Esercizi svolti di dinamica

Le forze si capiscono meglio facendo i conti. Ti aspettano tredici esercizi: dalla composizione delle forze ai principi della dinamica, alla quantità di moto e all’attrito, fino alla curva e alla forza apparente. Tre di essi (lo scivolo, la frenata sulla neve e la partenza del treno) collegano le forze al moto: dalle forze calcoliamo l’accelerazione e dall’accelerazione la velocità o lo spazio. Seguiamo il metodo collaudato: dati, schizzo delle forze, verso positivo, soluzione generale, sostituzione con le unità e risposta con una frase completa. Lo schizzo fallo tu: la figura c’è solo nel primo esercizio. Prova a risolvere ogni esercizio prima da solo.

Esercizio 1: Due trattori e una mietitrebbia bloccata

Una mietitrebbia è rimasta bloccata nel fango. Due trattori la tirano fuori con due funi, ciascuno con una forza di 30 kN. Le funi formano un angolo β = 60° e la mietitrebbia si trova esattamente sull’asse tra di esse. Quanto è grande la risultante?

Due forze F⃗_1 (in rosso) e F⃗_2 (in blu) partono dal punto arancione, che rappresenta la mietitrebbia, ciascuna inclinata di un angolo α rispetto all’asse, e la risultante verde F⃗ lungo l’asse

Soluzione:

$\begin{aligned} F_{1} = F_{2} & = 30 kN = 30.000 N \\ β & = 60 ° \\ F & = ? (N) \end{aligned}$

L’asse x lo scegliamo lungo l’asse tra le funi, positivo nel verso della trazione. Poiché la mietitrebbia sta sull’asse, ogni fune è inclinata rispetto ad esso della metà dell’angolo tra le funi, $α = \frac{β}{2} = 30 °$ . Scomponiamo entrambe le forze nelle componenti. Le componenti perpendicolari all’asse hanno lo stesso modulo e verso opposto, quindi si annullano. Lungo l’asse restano due componenti uguali F₁ · cos α:

$\begin{aligned} F & = 2 \cdot F_{1} \cdot \cos α = 2 \cdot 30.000 N \cdot \cos 30 ° \\ \approx 51.962 N \end{aligned}$

La risultante è circa 52 kN, non 60 kN. Una parte della trazione va sprecata, perché i trattori tirano ciascuno un po’ in una direzione diversa. Più le funi si aprono, maggiore è la perdita: con un angolo β = 120° tra le funi è α = 60° e la risultante 2 · 30.000 N · cos 60° = 30.000 N, come se tirasse un solo trattore.

Esercizio 2: Una barca a motore

Una barca di massa 300 kg con l’equipaggio è spinta in avanti dall’acqua grazie all’elica con una forza di 900 N. La resistenza dell’acqua è 300 N. Che accelerazione ha la barca?

Soluzione:

$\begin{aligned} m & = 300 kg \\ F_{1} & = 900 N, F_{2} = 300 N \\ a & = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

Come positivo prendiamo il verso di navigazione. La resistenza è diretta contro di esso, quindi nella risultante ha il segno meno. Poi basta sommare le forze e dividere per la massa:

$a = \frac{F_{1} - F_{2}}{m} = \frac{900 N - 300 N}{300 kg} = 2 {m / s}^{2}$

Le unità tornano, newton su chilogrammo è metro al secondo quadrato. La barca ha un’accelerazione di 2 m/s². La resistenza dell’acqua cresce con la velocità e quando arriverà a 900 N la risultante sarà nulla e la barca andrà a velocità costante.

Esercizio 3: Un camion e un’auto

Un camion di massa 10.000 kg urta un’auto di massa 1000 kg. Quale dei due corpi agisce sull’altro con una forza maggiore? Che accelerazioni hanno, se la forza dell’urto è 50.000 N?

