Opgaven dynamica met uitwerkingen

Krachten begrijp je het best door ermee te rekenen. Je krijgt dertien opgaven, van krachten samenstellen via de wetten van Newton, impuls en wrijving tot een bocht en traagheidskracht. Drie ervan (de glijbaan, het remmen op sneeuw en het optrekken van een trein) verbinden krachten met beweging: uit de krachten berekenen we de versnelling en uit de versnelling de snelheid of de afgelegde weg. We houden ons aan de beproefde aanpak: gegevens noteren, schets van de krachten, positieve richting, algemene oplossing, invullen met eenheden en antwoord in een hele zin. De schets maak je zelf, een afbeelding heeft alleen de eerste opgave. Probeer elke opgave eerst zelf.

Opgave 1: Twee tractoren en een vastgelopen maaidorser

Een maaidorser zit vast in de modder. Twee tractoren trekken hem eruit, elk met een kracht van 30 kN aan een touw. De touwen maken een hoek β = 60° en de maaidorser ligt precies op de as ertussen. Hoe groot is de resulterende kracht?

Twee krachten F⃗_1 (rood) en F⃗_2 (blauw) vanuit het oranje punt dat de maaidorser voorstelt, elk onder een hoek α met de as, en de groene resulterende kracht F⃗ langs de as

Uitwerking:

$\begin{aligned} F_{1} = F_{2} & = 30 kN = 30 000 N \\ β & = 60 ° \\ F & = ? (N) \end{aligned}$

De x-as kiezen we langs de as tussen de touwen, positief in de trekrichting. Omdat de maaidorser op de as ligt, wijkt elk touw ervan af met de helft van de hoek tussen de touwen, $α = \frac{β}{2} = 30 °$ . Beide krachten ontbinden we in componenten. De componenten loodrecht op de as zijn even groot en tegengesteld, en heffen elkaar dus op. Langs de as blijven twee gelijke componenten F₁ · cos α over:

$\begin{aligned} F & = 2 \cdot F_{1} \cdot \cos α = 2 \cdot 30 000 N \cdot \cos 30 ° \\ \approx 51 962 N \end{aligned}$

De resulterende kracht is ongeveer 52 kN, niet 60 kN. Een deel van de trekkracht gaat verloren, omdat de tractoren elk een beetje een andere kant op trekken. Hoe verder de touwen uit elkaar gaan, hoe groter het verlies: bij een hoek β = 120° tussen de touwen is α = 60° en de resulterende kracht 2 · 30 000 N · cos 60° = 30 000 N, alsof er maar één tractor trok.

Opgave 2: Een motorboot

Een boot met een massa van 300 kg inclusief bemanning wordt door de schroef met een kracht van 900 N vooruit gedreven. De weerstand van het water is 300 N. Welke versnelling heeft de boot?

Uitwerking:

$\begin{aligned} m & = 300 kg \\ F_{1} & = 900 N, F_{2} = 300 N \\ a & = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

Als positief nemen we de vaarrichting. De weerstand wijst ertegenin, dus in de resulterende kracht krijgt hij een minteken. Dan hoeven we alleen nog de krachten op te tellen en door de massa te delen:

$a = \frac{F_{1} - F_{2}}{m} = \frac{900 N - 300 N}{300 kg} = 2 {m / s}^{2}$

De eenheden kloppen, newton per kilogram is meter per seconde in het kwadraat. De boot heeft een versnelling van 2 m/s². De weerstand van het water neemt met de snelheid toe, en als hij 900 N bereikt, is de resulterende kracht nul en vaart de boot met constante snelheid.

Opgave 3: Een vrachtwagen en een personenauto

Een vrachtwagen met een massa van 10 000 kg botst tegen een personenauto met een massa van 1000 kg. Welk voorwerp werkt met een grotere kracht op het andere? Welke versnellingen hebben ze als de kracht van de botsing 50 000 N is?

