Opgaver i dynamik med løsninger

Kræfter forstår vi bedst ved at regne med dem. Her venter tretten opgaver fra sammensætning af kræfter over Newtons love, impuls og gnidning til sving og fiktiv kraft. Tre af dem (rutsjebanen, opbremsningen på sne og et tog, der sætter i gang) forbinder kræfter med bevægelse: Ud fra kræfterne regner vi accelerationen ud, og ud fra accelerationen farten eller strækningen. Vi holder os til den velprøvede fremgangsmåde: opskrivning, skitse af kræfterne, positiv retning, generel løsning, indsætning med enheder og svar i en hel sætning. Skitsen tegner du selv, kun den første opgave har en figur. Prøv først hver opgave selv.

Opgave 1: To traktorer og en mejetærsker, der sidder fast

En mejetærsker sidder fast i mudderet. To traktorer trækker den ud, hver med sit tov og kraften 30 kN. Tovene danner vinklen β = 60°, og mejetærskeren ligger præcis på aksen mellem dem. Hvor stor er den resulterende kraft?

To kræfter F⃗_1 (rødt) og F⃗_2 (blåt) fra det orange punkt, som forestiller mejetærskeren, hver afveget med vinklen α fra aksen, og den grønne resulterende kraft F⃗ langs aksen

Løsning:

$\begin{aligned} F_{1} = F_{2} & = 30 kN = 30.000 N \\ β & = 60 ° \\ F & = ? (N) \end{aligned}$

x-aksen lægger vi langs aksen mellem tovene, positiv i trækkets retning. Fordi mejetærskeren ligger på aksen, afviger hvert tov fra den med halvdelen af vinklen mellem tovene, $α = \frac{β}{2} = 30 °$ . De to kræfter opløser vi i komposanter. Komposanterne vinkelret på aksen er lige store og modsatte, så de ophæver hinanden. Langs aksen er der to ens komposanter F₁ · cos α tilbage:

$\begin{aligned} F & = 2 \cdot F_{1} \cdot \cos α = 2 \cdot 30.000 N \cdot \cos 30 ° \\ \approx 51.962 N \end{aligned}$

Den resulterende kraft er cirka 52 kN, ikke 60 kN. En del af trækket går til spilde, fordi traktorerne trækker lidt i forskellige retninger. Jo mere tovene spredes, desto større tab: Ved vinklen β = 120° mellem tovene er α = 60° og den resulterende kraft 2 · 30.000 N · cos 60° = 30.000 N, som om kun én traktor trak.

Opgave 2: Motorbåd

En båd med massen 300 kg inklusive besætning skubbes fremad af vandet med kraften 900 N takket være propellen. Vandmodstanden er 300 N. Hvilken acceleration har båden?

Løsning:

$\begin{aligned} m & = 300 kg \\ F_{1} & = 900 N, F_{2} = 300 N \\ a & = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

Som positiv tager vi sejlretningen. Modstanden peger imod den, så den får minus i den resulterende kraft. Så skal vi bare lægge kræfterne sammen og dele med massen:

$a = \frac{F_{1} - F_{2}}{m} = \frac{900 N - 300 N}{300 kg} = 2 {m / s}^{2}$

Enhederne stemmer, newton pr. kilogram er meter pr. sekund i anden. Båden har accelerationen 2 m/s². Vandmodstanden vokser med farten, og når den når 900 N, bliver den resulterende kraft nul, og båden sejler med konstant fart.

Opgave 3: Lastbil og personbil

En lastbil med massen 10.000 kg kører ind i en personbil med massen 1000 kg. Hvilket af legemerne virker på det andet med den største kraft? Hvilke accelerationer får de, når kraften ved sammenstødet er 50.000 N?

Løsning: De fleste gætter på lastbilen. Kræfterne ved sammenstødet udgør dog et par af aktion og reaktion, og derfor er de lige store og modsat rettede. Lastbilen trykker på personbilen med kraften 50.000 N, og det gør personbilen på lastbilen også. Forskellen er, hvad kraften gør ved legemet.

$\begin{aligned} m_{1} & = 10.000 kg, m_{2} = 1000 kg \\ F & = 50.000 N \\ a_{1} & = ? ({m / s}^{2}), a_{2} = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

Som positiv vælger vi lastbilens kørselsretning:

$\begin{aligned} a_{1} & = \frac{- F}{m_{1}} = \frac{- 50.000 N}{10.000 kg} = - 5 {m / s}^{2} \\ a_{2} & = \frac{F}{m_{2}} = \frac{50.000 N}{1000 kg} = 50 {m / s}^{2} \end{aligned}$

Lastbilen har accelerationen −5 m/s², den bremser altså, mens personbilen får accelerationen 50 m/s², cirka fem gange tyngdeaccelerationen. Derfor går det værst ud over dem i personbilen, selv om kræfterne er lige store.

