Problemas resueltos de dinámica

Las fuerzas se entienden mejor calculando con ellas. Te esperan trece problemas, desde la composición de fuerzas, pasando por las leyes de Newton, el momento lineal y el rozamiento, hasta la curva y la fuerza de inercia. Tres de ellos (el tobogán, el frenado sobre nieve y la salida de un tren) enlazan las fuerzas con el movimiento: de las fuerzas calculamos la aceleración y de la aceleración, la velocidad o la distancia. Seguimos el procedimiento ya conocido: datos, esquema de fuerzas, sentido positivo, resolución general, sustitución con unidades y respuesta con una frase completa. El esquema dibújalo tú mismo; solo el primer problema lleva figura. Intenta resolver cada problema primero por tu cuenta.

Problema 1: Dos tractores y una cosechadora atascada

Una cosechadora se ha atascado en el barro. Dos tractores tiran de ella, cada uno con una cuerda y con una fuerza de 30 kN. Las cuerdas forman un ángulo β = 60° y la cosechadora está exactamente sobre el eje entre ellas. ¿Cuánto vale la resultante?

Dos fuerzas F⃗_1 (en rojo) y F⃗_2 (en azul) desde el punto naranja que representa la cosechadora, cada una desviada un ángulo α del eje, y la resultante verde F⃗ a lo largo del eje

Datos e incógnita:

$\begin{aligned} F_{1} = F_{2} & = 30 kN = 30.000 N \\ β & = 60 ° \\ F & = ? (N) \end{aligned}$

Elegimos el eje x a lo largo del eje entre las cuerdas, positivo en el sentido del tirón. Como la cosechadora está sobre el eje, cada cuerda se desvía de él la mitad del ángulo entre las cuerdas, $α = \frac{β}{2} = 30 °$ . Descomponemos las dos fuerzas en componentes. Las componentes perpendiculares al eje son de igual módulo y de sentido contrario, así que se anulan. A lo largo del eje quedan dos componentes iguales F₁ · cos α:

$\begin{aligned} F & = 2 \cdot F_{1} \cdot \cos α = 2 \cdot 30.000 N \cdot \cos 30 ° \\ \approx 51.962 N \end{aligned}$

La resultante es de unos 52 kN, no 60 kN. Parte del tirón se pierde, porque cada tractor tira un poco hacia otro lado. Cuanto más se abren las cuerdas, mayor es la pérdida: con un ángulo β = 120° entre las cuerdas, α = 60° y la resultante es 2 · 30.000 N · cos 60° = 30.000 N, como si tirara un solo tractor.

Problema 2: Una lancha motora

Una lancha de 300 kg con su tripulación es impulsada hacia delante por la hélice con una fuerza de 900 N. La resistencia del agua es de 300 N. ¿Qué aceleración tiene la lancha?

Datos e incógnita:

$\begin{aligned} m & = 300 kg \\ F_{1} & = 900 N, F_{2} = 300 N \\ a & = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

Tomamos como positivo el sentido de la navegación. La resistencia apunta en contra, así que en la resultante lleva signo menos. Después solo hay que sumar las fuerzas y dividir entre la masa:

$a = \frac{F_{1} - F_{2}}{m} = \frac{900 N - 300 N}{300 kg} = 2 {m / s}^{2}$

Las unidades cuadran: newton entre kilogramo es metro por segundo al cuadrado. La lancha tiene una aceleración de 2 m/s². La resistencia del agua aumenta con la velocidad y, cuando alcance 900 N, la resultante será nula y la lancha irá con velocidad constante.

Problema 3: Un camión y un turismo

Un camión de 10.000 kg choca contra un turismo de 1000 kg. ¿Qué cuerpo actúa sobre el otro con una fuerza mayor? ¿Qué aceleraciones tienen si la fuerza del choque es de 50.000 N?

