Lösta uppgifter i dynamik

Krafter förstår vi bäst genom att räkna med dem. Här väntar tretton exempel, från addition av krafter via Newtons lagar, rörelsemängd och friktion till kurvan och tröghetskraften. Tre av dem (rutschkanan, inbromsningen på snö och tåget som startar) kopplar ihop krafter med rörelse: ur krafterna räknar vi ut accelerationen och ur accelerationen hastigheten eller sträckan. Vi håller oss till den beprövade metoden: uppställning, kraftskiss, positiv riktning, allmän lösning, insättning med enheter och svar i en hel mening. Skissen ritar du själv, bara det första exemplet har en bild. Försök lösa varje exempel själv först.

Exempel 1: Två traktorer och en fastkörd skördetröska

En skördetröska har kört fast i leran. Två traktorer drar ut den, var och en med en lina och kraften 30 kN. Linorna bildar vinkeln β = 60° och skördetröskan ligger precis på axeln mellan dem. Hur stor är den resulterande kraften?

Två krafter F⃗_1 (rött) och F⃗_2 (blått) från en orange punkt som föreställer skördetröskan, var och en avvikande med vinkeln α från axeln, och den gröna resulterande kraften F⃗ längs axeln

Lösning:

$\begin{aligned} F_{1} = F_{2} & = 30 kN = 30 000 N \\ β & = 60 ° \\ F & = ? (N) \end{aligned}$

Vi lägger x-axeln längs axeln mellan linorna, positiv i dragriktningen. Eftersom skördetröskan ligger på axeln avviker varje lina från den med halva vinkeln mellan linorna, $α = \frac{β}{2} = 30 °$ . Vi delar upp båda krafterna i komposanter. Komposanterna vinkelräta mot axeln är lika stora och motsatta, så de tar ut varandra. Längs axeln återstår två lika komposanter F₁ · cos α:

$\begin{aligned} F & = 2 \cdot F_{1} \cdot \cos α = 2 \cdot 30 000 N \cdot \cos 30 ° \\ \approx 51 962 N \end{aligned}$

Den resulterande kraften är ungefär 52 kN, inte 60 kN. En del av dragkraften går förlorad, eftersom traktorerna drar lite åt olika håll. Ju mer linorna spretar, desto större förlust: vid vinkeln β = 120° mellan linorna är α = 60° och den resulterande kraften 2 · 30 000 N · cos 60° = 30 000 N, som om bara en traktor drog.

Exempel 2: Motorbåten

En båt med massan 300 kg inklusive besättning drivs framåt av vattnet, tack vare propellern, med kraften 900 N. Vattnets motstånd är 300 N. Vilken acceleration har båten?

Lösning:

$\begin{aligned} m & = 300 kg \\ F_{1} & = 900 N, F_{2} = 300 N \\ a & = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

Som positiv riktning tar vi färdriktningen. Motståndet är riktat mot den, så det får minus i den resulterande kraften. Sedan adderar vi bara krafterna och dividerar med massan:

$a = \frac{F_{1} - F_{2}}{m} = \frac{900 N - 300 N}{300 kg} = 2 {m / s}^{2}$

Enheterna stämmer, newton per kilogram är meter per sekund i kvadrat. Båten har accelerationen 2 m/s². Vattnets motstånd växer med hastigheten, och när det når 900 N blir den resulterande kraften noll och båten färdas med konstant hastighet.

Exempel 3: Lastbil och personbil

En lastbil med massan 10 000 kg kör in i en personbil med massan 1000 kg. Vilken kropp verkar med större kraft på den andra? Vilka accelerationer får de, om stötens kraft är 50 000 N?

Lösning: De flesta gissar på lastbilen. Stötens krafter bildar dock ett par av kraft och motkraft, och därför är de lika stora och motsatta. Lastbilen trycker på bilen med kraften 50 000 N och bilen på lastbilen likaså. Skillnaden är vad kraften gör med kroppen.

$\begin{aligned} m_{1} & = 10 000 kg, m_{2} = 1000 kg \\ F & = 50 000 N \\ a_{1} & = ? ({m / s}^{2}), a_{2} = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

Som positiv riktning väljer vi lastbilens färdriktning:

$\begin{aligned} a_{1} & = \frac{- F}{m_{1}} = \frac{- 50 000 N}{10 000 kg} = - 5 {m / s}^{2} \\ a_{2} & = \frac{F}{m_{2}} = \frac{50 000 N}{1000 kg} = 50 {m / s}^{2} \end{aligned}$

Lastbilen har accelerationen −5 m/s², den bromsar alltså, medan bilen får accelerationen 50 m/s², ungefär fem gånger större än tyngdaccelerationen. Därför drabbas de som sitter i personbilen värre, trots att krafterna är lika stora.

