Zadania z dynamiki z rozwiązaniami

Siły najlepiej zrozumiemy, kiedy będziemy z nimi liczyć. Czeka cię trzynaście zadań od składania sił przez zasady dynamiki Newtona, pęd i tarcie aż po zakręt i siłę bezwładności. Trzy z nich (zjeżdżalnia, hamowanie na śniegu i ruszanie pociągu) łączą siły z ruchem: z sił obliczamy przyspieszenie, a z przyspieszenia prędkość albo drogę. Trzymamy się sprawdzonego sposobu: dane i szukane, szkic sił, zwrot dodatni, rozwiązanie ogólne, podstawienie z jednostkami i odpowiedź pełnym zdaniem. Szkic narysuj sam, rysunek ma tylko pierwsze zadanie. Każde zadanie spróbuj najpierw rozwiązać samodzielnie.

Zadanie 1: Dwa traktory i kombajn w błocie

Kombajn ugrzązł w błocie. Wyciągają go dwa traktory, każdy liną z siłą 30 kN. Liny tworzą kąt β = 60°, a kombajn leży dokładnie na osi między nimi. Jaka jest wartość siły wypadkowej?

Dwie siły F⃗_1 (na czerwono) i F⃗_2 (na niebiesko) wychodzące z pomarańczowego punktu, który przedstawia kombajn, każda odchylona o kąt α od osi, i zielona siła wypadkowa F⃗ wzdłuż osi

Rozwiązanie:

$\begin{aligned} F_{1} = F_{2} & = 30 kN = 30 000 N \\ β & = 60 ° \\ F & = ? (N) \end{aligned}$

Oś x wybieramy wzdłuż osi między linami, dodatnio w kierunku ciągnięcia. Ponieważ kombajn leży na osi, każda lina jest od niej odchylona o połowę kąta między linami, $α = \frac{β}{2} = 30 °$ . Obie siły rozkładamy na składowe. Składowe prostopadłe do osi mają tę samą wartość i przeciwne zwroty, więc się znoszą. Wzdłuż osi zostają dwie jednakowe składowe F₁ · cos α:

$\begin{aligned} F & = 2 \cdot F_{1} \cdot \cos α = 2 \cdot 30 000 N \cdot \cos 30 ° \\ \approx 51 962 N \end{aligned}$

Siła wypadkowa wynosi około 52 kN, a nie 60 kN. Część ciągu idzie na marne, bo każdy traktor ciągnie trochę w inną stronę. Im bardziej liny się rozchylą, tym większa strata: przy kącie β = 120° między linami α = 60°, a siła wypadkowa to 2 · 30 000 N · cos 60° = 30 000 N, jakby ciągnął tylko jeden traktor.

Zadanie 2: Motorówka

Motorówkę o masie 300 kg razem z załogą pcha do przodu woda dzięki śrubie siłą 900 N. Opór wody wynosi 300 N. Jakie przyspieszenie ma motorówka?

Rozwiązanie:

$\begin{aligned} m & = 300 kg \\ F_{1} & = 900 N, F_{2} = 300 N \\ a & = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

Za dodatni przyjmujemy kierunek płynięcia. Opór jest skierowany przeciwnie, więc w sile wypadkowej ma minus. Potem już tylko dodajemy siły i dzielimy przez masę:

$a = \frac{F_{1} - F_{2}}{m} = \frac{900 N - 300 N}{300 kg} = 2 {m / s}^{2}$

Jednostki się zgadzają, niuton na kilogram to metr na sekundę do kwadratu. Motorówka ma przyspieszenie 2 m/s². Opór wody rośnie z prędkością, a kiedy osiągnie 900 N, siła wypadkowa będzie równa zeru i motorówka popłynie ze stałą prędkością.

Zadanie 3: Ciężarówka i samochód osobowy

Ciężarówka o masie 10 000 kg uderza w samochód osobowy o masie 1000 kg. Które ciało działa na drugie większą siłą? Jakie mają przyspieszenia, jeśli siła uderzenia wynosi 50 000 N?

