Løste oppgaver i dynamikk

Krefter forstår vi best ved å regne med dem. Du får tretten oppgaver fra sammensetning av krefter via Newtons lover, bevegelsesmengde og friksjon til sving og fiktiv kraft. Tre av dem (rutsjebane, bremsing på snø og start av tog) knytter kreftene til bevegelsen: av kreftene regner vi ut akselerasjonen og av akselerasjonen fart eller strekning. Vi holder oss til den utprøvde framgangsmåten: oppsett, skisse av kreftene, positiv retning, generell løsning, innsetting med enheter og svar med en hel setning. Skissen tegner du selv, bare den første oppgaven har et bilde. Prøv hver oppgave selv først.

Oppgave 1: To traktorer og en fastkjørt skurtresker

En skurtresker har kjørt seg fast i gjørma. To traktorer drar den ut, hver med en kraft på 30 kN i et tau. Tauene danner vinkelen β = 60°, og skurtreskeren ligger nøyaktig på aksen mellom dem. Hvor stor er resultanten?

To krefter F⃗_1 (rødt) og F⃗_2 (blått) fra det oransje punktet som forestiller skurtreskeren, hver avbøyd med vinkelen α fra aksen, og grønn resultant F⃗ langs aksen

Løsning:

$\begin{aligned} F_{1} = F_{2} & = 30 kN = 30 000 N \\ β & = 60 ° \\ F & = ? (N) \end{aligned}$

x-aksen velger vi langs aksen mellom tauene, positiv i retning av trekket. Siden skurtreskeren ligger på aksen, er hvert tau avbøyd fra den med halvparten av vinkelen mellom tauene, $α = \frac{β}{2} = 30 °$ . Begge kreftene splitter vi i komponenter. Komponentene vinkelrett på aksen er like store og motsatte, og opphever derfor hverandre. Langs aksen blir det to like komponenter F₁ · cos α:

$\begin{aligned} F & = 2 \cdot F_{1} \cdot \cos α = 2 \cdot 30 000 N \cdot \cos 30 ° \\ \approx 51 962 N \end{aligned}$

Resultanten er omtrent 52 kN, ikke 60 kN. En del av trekket går til spille, fordi traktorene drar litt hver sin vei. Jo mer tauene spriker, desto større tap: ved vinkelen β = 120° mellom tauene er α = 60° og resultanten 2 · 30 000 N · cos 60° = 30 000 N, som om bare én traktor dro.

Oppgave 2: Motorbåt

En båt med massen 300 kg med mannskap drives framover av vannet takket være propellen med kraften 900 N. Motstanden fra vannet er 300 N. Hvilken akselerasjon har båten?

Løsning:

$\begin{aligned} m & = 300 kg \\ F_{1} & = 900 N, F_{2} = 300 N \\ a & = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

Som positiv retning tar vi kjøreretningen. Motstanden peker mot den, så i resultanten får den minus. Så er det bare å legge sammen kreftene og dele på massen:

$a = \frac{F_{1} - F_{2}}{m} = \frac{900 N - 300 N}{300 kg} = 2 {m / s}^{2}$

Enhetene stemmer, newton per kilogram er meter per sekund i andre. Båten har akselerasjonen 2 m/s². Motstanden fra vannet øker med farten, og når den når 900 N, blir resultanten null og båten går med konstant fart.

Oppgave 3: Lastebil og personbil

En lastebil med massen 10 000 kg kolliderer med en personbil med massen 1000 kg. Hvilket legeme virker med størst kraft på det andre? Hvilke akselerasjoner har de når kraften i støtet er 50 000 N?

Løsning: De fleste tipper lastebilen. Kreftene i støtet utgjør imidlertid et par av kraft og motkraft, og derfor er de like store og motsatte. Lastebilen skyver på bilen med 50 000 N, og bilen på lastebilen også. Forskjellen ligger i hva kraften gjør med legemet.

$\begin{aligned} m_{1} & = 10 000 kg, m_{2} = 1000 kg \\ F & = 50 000 N \\ a_{1} & = ? ({m / s}^{2}), a_{2} = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

Som positiv velger vi kjøreretningen til lastebilen:

$\begin{aligned} a_{1} & = \frac{- F}{m_{1}} = \frac{- 50 000 N}{10 000 kg} = - 5 {m / s}^{2} \\ a_{2} & = \frac{F}{m_{2}} = \frac{50 000 N}{1000 kg} = 50 {m / s}^{2} \end{aligned}$

Lastebilen har akselerasjonen −5 m/s², altså bremser, mens bilen får akselerasjonen 50 m/s², omtrent fem ganger større enn tyngdeakselerasjonen. Derfor går det verst med dem som sitter i personbilen, selv om kreftene er like.

