Ratkaistuja dynamiikan tehtäviä

Voimat ymmärtää parhaiten laskemalla niillä. Edessäsi on kolmetoista tehtävää voimien yhdistämisestä Newtonin lakien, liikemäärän ja kitkan kautta kaarteeseen ja hitausvoimaan. Kolme niistä (liukumäki, jarrutus lumella ja junan lähtö) yhdistää voimat liikkeeseen: voimista lasketaan kiihtyvyys ja kiihtyvyydestä nopeus tai matka. Tehtävät ratkaistaan koetellulla menettelyllä: merkitään tiedot, piirretään voimat, valitaan positiivinen suunta, johdetaan yleinen ratkaisu, sijoitetaan yksiköiden kanssa ja vastataan kokonaisella lauseella. Piirrä voimakuva itse, kuva on vain ensimmäisessä tehtävässä. Yritä jokainen tehtävä ensin itse.

Esimerkki 1: Kaksi traktoria ja jumiin jäänyt puimuri

Puimuri on jäänyt mutaan jumiin. Sitä vetää ulos kaksi traktoria, kumpikin köydellä voimalla 30 kN. Köydet muodostavat kulman β = 60° ja puimuri on täsmälleen niiden välisellä akselilla. Kuinka suuri on resultantti?

Kaksi voimaa F̄_1 (punaisella) ja F̄_2 (sinisellä) oranssista pisteestä, joka esittää puimuria, kumpikin kulman α verran akselista poikkeava, ja vihreä resultantti F̄ akselin suuntaan

Ratkaisu:

$\begin{aligned} F_{1} = F_{2} & = 30 kN = 30 000 N \\ β & = 60 ° \\ F & = ? (N) \end{aligned}$

Valitaan x-akseli köysien välisen akselin suuntaan, positiiviseksi vedon suunta. Koska puimuri on akselilla, kumpikin köysi poikkeaa siitä puolet köysien välisestä kulmasta, $α = \frac{β}{2} = 30 °$ . Molemmat voimat jaetaan komponentteihin. Akselia vastaan kohtisuorat komponentit ovat yhtä suuret ja vastakkaiset, joten ne kumoavat toisensa. Akselin suuntaan jäävät kaksi samanlaista komponenttia F₁ · cos α:

$\begin{aligned} F & = 2 \cdot F_{1} \cdot \cos α = 2 \cdot 30 000 N \cdot \cos 30 ° \\ \approx 51 962 N \end{aligned}$

Resultantti on noin 52 kN, ei 60 kN. Osa vedosta menee hukkaan, koska traktorit vetävät kumpikin hieman eri suuntaan. Mitä enemmän köydet avautuvat, sitä suurempi on menetys: köysien välisellä kulmalla β = 120° on α = 60° ja resultantti 2 · 30 000 N · cos 60° = 30 000 N, ikään kuin vetäisi vain yksi traktori.

Esimerkki 2: Moottorivene

Venettä, jonka massa on miehistöineen 300 kg, työntää eteenpäin potkurin avulla vesi voimalla 900 N. Veden vastus on 300 N. Mikä on veneen kiihtyvyys?

Ratkaisu:

$\begin{aligned} m & = 300 kg \\ F_{1} & = 900 N, F_{2} = 300 N \\ a & = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

Positiiviseksi valitaan kulkusuunta. Vastus osoittaa sitä vastaan, joten resultantissa sillä on miinus. Sitten vain lasketaan voimat yhteen ja jaetaan massalla:

$a = \frac{F_{1} - F_{2}}{m} = \frac{900 N - 300 N}{300 kg} = 2 {m / s}^{2}$

Yksiköt täsmäävät, newton kilogrammaa kohti on metri sekunnin neliötä kohti. Veneen kiihtyvyys on 2 m/s². Veden vastus kasvaa nopeuden mukana, ja kun se saavuttaa 900 N, resultantti on nolla ja vene kulkee tasaisella nopeudella.

Esimerkki 3: Rekka ja henkilöauto

Rekka, jonka massa on 10 000 kg, törmää henkilöautoon, jonka massa on 1 000 kg. Kumpi kappale vaikuttaa toiseen suuremmalla voimalla? Mitkä ovat kiihtyvyydet, kun törmäysvoima on 50 000 N?