Rozwiązanie: Większość ludzi obstawia ciężarówkę. Siły uderzenia tworzą jednak parę sił akcji i reakcji, dlatego mają tę samą wartość i przeciwne zwroty. Ciężarówka pcha samochód siłą 50 000 N i samochód ciężarówkę również. Różnica polega na tym, co siła zrobi z ciałem.

$\begin{aligned} m_{1} & = 10 000 kg, m_{2} = 1000 kg \\ F & = 50 000 N \\ a_{1} & = ? ({m / s}^{2}), a_{2} = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

Za dodatni wybieramy kierunek jazdy ciężarówki:

$\begin{aligned} a_{1} & = \frac{- F}{m_{1}} = \frac{- 50 000 N}{10 000 kg} = - 5 {m / s}^{2} \\ a_{2} & = \frac{F}{m_{2}} = \frac{50 000 N}{1000 kg} = 50 {m / s}^{2} \end{aligned}$

Ciężarówka ma przyspieszenie −5 m/s², czyli zwalnia, a samochód uzyskuje przyspieszenie 50 m/s², około pięć razy większe niż przyspieszenie ziemskie. Dlatego gorzej wychodzą na tym pasażerowie samochodu, chociaż siły są takie same.

Zadanie 4: Waga w windzie jadącej w dół

Radek o masie 80 kg stoi w windzie na wadze łazienkowej. Winda jedzie w dół i przed parterem hamuje z opóźnieniem 1,5 m/s². Co pokaże waga?

Rozwiązanie: Zwrot w górę będzie dodatni. Winda jedzie w dół i zwalnia, więc jej przyspieszenie jest skierowane w górę: a = 1,5 m/s².

$\begin{aligned} m & = 80 kg \\ a & = 1, 5 {m / s}^{2} \\ F_{N} & = ? (N) \end{aligned}$

Radka ciągnie w dół siła ciężkości, a w górę podtrzymuje go siła reakcji wagi. Zgodnie z drugą zasadą dynamiki F_N − m · g = m · a, więc siła reakcji wychodzi tak samo jak w windzie, która rusza w górę:

$\begin{aligned} F_{N} & = m \cdot (g + a) \\ = 80 kg \cdot (9, 81 {m / s}^{2} + 1, 5 {m / s}^{2}) \\ = 904, 8 N \end{aligned}$

Waga dzieli siłę nacisku przez przyspieszenie ziemskie i pokaże $\frac{F_{N}}{g} = \frac{904, 8 N}{9, 81 {m / s}^{2}} \approx 92 kg$ . W spoczynku pokazałaby jego rzeczywiste 80 kg. Radek czuje się cięższy (rośnie jego ciężar pozorny), chociaż jedzie w dół. Liczy się zwrot przyspieszenia, a nie kierunek jazdy.

Zadanie 5: Łazik na Marsie

Łazik Perseverance ma masę 1025 kg. Jaka siła ciężkości działa na niego na Ziemi, a jaka na Marsie, gdzie przyspieszenie grawitacyjne wynosi 3,71 m/s²?

Rozwiązanie:

$\begin{aligned} m & = 1025 kg \\ g & = 3, 71 {m / s}^{2} \\ F_{g} & = ? (N) \end{aligned}$

Siła ciężkości to masa razy przyspieszenie grawitacyjne. Na Marsie

$F_{g} = m \cdot g = 1025 kg \cdot 3, 71 {m / s}^{2} \approx 3803 N,$

na Ziemi tym samym rachunkiem z g = 9,81 m/s²

$F_{g} = 1025 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \approx 10 055 N .$

Na Marsie na łazik działa siła ciężkości około 3,8 kN, trochę ponad jedna trzecia ziemskich 10 kN. Masę ma jednak wszędzie taką samą, więc przy tej samej sile rusza z miejsca równie niechętnie.

Zadanie 6: Serwis w tenisie

Tenisista serwuje piłkę o masie 57 g, która w najwyższym punkcie podrzutu jest prawie w spoczynku. Rakieta styka się z nią przez 5 ms, a piłka odlatuje z prędkością 50 m/s. Z jaką średnią siłą działa na nią rakieta?