Uitwerking: De meeste mensen gokken de vrachtwagen. De krachten van de botsing vormen echter een paar van actie en reactie, en daarom zijn ze even groot en tegengesteld. De vrachtwagen duwt de auto met een kracht van 50 000 N en de auto de vrachtwagen ook. Het verschil zit in wat de kracht met het voorwerp doet.

$\begin{aligned} m_{1} & = 10 000 kg, m_{2} = 1000 kg \\ F & = 50 000 N \\ a_{1} & = ? ({m / s}^{2}), a_{2} = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

Als positief kiezen we de rijrichting van de vrachtwagen:

$\begin{aligned} a_{1} & = \frac{- F}{m_{1}} = \frac{- 50 000 N}{10 000 kg} = - 5 {m / s}^{2} \\ a_{2} & = \frac{F}{m_{2}} = \frac{50 000 N}{1000 kg} = 50 {m / s}^{2} \end{aligned}$

De vrachtwagen heeft een versnelling van −5 m/s², dus hij vertraagt, terwijl de auto een versnelling van 50 m/s² krijgt, ongeveer vijf keer zo groot als de valversnelling. Daarom gaat het de inzittenden van de auto slechter af, ook al zijn de krachten gelijk.

Opgave 4: Een weegschaal in een lift die omlaag rijdt

Ruben met een massa van 80 kg staat in een lift op een weegschaal. De lift rijdt omlaag en remt voor de begane grond met een vertraging van 1,5 m/s². Wat geeft de weegschaal aan?

Uitwerking: Omhoog is de positieve richting. De lift rijdt omlaag en vertraagt, dus zijn versnelling wijst omhoog: a = 1,5 m/s².

$\begin{aligned} m & = 80 kg \\ a & = 1, 5 {m / s}^{2} \\ F_{N} & = ? (N) \end{aligned}$

Ruben wordt omlaag getrokken door de zwaartekracht en omhoog gedragen door de normaalkracht van de weegschaal. Volgens de tweede wet is F_N − m · g = m · a, dus de normaalkracht komt uit net als bij een lift die omhoog optrekt:

$\begin{aligned} F_{N} & = m \cdot (g + a) \\ = 80 kg \cdot (9, 81 {m / s}^{2} + 1, 5 {m / s}^{2}) \\ = 904, 8 N \end{aligned}$

De weegschaal deelt de kracht door de valversnelling en geeft $\frac{F_{N}}{g} = \frac{904, 8 N}{9, 81 {m / s}^{2}} \approx 92 kg$ aan. In rust zou hij zijn echte 80 kg aangeven. Ruben voelt zich zwaarder, ook al rijdt hij omlaag. Het hangt af van de richting van de versnelling, niet van de rijrichting.

Opgave 5: Een rover op Mars

De rover Perseverance heeft een massa van 1025 kg. Hoe groot is de zwaartekracht die op hem werkt op aarde en hoe groot op Mars, waar de valversnelling 3,71 m/s² is?

Uitwerking:

$\begin{aligned} m & = 1025 kg \\ g & = 3, 71 {m / s}^{2} \\ F_{z} & = ? (N) \end{aligned}$

De zwaartekracht is massa keer valversnelling. Op Mars

$F_{z} = m \cdot g = 1025 kg \cdot 3, 71 {m / s}^{2} \approx 3803 N,$

op aarde met dezelfde berekening en g = 9,81 m/s²

$F_{z} = 1025 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \approx 10 055 N .$

Op Mars werkt op de rover een zwaartekracht van ongeveer 3,8 kN, iets meer dan een derde van de aardse 10 kN. De massa is overal hetzelfde, en daarom komt hij bij dezelfde kracht even onwillig in beweging.

Opgave 6: Een tennisservice

Een tennisser serveert een bal met een massa van 57 g, die in het hoogste punt van de opgooi bijna stilstaat. Het racket raakt hem 5 ms en de bal vliegt weg met 50 m/s. Met welke gemiddelde kracht werkt het racket op hem?

