Problèmes sur le mouvement

À huit heures du matin, une voiture part de Paris par l’autoroute A11 à la vitesse de 90 km/h. À sa rencontre, au même moment, une autre voiture part du Mans à la vitesse de 115 km/h. L’autoroute entre les deux villes mesure 205 km. Quand et où les voitures se croisent-elles ?

Les problèmes sur le mouvement ont chaque fois un air différent, mais presque tous se résolvent avec la même astuce. Pour chaque véhicule, nous écrivons où il est à l’instant t, puis nous cherchons l’instant où les deux sont au même endroit. Tout roule à vitesse constante, donc les formules du mouvement rectiligne uniforme et la méthode habituelle de résolution des exercices nous suffisent.

Deux voitures l’une vers l’autre

Nous écrivons ce que nous savons et ce que nous cherchons. La voiture de Paris reçoit l’indice 1, la voiture du Mans l’indice 2 :

$\begin{aligned} v_{1} & = 90 km / h \\ v_{2} & = 115 km / h \\ d & = 205 km \\ t & = ? \\ x & = ? \end{aligned}$

Tout est en kilomètres et en heures, les unités ne sont pas mélangées, donc nous n’avons pas à convertir. Nous obtiendrons le temps en heures.

Un schéma aide. Le long de l’autoroute, nous tendons un axe x. Nous mettons l’origine à Paris, donc Le Mans se trouve à 205 km.

Schéma : l’axe x le long de l’autoroute, la voiture rouge de Paris roule vers la droite à la vitesse v_1, la voiture bleue du Mans vers la gauche à la vitesse v_2

La voiture rouge roule dans le sens de l’axe, donc sa position est simplement la distance qu’elle a parcourue :

$x_{1} = v_{1} \cdot t$

La voiture bleue part de 205 km et roule dans le sens contraire de l’axe. Sa position diminue donc de 115 km chaque heure :

$x_{2} = d - v_{2} \cdot t$

Le moins est là pour la même raison que le graphique de Hugo descendait sur le chemin du retour. Un physicien dirait sans hésiter que la voiture bleue a la vitesse −115 km/h. Nous, nous laissons la vitesse positive, comme l’indique le compteur, et nous indiquons le sens par le signe dans la formule.

Les voitures se croisent quand elles sont au même endroit, donc quand x₁ = x₂. Nous résolvons l’exercice de façon littérale :

$\begin{array}{rcl} v_{1} \cdot t & = & d - v_{2} \cdot t / + v_{2} \cdot t \\ v_{1} \cdot t + v_{2} \cdot t & = & d \\ t \cdot (v_{1} + v_{2}) & = & d / : (v_{1} + v_{2}) \\ t & = & \frac{d}{v_{1} + v_{2}} \end{array}$

La deuxième ligne a du sens même sans équations. L’expression v₁ · t est la distance de la voiture rouge, v₂ · t celle de la bleue, et ensemble elles parcourent toute la distance entre les villes. À chaque heure, elles se rapprochent de 90 km + 115 km = 205 km. Nous remplaçons :

$\begin{aligned} t & = \frac{205 km}{90 km / h + 115 km / h} \\ = \frac{205 km}{205 km / h} = 1 h \end{aligned}$

Les unités sont cohérentes : des kilomètres divisés par des kilomètres par heure donnent des heures. Le lieu de la rencontre, nous l’obtenons en remplaçant le temps dans la position de l’une ou l’autre des voitures :

$x_{1} = 90 km / h \cdot 1 h = 90 km$

Pour vérifier : la voiture bleue est à cet instant à 205 km − 115 km = 90 km, donc au même endroit. L’estimation est cohérente aussi. Si les deux voitures roulaient à la même vitesse, elles se croiseraient à mi-chemin. La voiture du Mans roule plus vite, donc elles se croisent plus près de Paris. Réponse : les voitures se croisent à neuf heures, à 90 km de Paris. Les conducteurs n’auront sans doute pas le temps de se saluer, ils foncent l’un vers l’autre à ces fameux 205 km par heure.

Intersection de graphiques

Nous pouvons aussi résoudre le même problème sans équation. Nous traçons les positions des deux voitures sur un même graphique, comme nous l’avons fait pour la voiture et le camion.

Graphique de la position de la voiture de Paris (en rouge) et de la voiture du Mans (en bleu). Le point d’intersection orange montre quand et où les voitures se croisent

La droite rouge part de l’origine et monte avec une pente de 90 km/h. La bleue commence à la hauteur de 205 km et descend, parce que la voiture roule dans le sens contraire de l’axe. Elle descend plus fortement que la rouge ne monte, car la voiture du Mans est plus rapide. Elle arrive à Paris, où la position est nulle, en moins de deux heures.

Là où les droites se coupent, les deux voitures ont au même moment la même position. C’est exactement la rencontre. Du point d’intersection orange, nous descendons sur l’axe du temps et nous lisons 1 h, nous allons à gauche sur l’axe vertical et nous lisons 90 km.