Rozwiązanie:

$\begin{aligned} m & = 57 g = 0,057 kg \\ v_{0} & = 0 m / s, v = 50 m / s \\ Δ t & = 5 ms = 0,005 s \\ F & = ? (N) \end{aligned}$

Dodatni zwrot wybieramy w kierunku lotu piłki. Siła jest równa zmianie pędu w czasie, w którym działa, czyli popędowi podzielonemu przez czas uderzenia:

$\begin{aligned} F & = \frac{Δ p}{Δ t} = \frac{m \cdot (v - v_{0})}{Δ t} \\ = \frac{0,057 kg \cdot 50 m / s}{0,005 s} = 570 N \end{aligned}$

To mniej więcej tyle, jakby na piłce stał człowiek o masie 58 kg, tyle że tylko przez pięć tysięcznych sekundy. Rakieta naciska na piłkę średnią siłą 570 N. Przy dwa razy dłuższym kontakcie do uzyskania tej samej prędkości wystarczyłaby siła dwa razy mniejsza.

Zadanie 7: Hokeiści w zwarciu

Hokeista o masie 90 kg jedzie z prędkością 6 m/s i zderza się czołowo z przeciwnikiem o masie 80 kg, który jedzie naprzeciw niego z prędkością 4 m/s. Po zderzeniu sczepiają się ze sobą. Z jaką prędkością i w którą stronę się poruszają?

Rozwiązanie: Zwrot dodatni wskazuje tam, dokąd jedzie pierwszy hokeista, dlatego prędkość przeciwnika jest ujemna.

$\begin{aligned} m_{1} & = 90 kg, v_{1} = 6 m / s \\ m_{2} & = 80 kg, v_{2} = - 4 m / s \\ v^{'} & = ? (m / s) \end{aligned}$

Na lodzie tarcie jest małe, a zderzenie krótkie, więc parę traktujemy jako układ izolowany. Zgodnie z zasadą zachowania pędu pęd przed zderzeniem jest taki sam jak po nim:

$m_{1} \cdot v_{1} + m_{2} \cdot v_{2} = (m_{1} + m_{2}) \cdot v^{'}$

$\begin{aligned} v^{'} & = \frac{m_{1} \cdot v_{1} + m_{2} \cdot v_{2}}{m_{1} + m_{2}} \\ = \frac{90 kg \cdot 6 m / s + 80 kg \cdot (- 4 m / s)}{170 kg} \\ \approx 1, 29 m / s \end{aligned}$

Wynik jest dodatni, więc para sunie tam, dokąd jechał hokeista o większej masie i prędkości, z prędkością około 1,3 m/s. Kto zapomni o znaku, dostanie bezsensowne 5,1 m/s.

Zadanie 8: Ławka w sali gimnastycznej

Drewniana ławka o masie 25 kg stoi na drewnianej podłodze. Współczynnik tarcia statycznego wynosi 0,5, a kinetycznego 0,3. Czy ruszy ją pozioma siła 100 N? A jakie przyspieszenie będzie miała ławka, gdy popchniemy ją siłą 130 N?

Rozwiązanie:

$\begin{aligned} m & = 25 kg \\ μ_{s} & = 0, 5, μ = 0, 3 \\ F_{1} & = 100 N, F_{2} = 130 N \\ a & = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

Na poziomej podłodze siła reakcji podłoża jest równa sile ciężkości, F_N = m · g. Największe tarcie statyczne wynosi

$μ_{s} \cdot m \cdot g = 0, 5 \cdot 25 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \approx 123 N .$

Siła 100 N jest mniejsza, ławka stoi, a tarcie statyczne ma dokładnie 100 N. Siła 130 N ruszy ją z miejsca i hamuje ją już tylko tarcie kinetyczne. Dodatni zwrot wybieramy w kierunku pchania:

$\begin{aligned} a & = \frac{F_{2} - μ \cdot m \cdot g}{m} \\ = \frac{130 N - 0, 3 \cdot 25 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2}}{25 kg} \\ \approx 2, 26 {m / s}^{2} \end{aligned}$

Ławka ruszy z przyspieszeniem około 2,3 m/s². Siłą stu niutonów w ogóle jej nie przesuniemy.

Zadanie 9: Zjeżdżalnia

Dziecko zjeżdża ze spoczynku po zjeżdżalni o długości 4 m i nachyleniu 30°. Współczynnik tarcia kinetycznego spodni o zjeżdżalnię wynosi 0,3. Z jaką prędkością dojedzie na dół?