Uitwerking:

$\begin{aligned} m & = 57 g = 0,057 kg \\ v_{0} & = 0 m / s, v = 50 m / s \\ Δ t & = 5 ms = 0,005 s \\ F & = ? (N) \end{aligned}$

De positieve richting kiezen we in de vliegrichting van de bal. De kracht is gelijk aan de verandering van impuls per tijd waarin ze werkt, dus de stoot gedeeld door de tijd van de botsing:

$\begin{aligned} F & = \frac{Δ p}{Δ t} = \frac{m \cdot (v - v_{0})}{Δ t} \\ = \frac{0,057 kg \cdot 50 m / s}{0,005 s} = 570 N \end{aligned}$

Dat is ongeveer evenveel als wanneer een mens met een massa van 58 kg op de bal stond, maar dan slechts vijf duizendste seconde lang. Het racket duwt met een gemiddelde kracht van 570 N op de bal. Bij een twee keer zo lang contact zou voor dezelfde snelheid een halve kracht volstaan.

Opgave 7: IJshockeyers in de clinch

Een ijshockeyer met een massa van 90 kg rijdt met 6 m/s en botst frontaal op een tegenstander met een massa van 80 kg, die hem met 4 m/s tegemoet rijdt. Na de botsing haken ze in elkaar. Hoe snel en waarheen bewegen ze?

Uitwerking: De positieve richting wijst waarheen de eerste ijshockeyer rijdt, en de snelheid van de tegenstander is daarom negatief.

$\begin{aligned} m_{1} & = 90 kg, v_{1} = 6 m / s \\ m_{2} & = 80 kg, v_{2} = - 4 m / s \\ v^{'} & = ? (m / s) \end{aligned}$

Op ijs is de wrijving klein en de botsing kort, dus we beschouwen het tweetal als geïsoleerd systeem. Volgens de wet van behoud van impuls is de impuls vóór de botsing gelijk aan die erna:

$m_{1} \cdot v_{1} + m_{2} \cdot v_{2} = (m_{1} + m_{2}) \cdot v^{'}$

$\begin{aligned} v^{'} & = \frac{m_{1} \cdot v_{1} + m_{2} \cdot v_{2}}{m_{1} + m_{2}} \\ = \frac{90 kg \cdot 6 m / s + 80 kg \cdot (- 4 m / s)}{170 kg} \\ \approx 1, 29 m / s \end{aligned}$

Het resultaat is positief, het tweetal schuift dus de kant op waarheen de ijshockeyer met meer massa en snelheid reed, met ongeveer 1,3 m/s. Wie het teken vergeet, krijgt een onzinnige 5,1 m/s.

Opgave 8: Een bankje in de gymzaal

Een houten bankje met een massa van 25 kg staat op een houten vloer. De statische wrijvingscoëfficiënt is 0,5, die voor schuifwrijving 0,3. Krijgt een horizontale kracht van 100 N het in beweging? En welke versnelling heeft het bankje als we het met een kracht van 130 N duwen?

Uitwerking:

$\begin{aligned} m & = 25 kg \\ f_{s} & = 0, 5, f = 0, 3 \\ F_{1} & = 100 N, F_{2} = 130 N \\ a & = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

Op een horizontale vloer is de normaalkracht gelijk aan de zwaartekracht, F_N = m · g. De grootste statische wrijving is

$f_{s} \cdot m \cdot g = 0, 5 \cdot 25 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \approx 123 N .$

De kracht 100 N is kleiner, het bankje staat stil en de statische wrijving is precies 100 N. De kracht van 130 N trekt het los, en daarna remt alleen de schuifwrijving het nog af. De positieve richting kiezen we in de duwrichting:

$\begin{aligned} a & = \frac{F_{2} - f \cdot m \cdot g}{m} \\ = \frac{130 N - 0, 3 \cdot 25 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2}}{25 kg} \\ \approx 2, 26 {m / s}^{2} \end{aligned}$

Het bankje komt in beweging met een versnelling van ongeveer 2,3 m/s². Met honderd newton krijgen we het helemaal niet van zijn plaats.

