Exercices corrigés de dynamique

C’est en calculant qu’on comprend le mieux les forces. Voici treize exercices, de la composition des forces aux lois de Newton, à la quantité de mouvement et aux frottements, jusqu’au virage et à la force d’inertie. Trois d’entre eux (le toboggan, le freinage sur la neige et le démarrage d’un train) relient les forces au mouvement : des forces nous calculons l’accélération, et de l’accélération la vitesse ou la distance. Nous suivons la démarche éprouvée : les données, le schéma des forces, le sens positif, la solution littérale, le calcul avec les unités et une réponse en une phrase complète. Fais le schéma toi-même, seul le premier exercice a une figure. Essaie de résoudre chaque exercice d’abord seul.

Exercice 1 : Deux tracteurs et une moissonneuse-batteuse embourbée

Une moissonneuse-batteuse s’est enlisée dans la boue. Deux tracteurs la tirent pour la sortir, chacun par un câble avec une force de 30 kN. Les câbles forment un angle β = 60° et la moissonneuse se trouve exactement sur l’axe entre eux. Quelle est la valeur de la résultante ?

Deux forces F⃗_1 (en rouge) et F⃗_2 (en bleu) issues du point orange, qui représente la moissonneuse-batteuse, chacune écartée de l’axe d’un angle α, et la résultante verte F⃗ le long de l’axe

Solution :

$\begin{aligned} F_{1} = F_{2} & = 30 kN = 30 000 N \\ β & = 60 ° \\ F & = ? (N) \end{aligned}$

Nous choisissons l’axe x le long de l’axe entre les câbles, positif dans le sens de la traction. Comme la moissonneuse est sur l’axe, chaque câble s’écarte de celui-ci de la moitié de l’angle entre les câbles, $α = \frac{β}{2} = 30 °$ . Nous décomposons les deux forces en composantes. Les composantes perpendiculaires à l’axe sont égales et opposées, elles s’annulent donc. Le long de l’axe, il reste deux composantes égales F₁ · cos α :

$\begin{aligned} F & = 2 \cdot F_{1} \cdot \cos α = 2 \cdot 30 000 N \cdot \cos 30 ° \\ \approx 51 962 N \end{aligned}$

La résultante est d’environ 52 kN, pas 60 kN. Une partie de la traction est perdue, parce que les tracteurs tirent chacun dans une direction un peu différente. Plus les câbles s’écartent, plus la perte est grande : pour un angle β = 120° entre les câbles, α = 60° et la résultante est 2 · 30 000 N · cos 60° = 30 000 N, comme si un seul tracteur tirait.

Exercice 2 : Un bateau à moteur

Un bateau de masse 300 kg avec son équipage est poussé vers l’avant par l’eau grâce à l’hélice avec une force de 900 N. La résistance de l’eau est de 300 N. Quelle est l’accélération du bateau ?

Solution :

$\begin{aligned} m & = 300 kg \\ F_{1} & = 900 N, F_{2} = 300 N \\ a & = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

Nous prenons comme sens positif le sens de la navigation. La résistance est dirigée contre lui, elle a donc un signe moins dans la résultante. Il ne reste qu’à additionner les forces et diviser par la masse :

$a = \frac{F_{1} - F_{2}}{m} = \frac{900 N - 300 N}{300 kg} = 2 {m / s}^{2}$

Les unités sont cohérentes, un newton par kilogramme est un mètre par seconde au carré. Le bateau a une accélération de 2 m/s². La résistance de l’eau augmente avec la vitesse et, quand elle atteindra 900 N, la résultante sera nulle et le bateau avancera à vitesse constante.

Exercice 3 : Un camion et une voiture

Un camion de masse 10 000 kg heurte une voiture de masse 1 000 kg. Lequel des deux corps exerce sur l’autre la plus grande force ? Quelles sont leurs accélérations si la force du choc est de 50 000 N ?