Soluzione: La maggior parte delle persone punta sul camion. Le forze dell’urto formano però una coppia azione-reazione e quindi hanno lo stesso modulo e verso opposto. Il camion spinge l’auto con una forza di 50.000 N e l’auto spinge il camion con una forza uguale. La differenza sta in ciò che la forza fa al corpo.

$\begin{aligned} m_{1} & = 10.000 kg, m_{2} = 1000 kg \\ F & = 50.000 N \\ a_{1} & = ? ({m / s}^{2}), a_{2} = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

Come positivo scegliamo il verso di marcia del camion:

$\begin{aligned} a_{1} & = \frac{- F}{m_{1}} = \frac{- 50.000 N}{10.000 kg} = - 5 {m / s}^{2} \\ a_{2} & = \frac{F}{m_{2}} = \frac{50.000 N}{1000 kg} = 50 {m / s}^{2} \end{aligned}$

Il camion ha un’accelerazione di −5 m/s², quindi rallenta, mentre l’auto riceve un’accelerazione di 50 m/s², circa cinque volte quella di gravità. Per questo a rimetterci di più sono gli occupanti dell’auto, anche se le forze sono uguali.

Esercizio 4: La bilancia in un ascensore che scende

Riccardo, di massa 80 kg, sta su una bilancia in un ascensore. L’ascensore scende e prima del piano terra frena con una decelerazione di 1,5 m/s². Che cosa mostra la bilancia?

Soluzione: Il verso positivo sarà verso l’alto. L’ascensore scende e rallenta, quindi la sua accelerazione è diretta verso l’alto: a = 1,5 m/s².

$\begin{aligned} m & = 80 kg \\ a & = 1, 5 {m / s}^{2} \\ F_{N} & = ? (N) \end{aligned}$

Riccardo è tirato verso il basso dalla forza peso e sostenuto verso l’alto dalla forza normale della bilancia. Per il secondo principio F_N − m · g = m · a, quindi la forza normale risulta come per l’ascensore che parte verso l’alto:

$\begin{aligned} F_{N} & = m \cdot (g + a) \\ = 80 kg \cdot (9, 81 {m / s}^{2} + 1, 5 {m / s}^{2}) \\ = 904, 8 N \end{aligned}$

La bilancia divide la forza per l’accelerazione di gravità e mostra $\frac{F_{N}}{g} = \frac{904, 8 N}{9, 81 {m / s}^{2}} \approx 92 kg$ . A riposo mostrerebbe i suoi veri 80 kg. Riccardo si sente più pesante, anche se scende. Conta il verso dell’accelerazione, non il verso del moto.

Esercizio 5: Un rover su Marte

Il rover Perseverance ha una massa di 1025 kg. Quanto è grande la forza peso che agisce su di esso sulla Terra e quanto su Marte, dove l’accelerazione di gravità è 3,71 m/s²?

Soluzione:

$\begin{aligned} m & = 1025 kg \\ g & = 3, 71 {m / s}^{2} \\ F_{P} & = ? (N) \end{aligned}$

La forza peso è la massa per l’accelerazione di gravità. Su Marte

$F_{P} = m \cdot g = 1025 kg \cdot 3, 71 {m / s}^{2} \approx 3803 N,$

sulla Terra con lo stesso calcolo e g = 9,81 m/s²

$F_{P} = 1025 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \approx 10.055 N .$

Su Marte sul rover agisce una forza peso di circa 3,8 kN, poco più di un terzo dei 10 kN terrestri. La massa però è ovunque la stessa e quindi, a parità di forza, parte con la stessa fatica.

Esercizio 6: Il servizio nel tennis

Un tennista batte una pallina di massa 57 g che nel punto più alto del lancio è quasi ferma. La racchetta la tocca per 5 ms e la pallina parte con una velocità di 50 m/s. Con che forza media agisce su di essa la racchetta?

