Bewegungsaufgaben

Um acht Uhr morgens fährt in Frankfurt auf der Autobahn ein Auto mit 90 km/h los. Ihm entgegen fährt zur selben Zeit in Stuttgart ein zweites Auto mit 115 km/h los. Die Autobahn zwischen den Städten misst 205 km. Wann und wo begegnen sich die Autos?

Bewegungsaufgaben sehen jedes Mal anders aus, aber fast alle lassen sich mit demselben Trick knacken. Für jedes Fahrzeug schreiben wir auf, wo es zur Zeit t ist, und suchen dann den Augenblick, in dem beide am selben Ort sind. Alles fährt mit konstanter Geschwindigkeit, uns genügen also die Formeln für die gleichförmige geradlinige Bewegung und das übliche Vorgehen beim Lösen von Aufgaben.

Zwei Autos aufeinander zu

Wir schreiben auf, was wir wissen und was wir suchen. Das Auto aus Frankfurt bekommt den Index 1, das Auto aus Stuttgart den Index 2:

$$\begin{array}{rl}{v}_1& =90\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ v_2& =115\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ s& =205\mathrm{km}\\ t& =?\\ x& =?\end{array}$$

Alles ist in Kilometern und Stunden, die Einheiten werden nicht gemischt, also müssen wir nicht umrechnen. Die Zeit kommt in Stunden heraus.

Eine Skizze hilft. Entlang der Autobahn legen wir die Achse x. Den Ursprung setzen wir nach Frankfurt, Stuttgart liegt also bei 205 km.

Das rote Auto fährt in Richtung der Achse, seine Position ist also einfach der zurückgelegte Weg:

$$x_1=v_1\cdot t$$

Das blaue Auto startet bei 205 km und fährt gegen die Richtung der Achse. Seine Position wird deshalb jede Stunde um 115 km kleiner:

$$x_2=s-v_2\cdot t$$

Das Minus steht hier aus demselben Grund, aus dem der Graph von Jonas auf dem Heimweg fiel. Ein Physiker würde ohne Weiteres sagen, dass das blaue Auto die Geschwindigkeit −115 km/h hat. Wir lassen die Geschwindigkeit positiv, so wie sie der Tacho anzeigt, und schreiben die Richtung als Vorzeichen in die Formel.

Die Autos begegnen sich, wenn sie am selben Ort sind, also wenn x₁ = x₂. Die Aufgabe lösen wir allgemein:

$$\begin{array}{rcl}{v}_1\cdot t& =& s-v_2\cdot t/+v_2\cdot t\\ v_1\cdot t+v_2\cdot t& =& s\\ t\cdot (v_1+v_2)& =& s/:(v_1+v_2)\\ t& =& \frac{s}{v_1+v_2}\end{array}$$

Die zweite Zeile ergibt auch ohne Gleichungen Sinn. Der Term v₁ · t ist der Weg des roten Autos, v₂ · t der Weg des blauen, und zusammen legen sie die ganze Entfernung zwischen den Städten zurück. In jeder Stunde nähern sie sich einander um 90 km + 115 km = 205 km. Wir setzen ein:

$$\begin{array}{rl}t& =\frac{205\mathrm{km}}{90\mathrm{km}/\mathrm{h}+115\mathrm{km}/\mathrm{h}}\\ & =\frac{205\mathrm{km}}{205\mathrm{km}/\mathrm{h}}=1\mathrm{h}\end{array}$$

Die Einheiten stimmen: Kilometer geteilt durch Kilometer pro Stunde sind Stunden. Den Treffpunkt erhalten wir, wenn wir die Zeit in die Position eines der Autos einsetzen:

$$x_1=90\mathrm{km}/\mathrm{h}\cdot 1\mathrm{h}=90\mathrm{km}$$

Zur Kontrolle: Das blaue Auto ist in dem Moment bei 205 km − 115 km = 90 km, also am selben Ort. Auch die Abschätzung stimmt. Würden beide Autos gleich schnell fahren, begegneten sie sich in der Mitte der Strecke. Das Auto aus Stuttgart fährt schneller, also begegnen sie sich näher an Frankfurt. Antwort: Die Autos begegnen sich um neun Uhr, 90 km von Frankfurt entfernt. Zum Winken kommen die Fahrer wohl nicht, sie rasen ja gerade mit diesen 205 km pro Stunde aufeinander zu.