Solution : La plupart des gens parient sur le camion. Mais les forces du choc forment une paire action-réaction et elles ont donc la même valeur et sont opposées. Le camion pousse la voiture avec une force de 50 000 N et la voiture pousse aussi le camion. La différence est dans ce que la force fait au corps.

$\begin{aligned} m_{1} & = 10 000 kg, m_{2} = 1 000 kg \\ F & = 50 000 N \\ a_{1} & = ? ({m / s}^{2}), a_{2} = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

Nous prenons comme sens positif le sens de marche du camion :

$\begin{aligned} a_{1} & = \frac{- F}{m_{1}} = \frac{- 50 000 N}{10 000 kg} = - 5 {m / s}^{2} \\ a_{2} & = \frac{F}{m_{2}} = \frac{50 000 N}{1 000 kg} = 50 {m / s}^{2} \end{aligned}$

Le camion a une accélération de −5 m/s², il ralentit donc, alors que la voiture reçoit une accélération de 50 m/s², environ cinq fois l’intensité de la pesanteur. C’est pourquoi les occupants de la voiture s’en sortent plus mal, bien que les forces soient égales.

Exercice 4 : Le pèse-personne dans un ascenseur qui descend

Rémi, de masse 80 kg, se tient sur un pèse-personne dans un ascenseur. L’ascenseur descend et, avant le rez-de-chaussée, il freine avec une décélération de 1,5 m/s². Qu’indique le pèse-personne ?

Solution : Le sens positif est vers le haut. L’ascenseur descend et ralentit, son accélération est donc dirigée vers le haut : a = 1,5 m/s².

$\begin{aligned} m & = 80 kg \\ a & = 1, 5 {m / s}^{2} \\ R_{N} & = ? (N) \end{aligned}$

Le poids tire Rémi vers le bas et la réaction normale du pèse-personne le porte vers le haut. D’après la deuxième loi de Newton, R_N − m · g = m · a, donc la réaction normale vaut comme pour un ascenseur qui démarre vers le haut :

$\begin{aligned} R_{N} & = m \cdot (g + a) \\ = 80 kg \cdot (9, 81 {m / s}^{2} + 1, 5 {m / s}^{2}) \\ = 904, 8 N \end{aligned}$

Le pèse-personne divise la force par l’intensité de la pesanteur et affiche $\frac{R_{N}}{g} = \frac{904, 8 N}{9, 81 {m / s}^{2}} \approx 92 kg$ . Au repos, il afficherait ses vrais 80 kg. Rémi se sent plus lourd, bien qu’il descende. Ce qui compte, c’est le sens de l’accélération, pas le sens du mouvement.

Exercice 5 : Le rover sur Mars

Le rover Perseverance a une masse de 1 025 kg. Quel est son poids sur la Terre et sur Mars, où l’intensité de la pesanteur est de 3,71 m/s² ?

Solution :

$\begin{aligned} m & = 1 025 kg \\ g & = 3, 71 {m / s}^{2} \\ P & = ? (N) \end{aligned}$

Le poids est la masse fois l’intensité de la pesanteur. Sur Mars

$P = m \cdot g = 1 025 kg \cdot 3, 71 {m / s}^{2} \approx 3 803 N,$

sur la Terre, par le même calcul avec g = 9,81 m/s²

$P = 1 025 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \approx 10 055 N .$

Sur Mars, le poids du rover est d’environ 3,8 kN, un peu plus d’un tiers des 10 kN terrestres. Sa masse est évidemment la même partout, et à force égale il démarre donc avec la même réticence.

Exercice 6 : Un service au tennis

Un joueur de tennis sert une balle de masse 57 g, presque au repos au point le plus haut du lancer. La raquette la touche pendant 5 ms et la balle part à la vitesse de 50 m/s. Avec quelle force moyenne la raquette agit-elle sur elle ?

