Aufgaben zur Dynamik mit Lösungen

Kräfte versteht man am besten, indem man mit ihnen rechnet. Dich erwarten dreizehn Aufgaben von der Kräfteaddition über die newtonschen Gesetze, den Impuls und die Reibung bis zur Kurvenfahrt und zur Trägheitskraft. Drei davon (die Rutsche, das Bremsen auf Schnee und das Anfahren eines Zuges) verbinden die Kräfte mit der Bewegung: Aus den Kräften berechnen wir die Beschleunigung und aus der Beschleunigung die Geschwindigkeit oder den Weg. Wir halten uns an das bewährte Vorgehen: Angaben notieren, Skizze der Kräfte, positive Richtung, allgemeine Lösung, Einsetzen mit Einheiten und Antwort in einem ganzen Satz. Die Skizze zeichnest du selbst, eine Abbildung gibt es nur bei der ersten Aufgabe. Versuche jede Aufgabe zuerst allein zu lösen.

Aufgabe 1: Zwei Traktoren und ein festgefahrener Mähdrescher

Ein Mähdrescher steckt im Schlamm fest. Zwei Traktoren ziehen ihn heraus, jeder mit einem Seil und der Kraft 30 kN. Die Seile schließen den Winkel β = 60° ein, und der Mähdrescher liegt genau auf der Achse zwischen ihnen. Wie groß ist die Resultierende?

Zwei Kräfte F⃗_1 (rot) und F⃗_2 (blau) vom orangefarbenen Punkt, der den Mähdrescher darstellt, jede um den Winkel α von der Achse abgelenkt, und die grüne Resultierende F⃗ entlang der Achse

Lösung:

$\begin{aligned} F_{1} = F_{2} & = 30 kN = 30.000 N \\ β & = 60 ° \\ F & = ? (N) \end{aligned}$

Die x-Achse legen wir entlang der Achse zwischen den Seilen, positiv in Zugrichtung. Weil der Mähdrescher auf der Achse liegt, weicht jedes Seil um den halben Winkel zwischen den Seilen von ihr ab, $α = \frac{β}{2} = 30 °$ . Beide Kräfte zerlegen wir in Komponenten. Die Komponenten senkrecht zur Achse sind gleich groß und entgegengesetzt, sie heben sich also auf. Entlang der Achse bleiben zwei gleiche Komponenten F₁ · cos α:

$\begin{aligned} F & = 2 \cdot F_{1} \cdot \cos α = 2 \cdot 30.000 N \cdot \cos 30 ° \\ \approx 51.962 N \end{aligned}$

Die Resultierende beträgt etwa 52 kN, nicht 60 kN. Ein Teil des Zuges geht verloren, weil die Traktoren jeweils etwas anders ziehen. Je weiter sich die Seile öffnen, desto größer der Verlust: Beim Winkel β = 120° zwischen den Seilen ist α = 60° und die Resultierende 2 · 30.000 N · cos 60° = 30.000 N, als würde nur ein Traktor ziehen.

Aufgabe 2: Motorboot

Ein Boot mit einer Masse von 300 kg samt Besatzung wird dank der Schiffsschraube vom Wasser mit der Kraft 900 N vorwärtsgetrieben. Der Widerstand des Wassers beträgt 300 N. Welche Beschleunigung hat das Boot?

Lösung:

$\begin{aligned} m & = 300 kg \\ F_{1} & = 900 N, F_{2} = 300 N \\ a & = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

Als positive Richtung nehmen wir die Fahrtrichtung. Der Widerstand zeigt gegen sie, in der Resultierenden steht er also mit Minus. Dann müssen wir nur noch die Kräfte addieren und durch die Masse teilen:

$a = \frac{F_{1} - F_{2}}{m} = \frac{900 N - 300 N}{300 kg} = 2 {m / s}^{2}$

Die Einheiten stimmen, Newton pro Kilogramm ist Meter pro Sekunde zum Quadrat. Das Boot hat die Beschleunigung 2 m/s². Der Widerstand des Wassers wächst mit der Geschwindigkeit, und wenn er 900 N erreicht, ist die Resultierende null und das Boot fährt mit konstanter Geschwindigkeit.

Aufgabe 3: Lkw und Pkw

Ein Lkw mit einer Masse von 10.000 kg fährt auf einen Pkw mit der Masse 1.000 kg auf. Welcher Körper wirkt mit der größeren Kraft auf den anderen? Welche Beschleunigungen haben sie, wenn die Kraft beim Aufprall 50.000 N beträgt?