Ratkaisu: Useimmat veikkaavat rekkaa. Törmäysvoimat muodostavat kuitenkin voiman ja vastavoiman parin, ja siksi ne ovat yhtä suuret ja vastakkaiset. Rekka painaa autoa voimalla 50 000 N ja auto rekkaa yhtä suurella. Ero on siinä, mitä voima kappaleelle tekee.

$\begin{aligned} m_{1} & = 10 000 kg, m_{2} = 1 000 kg \\ F & = 50 000 N \\ a_{1} & = ? ({m / s}^{2}), a_{2} = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

Positiiviseksi valitaan rekan kulkusuunta:

$\begin{aligned} a_{1} & = \frac{- F}{m_{1}} = \frac{- 50 000 N}{10 000 kg} = - 5 {m / s}^{2} \\ a_{2} & = \frac{F}{m_{2}} = \frac{50 000 N}{1 000 kg} = 50 {m / s}^{2} \end{aligned}$

Rekan kiihtyvyys on −5 m/s² eli se hidastuu, kun taas auto saa kiihtyvyyden 50 m/s², noin viisi kertaa putoamiskiihtyvyyttä suuremman. Siksi auton matkustajille käy huonommin, vaikka voimat ovat samat.

Esimerkki 4: Vaaka alas kulkevassa hississä

Eino, jonka massa on 80 kg, seisoo hississä vaa'alla. Hissi kulkee alas ja jarruttaa ennen pohjakerrosta hidastuvuudella 1,5 m/s². Mitä vaaka näyttää?

Ratkaisu: Positiivinen suunta on ylöspäin. Hissi kulkee alas ja hidastuu, joten sen kiihtyvyys osoittaa ylöspäin: a = 1,5 m/s².

$\begin{aligned} m & = 80 kg \\ a & = 1, 5 {m / s}^{2} \\ N & = ? (N) \end{aligned}$

Einoa vetää alas paino ja ylös hänet kannattaa vaa'an tukivoima. Toisen lain mukaan N − m · g = m · a, joten tukivoima saadaan samoin kuin ylöspäin lähtevässä hississä:

$\begin{aligned} N & = m \cdot (g + a) \\ = 80 kg \cdot (9, 81 {m / s}^{2} + 1, 5 {m / s}^{2}) \\ = 904, 8 N \end{aligned}$

Vaaka jakaa voiman putoamiskiihtyvyydellä ja näyttää $\frac{N}{g} = \frac{904, 8 N}{9, 81 {m / s}^{2}} \approx 92 kg$ . Levossa se näyttäisi hänen todelliset 80 kg. Eino tuntee itsensä raskaammaksi, vaikka matka kulkee alas. Ratkaisevaa on kiihtyvyyden suunta, ei kulkusuunta.

Esimerkki 5: Mars-mönkijä

Perseverance-mönkijän massa on 1 025 kg. Kuinka suuri paino siihen vaikuttaa Maassa ja kuinka suuri Marsissa, missä putoamiskiihtyvyys on 3,71 m/s²?

Ratkaisu:

$\begin{aligned} m & = 1 025 kg \\ g & = 3, 71 {m / s}^{2} \\ G & = ? (N) \end{aligned}$

Paino on massa kertaa putoamiskiihtyvyys. Marsissa

$G = m \cdot g = 1 025 kg \cdot 3, 71 {m / s}^{2} \approx 3 803 N,$

Maassa samalla laskulla arvolla g = 9,81 m/s²

$G = 1 025 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \approx 10 055 N .$

Marsissa mönkijään vaikuttaa noin 3,8 kN:n paino, vähän yli kolmannes Maan 10 kN:sta. Massa on kuitenkin kaikkialla sama, ja siksi sama voima panee sen liikkeelle yhtä vastahakoisesti.

Esimerkki 6: Tennispalloa syöttämässä

Tennispelaaja syöttää pallon, jonka massa on 57 g ja joka on heiton korkeimmassa pisteessä lähes levossa. Maila koskettaa sitä 5 ms ja pallo lähtee nopeudella 50 m/s. Kuinka suurella keskimääräisellä voimalla maila vaikuttaa siihen?