Rozwiązanie:

$\begin{aligned} α & = 30 °, μ = 0, 3 \\ s & = 4 m, v_{0} = 0 m / s \\ v & = ? (m / s) \end{aligned}$

Dodatni zwrot wybieramy w dół wzdłuż zjeżdżalni. Składowa siły ciężkości wzdłuż zbocza to m · g · sin α, tarcie μ · m · g · cos α jest skierowane przeciwnie do ruchu. Po skróceniu masy zostaje przyspieszenie na zboczu z tarciem, a = g · (sin α − μ · cos α). Dla wyobrażenia wychodzi około 2,36 m/s².

Czasu nie znamy, więc prędkość na dole da zależność bez czasu v² = 2 · a · s. Podstawiamy do niej przyspieszenie w postaci ogólnej:

$\begin{aligned} v & = \sqrt{2 \cdot g \cdot s \cdot (\sin α - μ \cdot \cos α)} \\ = \sqrt{2 \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \cdot 4 m \cdot (\sin 30 ° - 0, 3 \cdot \cos 30 °)} \\ \approx 4, 34 m / s \end{aligned}$

Dziecko dojedzie z prędkością około 4,3 m/s, czyli niecałych 16 km/h. Bez tarcia byłoby to ponad 6 m/s.

Zadanie 10: Rowerzysta na zakręcie

Z jaką największą prędkością może rowerzysta przejechać poziomy zakręt o promieniu 12 m na suchym asfalcie o współczynniku tarcia 0,7? A z jaką na mokrym, o współczynniku 0,5?

Rozwiązanie:

$\begin{aligned} r & = 12 m \\ μ & = 0, 7 \\ v_{max} & = ? (m / s) \end{aligned}$

Rowerzystę na okręgu utrzymuje tylko tarcie opon, skierowane do środka zakrętu. Musi ono wystarczyć na siłę dośrodkową, $\frac{m \cdot v^{2}}{r} \leq μ \cdot m \cdot g$ . Masa się skraca:

$\begin{aligned} v_{max} & = \sqrt{μ \cdot g \cdot r} = \sqrt{0, 7 \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \cdot 12 m} \\ \approx 9, 1 m / s \end{aligned}$

To około 33 km/h. Na mokrej nawierzchni tym samym rachunkiem wychodzi 7,7 m/s, niecałe 28 km/h. Masa się skróciła, więc rowerzysta o większej masie nie ma ani łatwiej, ani trudniej. Przy większej prędkości koła wyjadą na zewnątrz zakrętu.

Zadanie 11: Skrzynka w hamującym samochodzie dostawczym

W samochodzie dostawczym na drewnianej podłodze leży drewniana skrzynka z narzędziami o masie 30 kg, współczynnik tarcia statycznego wynosi 0,5. Kierowca hamuje z opóźnieniem 6 m/s². Oceń sytuację od środka samochodu dostawczego: czy skrzynka przesunie się do przodu?

Rozwiązanie: Samochód dostawczy hamuje, więc jest układem nieinercjalnym. W nim na skrzynkę działa dodatkowo siła bezwładności przeciwna do przyspieszenia samochodu, czyli skierowana do przodu. Dodatni zwrot wybieramy do przodu.

$\begin{aligned} m & = 30 kg, μ_{s} = 0, 5 \\ a & = - 6 {m / s}^{2} \end{aligned}$

Przyspieszenie samochodu jest skierowane do tyłu, dlatego jest ujemne. Siła bezwładności i największe tarcie statyczne:

$\begin{aligned} F_{b} & = - m \cdot a = - 30 kg \cdot (- 6 {m / s}^{2}) = 180 N \\ μ_{s} \cdot m \cdot g & = 0, 5 \cdot 30 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \approx 147 N \end{aligned}$

Siła bezwładności wyszła dodatnia, jest więc skierowana do przodu. Tarcie nie zatrzyma skrzynki, przesunie się ona do przodu. Utrzymałoby ją tylko do opóźnienia μ_s · g ≈ 4,9 m/s², masa się skraca. Z zewnątrz sytuacja wygląda tak samo, tylko bez siły bezwładności: do opóźnienia 6 m/s² skrzynka potrzebowałaby tarcia 180 N, a tarcie statyczne daje najwyżej 147 N. Skrzynka ma więc mniejsze opóźnienie niż samochód dostawczy.