Soluzione:

$\begin{aligned} m & = 57 g = 0,057 kg \\ v_{0} & = 0 m / s, v = 50 m / s \\ Δ t & = 5 ms = 0,005 s \\ F & = ? (N) \end{aligned}$

Il verso positivo lo scegliamo nel verso di volo della pallina. La forza è uguale alla variazione di quantità di moto nel tempo in cui agisce, cioè all’impulso diviso per la durata dell’urto:

$\begin{aligned} F & = \frac{Δ p}{Δ t} = \frac{m \cdot (v - v_{0})}{Δ t} \\ = \frac{0,057 kg \cdot 50 m / s}{0,005 s} = 570 N \end{aligned}$

È circa come se sulla pallina stesse in piedi una persona di 58 kg, ma solo per cinque millesimi di secondo. La racchetta spinge la pallina con una forza media di 570 N. Con un contatto lungo il doppio, per la stessa velocità basterebbe metà della forza.

Esercizio 7: Hockeisti agganciati

Un hockeista di massa 90 kg va a 6 m/s e si scontra frontalmente con un avversario di massa 80 kg che gli viene incontro a 4 m/s. Dopo l’urto restano agganciati. Con che velocità e in che direzione si muovono?

Soluzione: Il verso positivo è quello in cui va il primo hockeista, quindi la velocità dell’avversario è negativa.

$\begin{aligned} m_{1} & = 90 kg, v_{1} = 6 m / s \\ m_{2} & = 80 kg, v_{2} = - 4 m / s \\ v^{'} & = ? (m / s) \end{aligned}$

Sul ghiaccio l’attrito è piccolo e l’urto breve, perciò consideriamo la coppia un sistema isolato. Secondo il principio di conservazione della quantità di moto la quantità di moto prima dell’urto è uguale a quella dopo:

$m_{1} \cdot v_{1} + m_{2} \cdot v_{2} = (m_{1} + m_{2}) \cdot v^{'}$

$\begin{aligned} v^{'} & = \frac{m_{1} \cdot v_{1} + m_{2} \cdot v_{2}}{m_{1} + m_{2}} \\ = \frac{90 kg \cdot 6 m / s + 80 kg \cdot (- 4 m / s)}{170 kg} \\ \approx 1, 29 m / s \end{aligned}$

Il risultato è positivo, quindi la coppia scivola nel verso in cui andava l’hockeista con massa e velocità maggiori, a circa 1,3 m/s. Chi dimentica il segno, ottiene un assurdo 5,1 m/s.

Esercizio 8: Una panca in palestra

Una panca di legno di massa 25 kg sta su un pavimento di legno. Il coefficiente di attrito statico è 0,5, quello dinamico 0,3. Una forza orizzontale di 100 N riesce a muoverla? E che accelerazione avrà la panca, se la spingiamo con una forza di 130 N?

Soluzione:

$\begin{aligned} m & = 25 kg \\ μ_{s} & = 0, 5, μ = 0, 3 \\ F_{1} & = 100 N, F_{2} = 130 N \\ a & = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

Su un pavimento orizzontale la forza normale è uguale alla forza peso, F_N = m · g. Il massimo attrito statico è

$μ_{s} \cdot m \cdot g = 0, 5 \cdot 25 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \approx 123 N .$

La forza di 100 N è minore, la panca resta ferma e l’attrito statico vale esattamente 100 N. La forza di 130 N la smuove e a frenarla resta soltanto l’attrito dinamico. Il verso positivo lo scegliamo nel verso della spinta:

$\begin{aligned} a & = \frac{F_{2} - μ \cdot m \cdot g}{m} \\ = \frac{130 N - 0, 3 \cdot 25 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2}}{25 kg} \\ \approx 2, 26 {m / s}^{2} \end{aligned}$

La panca parte con un’accelerazione di circa 2,3 m/s². Con cento newton non la muoviamo affatto.

