Probleme rezolvate de dinamică

Forțele le înțelegem cel mai bine calculând cu ele. Te așteaptă treisprezece probleme, de la compunerea forțelor, prin principiile lui Newton, impuls și frecare, până la curbă și forța de inerție. Trei dintre ele (toboganul, frânarea pe zăpadă și pornirea trenului) leagă forțele de mișcare: din forțe calculăm accelerația, iar din accelerație viteza sau distanța. Urmăm procedeul verificat: notarea datelor, schița forțelor, sensul pozitiv, rezolvarea generală, înlocuirea cu unități și răspunsul într-o propoziție întreagă. Schița desenează-o singur, doar prima problemă are figură. Încearcă mai întâi să rezolvi singur fiecare problemă.

Problema 1: Două tractoare și combina blocată

O combină s-a blocat în noroi. Două tractoare o trag afară, fiecare cu o funie și cu forța de 30 kN. Funiile fac între ele unghiul β = 60°, iar combina se află exact pe axa dintre ele. Cât de mare este rezultanta?

Două forțe F⃗_1 (roșu) și F⃗_2 (albastru) din punctul portocaliu, care reprezintă combina, fiecare abătută cu unghiul α de la axă, și rezultanta verde F⃗ de-a lungul axei

Rezolvare. Se dă / Se cere:

$\begin{aligned} F_{1} = F_{2} & = 30 kN = 30.000 N \\ β & = 60 ° \\ F & = ? (N) \end{aligned}$

Axa x o alegem de-a lungul axei dintre funii, pozitivă în sensul tracțiunii. Fiindcă combina se află pe axă, fiecare funie este abătută de la ea cu jumătate din unghiul dintre funii, $α = \frac{β}{2} = 30 °$ . Ambele forțe le descompunem în componente. Componentele perpendiculare pe axă sunt la fel de mari și opuse, așa că se anulează. De-a lungul axei rămân două componente egale F₁ · cos α:

$\begin{aligned} F & = 2 \cdot F_{1} \cdot \cos α = 2 \cdot 30.000 N \cdot \cos 30 ° \\ \approx 51.962 N \end{aligned}$

Rezultanta este de aproximativ 52 kN, nu 60 kN. O parte din tracțiune se pierde, pentru că tractoarele trag fiecare puțin în altă parte. Cu cât funiile se deschid mai mult, cu atât pierderea este mai mare: la unghiul β = 120° dintre funii este α = 60°, iar rezultanta 2 · 30.000 N · cos 60° = 30.000 N, ca și cum ar trage un singur tractor.

Problema 2: Barca cu motor

Asupra unei bărci cu masa de 300 kg, împreună cu echipajul, apa acționează datorită elicei cu o forță de 900 N, îndreptată înainte. Rezistența apei este de 300 N. Ce accelerație are barca?

Rezolvare. Se dă / Se cere:

$\begin{aligned} m & = 300 kg \\ F_{1} & = 900 N, F_{2} = 300 N \\ a & = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

Ca pozitiv luăm sensul de navigare. Rezistența este îndreptată împotriva lui, deci în rezultantă apare cu minus. Apoi doar adunăm forțele și împărțim la masă:

$a = \frac{F_{1} - F_{2}}{m} = \frac{900 N - 300 N}{300 kg} = 2 {m / s}^{2}$

Unitățile se potrivesc, newtonul pe kilogram este metrul pe secundă la pătrat. Barca are accelerația 2 m/s². Rezistența apei crește cu viteza, iar când ajunge la 900 N, rezultanta va fi nulă și barca va merge cu viteză constantă.

Problema 3: Camionul și mașina

Un camion cu masa de 10.000 kg se ciocnește de un autoturism cu masa de 1.000 kg. Care corp acționează asupra celuilalt cu o forță mai mare? Ce accelerații au, dacă forța ciocnirii este 50.000 N?