Résoudre l’équation x₁ = x₂ revient à chercher l’intersection de deux droites, seulement au lieu de dessiner nous calculons. Le graphique montre ce qui se passe dans l’exercice et donne une estimation rapide. L’équation donne le nombre exact même quand l’intersection tombe entre les graduations.

Rattrapage

De Rambouillet part un cycliste à la vitesse constante de 18 km/h. Une heure après lui, une voiture part sur la même route à la vitesse de 54 km/h. Quand et où rattrape-t-elle le cycliste ?

Décidons à partir d’où nous mesurons le temps. Le plus commode est de déclencher le chronomètre à l’instant où la voiture démarre. À ce moment-là, le cycliste a déjà derrière lui une heure de route, c’est une avance de 18 km. C’est sa distance initiale d₀ de la formule d = d₀ + v · t. Le cycliste ne roule que vers l’avant et il est parti de l’origine de l’axe, donc sa distance initiale coïncide avec sa position initiale. Nous plaçons l’axe le long de la route avec l’origine à Rambouillet. Le cycliste aura l’indice 1, la voiture l’indice 2 :

$\begin{aligned} v_{1} & = 18 km / h \\ v_{2} & = 54 km / h \\ d_{0} & = 18 km \\ t & = ? \\ x & = ? \end{aligned}$

Les deux roulent dans le sens de l’axe, donc leurs positions sont

$\begin{aligned} x_{1} & = d_{0} + v_{1} \cdot t, \\ x_{2} & = v_{2} \cdot t . \end{aligned}$

La voiture rattrapera le cycliste quand ils seront au même endroit, x₂ = x₁ :

$\begin{array}{rcl} v_{2} \cdot t & = & d_{0} + v_{1} \cdot t / - v_{1} \cdot t \\ t \cdot (v_{2} - v_{1}) & = & d_{0} / : (v_{2} - v_{1}) \\ t & = & \frac{d_{0}}{v_{2} - v_{1}} \end{array}$

Cette fois, il y a au dénominateur la différence des vitesses. Chaque heure, la voiture réduit l’avance de 54 km − 18 km = 36 km, tout comme l’avance de la voiture sur le camion augmentait de la différence de leurs vitesses. Nous calculons :

$\begin{aligned} t & = \frac{18 km}{54 km / h - 18 km / h} \\ = \frac{18 km}{36 km / h} = 0, 5 h \end{aligned}$

La voiture rattrape le cycliste en une demi-heure, donc en 30 min. Le lieu de la rencontre, nous le lisons à partir de la position de la voiture :

$x_{2} = 54 km / h \cdot 0, 5 h = 27 km$

Le cycliste est au même moment à 18 km + 18 km/h · 0,5 h = 27 km, cela concorde. Réponse : la voiture rattrape le cycliste une demi-heure après son départ, à 27 km de Rambouillet.

Ici aussi, nous traçons un graphique de la position. Sur l’axe du temps, il y a cette fois des minutes depuis le départ de la voiture, pour qu’aucun nombre décimal n’apparaisse sur la figure.

Graphique de la position du cycliste (en bleu) et de la voiture (en rouge), temps en minutes depuis le départ de la voiture. Le point d’intersection orange montre quand et où la voiture rattrape le cycliste

La droite bleue du cycliste ne commence pas à l’origine, mais à la hauteur de 18 km, comme le graphique de la voiture qui passait la borne kilométrique. La droite rouge de la voiture part de zéro et est plus pentue. L’écart vertical entre les droites est l’avance du cycliste. Il diminue chaque minute, jusqu’à disparaître complètement à l’intersection, à 30 min et 27 km. Après l’intersection, la droite rouge est au-dessus de la bleue : la voiture a dépassé le cycliste et s’en éloigne déjà.

Attention à ce à quoi nous répondons. La demi-heure se mesure depuis le départ de la voiture. Le cycliste pédale à ce moment-là depuis déjà une heure et demie. Si nous avions déclenché le chronomètre avec lui, nous aurions obtenu une heure et demie. Les deux sont justes, chaque durée est simplement mesurée à partir d’un instant différent, et c’est pourquoi nous devons préciser cet instant dans la réponse.

De la formule, nous tirons encore une chose. Si la voiture ne roulait qu’à 18 km/h, il y aurait un zéro au dénominateur. On ne peut pas diviser par zéro et la voiture ne rattraperait pas le cycliste, pas même à Chartres.

Un train dans un tunnel

Un train long de 200 m traverse à la vitesse constante de 72 km/h un tunnel qui mesure 1 km. Combien de temps lui faut-il pour le traverser en entier, donc de l’entrée de la locomotive dans le tunnel à la sortie du dernier wagon ?

On est tenté de diviser la longueur du tunnel par la vitesse. Mais ici nous ne devons pas considérer le train comme un point matériel, car c’est justement sa longueur qui décide du résultat, et sans schéma on l’oublie facilement.