Opgave 4: Vægten i en elevator, der kører nedad

Rasmus med massen 80 kg står på en vægt i en elevator. Elevatoren kører nedad og bremser før stueetagen med decelerationen 1,5 m/s². Hvad viser vægten?

Løsning: Opad er den positive retning. Elevatoren kører nedad og bremser, så dens acceleration peger opad: a = 1,5 m/s².

$\begin{aligned} m & = 80 kg \\ a & = 1, 5 {m / s}^{2} \\ F_{N} & = ? (N) \end{aligned}$

Rasmus trækkes nedad af tyngdekraften, og opad bæres han af vægtens normalkraft. Ifølge Newtons 2. lov er F_N − m · g = m · a, så normalkraften bliver ligesom ved en elevator, der sætter i gang opad:

$\begin{aligned} F_{N} & = m \cdot (g + a) \\ = 80 kg \cdot (9, 81 {m / s}^{2} + 1, 5 {m / s}^{2}) \\ = 904, 8 N \end{aligned}$

Vægten deler kraften med tyngdeaccelerationen og viser $\frac{F_{N}}{g} = \frac{904, 8 N}{9, 81 {m / s}^{2}} \approx 92 kg$ . I hvile ville den vise hans virkelige 80 kg. Rasmus føler sig tungere, selv om han kører nedad. Det afhænger af accelerationens retning, ikke af kørselsretningen.

Opgave 5: Rover på Mars

Roveren Perseverance har massen 1025 kg. Hvor stor en tyngdekraft virker på den på Jorden, og hvor stor på Mars, hvor tyngdeaccelerationen er 3,71 m/s²?

Løsning:

$\begin{aligned} m & = 1025 kg \\ g & = 3, 71 {m / s}^{2} \\ F_{t} & = ? (N) \end{aligned}$

Tyngdekraften er massen gange tyngdeaccelerationen. På Mars

$F_{t} = m \cdot g = 1025 kg \cdot 3, 71 {m / s}^{2} \approx 3803 N,$

på Jorden med den samme udregning og g = 9,81 m/s²

$F_{t} = 1025 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \approx 10.055 N .$

På Mars virker der på roveren en tyngdekraft på cirka 3,8 kN, noget over en tredjedel af de jordiske 10 kN. Massen har den dog overalt den samme, og derfor sætter den ved samme kraft lige så trægt i gang.

Opgave 6: Tennisserv

En tennisspiller serverer en bold med massen 57 g, som er næsten i hvile i det højeste punkt af opkastet. Ketsjeren rører den i 5 ms, og bolden forlader den med farten 50 m/s. Med hvilken gennemsnitlig kraft virker ketsjeren på den?

Løsning:

$\begin{aligned} m & = 57 g = 0,057 kg \\ v_{0} & = 0 m / s, v = 50 m / s \\ Δ t & = 5 ms = 0,005 s \\ F & = ? (N) \end{aligned}$

Den positive retning vælger vi i boldens flyveretning. Kraften er lig med ændringen i impuls divideret med den tid, den virker i, altså kraftstødet divideret med stødets varighed:

$\begin{aligned} F & = \frac{Δ p}{Δ t} = \frac{m \cdot (v - v_{0})}{Δ t} \\ = \frac{0,057 kg \cdot 50 m / s}{0,005 s} = 570 N \end{aligned}$

Det er cirka lige så meget, som hvis et menneske med massen 58 kg stod på bolden, bare kun i fem tusindedele sekund. Ketsjeren trykker på bolden med den gennemsnitlige kraft 570 N. Ved dobbelt så lang berøring ville halv kraft være nok til den samme fart.

Opgave 7: Ishockeyspillere i clinch

En ishockeyspiller med massen 90 kg kører med farten 6 m/s og støder frontalt sammen med en modstander med massen 80 kg, som kommer ham i møde med farten 4 m/s. Efter sammenstødet hager de sig fast i hinanden. Hvor hurtigt og i hvilken retning bevæger de sig?

Løsning: Den positive retning peger derhen, hvor den første spiller kører, og modstanderens hastighed er derfor negativ.

$\begin{aligned} m_{1} & = 90 kg, v_{1} = 6 m / s \\ m_{2} & = 80 kg, v_{2} = - 4 m / s \\ v^{'} & = ? (m / s) \end{aligned}$

På isen er gnidningen lille og sammenstødet kort, så vi regner parret som et isoleret system. Ifølge loven om impulsens bevarelse er impulsen før sammenstødet den samme som efter det:

$m_{1} \cdot v_{1} + m_{2} \cdot v_{2} = (m_{1} + m_{2}) \cdot v^{'}$

$\begin{aligned} v^{'} & = \frac{m_{1} \cdot v_{1} + m_{2} \cdot v_{2}}{m_{1} + m_{2}} \\ = \frac{90 kg \cdot 6 m / s + 80 kg \cdot (- 4 m / s)}{170 kg} \\ \approx 1, 29 m / s \end{aligned}$

Resultatet er positivt, parret glider altså derhen, hvor spilleren med den større masse og fart kørte, med cirka 1,3 m/s. Den, der glemmer fortegnet, får det meningsløse resultat 5,1 m/s.

