konstanta a v principu ho jde přesně zrekonstruovat v kterékoli laboratoři s potřebným vybavením, bez porovnávání s pařížským válečkem.

Sekunda byla dlouho šestaosmdesátitisícina dne, protože den má 24 · 60 · 60 = 86 400 sekund. Země se ale netočí úplně pravidelně, proto dnes sekundu odměřují atomové hodiny.

Odvozené jednotky

Všechny ostatní jednotky se ze základních skládají. Rychlost je dráha uražená za určitý čas, spočítáme ji tedy jako dráhu vydělenou časem:

$$v=\frac{s}{t}$$

Měříme-li dráhu v metrech a čas v sekundách, můžeme podobně jako veličiny vydělit i jejich jednotky:

$$[v]=\frac{[s]}{[t]}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Jednotkou rychlosti je metr za sekundu. Takovým jednotkám říkáme odvozené. K nim patří třeba metr čtvereční m² pro obsah, metr krychlový m³ pro objem nebo metr za sekundu na druhou m/s² pro zrychlení. Co se přesně skrývá za tou „sekundou na druhou“, ukážeme u zrychlení.

Některé odvozené jednotky mají vlastní jméno, většinou po slavném fyzikovi. Jednotkou síly je newton N, pojmenovaný po Isaacu Newtonovi. Zatím stačí vědět, že se dá vyjádřit základními jednotkami:

$$\mathrm{N}={\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Proč zrovna takhle, vysvětlíme v článku o síle.

Kilometr za hodinu, minuta, hodina, litr nebo tuna do soustavy SI nepatří, ale používat se smějí, protože jsou v běžném životě vžité. Ve fyzikálních výpočtech je ovšem většinou nejdřív převedeme na základní jednotky. Jak na to, ukážeme o kousek dál.

Mocniny deseti

Ve fyzice nás často potkávají velmi velká i velmi malá čísla. Slunce je od Země vzdálené asi 150 000 000 km, tedy 150 000 000 000 m. Psát a počítat se všemi těmi nulami je otrava a snadno se jedna ztratí. Taková čísla se proto zapisují mocninami deseti.

Mocnina 10³ znamená, že vynásobíme mezi sebou tři desítky:

$${10}^3=10\cdot 10\cdot 10=1000$$

Exponent, tedy malé číslo nahoře, říká, kolik nul má výsledek. 10⁶ je jednička a šest nul, milion. Když exponent zmenšíme o jedna, výsledek vydělíme deseti. Pokračujeme-li v tom i pod nulu, dostaneme

$$\begin{array}{rlrlrl}{10}^2& =100,& {10}^1& =10,& {10}^0& =1,\\ {10}^{-1}& =0,1,& {10}^{-2}& =0,01,& {10}^{-3}& =\mathrm{0,001}\end{array}$$

Záporný exponent tedy neznamená záporné číslo, ale zlomek: ${10}^{-3}=\frac{1}{{10}^3}=\frac{1}{1000}$. Mocnina 10⁻³ je jedna tisícina.

Vzdálenost Slunce teď zapíšeme tak, že před mocninu deseti dáme číslo mezi jedničkou a desítkou:

$$150000000000=1,5\cdot 100000000000=1,5\cdot {10}^{11}$$

Slunce je od Země vzdálené asi 1,5 · 10¹¹ m. Exponent určíme podle toho, o kolik míst musíme posunout desetinnou čárku, aby z 1,5 bylo 150 000 000 000. Je to jedenáct míst doprava.

S malými čísly je to obráceně. Lidský vlas je tlustý asi 0,07 mm, tedy 0,00007 m. Aby ze sedmičky bylo 0,00007, musíme čárku posunout o pět míst doleva, a exponent je proto záporný:

$$\mathrm{0,000}07\mathrm{m}=7\cdot {10}^{-5}\mathrm{m}.$$

Víc o počítání s mocninami najdete v článku Mocniny a převod čísla do takového tvaru zvládne kalkulačka vědeckého zápisu.

Předpony jednotek

Mocninu deseti může nahradit předpona před jednotkou. Kilo znamená tisíc, takže kilometr je tisíc metrů a 3 · 10³ m = 3 km. Ty nejpoužívanější shrnuje tabulka:

Jaderná elektrárna Temelín má výkon zhruba 2 GW, tedy 2 · 10⁹ W. Vlas tlustý 7 · 10⁻⁵ m je totéž co 70 µm, protože 7 · 10⁻⁵ = 70 · 10⁻⁶.

Kilogram je výjimka, předponu už v sobě má. Další předpony se proto přidávají ke gramu: tisícina gramu je miligram, nikdo neříká mikrokilogram.

