Probleme de mișcare

La opt dimineața pleacă din București, pe autostrada A2, o mașină cu viteza 90 km/h. În același moment, din Constanța îi iese în întâmpinare altă mașină, cu viteza 115 km/h. Autostrada dintre cele două orașe măsoară 205 km. Când și unde se întâlnesc mașinile?

Problemele de mișcare arată de fiecare dată altfel, dar aproape toate se rezolvă cu același truc. Pentru fiecare vehicul scriem unde se află la momentul t, apoi căutăm clipa în care amândouă sunt în același loc. Totul se mișcă cu viteză constantă, așa că ne ajung formulele de la mișcarea rectilinie uniformă și metoda obișnuită de rezolvare a problemelor.

Două mașini care se întâlnesc

Notăm ce știm și ce căutăm. Mașina din București primește indicele 1, cea din Constanța indicele 2:

$\begin{aligned} v_{1} & = 90 km / h \\ v_{2} & = 115 km / h \\ s & = 205 km \\ t & = ? \\ x & = ? \end{aligned}$

Totul este în kilometri și ore, unitățile nu se amestecă, deci nu trebuie să transformăm nimic. Timpul ne va ieși în ore.

Ajută o schiță. De-a lungul autostrăzii tragem axa Ox. Originea o punem în București, așa că Constanța se află la 205 km.

Schiță: axa Ox de-a lungul autostrăzii, mașina roșie din București se mișcă spre dreapta cu viteza v_1, mașina albastră din Constanța spre stânga cu viteza v_2

Mașina roșie merge în sensul axei, deci poziția ei este pur și simplu distanța parcursă:

$x_{1} = v_{1} \cdot t$

Mașina albastră pornește de la 205 km și merge împotriva sensului axei. De aceea poziția ei scade în fiecare oră cu 115 km:

$x_{2} = s - v_{2} \cdot t$

Minusul este aici din același motiv pentru care scădea graficul lui Tudor pe drumul spre casă. Un fizician ar spune fără ezitare că mașina albastră are viteza −115 km/h. Noi lăsăm viteza pozitivă, așa cum o arată vitezometrul, iar sensul îl notăm prin semnul din formulă.

Mașinile se întâlnesc când sunt în același loc, adică atunci când x₁ = x₂. Rezolvăm problema în general:

$\begin{array}{rcl} v_{1} \cdot t & = & s - v_{2} \cdot t / + v_{2} \cdot t \\ v_{1} \cdot t + v_{2} \cdot t & = & s \\ t \cdot (v_{1} + v_{2}) & = & s / : (v_{1} + v_{2}) \\ t & = & \frac{s}{v_{1} + v_{2}} \end{array}$

A doua linie are sens și fără ecuații. Expresia v₁ · t este distanța parcursă de mașina roșie, v₂ · t distanța parcursă de cea albastră, iar împreună ele parcurg toată distanța dintre orașe. În fiecare oră se apropie una de alta cu 90 km + 115 km = 205 km. Înlocuim:

$\begin{aligned} t & = \frac{205 km}{90 km / h + 115 km / h} \\ = \frac{205 km}{205 km / h} = 1 h \end{aligned}$

Unitățile se potrivesc: kilometri împărțiți la kilometri pe oră înseamnă ore. Locul întâlnirii îl obținem înlocuind timpul în poziția oricăreia dintre mașini:

$x_{1} = 90 km / h \cdot 1 h = 90 km$

Pentru verificare: mașina albastră se află în acel moment la 205 km − 115 km = 90 km, deci în același loc. Se potrivește și estimarea. Dacă ambele mașini ar merge la fel de repede, s-ar întâlni la jumătatea drumului. Mașina din Constanța merge mai repede, așa că se întâlnesc mai aproape de București. Răspuns: mașinile se întâlnesc la ora nouă, la 90 km de București. Șoferii probabil nici nu apucă să-și facă cu mâna, căci se apropie unul de altul tocmai cu acei 205 km pe oră.

Intersecția graficelor

Aceeași problemă o putem rezolva și fără ecuație. Desenăm pozițiile ambelor mașini în același grafic, la fel ca înainte mașina și camionul.

Graficul poziției mașinii din București (roșu) și al mașinii din Constanța (albastru). Intersecția portocalie arată când și unde se întâlnesc mașinile

Dreapta roșie pornește din origine și urcă cu panta 90 km/h. Cea albastră începe de la înălțimea 205 km și coboară, pentru că mașina merge împotriva sensului axei. Coboară mai abrupt decât urcă cea roșie, fiindcă mașina din Constanța este mai rapidă. Ajunge la București, unde poziția este zero, în mai puțin de două ore.

Acolo unde dreptele se taie, ambele mașini au în același moment aceeași poziție. Aceasta este exact întâlnirea. Din punctul de intersecție portocaliu coborâm pe axa timpului și citim 1 h, apoi mergem spre stânga pe axa verticală și citim 90 km.