Rezolvare: Cei mai mulți ar spune camionul. Forțele din ciocnire formează însă o pereche acțiune–reacțiune și sunt de aceea la fel de mari și opuse. Camionul împinge mașina cu 50.000 N, iar mașina împinge camionul la fel. Diferența constă în efectul forței asupra fiecărui corp.

Se dă / Se cere:

$\begin{aligned} m_{1} & = 10.000 kg, m_{2} = 1.000 kg \\ F & = 50.000 N \\ a_{1} & = ? ({m / s}^{2}), a_{2} = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

Ca pozitiv alegem sensul de mers al camionului:

$\begin{aligned} a_{1} & = \frac{- F}{m_{1}} = \frac{- 50.000 N}{10.000 kg} = - 5 {m / s}^{2} \\ a_{2} & = \frac{F}{m_{2}} = \frac{50.000 N}{1.000 kg} = 50 {m / s}^{2} \end{aligned}$

Camionul are accelerația −5 m/s², deci încetinește, în timp ce mașina primește accelerația 50 m/s², de aproximativ cinci ori mai mare decât cea gravitațională. De aceea ocupanții mașinii o pățesc mai rău, deși forțele sunt egale.

Problema 4: Cântarul în liftul care coboară

Dan, cu masa de 80 kg, stă într-un lift pe un cântar. Liftul coboară, iar înainte de parter frânează cu încetinirea de 1,5 m/s². Ce arată cântarul?

Rezolvare: Sensul în sus va fi pozitiv. Liftul coboară și încetinește, deci accelerația lui este îndreptată în sus: a = 1,5 m/s².

Se dă / Se cere:

$\begin{aligned} m & = 80 kg \\ a & = 1, 5 {m / s}^{2} \\ N & = ? (N) \end{aligned}$

Pe Dan îl trage în jos greutatea, iar în sus îl susține reacțiunea normală a cântarului. Conform principiului al II-lea N − m · g = m · a, deci reacțiunea normală iese la fel ca la liftul care pornește în sus:

$\begin{aligned} N & = m \cdot (g + a) \\ = 80 kg \cdot (9, 81 {m / s}^{2} + 1, 5 {m / s}^{2}) \\ = 904, 8 N \end{aligned}$

Cântarul împarte forța la accelerația gravitațională și arată $\frac{N}{g} = \frac{904, 8 N}{9, 81 {m / s}^{2}} \approx 92 kg$ . În repaus ar arăta cei 80 kg adevărați ai lui. Dan se simte mai greu, deși coboară. Contează sensul accelerației, nu sensul mersului.

Problema 5: Roverul de pe Marte

Roverul Perseverance are masa de 1.025 kg. Cât de mare este greutatea lui pe Pământ și cât de mare pe Marte, unde accelerația gravitațională este 3,71 m/s²?

Rezolvare. Se dă / Se cere:

$\begin{aligned} m & = 1.025 kg \\ g & = 3, 71 {m / s}^{2} \\ G & = ? (N) \end{aligned}$

Greutatea este masa înmulțită cu accelerația gravitațională. Pe Marte

$G = m \cdot g = 1.025 kg \cdot 3, 71 {m / s}^{2} \approx 3.803 N,$

pe Pământ, prin același calcul cu g = 9,81 m/s²

$G = 1.025 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \approx 10.055 N .$

Pe Marte asupra roverului acționează greutatea de aproximativ 3,8 kN, ceva peste o treime din cei 10 kN de pe Pământ. Masa o are însă peste tot la fel, așa că la aceeași forță pornește la fel de greu.

Problema 6: Serviciul la tenis

Un tenismen servește o minge cu masa de 57 g, care în punctul cel mai înalt al aruncării este aproape în repaus. Racheta este în contact cu ea 5 ms, iar mingea pleacă cu viteza de 50 m/s. Cu ce forță medie acționează racheta asupra ei?

