Megoldott dinamikai feladatok

Az erőket úgy értjük meg a legjobban, ha számolunk velük. Tizenhárom feladat vár rád az erők összeadásától Newton törvényein, a lendületen és a súrlódáson át a kanyarig és a tehetetlenségi erőig. Három közülük (a csúszda, a fékezés havon és a vonat elindulása) összekapcsolja az erőket a mozgással: az erőkből gyorsulást számolunk, a gyorsulásból pedig sebességet vagy utat. A bevált módszert követjük: adatok felírása, erőábra, pozitív irány, általános megoldás, behelyettesítés mértékegységekkel és válasz teljes mondatban. Az erőábrát rajzold meg magad, ábra csak az első feladathoz van. Mindegyik feladatot próbáld meg először egyedül megoldani.

1. feladat: Két traktor és az elakadt kombájn

Egy kombájn elakadt a sárban. Két traktor húzza ki, mindegyik egy kötéllel, 30 kN erővel. A kötelek β = 60° szöget zárnak be, és a kombájn pontosan a kettejük közötti tengelyen van. Mekkora az eredő?

Két erő, az F⃗_1 (pirossal) és az F⃗_2 (kékkel) a kombájnt jelképező narancssárga pontból, mindkettő α szöggel eltér a tengelytől, és a zöld F⃗ eredő a tengely mentén

Megoldás:

$\begin{aligned} F_{1} = F_{2} & = 30 kN = 30 000 N \\ β & = 60 ° \\ F & = ? (N) \end{aligned}$

Az x tengelyt a kötelek közötti tengely mentén vesszük fel, pozitív iránya a húzás iránya. Mivel a kombájn a tengelyen van, mindkét kötél a kötelek közötti szög felével tér el tőle, $α = \frac{β}{2} = 30 °$ . Mindkét erőt összetevőkre bontjuk. A tengelyre merőleges összetevők egyforma nagyok és ellentétes irányúak, ezért kioltják egymást. A tengely mentén két egyforma F₁ · cos α összetevő marad:

$\begin{aligned} F & = 2 \cdot F_{1} \cdot \cos α = 2 \cdot 30 000 N \cdot \cos 30 ° \\ \approx 51 962 N \end{aligned}$

Az eredő körülbelül 52 kN, nem 60 kN. A húzás egy része kárba vész, mert a traktorok mindegyike kicsit más irányba húz. Minél szélesebbre nyílnak a kötelek, annál nagyobb a veszteség: ha a kötelek közötti szög β = 120°, akkor α = 60°, az eredő pedig 2 · 30 000 N · cos 60° = 30 000 N, mintha csak egy traktor húzna.

2. feladat: Motorcsónak

Egy 300 kg tömegű csónakot a legénységgel együtt a propeller 900 N erővel hajtja előre a vízen. A víz ellenállása 300 N. Mekkora a csónak gyorsulása?

Megoldás:

$\begin{aligned} m & = 300 kg \\ F_{1} & = 900 N, F_{2} = 300 N \\ a & = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

Pozitívnak a haladás irányát vesszük. Az ellenállás ezzel szemben mutat, ezért az eredőben mínusz előjelet kap. Ezután már csak összeadjuk az erőket, és elosztjuk a tömeggel:

$a = \frac{F_{1} - F_{2}}{m} = \frac{900 N - 300 N}{300 kg} = 2 {m / s}^{2}$

A mértékegységek stimmelnek, a newton per kilogramm ugyanaz, mint a méter per szekundumnégyzet. A csónak gyorsulása 2 m/s². A víz ellenállása a sebességgel nő, és amikor eléri a 900 N értéket, az eredő nulla lesz, és a csónak állandó sebességgel megy tovább.

3. feladat: Kamion és személyautó

Egy 10 000 kg tömegű kamion nekiütközik egy 1000 kg tömegű személyautónak. Melyik test hat a másikra nagyobb erővel? Mekkora a gyorsulásuk, ha az ütközés ereje 50 000 N?