Lösung: Die meisten tippen auf den Lkw. Die Aufprallkräfte bilden aber ein Paar aus Aktion und Reaktion und sind deshalb gleich groß und entgegengesetzt. Der Lkw drückt den Pkw mit 50.000 N, und der Pkw den Lkw ebenso. Der Unterschied liegt darin, was die Kraft mit dem Körper macht.

$\begin{aligned} m_{1} & = 10.000 kg, m_{2} = 1.000 kg \\ F & = 50.000 N \\ a_{1} & = ? ({m / s}^{2}), a_{2} = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

Als positive Richtung wählen wir die Fahrtrichtung des Lkw:

$\begin{aligned} a_{1} & = \frac{- F}{m_{1}} = \frac{- 50.000 N}{10.000 kg} = - 5 {m / s}^{2} \\ a_{2} & = \frac{F}{m_{2}} = \frac{50.000 N}{1.000 kg} = 50 {m / s}^{2} \end{aligned}$

Der Lkw hat die Beschleunigung −5 m/s², wird also langsamer, während der Pkw die Beschleunigung 50 m/s² bekommt, etwa das Fünffache der Fallbeschleunigung. Deshalb geht es den Insassen des Pkw schlechter, obwohl die Kräfte gleich sind.

Aufgabe 4: Die Waage im Aufzug auf dem Weg nach unten

Ralf mit einer Masse von 80 kg steht im Aufzug auf einer Waage. Der Aufzug fährt nach unten und bremst vor dem Erdgeschoss mit der Verzögerung 1,5 m/s². Was zeigt die Waage an?

Lösung: Nach oben soll die positive Richtung zeigen. Der Aufzug fährt nach unten und wird langsamer, seine Beschleunigung zeigt also nach oben: a = 1,5 m/s².

$\begin{aligned} m & = 80 kg \\ a & = 1, 5 {m / s}^{2} \\ F_{N} & = ? (N) \end{aligned}$

Ralf wird von der Gewichtskraft nach unten gezogen, und nach oben trägt ihn die Normalkraft der Waage. Nach dem zweiten Gesetz gilt F_N − m · g = m · a, die Normalkraft ergibt sich also genauso wie beim Aufzug, der nach oben anfährt:

$\begin{aligned} F_{N} & = m \cdot (g + a) \\ = 80 kg \cdot (9, 81 {m / s}^{2} + 1, 5 {m / s}^{2}) \\ = 904, 8 N \end{aligned}$

Die Waage teilt die Kraft durch die Fallbeschleunigung und zeigt $\frac{F_{N}}{g} = \frac{904, 8 N}{9, 81 {m / s}^{2}} \approx 92 kg$ an. In Ruhe würde sie seine tatsächlichen 80 kg anzeigen. Ralf fühlt sich schwerer, obwohl er nach unten fährt. Es kommt auf die Richtung der Beschleunigung an, nicht auf die Fahrtrichtung.

Aufgabe 5: Der Rover auf dem Mars

Der Rover Perseverance hat die Masse 1.025 kg. Wie groß ist die Gewichtskraft, die auf der Erde auf ihn wirkt, und wie groß auf dem Mars, wo die Fallbeschleunigung 3,71 m/s² beträgt?

Lösung:

$\begin{aligned} m & = 1.025 kg \\ g & = 3, 71 {m / s}^{2} \\ F_{G} & = ? (N) \end{aligned}$

Die Gewichtskraft ist Masse mal Fallbeschleunigung. Auf dem Mars gilt

$F_{G} = m \cdot g = 1.025 kg \cdot 3, 71 {m / s}^{2} \approx 3.803 N,$

auf der Erde mit der gleichen Rechnung und g = 9,81 m/s²

$F_{G} = 1.025 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \approx 10.055 N .$

Auf dem Mars wirkt auf den Rover die Gewichtskraft von etwa 3,8 kN, etwas mehr als ein Drittel der irdischen 10 kN. Seine Masse ist aber überall gleich, bei gleicher Kraft setzt er sich also gleich widerwillig in Bewegung.

Aufgabe 6: Tennisaufschlag

Ein Tennisspieler schlägt einen Ball mit der Masse 57 g auf, der im höchsten Punkt des Hochwurfs fast ruht. Der Schläger berührt ihn 5 ms lang, und der Ball fliegt mit 50 m/s davon. Mit welcher durchschnittlichen Kraft wirkt der Schläger auf ihn?