Ratkaisu:

$\begin{aligned} m & = 57 g = 0,057 kg \\ v_{0} & = 0 m / s, v = 50 m / s \\ Δ t & = 5 ms = 0,005 s \\ F & = ? (N) \end{aligned}$

Positiiviseksi suunnaksi valitaan pallon lentosuunta. Voima on yhtä suuri kuin liikemäärän muutos sillä ajalla, jonka se vaikuttaa, eli impulssi jaettuna kosketusajalla:

$\begin{aligned} F & = \frac{Δ p}{Δ t} = \frac{m \cdot (v - v_{0})}{Δ t} \\ = \frac{0,057 kg \cdot 50 m / s}{0,005 s} = 570 N \end{aligned}$

Se on suunnilleen sama kuin jos pallon päällä seisoisi 58 kg painava ihminen, mutta vain viisi tuhannesosasekuntia. Maila painaa palloa keskimäärin voimalla 570 N. Kaksi kertaa pitemmällä kosketuksella samaan nopeuteen riittäisi puolet pienempi voima.

Esimerkki 7: Jääkiekkoilijat kahnauksessa

Jääkiekkoilija, jonka massa on 90 kg, kulkee nopeudella 6 m/s ja törmää suoraan vastustajaan, jonka massa on 80 kg ja joka tulee häntä vastaan nopeudella 4 m/s. Törmäyksen jälkeen he tarttuvat toisiinsa. Kuinka nopeasti ja mihin suuntaan he liikkuvat?

Ratkaisu: Positiivinen suunta osoittaa siihen, mihin ensimmäinen pelaaja kulkee, ja vastustajan nopeus on siksi negatiivinen.

$\begin{aligned} m_{1} & = 90 kg, v_{1} = 6 m / s \\ m_{2} & = 80 kg, v_{2} = - 4 m / s \\ v^{'} & = ? (m / s) \end{aligned}$

Jäällä kitka on pientä ja törmäys lyhyt, joten paria voidaan pitää eristettynä systeeminä. Liikemäärän säilymislain mukaan liikemäärä ennen törmäystä on sama kuin sen jälkeen:

$m_{1} \cdot v_{1} + m_{2} \cdot v_{2} = (m_{1} + m_{2}) \cdot v^{'}$

$\begin{aligned} v^{'} & = \frac{m_{1} \cdot v_{1} + m_{2} \cdot v_{2}}{m_{1} + m_{2}} \\ = \frac{90 kg \cdot 6 m / s + 80 kg \cdot (- 4 m / s)}{170 kg} \\ \approx 1, 29 m / s \end{aligned}$

Tulos on positiivinen, joten pari liukuu siihen suuntaan, johon kulki pelaaja, jolla oli sekä suurempi massa että nopeus, noin 1,3 m/s. Joka unohtaa etumerkin, saa järjettömän 5,1 m/s.

Esimerkki 8: Penkki liikuntasalissa

Puinen penkki, jonka massa on 25 kg, on puulattialla. Lepokitkakerroin on 0,5, liikekitkakerroin 0,3. Saako vaakasuora voima 100 N sen liikkeelle? Ja mikä on penkin kiihtyvyys, kun sitä työnnetään voimalla 130 N?

Ratkaisu:

$\begin{aligned} m & = 25 kg \\ μ_{0} & = 0, 5, μ = 0, 3 \\ F_{1} & = 100 N, F_{2} = 130 N \\ a & = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

Vaakasuoralla lattialla tukivoima on yhtä suuri kuin paino, N = m · g. Suurin lepokitka on

$μ_{0} \cdot m \cdot g = 0, 5 \cdot 25 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \approx 123 N .$

Voima 100 N on pienempi, penkki pysyy paikallaan ja lepokitka on täsmälleen 100 N. Voima 130 N irrottaa sen, ja sitä jarruttaa enää liikekitka. Positiiviseksi suunnaksi valitaan työntösuunta:

$\begin{aligned} a & = \frac{F_{2} - μ \cdot m \cdot g}{m} \\ = \frac{130 N - 0, 3 \cdot 25 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2}}{25 kg} \\ \approx 2, 26 {m / s}^{2} \end{aligned}$

Penkki lähtee liikkeelle kiihtyvyydellä noin 2,3 m/s². Sadalla newtonilla sitä ei saa liikkeelle lainkaan.

Esimerkki 9: Liukumäki

Lapsi liukuu levosta alas 4 m pitkää liukumäkeä, jonka kaltevuus on 30°. Housujen ja liukumäen välinen liikekitkakerroin on 0,3. Kuinka nopeasti hän on alhaalla?