Opgave 9: Een glijbaan

Een kind glijdt uit stilstand langs een glijbaan van 4 m lang met een hellingshoek van 30°. De coëfficiënt van schuifwrijving van de broek op de glijbaan is 0,3. Hoe snel komt het beneden aan?

Uitwerking:

$\begin{aligned} α & = 30 °, f = 0, 3 \\ s & = 4 m, v_{0} = 0 m / s \\ v & = ? (m / s) \end{aligned}$

De positieve richting kiezen we omlaag langs de glijbaan. De component van de zwaartekracht langs de helling is m · g · sin α, de wrijving f · m · g · cos α wijst tegen de beweging in. Na wegstrepen van de massa blijft de versnelling op een helling met wrijving over, a = g · (sin α − f · cos α). Ter indicatie komt er ongeveer 2,36 m/s² uit.

De tijd kennen we niet, de snelheid beneden volgt daarom uit het verband zonder tijd v² = 2 · a · s. We vullen de versnelling algemeen in:

$\begin{aligned} v & = \sqrt{2 \cdot g \cdot s \cdot (\sin α - f \cdot \cos α)} \\ = \sqrt{2 \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \cdot 4 m \cdot (\sin 30 ° - 0, 3 \cdot \cos 30 °)} \\ \approx 4, 34 m / s \end{aligned}$

Het kind komt beneden aan met ongeveer 4,3 m/s, dus bijna 16 km/h. Zonder wrijving zou het meer dan 6 m/s zijn.

Opgave 10: Een fietser in een bocht

Hoe snel mag een fietser maximaal door een horizontale bocht met straal 12 m op droog asfalt met wrijvingscoëfficiënt 0,7? En hoe snel op nat met wrijvingscoëfficiënt 0,5?

Uitwerking:

$\begin{aligned} r & = 12 m \\ f & = 0, 7 \\ v_{max} & = ? (m / s) \end{aligned}$

De fietser wordt op de cirkel alleen gehouden door de wrijving van de banden, die naar het midden van de bocht wijst. Die moet volstaan voor de middelpuntzoekende kracht, $\frac{m \cdot v^{2}}{r} \leq f \cdot m \cdot g$ . De massa valt weg:

$\begin{aligned} v_{max} & = \sqrt{f \cdot g \cdot r} = \sqrt{0, 7 \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \cdot 12 m} \\ \approx 9, 1 m / s \end{aligned}$

Dat is ongeveer 33 km/h. Op nat komt met dezelfde berekening 7,7 m/s uit, bijna 28 km/h. De massa viel weg, dus een fietser met meer massa heeft het niet gemakkelijker of moeilijker. Bij een hogere snelheid glijden de wielen de bocht uit.

Opgave 11: Een kist in een remmende bestelbus

In een bestelbus ligt op de houten vloer een houten kist met gereedschap met een massa van 30 kg, de statische wrijvingscoëfficiënt is 0,5. De bestuurder remt met een vertraging van 6 m/s². Beoordeel de situatie van binnen in de bestelbus: schuift de kist naar voren?

Uitwerking: De bestelbus remt, dus is een niet-inertiaalstelsel. Daarin werkt op de kist bovendien een traagheidskracht tegengesteld aan de versnelling van de bestelbus, dus naar voren. De positieve richting kiezen we naar voren.

$\begin{aligned} m & = 30 kg, f_{s} = 0, 5 \\ a & = - 6 {m / s}^{2} \end{aligned}$

De versnelling van de bestelbus wijst naar achteren en is daarom negatief. De traagheidskracht en de grootste statische wrijving:

$\begin{aligned} F_{T} & = - m \cdot a = - 30 kg \cdot (- 6 {m / s}^{2}) = 180 N \\ f_{s} \cdot m \cdot g & = 0, 5 \cdot 30 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \approx 147 N \end{aligned}$

De traagheidskracht is positief uitgekomen en wijst dus naar voren. De wrijving houdt de kist niet tegen, hij schuift naar voren. Ze zou hem alleen tegenhouden tot een vertraging f_s · g ≈ 4,9 m/s², de massa valt weg. Van buiten ziet de situatie er hetzelfde uit, alleen zonder traagheidskracht: voor een vertraging van 6 m/s² zou de kist een wrijving van 180 N nodig hebben, maar de statische wrijving geeft hoogstens 147 N. De kist vertraagt daarom minder dan de bestelbus.