Lösung:

$\begin{aligned} m & = 57 g = 0,057 kg \\ v_{0} & = 0 m / s, v = 50 m / s \\ Δ t & = 5 ms = 0,005 s \\ F & = ? (N) \end{aligned}$

Die positive Richtung wählen wir in Flugrichtung des Balls. Die Kraft ist gleich der Impulsänderung in der Zeit, in der sie wirkt, also der Kraftstoß geteilt durch die Dauer des Schlages:

$\begin{aligned} F & = \frac{Δ p}{Δ t} = \frac{m \cdot (v - v_{0})}{Δ t} \\ = \frac{0,057 kg \cdot 50 m / s}{0,005 s} = 570 N \end{aligned}$

Das ist etwa so viel, als würde ein Mensch mit einer Masse von 58 kg auf dem Ball stehen, nur eben für fünf Tausendstelsekunden. Der Schläger drückt mit der durchschnittlichen Kraft 570 N auf den Ball. Bei doppelt so langer Berührung würde für dieselbe Geschwindigkeit die halbe Kraft genügen.

Aufgabe 7: Eishockeyspieler verhaken sich

Ein Eishockeyspieler mit einer Masse von 90 kg fährt mit 6 m/s und stößt frontal mit einem Gegner der Masse 80 kg zusammen, der ihm mit 4 m/s entgegenkommt. Nach dem Stoß verhaken sie sich ineinander. Wie schnell und in welche Richtung bewegen sie sich?

Lösung: Die positive Richtung zeigt dorthin, wohin der erste Spieler fährt, die Geschwindigkeit des Gegners ist also negativ.

$\begin{aligned} m_{1} & = 90 kg, v_{1} = 6 m / s \\ m_{2} & = 80 kg, v_{2} = - 4 m / s \\ v^{'} & = ? (m / s) \end{aligned}$

Auf dem Eis ist die Reibung klein und der Stoß kurz, wir betrachten die beiden deshalb als abgeschlossenes System. Nach dem Impulserhaltungssatz ist der Impuls vor dem Stoß gleich dem Impuls danach:

$m_{1} \cdot v_{1} + m_{2} \cdot v_{2} = (m_{1} + m_{2}) \cdot v^{'}$

$\begin{aligned} v^{'} & = \frac{m_{1} \cdot v_{1} + m_{2} \cdot v_{2}}{m_{1} + m_{2}} \\ = \frac{90 kg \cdot 6 m / s + 80 kg \cdot (- 4 m / s)}{170 kg} \\ \approx 1, 29 m / s \end{aligned}$

Das Ergebnis ist positiv, die beiden rutschen also dorthin, wohin der Spieler mit der größeren Masse und der größeren Geschwindigkeit gefahren ist, mit etwa 1,3 m/s. Wer das Vorzeichen vergisst, erhält unsinnige 5,1 m/s.

Aufgabe 8: Die Bank in der Turnhalle

Eine Holzbank mit einer Masse von 25 kg steht auf einem Holzboden. Die Haftreibungszahl beträgt 0,5, die Gleitreibungszahl 0,3. Setzt eine waagerechte Kraft von 100 N sie in Bewegung? Und welche Beschleunigung hat die Bank, wenn wir sie mit 130 N schieben?

Lösung:

$\begin{aligned} m & = 25 kg \\ μ_{H} & = 0, 5, μ = 0, 3 \\ F_{1} & = 100 N, F_{2} = 130 N \\ a & = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

Auf einem waagerechten Boden ist die Normalkraft gleich der Gewichtskraft, F_N = m · g. Die größte Haftreibung ist

$μ_{H} \cdot m \cdot g = 0, 5 \cdot 25 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \approx 123 N .$

Die Kraft 100 N ist kleiner, die Bank steht, und die Haftreibung beträgt genau 100 N. Die Kraft 130 N reißt sie los, und es bremst sie nur noch die Gleitreibung. Die positive Richtung wählen wir in Schieberichtung:

$\begin{aligned} a & = \frac{F_{2} - μ \cdot m \cdot g}{m} \\ = \frac{130 N - 0, 3 \cdot 25 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2}}{25 kg} \\ \approx 2, 26 {m / s}^{2} \end{aligned}$

Die Bank setzt sich mit der Beschleunigung von etwa 2,3 m/s² in Bewegung. Mit hundert Newton bewegen wir sie überhaupt nicht.