Exempel 4: Vågen i en hiss på väg nedåt

Rasmus med massan 80 kg står på en våg i en hiss. Hissen åker nedåt och bromsar före bottenvåningen med retardationen 1,5 m/s². Vad visar vågen?

Lösning: Uppåt är positiv riktning. Hissen åker nedåt och bromsar, så dess acceleration är riktad uppåt: a = 1,5 m/s².

$\begin{aligned} m & = 80 kg \\ a & = 1, 5 {m / s}^{2} \\ F_{N} & = ? (N) \end{aligned}$

Rasmus dras nedåt av tyngdkraften och bärs uppåt av vågens normalkraft. Enligt Newtons andra lag är F_N − m · g = m · a, så normalkraften blir densamma som för en hiss som startar uppåt:

$\begin{aligned} F_{N} & = m \cdot (g + a) \\ = 80 kg \cdot (9, 81 {m / s}^{2} + 1, 5 {m / s}^{2}) \\ = 904, 8 N \end{aligned}$

Vågen dividerar kraften med tyngdaccelerationen och visar $\frac{F_{N}}{g} = \frac{904, 8 N}{9, 81 {m / s}^{2}} \approx 92 kg$ . I vila skulle den visa hans verkliga 80 kg. Rasmus känner sig tyngre, trots att han åker nedåt. Det som spelar roll är accelerationens riktning, inte färdriktningen.

Exempel 5: Rovern på Mars

Rovern Perseverance har massan 1025 kg. Hur stor är tyngdkraften på den på jorden, och hur stor på Mars, där tyngdaccelerationen är 3,71 m/s²?

Lösning:

$\begin{aligned} m & = 1025 kg \\ g & = 3, 71 {m / s}^{2} \\ F_{g} & = ? (N) \end{aligned}$

Tyngdkraften är massan gånger tyngdaccelerationen. På Mars

$F_{g} = m \cdot g = 1025 kg \cdot 3, 71 {m / s}^{2} \approx 3803 N,$

på jorden med samma beräkning och g = 9,81 m/s²

$F_{g} = 1025 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \approx 10 055 N .$

På Mars verkar tyngdkraften ungefär 3,8 kN på rovern, något mer än en tredjedel av de jordiska 10 kN. Massan är däremot densamma överallt, så vid samma kraft kommer den lika motvilligt i rörelse.

Exempel 6: Tennisserven

En tennisspelare serverar en boll med massan 57 g, som är nästan stilla i högsta punkten av uppkastet. Racketen är i kontakt med den i 5 ms och bollen far iväg med hastigheten 50 m/s. Med hur stor medelkraft verkar racketen på den?

Lösning:

$\begin{aligned} m & = 57 g = 0,057 kg \\ v_{0} & = 0 m / s, v = 50 m / s \\ Δ t & = 5 ms = 0,005 s \\ F & = ? (N) \end{aligned}$

Som positiv riktning väljer vi bollens flygriktning. Kraften är lika med ändringen av rörelsemängden dividerad med den tid kraften verkar, alltså impulsen dividerad med stötens varaktighet:

$\begin{aligned} F & = \frac{Δ p}{Δ t} = \frac{m \cdot (v - v_{0})}{Δ t} \\ = \frac{0,057 kg \cdot 50 m / s}{0,005 s} = 570 N \end{aligned}$

Det är ungefär som om en person med massan 58 kg stod på bollen, fast bara under fem tusendelar av en sekund. Racketen trycker på bollen med medelkraften 570 N. Vid dubbelt så lång kontakttid skulle halva kraften räcka för samma hastighet.

Exempel 7: Hockeyspelare som hakar i varandra

En hockeyspelare med massan 90 kg åker med hastigheten 6 m/s och krockar frontalt med en motspelare med massan 80 kg, som kommer emot honom med hastigheten 4 m/s. Efter kollisionen hakar de i varandra. Med vilken hastighet och åt vilket håll rör de sig?

Lösning: Den positiva riktningen pekar dit den första hockeyspelaren åker, och motspelarens hastighet är därför negativ.

$\begin{aligned} m_{1} & = 90 kg, v_{1} = 6 m / s \\ m_{2} & = 80 kg, v_{2} = - 4 m / s \\ v^{'} & = ? (m / s) \end{aligned}$

På isen är friktionen liten och kollisionen kort, så vi betraktar paret som ett isolerat system. Enligt lagen om rörelsemängdens bevarande är rörelsemängden före kollisionen densamma som efter den:

$m_{1} \cdot v_{1} + m_{2} \cdot v_{2} = (m_{1} + m_{2}) \cdot v^{'}$

$\begin{aligned} v^{'} & = \frac{m_{1} \cdot v_{1} + m_{2} \cdot v_{2}}{m_{1} + m_{2}} \\ = \frac{90 kg \cdot 6 m / s + 80 kg \cdot (- 4 m / s)}{170 kg} \\ \approx 1, 29 m / s \end{aligned}$

Resultatet är positivt, så paret glider dit hockeyspelaren med både större massa och större hastighet åkte, med ungefär 1,3 m/s. Den som glömmer tecknet får ett orimligt 5,1 m/s.