Solution :

$\begin{aligned} m & = 57 g = 0,057 kg \\ v_{0} & = 0 m / s, v = 50 m / s \\ Δ t & = 5 ms = 0,005 s \\ F & = ? (N) \end{aligned}$

Nous choisissons le sens positif dans le sens du vol de la balle. La force est égale à la variation de la quantité de mouvement pendant la durée de son action, donc l’impulsion divisée par la durée du choc :

$\begin{aligned} F & = \frac{Δ p}{Δ t} = \frac{m \cdot (v - v_{0})}{Δ t} \\ = \frac{0,057 kg \cdot 50 m / s}{0,005 s} = 570 N \end{aligned}$

C’est à peu près comme si une personne de 58 kg se tenait sur la balle, mais seulement pendant cinq millièmes de seconde. La raquette pousse la balle avec une force moyenne de 570 N. Avec un contact deux fois plus long, une force deux fois plus petite suffirait pour la même vitesse.

Exercice 7 : Deux hockeyeurs accrochés

Un hockeyeur de masse 90 kg glisse à 6 m/s et heurte de plein fouet un adversaire de masse 80 kg qui vient à sa rencontre à 4 m/s. Après le choc, ils restent accrochés l’un à l’autre. À quelle vitesse et dans quelle direction se déplacent-ils ?

Solution : Le sens positif est celui dans lequel va le premier hockeyeur, la vitesse de l’adversaire est donc négative.

$\begin{aligned} m_{1} & = 90 kg, v_{1} = 6 m / s \\ m_{2} & = 80 kg, v_{2} = - 4 m / s \\ v^{'} & = ? (m / s) \end{aligned}$

Sur la glace, les frottements sont faibles et le choc est bref, nous considérons donc la paire comme un système isolé. D’après la conservation de la quantité de mouvement, la quantité de mouvement avant le choc est la même qu’après :

$m_{1} \cdot v_{1} + m_{2} \cdot v_{2} = (m_{1} + m_{2}) \cdot v^{'}$

$\begin{aligned} v^{'} & = \frac{m_{1} \cdot v_{1} + m_{2} \cdot v_{2}}{m_{1} + m_{2}} \\ = \frac{90 kg \cdot 6 m / s + 80 kg \cdot (- 4 m / s)}{170 kg} \\ \approx 1, 29 m / s \end{aligned}$

Le résultat est positif, la paire glisse donc dans le sens où allait le hockeyeur de plus grande masse et de plus grande vitesse, à environ 1,3 m/s. Celui qui oublie le signe obtient un absurde 5,1 m/s.

Exercice 8 : Un banc dans le gymnase

Un banc en bois de masse 25 kg repose sur un parquet en bois. Le coefficient de frottement statique est 0,5, celui de glissement 0,3. Une force horizontale de 100 N le met-elle en mouvement ? Et quelle sera l’accélération du banc si nous le poussons avec une force de 130 N ?

Solution :

$\begin{aligned} m & = 25 kg \\ μ_{s} & = 0, 5, μ = 0, 3 \\ F_{1} & = 100 N, F_{2} = 130 N \\ a & = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

Sur un sol horizontal, la réaction normale est égale au poids, R_N = m · g. Le frottement statique maximal est

$μ_{s} \cdot m \cdot g = 0, 5 \cdot 25 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \approx 123 N .$

La force de 100 N est plus petite, le banc reste immobile et le frottement statique vaut exactement 100 N. La force de 130 N le détache et seul le frottement de glissement le freine encore. Nous choisissons le sens positif dans le sens de la poussée :

$\begin{aligned} a & = \frac{F_{2} - μ \cdot m \cdot g}{m} \\ = \frac{130 N - 0, 3 \cdot 25 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2}}{25 kg} \\ \approx 2, 26 {m / s}^{2} \end{aligned}$

Le banc démarre avec une accélération d’environ 2,3 m/s². Avec cent newtons, nous ne le ferions pas bouger du tout.

Exercice 9 : Le toboggan

Un enfant descend du repos un toboggan de 4 m de long, incliné de 30°. Le coefficient de frottement de glissement du pantalon sur le toboggan est de 0,3. À quelle vitesse arrive-t-il en bas ?

