Задачі з динаміки з розв'язками

Сили найкраще зрозуміти, коли з ними рахуєш. Тебе чекають тринадцять задач: від додавання сил через закони Ньютона, імпульс і тертя до повороту та сили інерції. Три з них (гірка, гальмування на снігу та рушання потяга) поєднують сили з рухом: із сил обчислюємо прискорення, а з прискорення швидкість або шлях. Дотримуємося перевіреного способу: запис умови, схема сил, додатний напрямок, розв'язок у загальному вигляді, підстановка з одиницями та відповідь повним реченням. Схему намалюй сам, рисунок є лише в першій задачі. Кожну задачу спершу спробуй розв'язати самостійно.

Задача 1: Два трактори й комбайн, що застряг

Комбайн застряг у багнюці. Його витягують два трактори, кожен тросом із силою 30 кН. Троси утворюють кут β = 60°, а комбайн лежить точно на осі між ними. Яка рівнодійна?

Дві сили F⃗_1 (червона) і F⃗_2 (синя) з помаранчевої точки, що зображає комбайн, кожна відхилена на кут α від осі, і зелена рівнодійна F⃗ уздовж осі

Розв'язання. Дано / Знайти:

$\begin{aligned} F_{1} = F_{2} & = 30 к Н = 30 000 Н \\ β & = 60 ° \\ F & = ? (Н) \end{aligned}$

Вісь x вибираємо вздовж осі між тросами, додатний напрямок — за напрямком тяги. Оскільки комбайн лежить на осі, кожен трос відхилений від неї на половину кута між тросами, $α = \frac{β}{2} = 30 °$ . Обидві сили розкладемо на складові. Складові, перпендикулярні до осі, однакові за модулем і протилежні, тому зрівноважуються. Уздовж осі залишаються дві однакові складові F₁ · cos α:

$\begin{aligned} F & = 2 \cdot F_{1} \cdot \cos α = 2 \cdot 30 000 Н \cdot \cos 30 ° \\ \approx 51 962 Н \end{aligned}$

Відповідь: рівнодійна приблизно 52 кН, а не 60 кН. Частина тяги пропадає, бо трактори тягнуть кожен трохи в інший бік. Чим більше розходяться троси, тим більша втрата: за кута β = 120° між тросами α = 60°, а рівнодійна 2 · 30 000 Н · cos 60° = 30 000 Н, ніби тягнув лише один трактор.

Задача 2: Моторний човен

Завдяки гвинту вода жене вперед човен масою 300 кг (разом з екіпажем) із силою 900 Н. Опір води становить 300 Н. Яке прискорення має човен?

Розв'язання. Дано / Знайти:

$\begin{aligned} m & = 300 к г \\ F_{1} & = 900 Н, F_{2} = 300 Н \\ a & = ? ({м / с}^{2}) \end{aligned}$

Додатним уважаємо напрямок руху човна. Опір напрямлений проти нього, тому в рівнодійній стоїть мінус. Далі просто додаємо сили й ділимо на масу:

$a = \frac{F_{1} - F_{2}}{m} = \frac{900 Н - 300 Н}{300 к г} = 2 {м / с}^{2}$

Одиниці сходяться, ньютон на кілограм — це метр на секунду в квадраті. Відповідь: човен має прискорення 2 м/с². Опір води зростає разом зі швидкістю, і коли досягне 900 Н, рівнодійна стане нульовою, а човен поплисте зі сталою швидкістю.

Задача 3: Вантажівка і легковик

Вантажівка масою 10 000 кг врізається в легковик масою 1 000 кг. Яке тіло діє на інше більшою силою? Які прискорення вони мають, якщо сила удару 50 000 Н?

Розв'язання: Більшість людей вгадає вантажівку. Але сили удару утворюють пару дії та протидії, а тому однакові за модулем і протилежні. Вантажівка штовхає легковик із силою 50 000 Н, і легковик вантажівку так само. Різниця в тому, що сила робить з тілом.