Oppgave 4: Vekt i en heis på vei nedover

Rolf med massen 80 kg står på en vekt i en heis. Heisen går nedover og bremser før første etasje med retardasjonen 1,5 m/s². Hva viser vekta?

Løsning: Oppover er positiv retning. Heisen går nedover og bremser, så akselerasjonen peker oppover: a = 1,5 m/s².

$\begin{aligned} m & = 80 kg \\ a & = 1, 5 {m / s}^{2} \\ N & = ? (N) \end{aligned}$

Rolf blir dratt nedover av tyngdekraften, og oppover bæres han av normalkraften fra vekta. Ifølge den andre loven er N − m · g = m · a, så normalkraften blir som i heisen som kommer i gang oppover:

$\begin{aligned} N & = m \cdot (g + a) \\ = 80 kg \cdot (9, 81 {m / s}^{2} + 1, 5 {m / s}^{2}) \\ = 904, 8 N \end{aligned}$

Vekta deler kraften på tyngdeakselerasjonen og viser $\frac{N}{g} = \frac{904, 8 N}{9, 81 {m / s}^{2}} \approx 92 kg$ . I ro ville den vist de virkelige 80 kg. Rolf føler seg tyngre, selv om han kjører nedover. Det kommer an på retningen til akselerasjonen, ikke retningen på turen.

Oppgave 5: Rover på Mars

Roveren Perseverance har massen 1025 kg. Hvor stor tyngdekraft virker på den på Jorda, og hvor stor på Mars, der tyngdeakselerasjonen er 3,71 m/s²?

Løsning:

$\begin{aligned} m & = 1025 kg \\ g & = 3, 71 {m / s}^{2} \\ G & = ? (N) \end{aligned}$

Tyngdekraften er masse ganger tyngdeakselerasjon. På Mars

$G = m \cdot g = 1025 kg \cdot 3, 71 {m / s}^{2} \approx 3803 N,$

på Jorda med samme utregning med g = 9,81 m/s²

$G = 1025 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \approx 10 055 N .$

På Mars virker det en tyngdekraft på roveren på omtrent 3,8 kN, litt over en tredjedel av de 10 kN på Jorda. Massen er imidlertid den samme overalt, så ved samme kraft kommer den like motvillig i gang.

Oppgave 6: Tennisserve

En tennisspiller serverer en ball med massen 57 g som i det høyeste punktet av kastet er nesten i ro. Racketen berører den i 5 ms, og ballen farer av gårde med farten 50 m/s. Hvor stor gjennomsnittskraft virker racketen på den med?

Løsning:

$\begin{aligned} m & = 57 g = 0,057 kg \\ v_{0} & = 0 m / s, v = 50 m / s \\ Δ t & = 5 ms = 0,005 s \\ F & = ? (N) \end{aligned}$

Positiv retning velger vi i flyretningen til ballen. Kraften er lik endringen i bevegelsesmengde i løpet av tiden den virker, altså impulsen delt på tiden for støtet:

$\begin{aligned} F & = \frac{Δ p}{Δ t} = \frac{m \cdot (v - v_{0})}{Δ t} \\ = \frac{0,057 kg \cdot 50 m / s}{0,005 s} = 570 N \end{aligned}$

Det er omtrent som om et menneske med massen 58 kg sto på ballen, bare i fem tusendeler av et sekund. Racketen presser på ballen med gjennomsnittskraften 570 N. Med dobbelt så lang berøring ville det holdt med halv kraft for å nå samme fart.

Oppgave 7: Ishockeyspillere i klinsj

En ishockeyspiller med massen 90 kg kommer med farten 6 m/s og kolliderer front mot front med en motspiller med massen 80 kg, som kommer mot ham med farten 4 m/s. Etter kollisjonen henger de sammen. Hvor fort og i hvilken retning beveger de seg?

Løsning: Positiv retning peker dit den første spilleren kjører, og farten til motspilleren er derfor negativ.

$\begin{aligned} m_{1} & = 90 kg, v_{1} = 6 m / s \\ m_{2} & = 80 kg, v_{2} = - 4 m / s \\ v^{'} & = ? (m / s) \end{aligned}$

På isen er friksjonen liten og kollisjonen kort, så paret regner vi som et isolert system. Ifølge loven om bevaring av bevegelsesmengde er bevegelsesmengden før kollisjonen den samme som etter den:

$m_{1} \cdot v_{1} + m_{2} \cdot v_{2} = (m_{1} + m_{2}) \cdot v^{'}$

$\begin{aligned} v^{'} & = \frac{m_{1} \cdot v_{1} + m_{2} \cdot v_{2}}{m_{1} + m_{2}} \\ = \frac{90 kg \cdot 6 m / s + 80 kg \cdot (- 4 m / s)}{170 kg} \\ \approx 1, 29 m / s \end{aligned}$

Resultatet er positivt, så paret glir dit spilleren med større masse og fart kjørte, med omtrent 1,3 m/s. Den som glemmer fortegnet, får meningsløse 5,1 m/s.