Megoldás: A legtöbben a kamionra tippelnek. Az ütközés erői azonban hatás-ellenhatás párt alkotnak, ezért egyforma nagyok, és ellentétes irányúak. A kamion 50 000 N erővel nyomja az autót, és az autó is ugyanennyivel a kamiont. A különbség az, hogy az erő mit tesz a testtel.

$\begin{aligned} m_{1} & = 10 000 kg, m_{2} = 1000 kg \\ F & = 50 000 N \\ a_{1} & = ? ({m / s}^{2}), a_{2} = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

Pozitívnak a kamion haladási irányát választjuk:

$\begin{aligned} a_{1} & = \frac{- F}{m_{1}} = \frac{- 50 000 N}{10 000 kg} = - 5 {m / s}^{2} \\ a_{2} & = \frac{F}{m_{2}} = \frac{50 000 N}{1000 kg} = 50 {m / s}^{2} \end{aligned}$

A kamion gyorsulása −5 m/s², vagyis lassul, az autó viszont 50 m/s² gyorsulást kap, ami körülbelül ötször akkora, mint a nehézségi gyorsulás. Ezért jár rosszabbul az autó utasa, bár az erők egyformák.

4. feladat: Mérleg a lefelé menő liftben

Rajmund 80 kg tömegű, és mérlegen áll egy liftben. A lift lefelé megy, és a földszint előtt 1,5 m/s² lassulással fékez. Mit mutat a mérleg?

Megoldás: Pozitív irány felfelé. A lift lefelé megy és lassul, ezért a gyorsulása felfelé mutat: a = 1,5 m/s².

$\begin{aligned} m & = 80 kg \\ a & = 1, 5 {m / s}^{2} \\ F_{ny} & = ? (N) \end{aligned}$

Rajmundot lefelé húzza a nehézségi erő, felfelé pedig a mérleg tartóereje tartja. Newton második törvénye szerint F_ny − m · g = m · a, így a tartóerő ugyanúgy jön ki, mint a felfelé induló liftnél:

$\begin{aligned} F_{ny} & = m \cdot (g + a) \\ = 80 kg \cdot (9, 81 {m / s}^{2} + 1, 5 {m / s}^{2}) \\ = 904, 8 N \end{aligned}$

A mérleg az erőt a nehézségi gyorsulással osztja el, és $\frac{F_{ny}}{g} = \frac{904, 8 N}{9, 81 {m / s}^{2}} \approx 92 kg$ értéket mutat. Nyugalomban a valódi, 80 kg tömegét mutatná. Rajmund nehezebbnek érzi magát, pedig lefelé megy. A gyorsulás iránya számít, nem a haladásé.

5. feladat: Marsjáró

A Perseverance marsjáró tömege 1025 kg. Mekkora nehézségi erő hat rá a Földön, és mekkora a Marson, ahol a nehézségi gyorsulás 3,71 m/s²?

Megoldás:

$\begin{aligned} m & = 1025 kg \\ g & = 3, 71 {m / s}^{2} \\ F_{g} & = ? (N) \end{aligned}$

A nehézségi erő a tömeg szorozva a nehézségi gyorsulással. A Marson

$F_{g} = m \cdot g = 1025 kg \cdot 3, 71 {m / s}^{2} \approx 3803 N,$

a Földön ugyanígy, g = 9,81 m/s² értékkel

$F_{g} = 1025 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \approx 10 055 N .$

A Marson a járműre körülbelül 3,8 kN nehézségi erő hat, valamivel több, mint a földi 10 kN harmada. A tömege viszont mindenhol ugyanaz, ezért ugyanakkora erő mellett ugyanolyan nehezen indul el.

6. feladat: Teniszadogatás

A teniszező egy 57 g tömegű labdát adogat, amely a feldobás csúcspontján szinte nyugalomban van. Az ütő 5 ms ideig érinti, és a labda 50 m/s sebességgel indul el. Mekkora átlagos erővel hat rá az ütő?