Aufgabe 9: Rutsche

Ein Kind rutscht aus der Ruhe eine 4 m lange Rutsche mit der Neigung 30° hinunter. Die Gleitreibungszahl zwischen Hose und Rutsche beträgt 0,3. Wie schnell ist es unten?

Lösung:

$\begin{aligned} α & = 30 °, μ = 0, 3 \\ s & = 4 m, v_{0} = 0 m / s \\ v & = ? (m / s) \end{aligned}$

Die positive Richtung wählen wir nach unten entlang der Rutsche. Die Komponente der Gewichtskraft längs des Hangs ist m · g · sin α, die Reibung μ · m · g · cos α zeigt gegen die Bewegung. Wenn sich die Masse herauskürzt, bleibt die Beschleunigung am Hang mit Reibung, a = g · (sin α − μ · cos α). Zur Veranschaulichung ergibt sich etwa 2,36 m/s².

Die Zeit kennen wir nicht, die Geschwindigkeit unten liefert also die Beziehung ohne Zeit v² = 2 · a · s. Wir setzen die Beschleunigung allgemein ein:

$\begin{aligned} v & = \sqrt{2 \cdot g \cdot s \cdot (\sin α - μ \cdot \cos α)} \\ = \sqrt{2 \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \cdot 4 m \cdot (\sin 30 ° - 0, 3 \cdot \cos 30 °)} \\ \approx 4, 34 m / s \end{aligned}$

Das Kind kommt mit etwa 4,3 m/s unten an, das sind knapp 16 km/h. Ohne Reibung wären es über 6 m/s.

Aufgabe 10: Radfahrer in der Kurve

Wie schnell darf ein Radfahrer höchstens durch eine waagerechte Kurve mit dem Radius 12 m auf trockenem Asphalt mit der Reibungszahl 0,7 fahren? Und wie schnell auf nassem mit der Reibungszahl 0,5?

Lösung:

$\begin{aligned} r & = 12 m \\ μ & = 0, 7 \\ v_{max} & = ? (m / s) \end{aligned}$

Den Radfahrer auf der Kreisbahn hält nur die Reibung der Reifen, die zum Mittelpunkt der Kurve zeigt. Sie muss für die Zentripetalkraft reichen, $\frac{m \cdot v^{2}}{r} \leq μ \cdot m \cdot g$ . Die Masse kürzt sich heraus:

$\begin{aligned} v_{max} & = \sqrt{μ \cdot g \cdot r} = \sqrt{0, 7 \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \cdot 12 m} \\ \approx 9, 1 m / s \end{aligned}$

Das sind etwa 33 km/h. Auf nasser Straße ergibt dieselbe Rechnung 7,7 m/s, knapp 28 km/h. Die Masse hat sich herausgekürzt, ein Radfahrer mit größerer Masse hat es also weder leichter noch schwerer. Bei höherer Geschwindigkeit rutschen die Räder aus der Kurve hinaus.

Aufgabe 11: Die Kiste im bremsenden Lieferwagen

Im Lieferwagen liegt auf dem Holzboden eine Holzkiste mit Werkzeug, die eine Masse von 30 kg hat, die Haftreibungszahl beträgt 0,5. Der Fahrer bremst mit der Verzögerung 6 m/s². Beurteile die Situation aus dem Lieferwagen heraus: Rutscht die Kiste nach vorn?

Lösung: Der Lieferwagen bremst und ist deshalb ein beschleunigtes Bezugssystem. In ihm wirkt auf die Kiste zusätzlich eine Trägheitskraft, die der Beschleunigung des Lieferwagens entgegengesetzt ist, also nach vorn zeigt. Die positive Richtung wählen wir nach vorn.

$\begin{aligned} m & = 30 kg, μ_{H} = 0, 5 \\ a & = - 6 {m / s}^{2} \end{aligned}$

Die Beschleunigung des Lieferwagens zeigt nach hinten und ist deshalb negativ. Trägheitskraft und größte Haftreibung:

$\begin{aligned} F_{T} & = - m \cdot a = - 30 kg \cdot (- 6 {m / s}^{2}) = 180 N \\ μ_{H} \cdot m \cdot g & = 0, 5 \cdot 30 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \approx 147 N \end{aligned}$

Die Trägheitskraft ist positiv, zeigt also nach vorn. Die Reibung hält die Kiste nicht zurück, sie rutscht nach vorn. Zurückhalten würde sie sie nur bis zur Verzögerung μ_H · g ≈ 4,9 m/s², die Masse kürzt sich heraus. Von außen sieht die Situation genauso aus, nur ohne Trägheitskraft: Für die Verzögerung 6 m/s² bräuchte die Kiste die Reibung 180 N, die Haftreibung liefert aber höchstens 147 N. Die Kiste wird deshalb weniger stark verzögert als der Lieferwagen.