Oppgave 8: Benk i gymsalen

En benk av tre med massen 25 kg står på et gulv av tre. Det statiske friksjonstallet er 0,5, glidefriksjonstallet 0,3. Får en vannrett kraft på 100 N den i gang? Og hvilken akselerasjon får benken når vi skyver den med kraften 130 N?

Løsning:

$\begin{aligned} m & = 25 kg \\ μ_{s} & = 0, 5, μ = 0, 3 \\ F_{1} & = 100 N, F_{2} = 130 N \\ a & = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

På et vannrett gulv er normalkraften lik tyngdekraften, N = m · g. Den største statiske friksjonen er

$μ_{s} \cdot m \cdot g = 0, 5 \cdot 25 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \approx 123 N .$

Kraften 100 N er mindre, benken står stille, og den statiske friksjonen er nøyaktig 100 N. Kraften 130 N river den løs, og den bremses bare av glidefriksjon. Positiv retning velger vi i skyveretningen:

$\begin{aligned} a & = \frac{F_{2} - μ \cdot m \cdot g}{m} \\ = \frac{130 N - 0, 3 \cdot 25 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2}}{25 kg} \\ \approx 2, 26 {m / s}^{2} \end{aligned}$

Benken kommer i gang med akselerasjonen omtrent 2,3 m/s². Med hundre newton får vi den ikke til å røre seg i det hele tatt.

Oppgave 9: Rutsjebane

Et barn glir fra ro ned en rutsjebane som er 4 m lang og har helningen 30°. Glidefriksjonstallet mellom buksene og rutsjebanen er 0,3. Hvor fort kommer det ned?

Løsning:

$\begin{aligned} α & = 30 °, μ = 0, 3 \\ s & = 4 m, v_{0} = 0 m / s \\ v & = ? (m / s) \end{aligned}$

Positiv retning velger vi nedover langs rutsjebanen. Komponenten av tyngdekraften langs rutsjebanen er m · g · sin α, friksjonen μ · m · g · cos α peker mot bevegelsen. Når massen forkortes, blir akselerasjonen i en bakke med friksjon igjen, a = g · (sin α − μ · cos α). For å få et bilde: det blir omtrent 2,36 m/s².

Tiden kjenner vi ikke, så farten nede gir sammenhengen uten tid v² = 2 · a · s. Vi setter akselerasjonen inn i den generelt:

$\begin{aligned} v & = \sqrt{2 \cdot g \cdot s \cdot (\sin α - μ \cdot \cos α)} \\ = \sqrt{2 \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \cdot 4 m \cdot (\sin 30 ° - 0, 3 \cdot \cos 30 °)} \\ \approx 4, 34 m / s \end{aligned}$

Barnet kommer ned med farten omtrent 4,3 m/s, altså knapt 16 km/h. Uten friksjon ville det vært over 6 m/s.

Oppgave 10: Syklist i en sving

Hvor fort kan en syklist høyst ta en vannrett sving med radius 12 m på tørr asfalt med friksjonstallet 0,7? Og hvor fort på våt asfalt med friksjonstallet 0,5?

Løsning:

$\begin{aligned} r & = 12 m \\ μ & = 0, 7 \\ v_{max} & = ? (m / s) \end{aligned}$

Syklisten holdes på sirkelen bare av friksjonen fra dekkene, som peker mot sentrum av svingen. Den må strekke til for sentripetalkraften, $\frac{m \cdot v^{2}}{r} \leq μ \cdot m \cdot g$ . Massen forkortes:

$\begin{aligned} v_{max} & = \sqrt{μ \cdot g \cdot r} = \sqrt{0, 7 \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \cdot 12 m} \\ \approx 9, 1 m / s \end{aligned}$

Det er omtrent 33 km/h. På vått føre gir den samme utregningen 7,7 m/s, knapt 28 km/h. Massen forkortet seg, så en syklist med større masse har det verken lettere eller vanskeligere. Ved høyere fart glir hjulene ut av svingen.

Oppgave 11: Kasse i en varebil som bremser

I en varebil ligger det en verktøykasse av tre med massen 30 kg på et gulv av tre, og det statiske friksjonstallet er 0,5. Sjåføren bremser med retardasjonen 6 m/s². Vurder situasjonen innenfra varebilen: glir kassen framover?

Løsning: Varebilen bremser, så den er et akselerert system. I det virker det på kassen i tillegg en fiktiv kraft motsatt akselerasjonen til varebilen, altså framover. Positiv retning velger vi framover.