Esercizio 9: Lo scivolo

Un bambino scende da fermo lungo uno scivolo lungo 4 m con inclinazione di 30°. Il coefficiente di attrito dinamico tra pantaloni e scivolo è 0,3. Con che velocità arriva in fondo?

Soluzione:

$\begin{aligned} α & = 30 °, μ = 0, 3 \\ s & = 4 m, v_{0} = 0 m / s \\ v & = ? (m / s) \end{aligned}$

Il verso positivo lo scegliamo verso il basso lungo lo scivolo. La componente della forza peso lungo il pendio è m · g · senα, l’attrito μ · m · g · cos α è diretto contro il moto. Semplificando la massa resta l’accelerazione su un pendio con attrito, a = g · (senα − μ · cos α). Per farci un’idea, risulta circa 2,36 m/s².

Il tempo non lo conosciamo, la velocità in fondo la dà quindi la relazione senza il tempo v² = 2 · a · s. Vi sostituiamo l’accelerazione in forma generale:

$\begin{aligned} v & = \sqrt{2 \cdot g \cdot s \cdot (sen α - μ \cdot \cos α)} \\ = \sqrt{2 \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \cdot 4 m \cdot (sen 30 ° - 0, 3 \cdot \cos 30 °)} \\ \approx 4, 34 m / s \end{aligned}$

Il bambino arriva a circa 4,3 m/s, cioè meno di 16 km/h. Senza attrito sarebbe oltre 6 m/s.

Esercizio 10: Un ciclista in curva

A che velocità massima può percorrere un ciclista una curva orizzontale di raggio 12 m su asfalto asciutto con coefficiente di attrito 0,7? E a che velocità sul bagnato con coefficiente 0,5?

Soluzione:

$\begin{aligned} r & = 12 m \\ μ & = 0, 7 \\ v_{max} & = ? (m / s) \end{aligned}$

Il ciclista sulla circonferenza è tenuto solo dall’attrito degli pneumatici, diretto verso il centro della curva. Questo deve bastare per la forza centripeta, $\frac{m \cdot v^{2}}{r} \leq μ \cdot m \cdot g$ . La massa si semplifica:

$\begin{aligned} v_{max} & = \sqrt{μ \cdot g \cdot r} = \sqrt{0, 7 \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \cdot 12 m} \\ \approx 9, 1 m / s \end{aligned}$

Sono circa 33 km/h. Sul bagnato con lo stesso calcolo viene 7,7 m/s, meno di 28 km/h. La massa si è semplificata, quindi un ciclista di massa maggiore non ha né più né meno facilità. A velocità maggiore le ruote scivolano fuori dalla curva.

Esercizio 11: Una cassetta in un furgone che frena

In un furgone, sul pavimento di legno, c’è una cassetta di legno con gli attrezzi, di massa 30 kg; il coefficiente di attrito statico è 0,5. L’autista frena con una decelerazione di 6 m/s². Valuta la situazione dall’interno del furgone: la cassetta scivola in avanti?

Soluzione: Il furgone frena, quindi è un sistema non inerziale. In esso sulla cassetta agisce in più la forza apparente opposta all’accelerazione del furgone, cioè in avanti. Il verso positivo lo scegliamo in avanti.

$\begin{aligned} m & = 30 kg, μ_{s} = 0, 5 \\ a & = - 6 {m / s}^{2} \end{aligned}$

L’accelerazione del furgone è diretta all’indietro e perciò è negativa. La forza apparente e il massimo attrito statico:

$\begin{aligned} F_{app} & = - m \cdot a = - 30 kg \cdot (- 6 {m / s}^{2}) = 180 N \\ μ_{s} \cdot m \cdot g & = 0, 5 \cdot 30 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \approx 147 N \end{aligned}$

La forza apparente è risultata positiva, quindi è diretta in avanti. L’attrito non riesce a trattenere la cassetta, che scivola in avanti. La tratterrebbe solo fino a una decelerazione di μ_s · g ≈ 4,9 m/s² (la massa si semplifica). Da fuori la situazione appare uguale, solo senza la forza apparente: per una decelerazione di 6 m/s² alla cassetta servirebbe un attrito di 180 N, ma l’attrito statico può dare al massimo 147 N. La cassetta decelera quindi meno del furgone.