Resolución: La mayoría de la gente apuesta por el camión. Pero las fuerzas del choque forman un par de acción y reacción y, por eso, son de igual módulo y de sentido contrario. El camión empuja al coche con una fuerza de 50.000 N y el coche al camión, también. La diferencia está en lo que la fuerza hace con cada cuerpo.

$\begin{aligned} m_{1} & = 10.000 kg, m_{2} = 1000 kg \\ F & = 50.000 N \\ a_{1} & = ? ({m / s}^{2}), a_{2} = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

Elegimos como positivo el sentido de la marcha del camión:

$\begin{aligned} a_{1} & = \frac{- F}{m_{1}} = \frac{- 50.000 N}{10.000 kg} = - 5 {m / s}^{2} \\ a_{2} & = \frac{F}{m_{2}} = \frac{50.000 N}{1000 kg} = 50 {m / s}^{2} \end{aligned}$

El camión tiene una aceleración de −5 m/s², es decir, frena, mientras que el turismo adquiere una aceleración de 50 m/s², unas cinco veces mayor que la de la gravedad. Por eso salen peor parados los ocupantes del turismo, aunque las fuerzas sean iguales.

Problema 4: Una báscula en un ascensor que baja

Raúl, de 80 kg, está de pie sobre una báscula en un ascensor. El ascensor baja y, antes de llegar a la planta baja, frena con una deceleración de 1,5 m/s². ¿Qué marcará la báscula?

Resolución: El sentido positivo será hacia arriba. El ascensor baja y frena, así que su aceleración apunta hacia arriba: a = 1,5 m/s².

$\begin{aligned} m & = 80 kg \\ a & = 1, 5 {m / s}^{2} \\ N & = ? (N) \end{aligned}$

A Raúl lo tira hacia abajo el peso y hacia arriba lo sostiene la fuerza normal de la báscula. Según la segunda ley, N − m · g = m · a, de modo que la fuerza normal sale igual que en un ascensor que arranca hacia arriba:

$\begin{aligned} N & = m \cdot (g + a) \\ = 80 kg \cdot (9, 81 {m / s}^{2} + 1, 5 {m / s}^{2}) \\ = 904, 8 N \end{aligned}$

La báscula divide la fuerza entre la aceleración de la gravedad y marca $\frac{N}{g} = \frac{904, 8 N}{9, 81 {m / s}^{2}} \approx 92 kg$ . En reposo marcaría sus verdaderos 80 kg. Raúl se siente más pesado, aunque vaya hacia abajo. Importa el sentido de la aceleración, no el del movimiento.

Problema 5: El rover en Marte

El rover Perseverance tiene una masa de 1025 kg. ¿Qué peso tiene en la Tierra y cuál en Marte, donde la aceleración de la gravedad es 3,71 m/s²?

Datos e incógnita:

$\begin{aligned} m & = 1025 kg \\ g & = 3, 71 {m / s}^{2} \\ P & = ? (N) \end{aligned}$

El peso es la masa por la aceleración de la gravedad. En Marte

$P = m \cdot g = 1025 kg \cdot 3, 71 {m / s}^{2} \approx 3803 N,$

y en la Tierra, con el mismo cálculo y g = 9,81 m/s²,

$P = 1025 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \approx 10.055 N .$

En Marte actúa sobre el rover un peso de unos 3,8 kN, algo más de un tercio de los 10 kN terrestres. La masa, en cambio, es la misma en todas partes, así que, con la misma fuerza, se pone en marcha con la misma desgana.

Problema 6: Un saque de tenis

Un tenista saca una pelota de 57 g que está casi en reposo en el punto más alto del lanzamiento. La raqueta la toca durante 5 ms y la pelota sale a 50 m/s. ¿Con qué fuerza media actúa la raqueta sobre ella?