Megoldás:

$\begin{aligned} m & = 57 g = 0,057 kg \\ v_{0} & = 0 m / s, v = 50 m / s \\ Δ t & = 5 ms = 0,005 s \\ F & = ? (N) \end{aligned}$

A pozitív irányt a labda repülési irányába vesszük. Az erő egyenlő a lendületváltozás és a hatásidő hányadosával, vagyis az erőlökés és az ütközés idejének hányadosával:

$\begin{aligned} F & = \frac{Δ I}{Δ t} = \frac{m \cdot (v - v_{0})}{Δ t} \\ = \frac{0,057 kg \cdot 50 m / s}{0,005 s} = 570 N \end{aligned}$

Ez nagyjából annyi, mintha egy 58 kg tömegű ember állna a labdán, csak éppen öt ezredmásodpercig. Az ütő átlagosan 570 N erővel nyomja a labdát. Kétszer hosszabb érintésnél ugyanehhez a sebességhez fele akkora erő is elég lenne.

7. feladat: Összeakaszkodó jégkorongozók

Egy 90 kg tömegű jégkorongozó 6 m/s sebességgel halad, és szemből összeütközik egy 80 kg tömegű ellenféllel, aki 4 m/s sebességgel jön vele szemben. Az ütközés után összeakaszkodnak. Milyen gyorsan és merre mozognak?

Megoldás: A pozitív irány az első jégkorongozó haladási iránya, az ellenfél sebessége ezért negatív.

$\begin{aligned} m_{1} & = 90 kg, v_{1} = 6 m / s \\ m_{2} & = 80 kg, v_{2} = - 4 m / s \\ v^{'} & = ? (m / s) \end{aligned}$

A jégen a súrlódás kicsi, az ütközés rövid, ezért a párost zárt rendszernek vesszük. A lendületmegmaradás törvénye szerint az ütközés előtti lendület ugyanakkora, mint az ütközés utáni:

$m_{1} \cdot v_{1} + m_{2} \cdot v_{2} = (m_{1} + m_{2}) \cdot v^{'}$

$\begin{aligned} v^{'} & = \frac{m_{1} \cdot v_{1} + m_{2} \cdot v_{2}}{m_{1} + m_{2}} \\ = \frac{90 kg \cdot 6 m / s + 80 kg \cdot (- 4 m / s)}{170 kg} \\ \approx 1, 29 m / s \end{aligned}$

Az eredmény pozitív, a páros tehát abba az irányba csúszik, amerre a nagyobb tömegű és gyorsabb jégkorongozó ment, körülbelül 1,3 m/s sebességgel. Aki elfelejti az előjelet, értelmetlen eredményt, 5,1 m/s sebességet kap.

8. feladat: Pad a tornateremben

Egy 25 kg tömegű fapad áll a fa padlón. A tapadási súrlódási együttható 0,5, a csúszási 0,3. Megmozdítja-e egy 100 N vízszintes erő? És mekkora lesz a pad gyorsulása, ha 130 N erővel toljuk?

Megoldás:

$\begin{aligned} m & = 25 kg \\ μ_{0} & = 0, 5, μ = 0, 3 \\ F_{1} & = 100 N, F_{2} = 130 N \\ a & = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

Vízszintes padlón a tartóerő egyenlő a nehézségi erővel, F_ny = m · g. A legnagyobb tapadási súrlódás

$μ_{0} \cdot m \cdot g = 0, 5 \cdot 25 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \approx 123 N .$

A 100 N erő ennél kisebb, a pad áll, és a tapadási súrlódás pontosan 100 N. A 130 N erő megmozdítja, és ezután már csak a csúszási súrlódás fékezi. A pozitív irány a tolás iránya:

$\begin{aligned} a & = \frac{F_{2} - μ \cdot m \cdot g}{m} \\ = \frac{130 N - 0, 3 \cdot 25 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2}}{25 kg} \\ \approx 2, 26 {m / s}^{2} \end{aligned}$

A pad körülbelül 2,3 m/s² gyorsulással indul el. Száz newtonnal meg sem mozdítjuk.

9. feladat: Csúszda

Egy gyerek nyugalomból csúszik le egy 4 m hosszú, 30° hajlásszögű csúszdán. A nadrág és a csúszda közötti csúszási súrlódási együttható 0,3. Milyen gyorsan ér le?