Opgave 12: Remmen op sneeuw

Over een besneeuwde weg rijdt een auto met 45 km/h en de bestuurder remt zo dat de wielen blokkeren. De coëfficiënt van schuifwrijving van de banden op sneeuw is 0,3. Hoe lang is de remweg en hoe lang duurt het remmen?

Uitwerking:

$\begin{aligned} v & = 45 km / h = 12, 5 m / s \\ f & = 0, 3 \\ s_{rem} & = ? (m), t = ? (s) \end{aligned}$

De rijrichting is positief. Alleen de wrijving vertraagt, $m \cdot | a | = f \cdot m \cdot g$ , dus de vertraging is $| a | = f \cdot g$ . Die vullen we in de formule voor de remweg in:

$\begin{aligned} s_{rem} & = \frac{v^{2}}{2 \cdot f \cdot g} = \frac{(12, 5 m / s)^{2}}{2 \cdot 0, 3 \cdot 9, 81 {m / s}^{2}} \approx 26, 5 m \\ t & = \frac{v}{f \cdot g} = \frac{12, 5 m / s}{0, 3 \cdot 9, 81 {m / s}^{2}} \approx 4, 2 s \end{aligned}$

De auto komt tot stilstand na 26,5 m en remt meer dan vier seconden. Op een droge weg met coëfficiënt 0,7 zou hij genoeg hebben aan 11,4 m. De massa komt in de formule niet voor, dus ook een volgeladen auto remt even lang, althans in deze vereenvoudiging.

Opgave 13: Het optrekken van een trein

Een trein met een massa van 400 t trekt op vanaf het station. De rails duwen de trein via de wielen van de locomotief naar voren met een kracht van 200 kN, de weerstanden tegen de beweging zijn 40 kN. Hoe lang duurt het en over welke afstand bereikt hij een snelheid van 90 km/h, als de krachten niet veranderen?

Uitwerking:

$\begin{aligned} m & = 400 t = 400 000 kg \\ F_{1} & = 200 000 N, F_{2} = 40 000 N \\ v & = 90 km / h = 25 m / s \\ t & = ? (s), s = ? (m) \end{aligned}$

De positieve richting kiezen we in de rijrichting. Eerst de dynamica, de tweede wet van Newton:

$a = \frac{F_{1} - F_{2}}{m} = \frac{160 000 N}{400 000 kg} = 0, 4 {m / s}^{2}$

Dan de kinematica van eenparig versnelde beweging uit stilstand en het verband zonder tijd:

$\begin{aligned} t & = \frac{v}{a} = \frac{25 m / s}{0, 4 {m / s}^{2}} = 62, 5 s \\ s & = \frac{v^{2}}{2 \cdot a} = \frac{(25 m / s)^{2}}{2 \cdot 0, 4 {m / s}^{2}} \approx 781 m \end{aligned}$

Controle: de gemiddelde snelheid is 12,5 m/s en in 62,5 s geeft dat dezelfde 781 m. De trein heeft ongeveer een minuut en bijna een kilometer nodig. In werkelijkheid neemt de weerstand met de snelheid toe, en het optrekken duurt daarom iets langer.

Het einde van de reis

Daarmee eindigt het leerboek over kinematica en dynamica. We begonnen bij wat een grootheid en een eenheid eigenlijk zijn, via snelheid en versnelling kwamen we bij krachten en de wetten van Newton en ten slotte hebben we beide verbonden: de kracht zegt hoe groot de versnelling is, en de versnelling waarheen en hoe snel het voorwerp komt. Met dit tweetal red je de meeste opgaven over beweging en krachten. Arbeid en energie komen later aan bod.

« Vorige: Opgaven kinematica met uitwerkingen

Volgende: Overig »