Дано / Знайти:

$\begin{aligned} m_{1} & = 10 000 к г, m_{2} = 1 000 к г \\ F & = 50 000 Н \\ a_{1} & = ? ({м / с}^{2}), a_{2} = ? ({м / с}^{2}) \end{aligned}$

Додатним оберемо напрямок руху вантажівки:

$\begin{aligned} a_{1} & = \frac{- F}{m_{1}} = \frac{- 50 000 Н}{10 000 к г} = - 5 {м / с}^{2} \\ a_{2} & = \frac{F}{m_{2}} = \frac{50 000 Н}{1 000 к г} = 50 {м / с}^{2} \end{aligned}$

Відповідь: сили однакові, вантажівка має прискорення −5 м/с², тобто сповільнюється, а легковик отримує прискорення 50 м/с², приблизно в п'ять разів більше за прискорення вільного падіння. Тому тим, хто їде в легковику, дістається гірше, хоча сили однакові.

Задача 4: Ваги в ліфті, що їде вниз

Роман масою 80 кг стоїть у ліфті на вагах. Ліфт їде вниз і перед першим поверхом гальмує зі сповільненням 1,5 м/с². Що покажуть ваги?

Розв'язання: Додатним буде напрямок угору. Ліфт їде вниз і сповільнюється, тож його прискорення напрямлене вгору: a = 1,5 м/с².

Дано / Знайти:

$\begin{aligned} m & = 80 к г \\ a & = 1, 5 {м / с}^{2} \\ N & = ? (Н) \end{aligned}$

Романа тягне вниз сила тяжіння, а вгору його підтримує сила реакції опори ваг. За другим законом N − m · g = m · a, тому сила реакції опори виходить так само, як у ліфті, що рушає вгору:

$\begin{aligned} N & = m \cdot (g + a) \\ = 80 к г \cdot (9, 81 {м / с}^{2} + 1, 5 {м / с}^{2}) \\ = 904, 8 Н \end{aligned}$

Ваги ділять силу на прискорення вільного падіння, тож відповідь: вони покажуть $\frac{N}{g} = \frac{904, 8 Н}{9, 81 {м / с}^{2}} \approx 92 к г$ . У спокої вони показали б його справжні 80 кг. Роман почувається важчим, хоча їде вниз. Має значення напрямок прискорення, а не напрямок руху.

Задача 5: Марсохід на Марсі

Марсохід Perseverance має масу 1 025 кг. Яка сила тяжіння діє на нього на Землі й яка на Марсі, де прискорення вільного падіння 3,71 м/с²?

Розв'язання. Дано / Знайти:

$\begin{aligned} m & = 1 025 к г \\ g & = 3, 71 {м / с}^{2} \\ F_{т я ж} & = ? (Н) \end{aligned}$

Сила тяжіння дорівнює масі, помноженій на прискорення вільного падіння. На Марсі

$F_{т я ж} = m \cdot g = 1 025 к г \cdot 3, 71 {м / с}^{2} \approx 3 803 Н,$

на Землі за тим самим обчисленням із g = 9,81 м/с²

$F_{т я ж} = 1 025 к г \cdot 9, 81 {м / с}^{2} \approx 10 055 Н .$

Відповідь: на Марсі на марсохід діє сила тяжіння приблизно 3,8 кН, трохи більше третини земних 10 кН. Масу він має всюди однакову, тож за тієї самої сили розганяється так само неохоче.

Задача 6: Тенісна подача

Тенісист подає м'яч масою 57 г, який у найвищій точці підкидання майже нерухомий. Ракетка торкається його 5 мс, і м'яч відлітає зі швидкістю 50 м/с. З якою середньою силою ракетка діє на нього?