Der Schnittpunkt der Graphen

Dieselbe Aufgabe schaffen wir auch ohne Gleichung. Die Positionen beider Autos zeichnen wir in einen Graphen, so wie früher Auto und Lastwagen.

Die rote Gerade beginnt im Ursprung und steigt mit der Steigung 90 km/h. Die blaue beginnt in der Höhe 205 km und fällt, weil das Auto gegen die Richtung der Achse fährt. Sie fällt steiler, als die rote steigt, weil das Auto aus Stuttgart schneller ist. In Frankfurt, wo die Position null ist, kommt es in knapp zwei Stunden an.

Wo sich die Geraden schneiden, haben beide Autos zur selben Zeit dieselbe Position. Das ist genau die Begegnung. Vom orangefarbenen Schnittpunkt gehen wir hinunter zur Zeitachse und lesen 1 h ab, nach links zur senkrechten Achse und lesen 90 km ab.

Die Gleichung x₁ = x₂ zu lösen ist dasselbe, wie den Schnittpunkt zweier Geraden zu suchen, nur rechnen wir statt zu zeichnen. Der Graph zeigt, was in der Aufgabe geschieht, und liefert eine schnelle Abschätzung. Die Gleichung liefert die genaue Zahl auch dann, wenn der Schnittpunkt zwischen den Gitterlinien liegt.

Einholen

Aus Darmstadt fährt ein Radfahrer mit konstanten 18 km/h los. Eine Stunde nach ihm macht sich auf derselben Straße ein Auto mit 54 km/h auf den Weg. Wann und wo holt es den Radfahrer ein?

Entscheiden wir, ab wann wir die Zeit messen. Am bequemsten ist es, die Stoppuhr in dem Moment zu starten, in dem das Auto losfährt. Der Radfahrer hat dann schon eine Stunde Fahrt hinter sich, das ist ein Vorsprung von 18 km. Das ist sein Anfangsweg s₀ aus der Formel s = s₀ + v · t. Der Radfahrer fährt nur vorwärts und ist im Ursprung der Achse gestartet, sein Anfangsweg fällt deshalb mit der Anfangsposition zusammen. Die Achse legen wir entlang der Straße mit dem Ursprung in Darmstadt. Der Radfahrer bekommt den Index 1, das Auto den Index 2:

$$\begin{array}{rl}{v}_1& =18\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ v_2& =54\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ s_0& =18\mathrm{km}\\ t& =?\\ x& =?\end{array}$$

Beide fahren in Richtung der Achse, ihre Positionen sind also

$$\begin{array}{rl}{x}_1& =s_0+v_1\cdot t,\\ x_2& =v_2\cdot t.\end{array}$$

Das Auto holt den Radfahrer ein, wenn sie am selben Ort sind, x₂ = x₁:

$$\begin{array}{rcl}{v}_2\cdot t& =& s_0+v_1\cdot t/-v_1\cdot t\\ t\cdot (v_2-v_1)& =& s_0/:(v_2-v_1)\\ t& =& \frac{s_0}{v_2-v_1}\end{array}$$

Diesmal steht im Nenner die Differenz der Geschwindigkeiten. Das Auto holt in jeder Stunde 54 km − 18 km = 36 km vom Vorsprung auf, so wie früher der Vorsprung des Autos vor dem Lastwagen um die Differenz ihrer Geschwindigkeiten wuchs. Wir rechnen:

$$\begin{array}{rl}t& =\frac{18\mathrm{km}}{54\mathrm{km}/\mathrm{h}-18\mathrm{km}/\mathrm{h}}\\ & =\frac{18\mathrm{km}}{36\mathrm{km}/\mathrm{h}}=0,5\mathrm{h}\end{array}$$

Das Auto holt den Radfahrer in einer halben Stunde ein, also in 30 min. Den Treffpunkt lesen wir aus der Position des Autos ab:

$$x_2=54\mathrm{km}/\mathrm{h}\cdot 0,5\mathrm{h}=27\mathrm{km}$$

Der Radfahrer ist im selben Moment bei 18 km + 18 km/h · 0,5 h = 27 km, das stimmt. Antwort: Das Auto holt den Radfahrer eine halbe Stunde nach seiner Abfahrt ein, 27 km von Darmstadt entfernt.