Ratkaisu:

$\begin{aligned} α & = 30 °, μ = 0, 3 \\ s & = 4 m, v_{0} = 0 m / s \\ v & = ? (m / s) \end{aligned}$

Positiiviseksi suunnaksi valitaan alas liukumäkeä pitkin. Painon komponentti rinteen suunnassa on m · g · sin α, kitka μ · m · g · cos α osoittaa liikettä vastaan. Kun massa supistetaan pois, jää kiihtyvyys rinteessä kitkan kanssa, a = g · (sin α − μ · cos α). Havainnollistukseksi se on noin 2,36 m/s².

Aikaa ei tunneta, joten nopeuden alhaalla antaa ajaton yhtälö v² = 2 · a · s. Sijoitetaan siihen kiihtyvyys yleisessä muodossa:

$\begin{aligned} v & = \sqrt{2 \cdot g \cdot s \cdot (\sin α - μ \cdot \cos α)} \\ = \sqrt{2 \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \cdot 4 m \cdot (\sin 30 ° - 0, 3 \cdot \cos 30 °)} \\ \approx 4, 34 m / s \end{aligned}$

Lapsi saapuu alas nopeudella noin 4,3 m/s, eli alle 16 km/h. Ilman kitkaa se olisi yli 6 m/s.

Esimerkki 10: Pyöräilijä kaarteessa

Kuinka nopeasti pyöräilijä saa enintään ajaa vaakasuoran kaarteen, jonka säde on 12 m, kuivalla asfaltilla, jonka kitkakerroin on 0,7? Entä kuinka nopeasti märällä, kun kerroin on 0,5?

Ratkaisu:

$\begin{aligned} r & = 12 m \\ μ & = 0, 7 \\ v_{max} & = ? (m / s) \end{aligned}$

Pyöräilijää ympyrällä pitää vain renkaiden kitka, joka osoittaa kaarteen keskipisteeseen. Sen täytyy riittää keskeisvoimaksi, $\frac{m \cdot v^{2}}{r} \leq μ \cdot m \cdot g$ . Massa supistuu pois:

$\begin{aligned} v_{max} & = \sqrt{μ \cdot g \cdot r} = \sqrt{0, 7 \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \cdot 12 m} \\ \approx 9, 1 m / s \end{aligned}$

Se on noin 33 km/h. Märällä saadaan samalla laskulla 7,7 m/s, alle 28 km/h. Massa supistui pois, joten massaltaan suuremmalla pyöräilijällä ei ole sen helpompaa eikä vaikeampaa. Suuremmalla nopeudella pyörät luisuvat ulos kaarteesta.

Esimerkki 11: Laatikko jarruttavassa pakettiautossa

Pakettiauton puulattialla on puinen työkalulaatikko, jonka massa on 30 kg ja lepokitkakerroin 0,5. Kuljettaja jarruttaa hidastuvuudella 6 m/s². Tarkastele tilannetta pakettiauton sisältä: liukuuko laatikko eteenpäin?

Ratkaisu: Pakettiauto jarruttaa, joten se on kiihtyvä vertailujärjestelmä. Siinä laatikkoon vaikuttaa lisäksi hitausvoima, joka on pakettiauton kiihtyvyyttä vastaan, siis eteenpäin. Positiiviseksi suunnaksi valitaan eteenpäin.

$\begin{aligned} m & = 30 kg, μ_{0} = 0, 5 \\ a & = - 6 {m / s}^{2} \end{aligned}$

Pakettiauton kiihtyvyys osoittaa taaksepäin, ja siksi se on negatiivinen. Hitausvoima ja suurin lepokitka:

$\begin{aligned} F_{h} & = - m \cdot a = - 30 kg \cdot (- 6 {m / s}^{2}) = 180 N \\ μ_{0} \cdot m \cdot g & = 0, 5 \cdot 30 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \approx 147 N \end{aligned}$

Hitausvoima tuli positiivinen, joten se osoittaa eteenpäin. Kitka ei pidä laatikkoa paikallaan, se liukuu eteenpäin. Se pitäisi sen paikallaan vain hidastuvuuteen μ₀ · g ≈ 4,9 m/s² asti, massa supistuu pois. Ulkoa tilanne näyttää samalta ilman hitausvoimaa: hidastuvuuteen 6 m/s² laatikko tarvitsisi kitkan 180 N, mutta lepokitka antaa enintään 147 N. Laatikko hidastuu siksi vähemmän kuin pakettiauto.