Aufgabe 12: Bremsen auf Schnee

Auf einer verschneiten Straße fährt ein Auto mit 45 km/h, und der Fahrer bremst so, dass die Räder blockieren. Die Gleitreibungszahl der Reifen auf Schnee beträgt 0,3. Wie lang ist der Bremsweg, und wie lange dauert das Bremsen?

Lösung:

$\begin{aligned} v & = 45 km / h = 12, 5 m / s \\ μ & = 0, 3 \\ s_{B} & = ? (m), t = ? (s) \end{aligned}$

Die Fahrtrichtung soll positiv sein. Abgebremst wird das Auto nur durch die Reibung, $m \cdot | a | = μ \cdot m \cdot g$ , die Verzögerung ist also $| a | = μ \cdot g$ . Wir setzen sie in die Formel für den Bremsweg ein:

$\begin{aligned} s_{B} & = \frac{v^{2}}{2 \cdot μ \cdot g} = \frac{(12, 5 m / s)^{2}}{2 \cdot 0, 3 \cdot 9, 81 {m / s}^{2}} \approx 26, 5 m \\ t & = \frac{v}{μ \cdot g} = \frac{12, 5 m / s}{0, 3 \cdot 9, 81 {m / s}^{2}} \approx 4, 2 s \end{aligned}$

Das Auto kommt nach 26,5 m zum Stehen und bremst über vier Sekunden. Auf trockener Straße mit der Reibungszahl 0,7 würden ihm 11,4 m genügen. In der Formel kommt die Masse nicht vor, auch ein voll beladenes Auto bremst also gleich, zumindest in dieser Vereinfachung.

Aufgabe 13: Anfahren eines Zuges

Ein Zug mit einer Masse von 400 t fährt aus dem Bahnhof an. Die Schienen schieben ihn über die Räder der Lokomotive mit der Kraft 200 kN nach vorn, die Widerstände gegen die Bewegung betragen 40 kN. Wie lange dauert es, und welchen Weg legt er zurück, bis er die Geschwindigkeit 90 km/h erreicht, wenn sich die Kräfte nicht ändern?

Lösung:

$\begin{aligned} m & = 400 t = 400.000 kg \\ F_{1} & = 200.000 N, F_{2} = 40.000 N \\ v & = 90 km / h = 25 m / s \\ t & = ? (s), s = ? (m) \end{aligned}$

Die positive Richtung wählen wir in Fahrtrichtung. Zuerst die Dynamik, die Grundgleichung der Mechanik:

$a = \frac{F_{1} - F_{2}}{m} = \frac{160.000 N}{400.000 kg} = 0, 4 {m / s}^{2}$

Dann die Kinematik der gleichmäßig beschleunigten Bewegung aus der Ruhe und die Beziehung ohne Zeit:

$\begin{aligned} t & = \frac{v}{a} = \frac{25 m / s}{0, 4 {m / s}^{2}} = 62, 5 s \\ s & = \frac{v^{2}}{2 \cdot a} = \frac{(25 m / s)^{2}}{2 \cdot 0, 4 {m / s}^{2}} \approx 781 m \end{aligned}$

Probe: Die Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt 12,5 m/s, und in 62,5 s ergibt das dieselben 781 m. Der Zug braucht etwa eine Minute und knapp einen Kilometer. In Wirklichkeit wächst der Widerstand mit der Geschwindigkeit, und das Anfahren dauert deshalb etwas länger.

Das Ende des Weges

Damit endet das Lehrbuch der Kinematik und Dynamik. Wir haben damit begonnen, was eine Größe und eine Einheit überhaupt sind, sind über Geschwindigkeit und Beschleunigung zu den Kräften und den newtonschen Gesetzen gekommen und haben am Ende beides verbunden: Die Kraft sagt, wie groß die Beschleunigung ist, und die Beschleunigung, wohin und wie schnell der Körper kommt. Mit diesem Paar schaffst du die meisten Aufgaben zu Bewegung und Kräften. Arbeit und Energie kommen später an die Reihe.

« Zurück: Aufgaben zur Kinematik mit Lösungen

Weiter: Sonstiges »