Exempel 8: Bänken i gympasalen

En träbänk med massan 25 kg står på ett trägolv. Friktionstalet för vilofriktion är 0,5 och för glidfriktion 0,3. Får en vågrät kraft på 100 N den i rörelse? Och vilken acceleration får bänken när vi trycker på den med kraften 130 N?

Lösning:

$\begin{aligned} m & = 25 kg \\ μ_{s} & = 0, 5, μ = 0, 3 \\ F_{1} & = 100 N, F_{2} = 130 N \\ a & = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

På ett vågrätt golv är normalkraften lika med tyngdkraften, F_N = m · g. Den största vilofriktionen är

$μ_{s} \cdot m \cdot g = 0, 5 \cdot 25 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \approx 123 N .$

Kraften 100 N är mindre, så bänken står kvar och vilofriktionen är exakt 100 N. Kraften 130 N rycker loss den, och sedan bromsas den bara av glidfriktionen. Som positiv riktning väljer vi den riktning vi trycker i:

$\begin{aligned} a & = \frac{F_{2} - μ \cdot m \cdot g}{m} \\ = \frac{130 N - 0, 3 \cdot 25 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2}}{25 kg} \\ \approx 2, 26 {m / s}^{2} \end{aligned}$

Bänken sätter sig i rörelse med accelerationen ungefär 2,3 m/s². Med hundra newton rubbar vi den inte alls.

Exempel 9: Rutschkanan

Ett barn åker från stillastående nerför en rutschkana som är 4 m lång och lutar 30°. Friktionstalet för glidfriktion mellan byxorna och rutschkanan är 0,3. Med vilken hastighet kommer barnet ner?

Lösning:

$\begin{aligned} α & = 30 °, μ = 0, 3 \\ s & = 4 m, v_{0} = 0 m / s \\ v & = ? (m / s) \end{aligned}$

Som positiv riktning väljer vi nedåt längs rutschkanan. Tyngdkraftens komposant längs rutschkanan är m · g · sin α, och friktionen μ · m · g · cos α är riktad mot rörelsen. När massan har förkortats bort återstår accelerationen i en backe med friktion, a = g · (sin α − μ · cos α). För att få en uppfattning: den blir ungefär 2,36 m/s².

Tiden känner vi inte, så hastigheten längst ner ges av sambandet utan tid v² = 2 · a · s. Vi sätter in accelerationen i allmän form:

$\begin{aligned} v & = \sqrt{2 \cdot g \cdot s \cdot (\sin α - μ \cdot \cos α)} \\ = \sqrt{2 \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \cdot 4 m \cdot (\sin 30 ° - 0, 3 \cdot \cos 30 °)} \\ \approx 4, 34 m / s \end{aligned}$

Barnet kommer ner med ungefär 4,3 m/s, alltså knappt 16 km/h. Utan friktion skulle det vara över 6 m/s.

Exempel 10: Cyklist i en kurva

Hur fort får en cyklist högst ta en vågrät kurva med radien 12 m på torr asfalt med friktionstalet 0,7? Och hur fort på våt asfalt med friktionstalet 0,5?

Lösning:

$\begin{aligned} r & = 12 m \\ μ & = 0, 7 \\ v_{max} & = ? (m / s) \end{aligned}$

Cyklisten hålls kvar på cirkelbanan bara av däckens friktion, som är riktad mot kurvans centrum. Den måste räcka till för centripetalkraften, $\frac{m \cdot v^{2}}{r} \leq μ \cdot m \cdot g$ . Massan förkortas bort:

$\begin{aligned} v_{max} & = \sqrt{μ \cdot g \cdot r} = \sqrt{0, 7 \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \cdot 12 m} \\ \approx 9, 1 m / s \end{aligned}$

Det är ungefär 33 km/h. På våt asfalt ger samma beräkning 7,7 m/s, knappt 28 km/h. Massan förkortades bort, så en tyngre cyklist har det varken lättare eller svårare. Vid högre hastighet glider hjulen ut ur kurvan.

Exempel 11: Lådan i den bromsande skåpbilen

I en skåpbil ligger en trälåda med verktyg med massan 30 kg på ett trägolv, och friktionstalet för vilofriktion är 0,5. Föraren bromsar med retardationen 6 m/s². Bedöm situationen inifrån skåpbilen: glider lådan framåt?