Розв'язання. Дано / Знайти:

$\begin{aligned} m & = 57 г = 0,057 к г \\ v_{0} & = 0 м / с, v = 50 м / с \\ Δ t & = 5 м с = 0,005 с \\ F & = ? (Н) \end{aligned}$

Додатний напрямок вибираємо за напрямком польоту м'яча. Сила дорівнює зміні імпульсу за час її дії, тобто імпульс сили, поділений на час удару:

$\begin{aligned} F & = \frac{Δ p}{Δ t} = \frac{m \cdot (v - v_{0})}{Δ t} \\ = \frac{0,057 к г \cdot 50 м / с}{0,005 с} = 570 Н \end{aligned}$

Це приблизно стільки, ніби на м'ячі стоїть людина масою 58 кг, але лише п'ять тисячних секунди. Відповідь: ракетка тисне на м'яч із середньою силою 570 Н. За вдвічі довшого дотику для тієї самої швидкості вистачило б удвічі меншої сили.

Задача 7: Хокеїсти зчепилися

Хокеїст масою 90 кг їде зі швидкістю 6 м/с і лоб у лоб зіштовхується із суперником масою 80 кг, який їде йому назустріч зі швидкістю 4 м/с. Після зіткнення вони зчіплюються. З якою швидкістю і куди вони рухаються?

Розв'язання: Додатний напрямок вказує туди, куди їде перший хокеїст, тому швидкість суперника від'ємна.

Дано / Знайти:

$\begin{aligned} m_{1} & = 90 к г, v_{1} = 6 м / с \\ m_{2} & = 80 к г, v_{2} = - 4 м / с \\ v^{'} & = ? (м / с) \end{aligned}$

На льоду тертя мале, а зіткнення коротке, тому пару вважаємо замкненою системою. За законом збереження імпульсу імпульс до зіткнення такий самий, як і після:

$m_{1} \cdot v_{1} + m_{2} \cdot v_{2} = (m_{1} + m_{2}) \cdot v^{'}$

$\begin{aligned} v^{'} & = \frac{m_{1} \cdot v_{1} + m_{2} \cdot v_{2}}{m_{1} + m_{2}} \\ = \frac{90 к г \cdot 6 м / с + 80 к г \cdot (- 4 м / с)}{170 к г} \\ \approx 1, 29 м / с \end{aligned}$

Відповідь: результат додатний, тож пара їде туди, куди їхав хокеїст з більшою масою й швидкістю, приблизно зі швидкістю 1,3 м/с. Хто забуде про знак, отримає безглузді 5,1 м/с.

Задача 8: Лава в спортзалі

Дерев'яна лава масою 25 кг стоїть на дерев'яній підлозі. Коефіцієнт тертя спокою 0,5, тертя ковзання 0,3. Чи зрушить її горизонтальна сила 100 Н? А яке прискорення матиме лава, якщо штовхати її з силою 130 Н?

Розв'язання. Дано / Знайти:

$\begin{aligned} m & = 25 к г \\ μ_{0} & = 0, 5, μ = 0, 3 \\ F_{1} & = 100 Н, F_{2} = 130 Н \\ a & = ? ({м / с}^{2}) \end{aligned}$

На горизонтальній підлозі сила реакції опори дорівнює силі тяжіння, N = m · g. Найбільше тертя спокою дорівнює

$μ_{0} \cdot m \cdot g = 0, 5 \cdot 25 к г \cdot 9, 81 {м / с}^{2} \approx 123 Н .$

Сила 100 Н менша, лава стоїть, а тертя спокою має рівно 100 Н. Сила 130 Н зриває її з місця, і гальмує її вже лише тертя ковзання. Додатний напрямок вибираємо за напрямком штовхання:

$\begin{aligned} a & = \frac{F_{2} - μ \cdot m \cdot g}{m} \\ = \frac{130 Н - 0, 3 \cdot 25 к г \cdot 9, 81 {м / с}^{2}}{25 к г} \\ \approx 2, 26 {м / с}^{2} \end{aligned}$

Відповідь: лава рушає з прискоренням приблизно 2,3 м/с². Силою в сто ньютонів її взагалі не зрушити.

Задача 9: Гірка

Дитина з'їжджає зі стану спокою по гірці завдовжки 4 м з кутом нахилу 30°. Коефіцієнт тертя ковзання штанів об гірку 0,3. З якою швидкістю вона доїде донизу?