En gris pointillé le train quand son avant entre dans le tunnel, en plein le train quand son arrière sort du tunnel. L’avant est dans les deux positions en orange, en rouge la distance d qu’il parcourt

Il suffit de suivre un seul point du train, l’avant de la locomotive (en orange). Au début, il est à l’entrée du tunnel. Quand le dernier wagon sort du tunnel, l’avant est au-delà de la sortie de toute la longueur du train. Il a donc parcouru la longueur du tunnel (en bleu) et, en plus, la longueur du train (en vert) :

$d = 1 000 m + 200 m = 1 200 m$

Les longueurs sont en mètres, nous convertissons donc la vitesse en mètres par seconde :

$v = 72 km / h = \frac{72}{3, 6} m / s = 20 m / s$

Le temps est la distance divisée par la vitesse :

$t = \frac{d}{v} = \frac{1 200 m}{20 m / s} = 60 s$

Des mètres divisés par des mètres par seconde sont des secondes, donc le train traverse le tunnel en une minute. Celui qui n’a pris que la longueur du tunnel a obtenu 50 s. Mais à cet instant, la locomotive ne fait que sortir et tout le train derrière elle est encore dans le tunnel. L’estimation est cohérente : le train parcourt un kilomètre en cinquante secondes et deux cents mètres de plus en dix secondes supplémentaires.

Calcule encore combien de temps le train est entièrement dans le tunnel. Cela commence à l’instant où le dernier wagon entre dans le tunnel et où l’avant se trouve donc à 200 m après l’entrée. Cela finit quand l’avant arrive à la sortie. L’avant parcourt 1 000 m − 200 m = 800 m, ce qui lui prend 40 s. Cette fois, la longueur du train se soustrait.

Avec le courant et contre le courant

Un bateau de promenade navigue sur la Seine. Par rapport à l’eau, il avance à la vitesse de 15 km/h et le fleuve coule à la vitesse de 3 km/h. En combien de temps arrive-t-il à un port situé à 36 km dans le sens du courant et en combien de temps en revient-il ?

La vitesse du bateau se mesure par rapport à l’eau. Si le batelier coupait le moteur, l’eau emporterait le bateau à la vitesse de 3 km/h. Comme toujours, cela dépend de ce par rapport à quoi nous mesurons le mouvement. Par rapport à la rive, en descendant le courant, le bateau parcourt en une heure 15 km par sa propre force et l’eau le pousse en plus de 3 km. Le bateau aura l’indice 1, le courant l’indice 2. Le temps avec le courant, nous le notons $t_{+}$ , parce que les vitesses s’additionnent, le temps contre le courant $t_{-}$ :

$\begin{aligned} v_{1} & = 15 km / h \\ v_{2} & = 3 km / h \\ d & = 36 km \\ t_{+} & = ? \\ t_{-} & = ? \end{aligned}$

Avec le courant, les vitesses s’additionnent et le trajet dure

$\begin{aligned} t_{+} & = \frac{d}{v_{1} + v_{2}} = \frac{36 km}{18 km / h} \\ = 2 h . \end{aligned}$

Contre le courant, l’eau ramène le bateau en arrière de 3 km chaque heure et les vitesses se soustraient :

$\begin{aligned} t_{-} & = \frac{d}{v_{1} - v_{2}} = \frac{36 km}{12 km / h} \\ = 3 h \end{aligned}$

Des kilomètres divisés par des kilomètres par heure donnent des heures. Le bateau arrive au port en deux heures et revient en trois.

Si le courant atteignait la vitesse du bateau par rapport à l’eau, il y aurait un zéro au dénominateur de la deuxième formule, comme pour la voiture qui ne suivrait le cycliste qu’à 18 km/h. Contre le courant, le bateau resterait sur place par rapport à la rive et le batelier pourrait laisser tourner le moteur toute la journée, le port de départ ne se rapprocherait pas d’un mètre.

Et maintenant un piège. À quelle vitesse moyenne le bateau a-t-il navigué sur l’ensemble de l’aller-retour ? Celui qui dit 15 km/h, parce que le courant l’a aidé à l’aller et gêné tout autant au retour, est tombé dans le piège comme dans l’exercice à l’aller 60, au retour 40. Le bateau a parcouru 72 km en 5 h :

$v_{m} = \frac{72 km}{5 h} = 14, 4 km / h$

Contre le courant, il a navigué plus longtemps, trois heures au lieu de deux, et la moyenne a donc penché vers la vitesse la plus lente. Sur une eau calme, il aurait parcouru les mêmes 72 km en 4,8 h, donc en 4 h et 48 min. Un courant qui aide autant qu’il gêne allonge toujours une sortie aller-retour.

Dans tous les problèmes de cet article, les voitures, les trains et les bateaux se déplaçaient à vitesse constante. Mais une vraie voiture doit d’abord démarrer et freiner de nouveau avant l’arrivée. Comment décrire un mouvement dans lequel la vitesse change, nous le verrons dans l’article suivant, Accélération.

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