Megoldás:

$\begin{aligned} α & = 30 °, μ = 0, 3 \\ s & = 4 m, v_{0} = 0 m / s \\ v & = ? (m / s) \end{aligned}$

A pozitív irányt lefelé választjuk a csúszda mentén. A nehézségi erő lejtő menti összetevője m · g · sin α, a μ · m · g · cos α súrlódás a mozgással szemben mutat. A tömeg kiesése után a gyorsulás a súrlódásos lejtőn marad, a = g · (sin α − μ · cos α). A szemléletesség kedvéért: ez körülbelül 2,36 m/s².

Az időt nem ismerjük, ezért a lent elért sebességet az idő nélküli v² = 2 · a · s összefüggés adja. Ebbe a gyorsulást általánosan helyettesítjük be:

$\begin{aligned} v & = \sqrt{2 \cdot g \cdot s \cdot (\sin α - μ \cdot \cos α)} \\ = \sqrt{2 \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \cdot 4 m \cdot (\sin 30 ° - 0, 3 \cdot \cos 30 °)} \\ \approx 4, 34 m / s \end{aligned}$

A gyerek körülbelül 4,3 m/s sebességgel ér le, vagyis valamivel kevesebb mint 16 km/h sebességgel. Súrlódás nélkül ez több mint 6 m/s lenne.

10. feladat: Biciklista a kanyarban

Legfeljebb milyen gyorsan mehet át a biciklista egy 12 m sugarú vízszintes kanyaron száraz aszfalton, 0,7 súrlódási együtthatóval? És milyen gyorsan nedves úton, 0,5 együtthatóval?

Megoldás:

$\begin{aligned} r & = 12 m \\ μ & = 0, 7 \\ v_{max} & = ? (m / s) \end{aligned}$

A biciklistát a körpályán csak a gumiabroncsok súrlódása tartja, amely a kanyar középpontja felé mutat. Ennek elégnek kell lennie a centripetális erőhöz, $\frac{m \cdot v^{2}}{r} \leq μ \cdot m \cdot g$ . A tömeg kiesik:

$\begin{aligned} v_{max} & = \sqrt{μ \cdot g \cdot r} = \sqrt{0, 7 \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \cdot 12 m} \\ \approx 9, 1 m / s \end{aligned}$

Ez körülbelül 33 km/h. Nedves úton ugyanígy 7,7 m/s jön ki, nem egészen 28 km/h. A tömeg kiesett, ezért a nagyobb tömegű biciklistának sem könnyebb, sem nehezebb. Nagyobb sebességnél a kerekek kicsúsznak a kanyarból.

11. feladat: Láda a fékező furgonban

Egy furgon fapadlóján egy 30 kg tömegű fa szerszámosláda fekszik, a tapadási súrlódási együttható 0,5. A sofőr 6 m/s² lassulással fékez. Vizsgáld a helyzetet a furgon belsejéből: előrecsúszik-e a láda?

Megoldás: A furgon fékez, tehát nem inerciális rendszer. Ebben a ládára még egy tehetetlenségi erő hat, a furgon gyorsulásával ellentétesen, vagyis előre. A pozitív irány előre mutat.

$\begin{aligned} m & = 30 kg, μ_{0} = 0, 5 \\ a & = - 6 {m / s}^{2} \end{aligned}$

A furgon gyorsulása hátrafelé mutat, ezért negatív. A tehetetlenségi erő és a legnagyobb tapadási súrlódás:

$\begin{aligned} F_{teh} & = - m \cdot a = - 30 kg \cdot (- 6 {m / s}^{2}) = 180 N \\ μ_{0} \cdot m \cdot g & = 0, 5 \cdot 30 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \approx 147 N \end{aligned}$

A tehetetlenségi erő pozitív lett, tehát előre mutat. A súrlódás nem tartja vissza a ládát, az előrecsúszik. Csak μ₀ · g ≈ 4,9 m/s² lassulásig tartaná meg, a tömeg kiesik. Kívülről a helyzet ugyanilyen, csak tehetetlenségi erő nélkül: a 6 m/s² lassuláshoz a ládának 180 N súrlódás kellene, a tapadási súrlódás viszont legfeljebb 147 N erőt ad. A láda ezért kevésbé lassul, mint a furgon.