Розв'язання. Дано / Знайти:

$\begin{aligned} α & = 30 °, μ = 0, 3 \\ s & = 4 м, v_{0} = 0 м / с \\ v & = ? (м / с) \end{aligned}$

Додатний напрямок вибираємо вниз уздовж гірки. Складова сили тяжіння вздовж схилу дорівнює m · g · sin α, тертя μ · m · g · cos α напрямлене проти руху. Після скорочення маси залишається прискорення на схилі з тертям, a = g · (sin α − μ · cos α). Для наочності: виходить приблизно 2,36 м/с².

Часу ми не знаємо, тому швидкість унизу дасть співвідношення без часу v² = 2 · a · s. Підставимо в нього прискорення в загальному вигляді:

$\begin{aligned} v & = \sqrt{2 \cdot g \cdot s \cdot (\sin α - μ \cdot \cos α)} \\ = \sqrt{2 \cdot 9, 81 {м / с}^{2} \cdot 4 м \cdot (\sin 30 ° - 0, 3 \cdot \cos 30 °)} \\ \approx 4, 34 м / с \end{aligned}$

Відповідь: дитина доїде зі швидкістю приблизно 4,3 м/с, тобто неповних 16 км/год. Без тертя було б понад 6 м/с.

Задача 10: Велосипедист на повороті

З якою найбільшою швидкістю може велосипедист проїхати горизонтальний поворот радіуса 12 м на сухому асфальті з коефіцієнтом тертя 0,7? А з якою на мокрому з коефіцієнтом 0,5?

Розв'язання. Дано / Знайти:

$\begin{aligned} r & = 12 м \\ μ & = 0, 7 \\ v_{max} & = ? (м / с) \end{aligned}$

Велосипедиста на колі тримає лише тертя шин, напрямлене до центра повороту. Його має вистачити на доцентрову силу, $\frac{m \cdot v^{2}}{r} \leq μ \cdot m \cdot g$ . Маса скорочується:

$\begin{aligned} v_{max} & = \sqrt{μ \cdot g \cdot r} = \sqrt{0, 7 \cdot 9, 81 {м / с}^{2} \cdot 12 м} \\ \approx 9, 1 м / с \end{aligned}$

Відповідь: це приблизно 33 км/год. На мокрому тим самим обчисленням виходить 7,7 м/с, неповних 28 км/год. Маса скоротилася, тож велосипедистові з більшою масою ні легше, ні важче. За більшої швидкості колеса виїдуть назовні з повороту.

Задача 11: Ящик у мікроавтобусі, що гальмує

У мікроавтобусі на дерев'яній підлозі лежить дерев'яний ящик з інструментами масою 30 кг, коефіцієнт тертя спокою 0,5. Водій гальмує зі сповільненням 6 м/с². Оціни ситуацію зсередини мікроавтобуса: чи поїде ящик уперед?

Розв'язання: Мікроавтобус гальмує, тож він є неінерціальною системою відліку. У ній на ящик додатково діє сила інерції, протилежна прискоренню мікроавтобуса, тобто вперед. Додатний напрямок вибираємо вперед.

Дано / Знайти:

$\begin{aligned} m & = 30 к г, μ_{0} = 0, 5 \\ a & = - 6 {м / с}^{2} \end{aligned}$

Прискорення мікроавтобуса напрямлене назад, тому воно від'ємне. Сила інерції та найбільше тертя спокою:

$\begin{aligned} F_{і н} & = - m \cdot a = - 30 к г \cdot (- 6 {м / с}^{2}) = 180 Н \\ μ_{0} \cdot m \cdot g & = 0, 5 \cdot 30 к г \cdot 9, 81 {м / с}^{2} \approx 147 Н \end{aligned}$

Сила інерції вийшла додатною, тож напрямлена вперед. Тертя ящик не втримає, він поїде вперед. Втримало б його лише до сповільнення μ₀ · g ≈ 4,9 м/с², маса скорочується. Ззовні ситуація виглядає так само, тільки без сили інерції: до сповільнення 6 м/с² ящикові потрібне було б тертя 180 Н, а тертя спокою дає щонайбільше 147 Н. Відповідь: ящик сповільнюється менше, ніж мікроавтобус, тож їде вперед.