Rezolvare. Se dă / Se cere:

$\begin{aligned} m & = 57 g = 0,057 kg \\ v_{0} & = 0 m / s, v = 50 m / s \\ Δ t & = 5 ms = 0,005 s \\ F & = ? (N) \end{aligned}$

Sensul pozitiv îl alegem în sensul zborului mingii. Forța este egală cu variația impulsului împărțită la durata acțiunii ei, adică impulsul forței împărțit la durata loviturii:

$\begin{aligned} F & = \frac{Δ p}{Δ t} = \frac{m \cdot (v - v_{0})}{Δ t} \\ = \frac{0,057 kg \cdot 50 m / s}{0,005 s} = 570 N \end{aligned}$

Este cam atât cât ar apăsa pe minge un om cu masa de 58 kg, doar că numai cinci miimi de secundă. Racheta apasă pe minge cu forța medie de 570 N. La o atingere de două ori mai lungă, pentru aceeași viteză ar ajunge jumătate din forță.

Problema 7: Hocheiști care se ciocnesc

Un hocheist cu masa de 90 kg merge cu viteza de 6 m/s și se ciocnește frontal cu un adversar cu masa de 80 kg, care vine spre el cu viteza de 4 m/s. După ciocnire se agață unul de altul. Cu ce viteză și încotro se mișcă?

Rezolvare: Sensul pozitiv este îndreptat încotro merge primul hocheist, iar viteza adversarului este de aceea negativă.

Se dă / Se cere:

$\begin{aligned} m_{1} & = 90 kg, v_{1} = 6 m / s \\ m_{2} & = 80 kg, v_{2} = - 4 m / s \\ v^{'} & = ? (m / s) \end{aligned}$

Pe gheață frecarea este mică, iar ciocnirea scurtă, perechea o considerăm de aceea sistem izolat. Conform legii conservării impulsului, impulsul dinainte de ciocnire este egal cu cel de după:

$m_{1} \cdot v_{1} + m_{2} \cdot v_{2} = (m_{1} + m_{2}) \cdot v^{'}$

$\begin{aligned} v^{'} & = \frac{m_{1} \cdot v_{1} + m_{2} \cdot v_{2}}{m_{1} + m_{2}} \\ = \frac{90 kg \cdot 6 m / s + 80 kg \cdot (- 4 m / s)}{170 kg} \\ \approx 1, 29 m / s \end{aligned}$

Rezultatul este pozitiv, perechea alunecă deci încotro mergea hocheistul cu masă și viteză mai mari, cu aproximativ 1,3 m/s. Cine uită semnul obține rezultatul absurd de 5,1 m/s.

Problema 8: Banca din sala de sport

O bancă de lemn cu masa de 25 kg stă pe o podea de lemn. Coeficientul de frecare statică este 0,5, cel de alunecare 0,3. O pune în mișcare o forță orizontală de 100 N? Și ce accelerație va avea banca, dacă o împingem cu forța de 130 N?

Rezolvare. Se dă / Se cere:

$\begin{aligned} m & = 25 kg \\ μ_{s} & = 0, 5, μ = 0, 3 \\ F_{1} & = 100 N, F_{2} = 130 N \\ a & = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

Pe podeaua orizontală reacțiunea normală este egală cu greutatea, N = m · g. Frecarea statică maximă este

$μ_{s} \cdot m \cdot g = 0, 5 \cdot 25 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \approx 123 N .$

Forța de 100 N este mai mică, banca stă, iar frecarea statică are exact 100 N. Forța de 130 N o desprinde, iar apoi o frânează doar frecarea de alunecare. Sensul pozitiv îl alegem în sensul împingerii:

$\begin{aligned} a & = \frac{F_{2} - μ \cdot m \cdot g}{m} \\ = \frac{130 N - 0, 3 \cdot 25 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2}}{25 kg} \\ \approx 2, 26 {m / s}^{2} \end{aligned}$

Banca pornește cu accelerația de aproximativ 2,3 m/s². Cu o sută de newtoni nu o mișcăm deloc.

Problema 9: Toboganul

Un copil coboară din repaus pe un tobogan lung de 4 m cu înclinarea de 30°. Coeficientul de frecare la alunecare al pantalonilor pe tobogan este 0,3. Cu ce viteză ajunge jos?