Lösning: Skåpbilen bromsar och är därför ett icke-inertialsystem. I det verkar på lådan dessutom en tröghetskraft motsatt skåpbilens acceleration, alltså framåt. Som positiv riktning väljer vi framåt.

$\begin{aligned} m & = 30 kg, μ_{s} = 0, 5 \\ a & = - 6 {m / s}^{2} \end{aligned}$

Skåpbilens acceleration är riktad bakåt, och därför är den negativ. Tröghetskraften och den största vilofriktionen:

$\begin{aligned} F_{tr} & = - m \cdot a = - 30 kg \cdot (- 6 {m / s}^{2}) = 180 N \\ μ_{s} \cdot m \cdot g & = 0, 5 \cdot 30 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \approx 147 N \end{aligned}$

Tröghetskraften blev positiv, den är alltså riktad framåt. Friktionen håller inte kvar lådan, den glider framåt. Den skulle hålla kvar den bara upp till retardationen μ_s · g ≈ 4,9 m/s², massan förkortas bort. Utifrån ser situationen likadan ut, bara utan tröghetskraften: för retardationen 6 m/s² skulle lådan behöva friktionen 180 N, men vilofriktionen ger högst 147 N. Lådan retarderar därför mindre än skåpbilen.

Exempel 12: Inbromsning på snö

En bil kör på en snötäckt väg med hastigheten 45 km/h, och föraren bromsar så att hjulen låser sig. Friktionstalet för glidfriktion mellan däcken och snön är 0,3. Hur lång är bromssträckan och hur länge varar inbromsningen?

Lösning:

$\begin{aligned} v & = 45 km / h = 12, 5 m / s \\ μ & = 0, 3 \\ s_{b} & = ? (m), t = ? (s) \end{aligned}$

Färdriktningen är positiv. Det är bara friktionen som bromsar, $m \cdot | a | = μ \cdot m \cdot g$ , så retardationen är $| a | = μ \cdot g$ . Vi sätter in den i formeln för bromssträckan:

$\begin{aligned} s_{b} & = \frac{v^{2}}{2 \cdot μ \cdot g} = \frac{(12, 5 m / s)^{2}}{2 \cdot 0, 3 \cdot 9, 81 {m / s}^{2}} \approx 26, 5 m \\ t & = \frac{v}{μ \cdot g} = \frac{12, 5 m / s}{0, 3 \cdot 9, 81 {m / s}^{2}} \approx 4, 2 s \end{aligned}$

Bilen stannar efter 26,5 m och bromsar i över fyra sekunder. På torr väg med friktionstalet 0,7 skulle 11,4 m räcka. Massan finns inte med i formeln, så även en fullastad bil bromsar likadant, åtminstone i den här förenklingen.

Exempel 13: Tåget som startar

Ett tåg med massan 400 t startar från stationen. Rälsen skjuter tåget framåt genom lokets hjul med kraften 200 kN, och motstånden mot rörelsen är 40 kN. Efter hur lång tid och på vilken sträcka når det hastigheten 90 km/h, om krafterna inte ändras?

Lösning:

$\begin{aligned} m & = 400 t = 400 000 kg \\ F_{1} & = 200 000 N, F_{2} = 40 000 N \\ v & = 90 km / h = 25 m / s \\ t & = ? (s), s = ? (m) \end{aligned}$

Som positiv riktning väljer vi färdriktningen. Först dynamiken, kraftlagen:

$a = \frac{F_{1} - F_{2}}{m} = \frac{160 000 N}{400 000 kg} = 0, 4 {m / s}^{2}$

Sedan kinematiken för likformigt accelererad rörelse från stillastående och sambandet utan tid:

$\begin{aligned} t & = \frac{v}{a} = \frac{25 m / s}{0, 4 {m / s}^{2}} = 62, 5 s \\ s & = \frac{v^{2}}{2 \cdot a} = \frac{(25 m / s)^{2}}{2 \cdot 0, 4 {m / s}^{2}} \approx 781 m \end{aligned}$

Kontroll: medelhastigheten är 12,5 m/s, och på 62,5 s ger det samma 781 m. Tåget behöver ungefär en minut och knappt en kilometer. I verkligheten växer motståndet med hastigheten, och starten tar därför lite längre tid.

Slutet på resan

Därmed är läroboken i kinematik och dynamik slut. Vi började med vad en storhet och en enhet över huvud taget är, kom via hastighet och acceleration fram till krafter och Newtons lagar, och till sist förenade vi båda: kraften talar om hur stor accelerationen är, och accelerationen vart och hur snabbt kroppen tar sig. Med de två klarar du de flesta uppgifter om rörelse och krafter. Arbete och energi kommer senare.

« Föregående: Lösta uppgifter i kinematik

Nästa: Övrigt »