Задача 12: Гальмування на снігу

Засніженою дорогою їде автомобіль зі швидкістю 45 км/год, і водій гальмує так, що колеса блокуються. Коефіцієнт тертя ковзання шин по снігу 0,3. Який гальмівний шлях і скільки триває гальмування?

Розв'язання. Дано / Знайти:

$\begin{aligned} v & = 45 к м / г о д = 12, 5 м / с \\ μ & = 0, 3 \\ s_{г а л ь м} & = ? (м), t = ? (с) \end{aligned}$

Напрямок руху буде додатним. Сповільнює лише тертя, $m \cdot | a | = μ \cdot m \cdot g$ , отже, сповільнення дорівнює $| a | = μ \cdot g$ . Підставимо його у формулу гальмівного шляху:

$\begin{aligned} s_{г а л ь м} & = \frac{v^{2}}{2 \cdot μ \cdot g} = \frac{(12, 5 м / с)^{2}}{2 \cdot 0, 3 \cdot 9, 81 {м / с}^{2}} \approx 26, 5 м \\ t & = \frac{v}{μ \cdot g} = \frac{12, 5 м / с}{0, 3 \cdot 9, 81 {м / с}^{2}} \approx 4, 2 с \end{aligned}$

Відповідь: автомобіль зупиниться після 26,5 м і гальмуватиме понад чотири секунди. На сухій дорозі з коефіцієнтом 0,7 йому вистачило б 11,4 м. У формулі немає маси, тож і повністю навантажений автомобіль гальмує так само, принаймні в цьому спрощенні.

Задача 13: Рушання потяга

Потяг масою 400 т рушає з вокзалу. Рейки штовхають через колеса локомотива потяг уперед із силою 200 кН, а сили опору руху становлять 40 кН. Через який час і після якого шляху він досягне швидкості 90 км/год, якщо сили не змінюються?

Розв'язання. Дано / Знайти:

$\begin{aligned} m & = 400 т = 400 000 к г \\ F_{1} & = 200 000 Н, F_{2} = 40 000 Н \\ v & = 90 к м / г о д = 25 м / с \\ t & = ? (с), s = ? (м) \end{aligned}$

Додатний напрямок вибираємо за напрямком руху. Спочатку динаміка, другий закон Ньютона:

$a = \frac{F_{1} - F_{2}}{m} = \frac{160 000 Н}{400 000 к г} = 0, 4 {м / с}^{2}$

Потім кінематика рівноприскореного руху зі стану спокою та співвідношення без часу:

$\begin{aligned} t & = \frac{v}{a} = \frac{25 м / с}{0, 4 {м / с}^{2}} = 62, 5 с \\ s & = \frac{v^{2}}{2 \cdot a} = \frac{(25 м / с)^{2}}{2 \cdot 0, 4 {м / с}^{2}} \approx 781 м \end{aligned}$

Перевірка: середня швидкість 12,5 м/с, і за 62,5 с це дає ті самі 781 м. Відповідь: потягові потрібна приблизно хвилина й неповний кілометр. Насправді опір із швидкістю зростає, тому розгін триває трохи довше.

Кінець шляху

Цим підручник з кінематики й динаміки закінчується. Ми почали з того, що таке взагалі величина й одиниця, через швидкість і прискорення дійшли до сил і законів Ньютона, а наприкінці поєднали одне з одним: сила каже, яке прискорення, а прискорення — куди і як швидко потрапить тіло. З цією парою ти розв'яжеш більшість задач на рух і сили. Робота й енергія будуть далі.

« Попередня: Задачі з кінематики з розв'язками

Наступна: Інше »