$\begin{aligned} m & = 30 kg, μ_{s} = 0, 5 \\ a & = - 6 {m / s}^{2} \end{aligned}$

Akselerasjonen til varebilen peker bakover, og derfor er den negativ. Den fiktive kraften og den største statiske friksjonen:

$\begin{aligned} F_{fikt} & = - m \cdot a = - 30 kg \cdot (- 6 {m / s}^{2}) = 180 N \\ μ_{s} \cdot m \cdot g & = 0, 5 \cdot 30 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \approx 147 N \end{aligned}$

Den fiktive kraften ble positiv, den peker altså framover. Friksjonen holder ikke kassen tilbake, den glir framover. Friksjonen ville bare holdt den igjen opp til retardasjonen μ_s · g ≈ 4,9 m/s², massen forkortes. Utenfra ser situasjonen lik ut, bare uten den fiktive kraften: for retardasjonen 6 m/s² ville kassen trengt friksjonen 180 N, men statisk friksjon gir høyst 147 N. Kassen bremser derfor mindre enn varebilen.

Oppgave 12: Bremsing på snø

På en snødekt vei kjører en bil med farten 45 km/h, og sjåføren bremser slik at hjulene låser seg. Glidefriksjonstallet for dekkene på snø er 0,3. Hvor lang er bremselengden, og hvor lenge varer bremsingen?

Løsning:

$\begin{aligned} v & = 45 km / h = 12, 5 m / s \\ μ & = 0, 3 \\ s_{b} & = ? (m), t = ? (s) \end{aligned}$

Kjøreretningen er positiv. Bare friksjonen bremser, $m \cdot | a | = μ \cdot m \cdot g$ , så retardasjonen er $| a | = μ \cdot g$ . Den setter vi inn i formelen for bremselengde:

$\begin{aligned} s_{b} & = \frac{v^{2}}{2 \cdot μ \cdot g} = \frac{(12, 5 m / s)^{2}}{2 \cdot 0, 3 \cdot 9, 81 {m / s}^{2}} \approx 26, 5 m \\ t & = \frac{v}{μ \cdot g} = \frac{12, 5 m / s}{0, 3 \cdot 9, 81 {m / s}^{2}} \approx 4, 2 s \end{aligned}$

Bilen stopper etter 26,5 m og bremser i over fire sekunder. På tørr vei med friksjonstallet 0,7 ville 11,4 m holdt. Massen står ikke i formelen, så også en fullastet bil bremser likt, i hvert fall i denne forenklingen.

Oppgave 13: Start av tog

Et tog med massen 400 t kommer i gang fra stasjonen. Skinnene skyver toget framover via hjulene på lokomotivet med kraften 200 kN, motstandene mot bevegelsen er 40 kN. Hvor lang tid og hvilken strekning trenger det for å nå farten 90 km/h, hvis kreftene ikke endrer seg?

Løsning:

$\begin{aligned} m & = 400 t = 400 000 kg \\ F_{1} & = 200 000 N, F_{2} = 40 000 N \\ v & = 90 km / h = 25 m / s \\ t & = ? (s), s = ? (m) \end{aligned}$

Positiv retning velger vi i kjøreretningen. Først dynamikken, kraftloven:

$a = \frac{F_{1} - F_{2}}{m} = \frac{160 000 N}{400 000 kg} = 0, 4 {m / s}^{2}$

Så kinematikken for bevegelse med konstant akselerasjon fra ro og sammenhengen uten tid:

$\begin{aligned} t & = \frac{v}{a} = \frac{25 m / s}{0, 4 {m / s}^{2}} = 62, 5 s \\ s & = \frac{v^{2}}{2 \cdot a} = \frac{(25 m / s)^{2}}{2 \cdot 0, 4 {m / s}^{2}} \approx 781 m \end{aligned}$

Kontroll: gjennomsnittsfarten er 12,5 m/s, og på 62,5 s gir det de samme 781 m. Toget trenger omtrent ett minutt og en knapp kilometer. I virkeligheten øker motstanden med farten, og starten tar derfor litt lengre tid.

Veiens slutt

Dermed er lærebokdelen om kinematikk og dynamikk ferdig. Vi begynte med hva en størrelse og en enhet egentlig er, gikk via fart og akselerasjon til krefter og Newtons lover, og til slutt satte vi begge deler sammen: kraften sier hvor stor akselerasjonen er, og akselerasjonen hvor og hvor fort legemet kommer. Med dette paret klarer du de fleste oppgaver om bevegelse og krefter. Arbeid og energi kommer senere.

« Forrige: Løste oppgaver i kinematikk

Neste: Annet »