Esimerkki 12: Jarrutus lumella

Lumisella tiellä ajaa auto nopeudella 45 km/h ja kuljettaja jarruttaa niin, että pyörät lukkiutuvat. Renkaiden liikekitkakerroin lumella on 0,3. Kuinka pitkä on jarrutusmatka ja kuinka kauan jarrutus kestää?

Ratkaisu:

$\begin{aligned} v & = 45 km / h = 12, 5 m / s \\ μ & = 0, 3 \\ s_{j} & = ? (m), t = ? (s) \end{aligned}$

Kulkusuunta on positiivinen. Hidastaa vain kitka, $m \cdot | a | = μ \cdot m \cdot g$ , joten hidastuvuus on $| a | = μ \cdot g$ . Sijoitetaan se jarrutusmatkan kaavaan:

$\begin{aligned} s_{j} & = \frac{v^{2}}{2 \cdot μ \cdot g} = \frac{(12, 5 m / s)^{2}}{2 \cdot 0, 3 \cdot 9, 81 {m / s}^{2}} \approx 26, 5 m \\ t & = \frac{v}{μ \cdot g} = \frac{12, 5 m / s}{0, 3 \cdot 9, 81 {m / s}^{2}} \approx 4, 2 s \end{aligned}$

Auto pysähtyy 26,5 m:n matkalla ja jarruttaa yli neljä sekuntia. Kuivalla tiellä kertoimella 0,7 riittäisi 11,4 m. Kaavassa ei ole massaa, joten täyteen lastattu autokin jarruttaa samoin, ainakin tässä yksinkertaistuksessa.

Esimerkki 13: Junan lähtö

Juna, jonka massa on 400 t, lähtee liikkeelle asemalta. Kiskot työntävät veturin pyörien kautta junaa eteenpäin voimalla 200 kN, liikettä vastustavat vastukset ovat 40 kN. Kuinka pian ja kuinka pitkän matkan jälkeen se saavuttaa nopeuden 90 km/h, jos voimat eivät muutu?

Ratkaisu:

$\begin{aligned} m & = 400 t = 400 000 kg \\ F_{1} & = 200 000 N, F_{2} = 40 000 N \\ v & = 90 km / h = 25 m / s \\ t & = ? (s), s = ? (m) \end{aligned}$

Positiivinen suunta valitaan kulkusuunnaksi. Ensin dynamiikka, dynamiikan peruslaki:

$a = \frac{F_{1} - F_{2}}{m} = \frac{160 000 N}{400 000 kg} = 0, 4 {m / s}^{2}$

Sitten tasaisesti kiihtyvän liikkeen kinematiikka levosta ja ajaton yhtälö:

$\begin{aligned} t & = \frac{v}{a} = \frac{25 m / s}{0, 4 {m / s}^{2}} = 62, 5 s \\ s & = \frac{v^{2}}{2 \cdot a} = \frac{(25 m / s)^{2}}{2 \cdot 0, 4 {m / s}^{2}} \approx 781 m \end{aligned}$

Tarkistus: keskinopeus on 12,5 m/s ja ajassa 62,5 s se antaa saman 781 m. Juna tarvitsee noin minuutin ja vajaan kilometrin. Todellisuudessa vastus kasvaa nopeuden mukana, ja siksi liikkeellelähtö kestää hieman kauemmin.

Matkan pää

Tähän päättyy kinematiikan ja dynamiikan oppikirja. Alussa selvitettiin, mikä on ylipäätään suure ja yksikkö, nopeuden ja kiihtyvyyden kautta päästiin voimiin ja Newtonin lakeihin, ja lopuksi nämä kaksi yhdistettiin: voima kertoo, kuinka suuri kiihtyvyys on, ja kiihtyvyys, minne ja kuinka nopeasti kappale pääsee. Tällä parilla selviät useimmista liikettä ja voimia koskevista tehtävistä. Työ ja energia tulevat vuoroon myöhemmin.

« Edellinen: Ratkaistuja kinematiikan tehtäviä

Seuraava: Muut »