Esercizio 12: Frenata sulla neve

Un’auto viaggia su una strada innevata a 45 km/h e il conducente frena in modo che le ruote si blocchino. Il coefficiente di attrito dinamico degli pneumatici sulla neve è 0,3. Quanto è lungo lo spazio di frenata e quanto dura la frenata?

Soluzione:

$\begin{aligned} v & = 45 km / h = 12, 5 m / s \\ μ & = 0, 3 \\ s_{f} & = ? (m), t = ? (s) \end{aligned}$

Il verso di marcia sarà positivo. A rallentare è solo l’attrito, $m \cdot | a | = μ \cdot m \cdot g$ , quindi la decelerazione è $| a | = μ \cdot g$ . La sostituiamo nella formula dello spazio di frenata:

$\begin{aligned} s_{f} & = \frac{v^{2}}{2 \cdot μ \cdot g} = \frac{(12, 5 m / s)^{2}}{2 \cdot 0, 3 \cdot 9, 81 {m / s}^{2}} \approx 26, 5 m \\ t & = \frac{v}{μ \cdot g} = \frac{12, 5 m / s}{0, 3 \cdot 9, 81 {m / s}^{2}} \approx 4, 2 s \end{aligned}$

L’auto si ferma dopo 26,5 m e frena per oltre quattro secondi. Sull’asciutto con coefficiente 0,7 le basterebbero 11,4 m. Nella formula la massa non compare, quindi anche un’auto a pieno carico frena allo stesso modo, almeno in questa semplificazione.

Esercizio 13: La partenza di un treno

Un treno di massa 400 t parte dalla stazione. I binari spingono il treno in avanti attraverso le ruote della locomotiva con una forza di 200 kN, le resistenze al moto sono 40 kN. Dopo quanto tempo e dopo quale spazio raggiunge la velocità di 90 km/h, se le forze non cambiano?

Soluzione:

$\begin{aligned} m & = 400 t = 400.000 kg \\ F_{1} & = 200.000 N, F_{2} = 40.000 N \\ v & = 90 km / h = 25 m / s \\ t & = ? (s), s = ? (m) \end{aligned}$

Il verso positivo lo scegliamo nel verso di marcia. Prima la dinamica, il secondo principio:

$a = \frac{F_{1} - F_{2}}{m} = \frac{160.000 N}{400.000 kg} = 0, 4 {m / s}^{2}$

Poi la cinematica del moto uniformemente accelerato da fermo e la relazione senza il tempo:

$\begin{aligned} t & = \frac{v}{a} = \frac{25 m / s}{0, 4 {m / s}^{2}} = 62, 5 s \\ s & = \frac{v^{2}}{2 \cdot a} = \frac{(25 m / s)^{2}}{2 \cdot 0, 4 {m / s}^{2}} \approx 781 m \end{aligned}$

Verifica: la velocità media è 12,5 m/s e in 62,5 s dà gli stessi 781 m. Al treno serve circa un minuto e meno di un chilometro. In realtà la resistenza cresce con la velocità e la partenza dura quindi un po’ di più.

Fine del percorso

Qui finisce il nostro manuale di cinematica e dinamica. Siamo partiti da che cosa siano una grandezza fisica e un’unità di misura, attraverso velocità e accelerazione siamo arrivati alle forze e ai principi della dinamica e alla fine abbiamo unito le due cose: la forza dice quanto è grande l’accelerazione, e l’accelerazione dove e con che velocità arriva il corpo. Con questa coppia risolvi la maggior parte degli esercizi su moto e forze. Lavoro ed energia arriveranno più avanti.

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