Auch hier zeichnen wir den Positions-Zeit-Graphen. Auf der Zeitachse stehen diesmal Minuten ab der Abfahrt des Autos, damit im Bild keine Dezimalzahlen auftauchen.

Die blaue Gerade des Radfahrers beginnt nicht im Ursprung, sondern in der Höhe 18 km, genauso wie der Graph des Autos, das an der Kilometertafel vorbeifuhr. Die rote Gerade des Autos geht von null aus und ist steiler. Der senkrechte Abstand zwischen den Geraden ist der Vorsprung des Radfahrers. Er schrumpft jede Minute, bis er im Schnittpunkt bei 30 min und 27 km ganz verschwindet. Hinter dem Schnittpunkt liegt die rote Gerade über der blauen: Das Auto hat den Radfahrer überholt und entfernt sich schon.

Achte darauf, was wir beantworten. Die halbe Stunde messen wir ab der Abfahrt des Autos. Der Radfahrer ist in dem Moment schon anderthalb Stunden unterwegs. Hätten wir die Stoppuhr mit ihm gestartet, kämen anderthalb Stunden heraus. Beides stimmt, jede Zeit wird nur ab einem anderen Moment gemessen, und den müssen wir deshalb in der Antwort angeben.

Aus der Formel lesen wir noch etwas ab. Würde das Auto nur 18 km/h fahren, stünde im Nenner null. Durch null kann man nicht teilen, und das Auto würde den Radfahrer nicht einmal in Mannheim einholen.

Zug im Tunnel

Ein 200 m langer Zug fährt mit konstanten 72 km/h durch einen Tunnel, der 1 km misst. Wie lange braucht er, um ganz durch den Tunnel zu fahren, also von der Einfahrt der Lokomotive bis zur Ausfahrt des letzten Wagens?

Man ist versucht, die Länge des Tunnels durch die Geschwindigkeit zu teilen. Den Zug dürfen wir hier aber nicht als Massenpunkt betrachten, weil gerade seine Länge über das Ergebnis entscheidet, und ohne Skizze übersieht man das leicht.

Es genügt, einen einzigen Punkt des Zuges zu verfolgen, die Spitze der Lokomotive (orange). Am Anfang ist sie an der Einfahrt in den Tunnel. Wenn der letzte Wagen aus dem Tunnel ausfährt, ist die Spitze um die ganze Länge des Zuges hinter der Ausfahrt. Sie hat also die Länge des Tunnels (blau) zurückgelegt und dazu die Länge des Zuges (grün):

$$s=1.000\mathrm{m}+200\mathrm{m}=1.200\mathrm{m}$$

Die Längen sind in Metern, die Geschwindigkeit rechnen wir deshalb in Meter pro Sekunde um:

$$v=72\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{72}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Die Zeit ist der Weg geteilt durch die Geschwindigkeit:

$$t=\frac{s}{v}=\frac{1.200\mathrm{m}}{20\mathrm{m}/\mathrm{s}}=60\mathrm{s}$$

Meter geteilt durch Meter pro Sekunde sind Sekunden, der Zug fährt also in einer Minute durch den Tunnel. Wer nur die Länge des Tunnels genommen hat, erhielt 50 s. In dem Moment fährt die Lokomotive aber erst heraus, und der ganze Zug hinter ihr ist noch im Tunnel. Die Abschätzung stimmt: Einen Kilometer legt der Zug in fünfzig Sekunden zurück und zweihundert Meter mehr in weiteren zehn.