Rezolvare. Se dă / Se cere:

$\begin{aligned} α & = 30 °, μ = 0, 3 \\ s & = 4 m, v_{0} = 0 m / s \\ v & = ? (m / s) \end{aligned}$

Sensul pozitiv îl alegem în jos, de-a lungul toboganului. Componenta greutății de-a lungul pantei este m · g · sin α, frecarea μ · m · g · cos α este îndreptată împotriva mișcării. După simplificarea masei rămâne accelerația pe o pantă cu frecare, a = g · (sin α − μ · cos α). Pentru orientare, iese aproximativ 2,36 m/s².

Timpul nu îl cunoaștem, de aceea viteza de jos o dă relația fără timp v² = 2 · a · s. Înlocuim în ea accelerația în formă generală:

$\begin{aligned} v & = \sqrt{2 \cdot g \cdot s \cdot (\sin α - μ \cdot \cos α)} \\ = \sqrt{2 \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \cdot 4 m \cdot (\sin 30 ° - 0, 3 \cdot \cos 30 °)} \\ \approx 4, 34 m / s \end{aligned}$

Copilul ajunge cu viteza de aproximativ 4,3 m/s, adică puțin sub 16 km/h. Fără frecare ar fi peste 6 m/s.

Problema 10: Biciclistul în curbă

Cu ce viteză maximă poate lua un biciclist o curbă orizontală cu raza de 12 m pe asfalt uscat, cu coeficientul de frecare 0,7? Și cu ce viteză pe asfalt ud, cu coeficientul 0,5?

Rezolvare. Se dă / Se cere:

$\begin{aligned} r & = 12 m \\ μ & = 0, 7 \\ v_{max} & = ? (m / s) \end{aligned}$

Biciclistul este ținut pe cerc doar de frecarea anvelopelor, îndreptată spre centrul curbei. Aceasta trebuie să ajungă pentru forța centripetă, $\frac{m \cdot v^{2}}{r} \leq μ \cdot m \cdot g$ . Masa se simplifică:

$\begin{aligned} v_{max} & = \sqrt{μ \cdot g \cdot r} = \sqrt{0, 7 \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \cdot 12 m} \\ \approx 9, 1 m / s \end{aligned}$

Asta înseamnă aproximativ 33 km/h. Pe ud iese prin același calcul 7,7 m/s, puțin sub 28 km/h. Masa s-a simplificat, așa că un biciclist cu masă mai mare nu are lucrurile nici mai ușoare, nici mai grele. La o viteză mai mare bicicleta alunecă în afara curbei.

Problema 11: Lada din dubița care frânează

În dubiță, pe podeaua de lemn, se află o ladă de lemn cu scule, cu masa de 30 kg; coeficientul de frecare statică este 0,5. Șoferul frânează cu încetinirea de 6 m/s². Judecă situația din interiorul dubiței: alunecă lada înainte?

Rezolvare: Dubița frânează, deci este un sistem neinerțial. În el asupra ladei acționează în plus forța de inerție, opusă accelerației dubiței, adică îndreptată înainte. Sensul pozitiv îl alegem înainte.

Se dă:

$\begin{aligned} m & = 30 kg, μ_{s} = 0, 5 \\ a & = - 6 {m / s}^{2} \end{aligned}$

Accelerația dubiței este îndreptată înapoi și este de aceea negativă. Forța de inerție și frecarea statică maximă:

$\begin{aligned} F_{i} & = - m \cdot a = - 30 kg \cdot (- 6 {m / s}^{2}) = 180 N \\ μ_{s} \cdot m \cdot g & = 0, 5 \cdot 30 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \approx 147 N \end{aligned}$

Forța de inerție a ieșit pozitivă, este deci îndreptată înainte. Frecarea nu oprește lada, aceasta alunecă înainte. Ar putea-o reține doar la încetiniri de cel mult μ_s · g ≈ 4,9 m/s², masa se simplifică. Din exterior situația arată la fel, doar fără forța de inerție: pentru încetinirea de 6 m/s² lada ar avea nevoie de o frecare de 180 N, iar frecarea statică dă cel mult 147 N. Lada încetinește de aceea mai puțin decât dubița.