Hlídejte si i velká a malá písmena. Malé m je mili, velké M je mega a rozdíl mezi nimi je miliardkrát. Laserové ukazovátko svítí s výkonem asi 1 mW. Kdo místo toho napíše 1 MW, udělal z něj větrnou elektrárnu.

Převody jednotek

Převody jde dělat i bez pamatování, kterým směrem se násobí a kterým dělí. Stačí brát jednotku jako číslo, za které dosadíme, kolik je v nové jednotce. Kolik metrů je 2,5 km? Jeden kilometr je tisíc metrů, takže za kilometr dosadíme 1 000 m:

$$2,5\mathrm{km}=2,5\cdot 1\mathrm{km}=2,5\cdot 1000\mathrm{m}=2500\mathrm{m}$$

Čas se převádí podobně. Kolik hodin je 45 min? Minuta je šedesátina hodiny:

$$45\min =45\cdot \frac{1}{60}\mathrm{h}=\frac{45}{60}\mathrm{h}=0,75\mathrm{h}$$

A nakonec hmotnost. Gram je tisícina kilogramu, takže 350 g je

$$350\mathrm{g}=350\cdot \mathrm{0,001}\mathrm{kg}=0,35\mathrm{kg}.$$

U času lidé často chybují. Kolik je 1,5 h? Hned se nabízí odpověď „hodina padesát“. Hodina má ale šedesát minut, ne sto. Půl hodiny je

$$0,5\mathrm{h}=0,5\cdot 60\min =30\min ,$$

takže 1,5 h je hodina a třicet minut. Totéž platí obráceně: hodina dvacet není 1,2 h, ale

$$1\mathrm{h}+20\min =1\mathrm{h}+\frac{20}{60}\mathrm{h}\doteq 1,33\mathrm{h}.$$

Kilometry za hodinu a metry za sekundu

Tachometr v autě ukazuje kilometry za hodinu, ve fyzice se ale počítá v metrech za sekundu. Převádět budeme jako před chvílí, jednotku bereme jako číslo. Kilometr je 1 000 m a hodina 3 600 s:

$$1\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{1\mathrm{km}}{1\mathrm{h}}=\frac{1000\mathrm{m}}{3600\mathrm{s}}$$

Zlomek $\frac{1000}{3600}$ zkrátíme tisícem, dostaneme $\frac{1}{3,6}$, takže

$$1\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{1}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\doteq 0,28\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Z toho plyne celé pravidlo: z km/h na m/s dělíme číslem 3,6. Auto, které jede 90 km/h, jede rychlostí

$$90\mathrm{km}/\mathrm{h}=90\cdot \frac{1}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=\frac{90}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=25\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Každou sekundu ujede 25 m. Opačným směrem, z m/s na km/h, číslem 3,6 násobíme:

$$25\mathrm{m}/\mathrm{s}=25\cdot 3,6\mathrm{km}/\mathrm{h}=90\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Proč je jeden metr za sekundu 3,6 km/h? Metr je tisícina kilometru a sekunda je $\frac{1}{3600}$ hodiny:

$$\begin{array}{rl}1\mathrm{m}/\mathrm{s}& =\frac{\mathrm{0,001}\mathrm{km}}{\frac{1}{3600}\mathrm{h}}\\ & =\mathrm{0,001}\cdot 3600\mathrm{km}/\mathrm{h}=3,6\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Typický přešlap je splést směr a násobit tam, kde se má dělit. Pak vyjde, že auto jede 324 m/s, což se blíží rychlosti zvuku. Pomůže uvědomit si, že metr za sekundu je větší jednotka než kilometr za hodinu. Na stejnou rychlost jí proto stačí méně a číslo v m/s je vždycky menší než číslo v km/h.

Pro lepší představu dva další příklady. Chodec jde rychlostí

$$5\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{5}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\doteq 1,4\mathrm{m}/\mathrm{s},$$

za sekundu tak urazí necelý metr a půl. Auto na dálnici jede 130 km/h, tedy

$$130\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{130}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\doteq 36,1\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Kdo se na dálnici na dvě sekundy zadívá do mobilu, ujede naslepo přes 70 m.

Kalkulačka

Zadejte rychlost v kilometrech za hodinu a kalkulačka ji převede na metry za sekundu.

Totéž v opačném směru, z metrů za sekundu na kilometry za hodinu:

Některým veličinám ale nestačí ani číslo s jednotkou, potřebují ještě směr. Jak se s nimi počítá, ukazuje další článek, Skaláry a vektory.