12. feladat: Fékezés havon

Egy autó havas úton 45 km/h sebességgel halad, és a sofőr úgy fékez, hogy a kerekek blokkolnak. A gumiabroncsok csúszási súrlódási együtthatója havon 0,3. Milyen hosszú a fékút, és mennyi ideig tart a fékezés?

Megoldás:

$\begin{aligned} v & = 45 km / h = 12, 5 m / s \\ μ & = 0, 3 \\ s_{f} & = ? (m), t = ? (s) \end{aligned}$

A haladás iránya lesz a pozitív. Csak a súrlódás lassít, $m \cdot | a | = μ \cdot m \cdot g$ , tehát a lassulás $| a | = μ \cdot g$ . Ezt behelyettesítjük a fékút képletébe:

$\begin{aligned} s_{f} & = \frac{v^{2}}{2 \cdot μ \cdot g} = \frac{(12, 5 m / s)^{2}}{2 \cdot 0, 3 \cdot 9, 81 {m / s}^{2}} \approx 26, 5 m \\ t & = \frac{v}{μ \cdot g} = \frac{12, 5 m / s}{0, 3 \cdot 9, 81 {m / s}^{2}} \approx 4, 2 s \end{aligned}$

Az autó 26,5 m után áll meg, és több mint négy másodpercig fékez. Száraz úton, 0,7 együtthatóval elég lenne neki 11,4 m. A képletben nincs tömeg, ezért a teljesen megrakott autó is ugyanígy fékez, legalábbis ebben az egyszerűsítésben.

13. feladat: Vonat elindulása

Egy 400 t tömegű vonat elindul az állomásról. A sínek a mozdony kerekein keresztül 200 kN erővel nyomják előre a vonatot, a mozgás elleni ellenállás 40 kN. Mennyi idő alatt és mekkora úton éri el a 90 km/h sebességet, ha az erők nem változnak?

Megoldás:

$\begin{aligned} m & = 400 t = 400 000 kg \\ F_{1} & = 200 000 N, F_{2} = 40 000 N \\ v & = 90 km / h = 25 m / s \\ t & = ? (s), s = ? (m) \end{aligned}$

A pozitív irányt a haladás irányába választjuk. Először a dinamikai rész, a dinamika alaptörvénye:

$a = \frac{F_{1} - F_{2}}{m} = \frac{160 000 N}{400 000 kg} = 0, 4 {m / s}^{2}$

Aztán az egyenletesen gyorsuló mozgás kinematikája nyugalomból, és az idő nélküli összefüggés:

$\begin{aligned} t & = \frac{v}{a} = \frac{25 m / s}{0, 4 {m / s}^{2}} = 62, 5 s \\ s & = \frac{v^{2}}{2 \cdot a} = \frac{(25 m / s)^{2}}{2 \cdot 0, 4 {m / s}^{2}} \approx 781 m \end{aligned}$

Ellenőrzés: az átlagsebesség 12,5 m/s, és 62,5 s alatt ez ugyanazt a 781 m utat adja. A vonatnak körülbelül egy percre és nem egészen egy kilométerre van szüksége. A valóságban az ellenállás a sebességgel nő, ezért az elindulás kicsit tovább tart.

Az út vége

Ezzel véget ér a kinematika és a dinamika tankönyve. Azzal kezdtük, hogy mi is az a mennyiség és mértékegység, a sebességen és a gyorsuláson át eljutottunk az erőkig és Newton törvényeiig, végül pedig a kettőt összekötöttük: az erő megmondja, mekkora a gyorsulás, a gyorsulás pedig azt, hogy a test hová és milyen gyorsan jut el. Ezzel a párossal a mozgásról és az erőkről szóló feladatok többségét meg tudod oldani. A munka és az energia később következik.

« Előző: Megoldott kinematikai feladatok

Következő: Egyéb »