Datos e incógnita:

$\begin{aligned} m & = 57 g = 0,057 kg \\ v_{0} & = 0 m / s, v = 50 m / s \\ Δ t & = 5 ms = 0,005 s \\ F & = ? (N) \end{aligned}$

Elegimos como sentido positivo el del vuelo de la pelota. La fuerza es igual a la variación del momento lineal dividida entre el tiempo durante el que actúa, es decir, el impulso mecánico dividido entre la duración del golpe:

$\begin{aligned} F & = \frac{Δ p}{Δ t} = \frac{m \cdot (v - v_{0})}{Δ t} \\ = \frac{0,057 kg \cdot 50 m / s}{0,005 s} = 570 N \end{aligned}$

Es aproximadamente lo mismo que si sobre la pelota estuviera de pie una persona de 58 kg, pero solo durante cinco milésimas de segundo. La raqueta empuja la pelota con una fuerza media de 570 N. Con un contacto el doble de largo, para la misma velocidad bastaría la mitad de la fuerza.

Problema 7: Dos jugadores de hockey sobre hielo enganchados

Un jugador de hockey de 90 kg patina a 6 m/s y choca de frente con un rival de 80 kg que viene hacia él a 4 m/s. Tras el choque se enganchan. ¿A qué velocidad y hacia dónde se mueven?

Resolución: El sentido positivo es el del primer jugador, y la velocidad del rival es, por tanto, negativa.

$\begin{aligned} m_{1} & = 90 kg, v_{1} = 6 m / s \\ m_{2} & = 80 kg, v_{2} = - 4 m / s \\ v^{'} & = ? (m / s) \end{aligned}$

Sobre el hielo el rozamiento es pequeño y el choque es breve, por lo que tomamos la pareja como sistema aislado. Según el principio de conservación del momento lineal, el momento lineal antes del choque es igual al de después:

$m_{1} \cdot v_{1} + m_{2} \cdot v_{2} = (m_{1} + m_{2}) \cdot v^{'}$

$\begin{aligned} v^{'} & = \frac{m_{1} \cdot v_{1} + m_{2} \cdot v_{2}}{m_{1} + m_{2}} \\ = \frac{90 kg \cdot 6 m / s + 80 kg \cdot (- 4 m / s)}{170 kg} \\ \approx 1, 29 m / s \end{aligned}$

El resultado es positivo, así que la pareja se desliza hacia donde iba el jugador de mayor masa y velocidad, a unos 1,3 m/s. Quien se olvide del signo obtendrá unos absurdos 5,1 m/s.

Problema 8: Un banco en el gimnasio

Un banco de madera de 25 kg está sobre un suelo de madera. El coeficiente de rozamiento estático es 0,5 y el dinámico, 0,3. ¿Lo pone en movimiento una fuerza horizontal de 100 N? ¿Y qué aceleración tendrá el banco si lo empujamos con una fuerza de 130 N?

Datos e incógnita:

$\begin{aligned} m & = 25 kg \\ μ_{e} & = 0, 5, μ = 0, 3 \\ F_{1} & = 100 N, F_{2} = 130 N \\ a & = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

En un suelo horizontal, la fuerza normal es igual al peso, N = m · g. El rozamiento estático máximo es

$μ_{e} \cdot m \cdot g = 0, 5 \cdot 25 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \approx 123 N .$

La fuerza de 100 N es menor, el banco sigue parado y el rozamiento estático vale exactamente 100 N. La fuerza de 130 N lo despega y lo frena ya solo el rozamiento dinámico. Elegimos como positivo el sentido del empuje:

$\begin{aligned} a & = \frac{F_{2} - μ \cdot m \cdot g}{m} \\ = \frac{130 N - 0, 3 \cdot 25 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2}}{25 kg} \\ \approx 2, 26 {m / s}^{2} \end{aligned}$

El banco se pone en marcha con una aceleración de unos 2,3 m/s². Con los cien newtons no lo movemos en absoluto.

Problema 9: El tobogán

Un niño baja desde el reposo por un tobogán de 4 m de largo con una inclinación de 30°. El coeficiente de rozamiento dinámico entre los pantalones y el tobogán es 0,3. ¿A qué velocidad llega abajo?