Opgave 8: Bænk i gymnastiksalen

En træbænk med massen 25 kg står på et trægulv. Den statiske gnidningskoefficient er 0,5, den dynamiske 0,3. Sætter en vandret kraft på 100 N den i gang? Og hvilken acceleration får bænken, når vi skubber med kraften 130 N?

Løsning:

$\begin{aligned} m & = 25 kg \\ μ_{s} & = 0, 5, μ = 0, 3 \\ F_{1} & = 100 N, F_{2} = 130 N \\ a & = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

På et vandret gulv er normalkraften lig med tyngdekraften, F_N = m · g. Den største statiske gnidning er

$μ_{s} \cdot m \cdot g = 0, 5 \cdot 25 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \approx 123 N .$

Kraften 100 N er mindre, bænken står stille, og den statiske gnidning er præcis 100 N. Kraften 130 N river den løs, og den bremses så kun af dynamisk gnidning. Den positive retning vælger vi i skubbets retning:

$\begin{aligned} a & = \frac{F_{2} - μ \cdot m \cdot g}{m} \\ = \frac{130 N - 0, 3 \cdot 25 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2}}{25 kg} \\ \approx 2, 26 {m / s}^{2} \end{aligned}$

Bænken sætter i gang med accelerationen cirka 2,3 m/s². Med hundrede newton flytter vi den slet ikke.

Opgave 9: Rutsjebane

Et barn glider fra hvile ned ad en rutsjebane, der er 4 m lang og har hældningen 30°. Den dynamiske gnidningskoefficient mellem bukserne og rutsjebanen er 0,3. Med hvilken fart kommer det ned?

Løsning:

$\begin{aligned} α & = 30 °, μ = 0, 3 \\ s & = 4 m, v_{0} = 0 m / s \\ v & = ? (m / s) \end{aligned}$

Den positive retning vælger vi nedad langs rutsjebanen. Tyngdekraftens komposant langs skråningen er m · g · sin α, gnidningen μ · m · g · cos α peger imod bevægelsen. Efter at massen er forkortet væk, er der accelerationen på en skråning med gnidning tilbage, a = g · (sin α − μ · cos α). For at få en fornemmelse af tallet bliver den cirka 2,36 m/s².

Tiden kender vi ikke, derfor giver sammenhængen uden tid v² = 2 · a · s farten forneden. Vi indsætter accelerationen generelt:

$\begin{aligned} v & = \sqrt{2 \cdot g \cdot s \cdot (\sin α - μ \cdot \cos α)} \\ = \sqrt{2 \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \cdot 4 m \cdot (\sin 30 ° - 0, 3 \cdot \cos 30 °)} \\ \approx 4, 34 m / s \end{aligned}$

Barnet kommer ned med farten cirka 4,3 m/s, altså knap 16 km/h. Uden gnidning ville det være over 6 m/s.

Opgave 10: Cyklist i sving

Hvor hurtigt må en cyklist højst køre gennem et vandret sving med radius 12 m på tør asfalt med gnidningskoefficienten 0,7? Og hvor hurtigt på våd med koefficienten 0,5?

Løsning:

$\begin{aligned} r & = 12 m \\ μ & = 0, 7 \\ v_{max} & = ? (m / s) \end{aligned}$

Cyklisten på cirklen holdes kun af dækkenes gnidning, som peger mod svingets centrum. Den skal række til centripetalkraften, $\frac{m \cdot v^{2}}{r} \leq μ \cdot m \cdot g$ . Massen forkortes væk:

$\begin{aligned} v_{max} & = \sqrt{μ \cdot g \cdot r} = \sqrt{0, 7 \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \cdot 12 m} \\ \approx 9, 1 m / s \end{aligned}$

Det er cirka 33 km/h. På vådt føre giver den samme udregning 7,7 m/s, knap 28 km/h. Massen forkortes væk, så en cyklist med større masse har det hverken lettere eller sværere. Ved højere fart glider cyklen ud af svinget.

Opgave 11: Kasse i en bremsende varevogn

I en varevogn ligger en trækasse med værktøj med massen 30 kg på et trægulv, den statiske gnidningskoefficient er 0,5. Chaufføren bremser med decelerationen 6 m/s². Vurder situationen indefra varevognen: Glider kassen fremad?