A rezolva ecuația x₁ = x₂ înseamnă același lucru cu a căuta intersecția a două drepte, doar că în loc să desenăm, calculăm. Graficul arată ce se întâmplă în problemă și dă o estimare rapidă. Ecuația dă un număr exact chiar și atunci când intersecția cade între diviziuni.

Urmărirea

Din Ploiești pornește un biciclist cu viteza constantă de 18 km/h. O oră după el pornește pe același drum o mașină cu viteza 54 km/h. Când și unde ajunge din urmă biciclistul?

Hotărâm de unde măsurăm timpul. Cel mai comod este să pornim cronometrul în clipa în care pleacă mașina. Biciclistul are atunci în urmă o oră de mers, adică un avans de 18 km. Aceasta este distanța lui inițială s₀ din formula s = s₀ + v · t. Biciclistul merge doar înainte și a plecat din originea axei, de aceea distanța lui inițială coincide cu poziția inițială. Axa o ducem de-a lungul drumului, cu originea în Ploiești. Biciclistul va avea indicele 1, mașina indicele 2:

$\begin{aligned} v_{1} & = 18 km / h \\ v_{2} & = 54 km / h \\ s_{0} & = 18 km \\ t & = ? \\ x & = ? \end{aligned}$

Amândoi merg în sensul axei, deci pozițiile lor sunt

$\begin{aligned} x_{1} & = s_{0} + v_{1} \cdot t, \\ x_{2} & = v_{2} \cdot t . \end{aligned}$

Mașina ajunge din urmă biciclistul când se află în același loc, x₂ = x₁:

$\begin{array}{rcl} v_{2} \cdot t & = & s_{0} + v_{1} \cdot t / - v_{1} \cdot t \\ t \cdot (v_{2} - v_{1}) & = & s_{0} / : (v_{2} - v_{1}) \\ t & = & \frac{s_{0}}{v_{2} - v_{1}} \end{array}$

De data aceasta la numitor stă diferența vitezelor. În fiecare oră, mașina reduce avansul cu 54 km − 18 km = 36 km, la fel cum înainte creștea avansul mașinii față de camion cu diferența vitezelor lor. Calculăm:

$\begin{aligned} t & = \frac{18 km}{54 km / h - 18 km / h} \\ = \frac{18 km}{36 km / h} = 0, 5 h \end{aligned}$

Mașina ajunge din urmă biciclistul după o jumătate de oră, adică după 30 min. Locul întâlnirii îl aflăm din poziția mașinii:

$x_{2} = 54 km / h \cdot 0, 5 h = 27 km$

Biciclistul se află în același moment la 18 km + 18 km/h · 0,5 h = 27 km, se potrivește. Răspuns: mașina ajunge din urmă biciclistul la o jumătate de oră după plecare, la 27 km de Ploiești.

Și aici desenăm graficul poziției. Pe axa timpului sunt de data aceasta minutele de la plecarea mașinii, ca să nu apară în figură numere zecimale.

Graficul poziției biciclistului (albastru) și al mașinii (roșu), timpul în minute de la plecarea mașinii. Intersecția portocalie arată când și unde ajunge mașina din urmă biciclistul

Dreapta albastră a biciclistului nu începe în origine, ci la înălțimea 18 km, ca graficul mașinii care trecea pe lângă bornă. Dreapta roșie a mașinii pornește din zero și este mai abruptă. Distanța verticală dintre drepte este avansul biciclistului. Ea se micșorează în fiecare minut, până când în intersecție, la 30 min și 27 km, dispare cu totul. După intersecție dreapta roșie se află deasupra celei albastre: mașina a depășit biciclistul și se îndepărtează de el.

Atenție la ce răspundem. Jumătatea de oră o măsurăm de la plecarea mașinii. Biciclistul pedalează în acel moment de o oră și jumătate. Dacă am fi pornit cronometrul odată cu el, ar fi ieșit o oră și jumătate. Ambele sunt adevărate, doar că fiecare timp se măsoară de la un alt moment, iar de aceea acesta trebuie menționat în răspuns.

Din formulă mai citim un lucru. Dacă mașina ar merge doar cu 18 km/h, la numitor ar fi zero. Împărțirea la zero nu se poate, iar mașina nu l-ar ajunge din urmă pe biciclist nici la Buzău.

Trenul în tunel

Un tren lung de 200 m trece cu viteza constantă de 72 km/h printr-un tunel care măsoară 1 km. Cât durează până când trece întreg prin tunel, adică de la intrarea locomotivei până la ieșirea ultimului vagon?

Ești tentat să împarți lungimea tunelului la viteză. Aici însă nu putem considera trenul un punct material, pentru că rezultatul depinde tocmai de lungimea lui, iar fără schiță este ușor să trecem acest lucru cu vederea.