Datos e incógnita:

$\begin{aligned} α & = 30 °, μ = 0, 3 \\ s & = 4 m, v_{0} = 0 m / s \\ v & = ? (m / s) \end{aligned}$

Elegimos como positivo el sentido hacia abajo a lo largo del tobogán. La componente del peso a lo largo de la cuesta es m · g · senα, y el rozamiento μ · m · g · cos α apunta en contra del movimiento. Al simplificar la masa queda la aceleración en una cuesta con rozamiento, a = g · (senα − μ · cos α). Para hacerse una idea, sale aproximadamente 2,36 m/s².

No conocemos el tiempo, así que la velocidad al final la da la relación sin el tiempo, v² = 2 · a · s. Sustituimos en ella la aceleración en forma general:

$\begin{aligned} v & = \sqrt{2 \cdot g \cdot s \cdot (sen α - μ \cdot \cos α)} \\ = \sqrt{2 \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \cdot 4 m \cdot (sen 30 ° - 0, 3 \cdot \cos 30 °)} \\ \approx 4, 34 m / s \end{aligned}$

El niño llega abajo a unos 4,3 m/s, es decir, a menos de 16 km/h. Sin rozamiento serían más de 6 m/s.

Problema 10: Un ciclista en una curva

¿A qué velocidad máxima puede tomar un ciclista una curva horizontal de 12 m de radio sobre asfalto seco, con un coeficiente de rozamiento de 0,7? ¿Y sobre mojado, con un coeficiente de 0,5?

Datos e incógnita:

$\begin{aligned} r & = 12 m \\ μ & = 0, 7 \\ v_{max} & = ? (m / s) \end{aligned}$

Al ciclista en la circunferencia lo sujeta solo el rozamiento de los neumáticos, que apunta al centro de la curva. Eso tiene que bastar para la fuerza centrípeta, $\frac{m \cdot v^{2}}{r} \leq μ \cdot m \cdot g$ . La masa se simplifica:

$\begin{aligned} v_{max} & = \sqrt{μ \cdot g \cdot r} = \sqrt{0, 7 \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \cdot 12 m} \\ \approx 9, 1 m / s \end{aligned}$

Son unos 33 km/h. Sobre mojado, el mismo cálculo da 7,7 m/s, menos de 28 km/h. Como la masa se ha simplificado, un ciclista de mayor masa no lo tiene ni más fácil ni más difícil. A mayor velocidad, las ruedas se escapan hacia fuera de la curva.

Problema 11: Una caja en una furgoneta que frena

En una furgoneta hay, sobre el suelo de madera, una caja de madera con herramientas, de 30 kg en total, y el coeficiente de rozamiento estático es 0,5. El conductor frena con una deceleración de 6 m/s². Analiza la situación desde dentro de la furgoneta: ¿se desliza la caja hacia delante?

Resolución: La furgoneta frena, así que es un sistema no inercial. En él actúa sobre la caja además la fuerza de inercia, contraria a la aceleración de la furgoneta, es decir, hacia delante. Elegimos como positivo el sentido hacia delante.

$\begin{aligned} m & = 30 kg, μ_{e} = 0, 5 \\ a & = - 6 {m / s}^{2} \end{aligned}$

La aceleración de la furgoneta apunta hacia atrás y, por eso, es negativa. La fuerza de inercia y el rozamiento estático máximo:

$\begin{aligned} F_{i} & = - m \cdot a = - 30 kg \cdot (- 6 {m / s}^{2}) = 180 N \\ μ_{e} \cdot m \cdot g & = 0, 5 \cdot 30 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \approx 147 N \end{aligned}$

La fuerza de inercia ha salido positiva, así que apunta hacia delante. El rozamiento no retiene la caja, que se desliza hacia delante. La retendría solo hasta una deceleración de μ_e · g ≈ 4,9 m/s²; la masa se simplifica. Desde fuera la situación se ve igual, solo que sin fuerza de inercia: para decelerar a razón de 6 m/s², la caja necesitaría un rozamiento de 180 N, pero el rozamiento estático da como máximo 147 N. Por eso la caja decelera menos que la furgoneta.