Løsning: Varevognen bremser, så den er et ikke-inertialsystem. I det virker der på kassen desuden en fiktiv kraft, der er modsat varevognens acceleration, altså fremad. Den positive retning vælger vi fremad.

$\begin{aligned} m & = 30 kg, μ_{s} = 0, 5 \\ a & = - 6 {m / s}^{2} \end{aligned}$

Varevognens acceleration peger bagud, og derfor er den negativ. Den fiktive kraft og den største statiske gnidning:

$\begin{aligned} F_{fikt} & = - m \cdot a = - 30 kg \cdot (- 6 {m / s}^{2}) = 180 N \\ μ_{s} \cdot m \cdot g & = 0, 5 \cdot 30 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \approx 147 N \end{aligned}$

Den fiktive kraft blev positiv, den peger altså fremad. Gnidningen holder ikke kassen tilbage, den glider fremad. Den ville kun holde den til decelerationen μ_s · g ≈ 4,9 m/s², massen forkortes væk. Udefra kommer vi til det samme, bare uden fiktiv kraft: Til decelerationen 6 m/s² ville kassen have brug for gnidningen 180 N, men den statiske gnidning giver højst 147 N. Kassen decelererer derfor mindre end varevognen.

Opgave 12: Opbremsning på sne

På en snedækket vej kører en bil med farten 45 km/h, og chaufføren bremser, så hjulene blokerer. Den dynamiske gnidningskoefficient mellem dæk og sne er 0,3. Hvor lang er bremselængden, og hvor længe varer opbremsningen?

Løsning:

$\begin{aligned} v & = 45 km / h = 12, 5 m / s \\ μ & = 0, 3 \\ s_{b} & = ? (m), t = ? (s) \end{aligned}$

Kørselsretningen er positiv. Det er kun gnidningen, der bremser, $m \cdot | a | = μ \cdot m \cdot g$ , så decelerationen er $| a | = μ \cdot g$ . Vi indsætter den i formlen for bremselængden:

$\begin{aligned} s_{b} & = \frac{v^{2}}{2 \cdot μ \cdot g} = \frac{(12, 5 m / s)^{2}}{2 \cdot 0, 3 \cdot 9, 81 {m / s}^{2}} \approx 26, 5 m \\ t & = \frac{v}{μ \cdot g} = \frac{12, 5 m / s}{0, 3 \cdot 9, 81 {m / s}^{2}} \approx 4, 2 s \end{aligned}$

Bilen standser efter 26,5 m og bremser i over fire sekunder. På tørt føre med koefficienten 0,7 ville 11,4 m være nok. Massen mangler i formlen, så også en fuldt læsset bil bremser lige hurtigt, i det mindste i denne forenkling.

Opgave 13: Et tog sætter i gang

Et tog med massen 400 t sætter i gang fra stationen. Skinnerne skubber via lokomotivets hjul toget fremad med kraften 200 kN, modstandene mod bevægelsen er 40 kN. Hvor længe og efter hvilken strækning når det farten 90 km/h, hvis kræfterne ikke ændrer sig?

Løsning:

$\begin{aligned} m & = 400 t = 400.000 kg \\ F_{1} & = 200.000 N, F_{2} = 40.000 N \\ v & = 90 km / h = 25 m / s \\ t & = ? (s), s = ? (m) \end{aligned}$

Den positive retning vælger vi i kørselsretningen. Først dynamikken, kraftloven:

$a = \frac{F_{1} - F_{2}}{m} = \frac{160.000 N}{400.000 kg} = 0, 4 {m / s}^{2}$

Så kinematikken for jævnt accelereret bevægelse fra hvile og sammenhængen uden tid:

$\begin{aligned} t & = \frac{v}{a} = \frac{25 m / s}{0, 4 {m / s}^{2}} = 62, 5 s \\ s & = \frac{v^{2}}{2 \cdot a} = \frac{(25 m / s)^{2}}{2 \cdot 0, 4 {m / s}^{2}} \approx 781 m \end{aligned}$

Kontrol: Gennemsnitsfarten er 12,5 m/s, og på 62,5 s giver det de samme 781 m. Toget har brug for cirka et minut og knap en kilometer. I virkeligheden vokser modstanden med farten, og igangsætningen varer derfor lidt længere.

Rejsens slutning

Hermed slutter lærebogen i kinematik og dynamik. Vi begyndte med, hvad en størrelse og en enhed overhovedet er, nåede via fart og acceleration til kræfter og Newtons love, og til sidst forbandt vi det hele: Kraften fortæller, hvor stor accelerationen er, og accelerationen, hvor og hvor hurtigt legemet kommer hen. Med dette par klarer du de fleste opgaver om bevægelse og kræfter. Arbejde og energi kommer senere.

« Forrige: Opgaver i kinematik med løsninger

Næste: Andet »