Rechne noch aus, wie lange der Zug ganz im Tunnel ist. Es beginnt, wenn der letzte Wagen in den Tunnel einfährt und die Spitze somit 200 m hinter der Einfahrt ist. Es endet, wenn die Spitze die Ausfahrt erreicht. Die Spitze legt 1.000 m − 200 m = 800 m zurück, was 40 s dauert. Die Länge des Zuges wird diesmal abgezogen.

Mit und gegen die Strömung

Auf dem Rhein fährt ein Ausflugsschiff. In Bezug auf das Wasser fährt es mit 15 km/h, und der Fluss strömt mit 3 km/h. Wie lange braucht es bis zu einem Hafen, der 36 km stromabwärts liegt, und wie lange zurück?

Die Geschwindigkeit des Schiffes messen wir in Bezug auf das Wasser. Würde der Kapitän den Motor abschalten, trüge das Wasser das Schiff mit 3 km/h fort. Wie immer kommt es darauf an, in Bezug worauf wir die Bewegung messen. In Bezug auf das Ufer legt das Schiff stromabwärts in einer Stunde 15 km aus eigener Kraft zurück, und das Wasser schiebt es dabei um weitere 3 km. Das Schiff bekommt den Index 1, die Strömung den Index 2. Die Zeit stromabwärts bezeichnen wir mit $t_{+}$, weil sich die Geschwindigkeiten addieren, die Zeit stromaufwärts mit $t_{-}$:

$$\begin{array}{rl}{v}_1& =15\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ v_2& =3\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ s& =36\mathrm{km}\\ t_{+}& =?\\ t_{-}& =?\end{array}$$

Stromabwärts addieren sich die Geschwindigkeiten, und die Fahrt dauert

$$\begin{array}{rl}{t}_{+}& =\frac{s}{v_1+v_2}=\frac{36\mathrm{km}}{18\mathrm{km}/\mathrm{h}}\\ & =2\mathrm{h}.\end{array}$$

Stromaufwärts zieht das Wasser das Schiff jede Stunde um 3 km zurück, und die Geschwindigkeiten werden subtrahiert:

$$\begin{array}{rl}{t}_{-}& =\frac{s}{v_1-v_2}=\frac{36\mathrm{km}}{12\mathrm{km}/\mathrm{h}}\\ & =3\mathrm{h}\end{array}$$

Kilometer geteilt durch Kilometer pro Stunde ergeben Stunden. Das Schiff erreicht den Hafen in zwei Stunden und ist in drei Stunden zurück.

Würde die Strömung die Geschwindigkeit des Schiffes in Bezug auf das Wasser erreichen, stünde im Nenner der zweiten Formel null, genau wie beim Auto, das hinter dem Radfahrer nur mit 18 km/h führe. Das Schiff stünde stromaufwärts in Bezug auf das Ufer auf der Stelle, und der Kapitän könnte den Motor den ganzen Tag laufen lassen, ohne dass sich der Ausgangshafen auch nur um einen Meter näherte.

Und jetzt eine Fangfrage. Mit welcher Durchschnittsgeschwindigkeit fuhr das Schiff auf der ganzen Strecke hin und zurück? Wer 15 km/h sagt, weil die Strömung auf der einen Fahrt genauso stark half, wie sie auf der anderen bremste, ist so hereingefallen wie bei der Aufgabe Hin 60, zurück 40. Das Schiff legte 72 km in 5 h zurück:

$$\overline{v}=\frac{72\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=14,4\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Stromaufwärts fuhr es länger, drei Stunden statt zwei, und der Durchschnitt hat sich deshalb zur langsameren Geschwindigkeit hin verschoben. Auf stehendem Wasser würde es dieselben 72 km in 4,8 h schaffen, also in 4 h und 48 min. Eine Strömung, die gleich stark hilft und schadet, verlängert die Fahrt hin und zurück immer.

In allen Aufgaben dieses Artikels fuhren Autos, Züge und Schiffe mit konstanter Geschwindigkeit. Ein wirkliches Auto muss aber erst anfahren und vor dem Ziel wieder abbremsen. Wie man eine Bewegung beschreibt, bei der sich die Geschwindigkeit ändert, zeigen wir im nächsten Artikel, Beschleunigung.