Problema 12: Frenado sobre nieve

Por una carretera nevada circula un coche a 45 km/h y el conductor frena de modo que las ruedas se bloquean. El coeficiente de rozamiento dinámico de los neumáticos sobre nieve es 0,3. ¿Cuánto mide la distancia de frenado y cuánto dura el frenado?

Datos e incógnita:

$\begin{aligned} v & = 45 km / h = 12, 5 m / s \\ μ & = 0, 3 \\ s_{f} & = ? (m), t = ? (s) \end{aligned}$

El sentido de la marcha será el positivo. Solo decelera el rozamiento, $m \cdot | a | = μ \cdot m \cdot g$ , así que la deceleración es $| a | = μ \cdot g$ . La sustituimos en la fórmula de la distancia de frenado:

$\begin{aligned} s_{f} & = \frac{v^{2}}{2 \cdot μ \cdot g} = \frac{(12, 5 m / s)^{2}}{2 \cdot 0, 3 \cdot 9, 81 {m / s}^{2}} \approx 26, 5 m \\ t & = \frac{v}{μ \cdot g} = \frac{12, 5 m / s}{0, 3 \cdot 9, 81 {m / s}^{2}} \approx 4, 2 s \end{aligned}$

El coche se detiene tras 26,5 m y frena durante más de cuatro segundos. Sobre suelo seco, con un coeficiente de 0,7, le bastarían 11,4 m. La masa no aparece en la fórmula, así que un coche con plena carga frena igual, al menos en esta simplificación.

Problema 13: La salida de un tren

Un tren de 400 t arranca de la estación. Los raíles empujan el tren hacia delante, a través de las ruedas de la locomotora, con una fuerza de 200 kN, y las resistencias al movimiento son de 40 kN. ¿En cuánto tiempo y tras qué distancia alcanza una velocidad de 90 km/h, si las fuerzas no cambian?

Datos e incógnita:

$\begin{aligned} m & = 400 t = 400.000 kg \\ F_{1} & = 200.000 N, F_{2} = 40.000 N \\ v & = 90 km / h = 25 m / s \\ t & = ? (s), s = ? (m) \end{aligned}$

Elegimos como positivo el sentido de la marcha. Primero la dinámica, la segunda ley de Newton:

$a = \frac{F_{1} - F_{2}}{m} = \frac{160.000 N}{400.000 kg} = 0, 4 {m / s}^{2}$

Después la cinemática del movimiento uniformemente acelerado desde el reposo y la relación sin el tiempo:

$\begin{aligned} t & = \frac{v}{a} = \frac{25 m / s}{0, 4 {m / s}^{2}} = 62, 5 s \\ s & = \frac{v^{2}}{2 \cdot a} = \frac{(25 m / s)^{2}}{2 \cdot 0, 4 {m / s}^{2}} \approx 781 m \end{aligned}$

Comprobación: la velocidad media es 12,5 m/s y en 62,5 s da los mismos 781 m. El tren necesita aproximadamente un minuto y menos de un kilómetro. En realidad, la resistencia crece con la velocidad y, por eso, la salida dura algo más.

Fin del camino

Con esto termina el manual de cinemática y dinámica. Empezamos por saber qué es una magnitud y una unidad, pasamos por la velocidad y la aceleración hasta llegar a las fuerzas y las leyes de Newton, y al final hemos unido ambas cosas: la fuerza dice cuánto vale la aceleración, y la aceleración, adónde y a qué velocidad llega el cuerpo. Con esta pareja resolverás la mayoría de los problemas sobre movimiento y fuerzas. El trabajo y la energía llegarán más adelante.

« Anterior: Problemas resueltos de cinemática

Siguiente: Otros »