Problema 12: Frânarea pe zăpadă

Pe un drum acoperit cu zăpadă merge o mașină cu viteza de 45 km/h, iar șoferul frânează astfel încât roțile se blochează. Coeficientul de frecare la alunecare al anvelopelor pe zăpadă este 0,3. Cât de lungă este distanța de frânare și cât durează frânarea?

Rezolvare. Se dă / Se cere:

$\begin{aligned} v & = 45 km / h = 12, 5 m / s \\ μ & = 0, 3 \\ s_{f} & = ? (m), t = ? (s) \end{aligned}$

Sensul de mers va fi pozitiv. Încetinește doar frecarea, $m \cdot | a | = μ \cdot m \cdot g$ , deci încetinirea este $| a | = μ \cdot g$ . O înlocuim în formula distanței de frânare:

$\begin{aligned} s_{f} & = \frac{v^{2}}{2 \cdot μ \cdot g} = \frac{(12, 5 m / s)^{2}}{2 \cdot 0, 3 \cdot 9, 81 {m / s}^{2}} \approx 26, 5 m \\ t & = \frac{v}{μ \cdot g} = \frac{12, 5 m / s}{0, 3 \cdot 9, 81 {m / s}^{2}} \approx 4, 2 s \end{aligned}$

Mașina se oprește după 26,5 m iar frânarea durează peste patru secunde. Pe uscat, cu coeficientul 0,7, i-ar ajunge 11,4 m. Masa lipsește din formulă, așa că și o mașină încărcată complet frânează la fel, cel puțin în această simplificare.

Problema 13: Pornirea trenului

Un tren cu masa de 400 t pornește din gară. Șinele împing trenul înainte prin roțile locomotivei cu forța de 200 kN, rezistențele împotriva mișcării sunt de 40 kN. În cât timp și pe ce distanță atinge viteza de 90 km/h, dacă forțele nu se schimbă?

Rezolvare. Se dă / Se cere:

$\begin{aligned} m & = 400 t = 400.000 kg \\ F_{1} & = 200.000 N, F_{2} = 40.000 N \\ v & = 90 km / h = 25 m / s \\ t & = ? (s), s = ? (m) \end{aligned}$

Sensul pozitiv îl alegem în sensul mersului. Mai întâi dinamica, principiul fundamental:

$a = \frac{F_{1} - F_{2}}{m} = \frac{160.000 N}{400.000 kg} = 0, 4 {m / s}^{2}$

Apoi cinematica mișcării uniform accelerate din repaus și relația fără timp:

$\begin{aligned} t & = \frac{v}{a} = \frac{25 m / s}{0, 4 {m / s}^{2}} = 62, 5 s \\ s & = \frac{v^{2}}{2 \cdot a} = \frac{(25 m / s)^{2}}{2 \cdot 0, 4 {m / s}^{2}} \approx 781 m \end{aligned}$

Verificare: viteza medie este 12,5 m/s, iar în 62,5 s asta dă aceiași 781 m. Trenul are nevoie de aproximativ un minut și de mai puțin de un kilometru. În realitate rezistența crește cu viteza, iar pornirea durează de aceea ceva mai mult.

Sfârșitul drumului

Cu asta se încheie manualul de cinematică și dinamică. Am început de la ce este, de fapt, o mărime și o unitate de măsură, prin viteză și accelerație am ajuns la forțe și la principiile lui Newton, iar la sfârșit le-am unit pe amândouă: forța spune cât de mare este accelerația, iar accelerația încotro și cât de repede ajunge corpul. Cu această pereche rezolvi majoritatea problemelor despre mișcare și forțe. Lucrul mecanic și energia vor urma mai târziu.

« Anterior: Probleme rezolvate de cinematică

Următor: Altele »