Solution :

$\begin{aligned} α & = 30 °, μ = 0, 3 \\ d & = 4 m, v_{0} = 0 m / s \\ v & = ? (m / s) \end{aligned}$

Nous choisissons le sens positif vers le bas le long du toboggan. La composante du poids le long de la pente est m · g · sin α, les frottements μ · m · g · cos α sont dirigés contre le mouvement. Après simplification de la masse, il reste l’accélération sur une pente avec frottements, a = g · (sin α − μ · cos α). Pour fixer les idées, on trouve environ 2,36 m/s².

Nous ne connaissons pas le temps, c’est donc la relation sans le temps v² = 2 · a · d qui donne la vitesse en bas. Nous y remplaçons l’accélération par son expression littérale :

$\begin{aligned} v & = \sqrt{2 \cdot g \cdot d \cdot (\sin α - μ \cdot \cos α)} \\ = \sqrt{2 \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \cdot 4 m \cdot (\sin 30 ° - 0, 3 \cdot \cos 30 °)} \\ \approx 4, 34 m / s \end{aligned}$

L’enfant arrive à environ 4,3 m/s, soit un peu moins de 16 km/h. Sans frottements, ce serait plus de 6 m/s.

Exercice 10 : Un cycliste dans un virage

À quelle vitesse maximale un cycliste peut-il prendre un virage horizontal de rayon 12 m sur de l’asphalte sec, avec un coefficient de frottement de 0,7 ? Et à quelle vitesse sur le mouillé, avec un coefficient de 0,5 ?

Solution :

$\begin{aligned} r & = 12 m \\ μ & = 0, 7 \\ v_{max} & = ? (m / s) \end{aligned}$

Ce qui retient le cycliste sur le cercle, ce sont seulement les frottements des pneus, dirigés vers le centre du virage. Ils doivent suffire pour la force centripète, $\frac{m \cdot v^{2}}{r} \leq μ \cdot m \cdot g$ . La masse se simplifie :

$\begin{aligned} v_{max} & = \sqrt{μ \cdot g \cdot r} = \sqrt{0, 7 \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \cdot 12 m} \\ \approx 9, 1 m / s \end{aligned}$

Cela fait environ 33 km/h. Sur le mouillé, le même calcul donne 7,7 m/s, un peu moins de 28 km/h. La masse s’est simplifiée, un cycliste de plus grande masse n’a donc ni plus ni moins de facilité. À une vitesse plus élevée, les roues dérapent vers l’extérieur du virage.

Exercice 11 : Une caisse dans une camionnette qui freine

Dans une camionnette, une caisse à outils en bois de masse 30 kg repose sur un plancher en bois, le coefficient de frottement statique est 0,5. Le conducteur freine avec une décélération de 6 m/s². Examine la situation de l’intérieur de la camionnette : la caisse glisse-t-elle vers l’avant ?

Solution : La camionnette freine, c’est donc un référentiel non galiléen. Dans celui-ci, une force d’inertie s’exerce en plus sur la caisse, opposée à l’accélération de la camionnette, donc vers l’avant. Nous choisissons le sens positif vers l’avant.

$\begin{aligned} m & = 30 kg, μ_{s} = 0, 5 \\ a & = - 6 {m / s}^{2} \end{aligned}$

L’accélération de la camionnette est dirigée vers l’arrière, elle est donc négative. La force d’inertie et le frottement statique maximal :

$\begin{aligned} F_{i} & = - m \cdot a = - 30 kg \cdot (- 6 {m / s}^{2}) = 180 N \\ μ_{s} \cdot m \cdot g & = 0, 5 \cdot 30 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \approx 147 N \end{aligned}$

La force d’inertie est positive, elle est donc dirigée vers l’avant. Les frottements ne retiennent pas la caisse, elle glisse vers l’avant. Ils ne la retiendraient que jusqu’à la décélération μ_s · g ≈ 4,9 m/s², la masse se simplifie. De l’extérieur, la situation paraît la même, simplement sans la force d’inertie : pour la décélération de 6 m/s², la caisse aurait besoin d’un frottement de 180 N, mais le frottement statique ne donne au plus que 147 N. La caisse ralentit donc moins que la camionnette.