Zadanie 12: Hamowanie na śniegu

Po zaśnieżonej drodze jedzie samochód z prędkością 45 km/h, a kierowca hamuje tak, że koła się blokują. Współczynnik tarcia kinetycznego opon na śniegu wynosi 0,3. Jaka jest droga hamowania i jak długo trwa hamowanie?

Rozwiązanie:

$\begin{aligned} v & = 45 km / h = 12, 5 m / s \\ μ & = 0, 3 \\ s_{h} & = ? (m), t = ? (s) \end{aligned}$

Kierunek jazdy będzie dodatni. Hamuje tylko tarcie, $m \cdot | a | = μ \cdot m \cdot g$ , więc opóźnienie wynosi $| a | = μ \cdot g$ . Podstawiamy je do wzoru na drogę hamowania:

$\begin{aligned} s_{h} & = \frac{v^{2}}{2 \cdot μ \cdot g} = \frac{(12, 5 m / s)^{2}}{2 \cdot 0, 3 \cdot 9, 81 {m / s}^{2}} \approx 26, 5 m \\ t & = \frac{v}{μ \cdot g} = \frac{12, 5 m / s}{0, 3 \cdot 9, 81 {m / s}^{2}} \approx 4, 2 s \end{aligned}$

Samochód zatrzyma się po 26,5 m i hamuje ponad cztery sekundy. Na suchej drodze ze współczynnikiem 0,7 wystarczyłoby mu 11,4 m. We wzorze nie ma masy, więc nawet w pełni załadowany samochód hamuje tak samo, przynajmniej w tym uproszczeniu.

Zadanie 13: Ruszanie pociągu

Pociąg o masie 400 t rusza ze stacji. Szyny pchają pociąg przez koła lokomotywy do przodu siłą 200 kN, a opory ruchu wynoszą 40 kN. Po jakim czasie i na jakiej drodze osiągnie prędkość 90 km/h, jeśli siły się nie zmieniają?

Rozwiązanie:

$\begin{aligned} m & = 400 t = 400 000 kg \\ F_{1} & = 200 000 N, F_{2} = 40 000 N \\ v & = 90 km / h = 25 m / s \\ t & = ? (s), s = ? (m) \end{aligned}$

Dodatni zwrot wybieramy zgodnie z kierunkiem jazdy. Najpierw dynamika, druga zasada dynamiki:

$a = \frac{F_{1} - F_{2}}{m} = \frac{160 000 N}{400 000 kg} = 0, 4 {m / s}^{2}$

Potem kinematyka ruchu jednostajnie przyspieszonego ze spoczynku i zależność bez czasu:

$\begin{aligned} t & = \frac{v}{a} = \frac{25 m / s}{0, 4 {m / s}^{2}} = 62, 5 s \\ s & = \frac{v^{2}}{2 \cdot a} = \frac{(25 m / s)^{2}}{2 \cdot 0, 4 {m / s}^{2}} \approx 781 m \end{aligned}$

Sprawdzenie: prędkość średnia wynosi 12,5 m/s, a w ciągu 62,5 s daje to te same 781 m. Pociąg potrzebuje mniej więcej minuty i niecałego kilometra. W rzeczywistości opór rośnie z prędkością, więc ruszanie trwa trochę dłużej.

Koniec drogi

Na tym kończy się podręcznik kinematyki i dynamiki. Zaczęliśmy od tego, czym w ogóle jest wielkość fizyczna i jednostka, przez prędkość i przyspieszenie doszliśmy do sił i zasad dynamiki Newtona, a na końcu połączyliśmy jedno z drugim: siła mówi, jak duże jest przyspieszenie, a przyspieszenie, dokąd i jak szybko ciało dotrze. Z tą parą poradzisz sobie z większością zadań o ruchu i siłach. Praca i energia przyjdą później.

« Poprzedni: Zadania z kinematyki z rozwiązaniami

Dalszy: Inne »