Cu gri întrerupt trenul în clipa în care capătul din față intră în tunel, cu linie plină trenul în clipa în care ultimul vagon iese din tunel. Capătul din față este în ambele poziții portocaliu, cu roșu distanța s pe care o parcurge

Ajunge să urmărim un singur punct al trenului, capătul din față al locomotivei (portocaliu). La început el se află la intrarea în tunel. Când ultimul vagon iese din tunel, capătul din față se află dincolo de ieșire, la o distanță egală cu lungimea trenului. A parcurs deci lungimea tunelului (albastru) și, în plus, lungimea trenului (verde):

$s = 1.000 m + 200 m = 1.200 m$

Lungimile sunt în metri, de aceea transformăm viteza în metri pe secundă:

$v = 72 km / h = \frac{72}{3, 6} m / s = 20 m / s$

Timpul este distanța împărțită la viteză:

$t = \frac{s}{v} = \frac{1.200 m}{20 m / s} = 60 s$

Metri împărțiți la metri pe secundă înseamnă secunde, deci trenul trece prin tunel într-un minut. Cine a luat doar lungimea tunelului a obținut 50 s. Dar în acel moment locomotiva abia iese afară, iar tot trenul din spatele ei se află încă în tunel. Estimarea se potrivește: un kilometru îl parcurge trenul în cincizeci de secunde, iar cei două sute de metri în plus în încă zece.

Calculează acum cât timp se află trenul întreg în tunel. Începe în clipa în care ultimul vagon intră în tunel, iar capătul din față este atunci la 200 m după intrare. Se termină când capătul din față ajunge la ieșire. Capătul din față parcurge 1.000 m − 200 m = 800 m, ceea ce îi ia 40 s. Lungimea trenului se scade de data aceasta.

În sensul curentului și împotriva lui

Pe Dunăre navighează o navă de agrement. Față de apă merge cu viteza 15 km/h, iar râul curge cu viteza 3 km/h. În cât timp ajunge în portul aflat la 36 km în sensul curentului și în cât timp se întoarce?

Viteza navei o măsurăm față de apă. Dacă căpitanul ar opri motorul, apa ar duce nava cu viteza 3 km/h. Ca întotdeauna, contează față de ce măsurăm mișcarea. Față de mal, în sensul curentului, nava parcurge într-o oră 15 km prin propriile forțe, iar apa o împinge în plus cu încă 3 km. Nava va avea indicele 1, curentul indicele 2. Timpul în sensul curentului îl notăm $t_{+}$ , pentru că vitezele se adună, iar timpul împotriva curentului $t_{-}$ :

$\begin{aligned} v_{1} & = 15 km / h \\ v_{2} & = 3 km / h \\ s & = 36 km \\ t_{+} & = ? \\ t_{-} & = ? \end{aligned}$

În sensul curentului vitezele se adună, iar drumul durează

$\begin{aligned} t_{+} & = \frac{s}{v_{1} + v_{2}} = \frac{36 km}{18 km / h} \\ = 2 h . \end{aligned}$

Împotriva curentului apa trage nava înapoi în fiecare oră cu 3 km, iar vitezele se scad:

$\begin{aligned} t_{-} & = \frac{s}{v_{1} - v_{2}} = \frac{36 km}{12 km / h} \\ = 3 h \end{aligned}$

Kilometri împărțiți la kilometri pe oră dau ore. Nava ajunge în port în două ore, iar înapoi în trei.

Dacă curentul ar atinge viteza navei față de apă, la numitorul celei de-a doua formule ar fi zero, la fel ca în cazul mașinii care ar merge după biciclist doar cu 18 km/h. Nava ar sta pe loc față de mal, împotriva curentului, iar căpitanul ar putea lăsa motorul să meargă o zi întreagă, fără ca portul de plecare să se apropie nici măcar cu un metru.

Și acum o capcană. Cu ce viteză medie a navigat nava pe tot drumul dus-întors? Cine spune 15 km/h, pentru că o dată curentul a ajutat și o dată a încurcat în mod egal, a căzut în aceeași capcană ca la problema dus 60, întors 40. Nava a parcurs 72 km în 5 h:

$v_{m} = \frac{72 km}{5 h} = 14, 4 km / h$

Împotriva curentului a navigat mai mult, trei ore în loc de două, iar media s-a apropiat de viteza mai mică. Pe apă stătătoare ar fi parcurs aceiași 72 km în 4,8 h, adică în 4 h și 48 min. Un curent care ajută și încurcă în mod egal prelungește întotdeauna o excursie dus-întors.

În toate problemele din acest articol, mașinile, trenurile și navele au mers cu viteză constantă. O mașină adevărată trebuie însă mai întâi să demareze, iar înainte de destinație să frâneze. Cum descriem o mișcare în care viteza se schimbă vom vedea în articolul următor, Accelerația.

« Anterior: Cum rezolvi probleme de cinematică și dinamică

Următor: Accelerația »