Exercice 12 : Freinage sur la neige

Une voiture roule à 45 km/h sur une route enneigée et le conducteur freine de façon que les roues se bloquent. Le coefficient de frottement de glissement des pneus sur la neige est 0,3. Quelle est la distance de freinage et combien de temps dure le freinage ?

Solution :

$\begin{aligned} v & = 45 km / h = 12, 5 m / s \\ μ & = 0, 3 \\ d_{f} & = ? (m), t = ? (s) \end{aligned}$

Le sens de marche sera positif. Seuls les frottements ralentissent, $m \cdot | a | = μ \cdot m \cdot g$ , donc la décélération est $| a | = μ \cdot g$ . Nous la remplaçons dans la formule de la distance de freinage :

$\begin{aligned} d_{f} & = \frac{v^{2}}{2 \cdot μ \cdot g} = \frac{(12, 5 m / s)^{2}}{2 \cdot 0, 3 \cdot 9, 81 {m / s}^{2}} \approx 26, 5 m \\ t & = \frac{v}{μ \cdot g} = \frac{12, 5 m / s}{0, 3 \cdot 9, 81 {m / s}^{2}} \approx 4, 2 s \end{aligned}$

La voiture s’arrête après 26,5 m et freine plus de quatre secondes. Sur le sec, avec un coefficient de 0,7, 11,4 m lui suffiraient. La masse est absente de la formule, une voiture entièrement chargée freine donc de la même façon, du moins dans cette simplification.

Exercice 13 : Le démarrage d’un train

Un train de masse 400 t démarre d’une gare. Les rails poussent le train vers l’avant, par les roues de la locomotive, avec une force de 200 kN, les résistances au mouvement sont de 40 kN. Au bout de combien de temps et après quelle distance atteint-il la vitesse de 90 km/h, si les forces ne changent pas ?

Solution :

$\begin{aligned} m & = 400 t = 400 000 kg \\ F_{1} & = 200 000 N, F_{2} = 40 000 N \\ v & = 90 km / h = 25 m / s \\ t & = ? (s), d = ? (m) \end{aligned}$

Nous choisissons le sens positif dans le sens de la marche. D’abord la dynamique, la deuxième loi de Newton :

$a = \frac{F_{1} - F_{2}}{m} = \frac{160 000 N}{400 000 kg} = 0, 4 {m / s}^{2}$

Puis la cinématique du mouvement uniformément accéléré à partir du repos et la relation sans le temps :

$\begin{aligned} t & = \frac{v}{a} = \frac{25 m / s}{0, 4 {m / s}^{2}} = 62, 5 s \\ d & = \frac{v^{2}}{2 \cdot a} = \frac{(25 m / s)^{2}}{2 \cdot 0, 4 {m / s}^{2}} \approx 781 m \end{aligned}$

Vérification : la vitesse moyenne est 12,5 m/s et en 62,5 s cela donne les mêmes 781 m. Le train a besoin d’environ une minute et d’un peu moins d’un kilomètre. En réalité, la résistance augmente avec la vitesse, et le démarrage dure donc un peu plus longtemps.

La fin du voyage

Ainsi s’achève le cours de cinématique et de dynamique. Nous sommes partis de ce qu’est une grandeur et une unité, en passant par la vitesse et l’accélération nous sommes arrivés aux forces et aux lois de Newton, et enfin nous avons réuni les deux : la force dit quelle est l’accélération, et l’accélération où et à quelle vitesse le corps arrive. Avec ces deux outils, tu viendras à bout de la plupart des exercices sur le mouvement et les forces. Le travail et l’énergie viendront plus tard.

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