Problemas de movimento

Às oito da manhã, sai de Praga pela rodovia D1 um carro com velocidade de 90 km/h. Ao encontro dele, no mesmo instante, parte de Brno um segundo carro com velocidade de 115 km/h. A rodovia entre as cidades mede 205 km. Quando e onde os carros se encontram?

Os problemas de movimento sempre parecem diferentes, mas quase todos se resolvem com o mesmo truque. Para cada veículo escrevemos onde ele está no tempo t e depois procuramos o instante em que os dois estão no mesmo lugar. Tudo anda com velocidade constante, de modo que nos bastam as fórmulas do movimento retilíneo uniforme e o procedimento habitual de resolução de exercícios.

Dois carros em sentidos opostos

Anotamos o que sabemos e o que procuramos. O carro de Praga recebe o índice 1 e o carro de Brno, o índice 2:

$\begin{aligned} v_{1} & = 90 km / h \\ v_{2} & = 115 km / h \\ s & = 205 km \\ t & = ? \\ x & = ? \end{aligned}$

Tudo está em quilômetros e horas, as unidades não se misturam, então não precisamos converter. O tempo sairá em horas.

Um esboço ajuda. Ao longo da rodovia traçamos o eixo x. Colocamos a origem em Praga, de modo que Brno fica a 205 km.

Esboço: eixo x ao longo da rodovia, o carro vermelho de Praga anda com velocidade v_1 para a direita, o carro azul de Brno com velocidade v_2 para a esquerda

O carro vermelho anda no sentido do eixo, então a posição dele é simplesmente a distância que ele percorreu:

$x_{1} = v_{1} \cdot t$

O carro azul começa em 205 km e anda contra o sentido do eixo. A posição dele, por isso, diminui 115 km a cada hora:

$x_{2} = s - v_{2} \cdot t$

O sinal de menos aparece aqui pelo mesmo motivo pelo qual o gráfico de Otávio descia na volta para casa. Um físico diria tranquilamente que o carro azul tem velocidade −115 km/h. Nós deixamos a velocidade positiva, como o velocímetro a mostra, e escrevemos o sentido com o sinal na fórmula.

Os carros se encontram quando estão no mesmo lugar, isto é, quando x₁ = x₂. Resolvemos o problema de modo geral:

$\begin{array}{rcl} v_{1} \cdot t & = & s - v_{2} \cdot t / + v_{2} \cdot t \\ v_{1} \cdot t + v_{2} \cdot t & = & s \\ t \cdot (v_{1} + v_{2}) & = & s / : (v_{1} + v_{2}) \\ t & = & \frac{s}{v_{1} + v_{2}} \end{array}$

A segunda linha faz sentido mesmo sem equações. A expressão v₁ · t é a distância do carro vermelho, v₂ · t a do azul e, juntos, eles percorrem a distância toda entre as cidades. A cada hora eles se aproximam 90 km + 115 km = 205 km. Substituímos:

$\begin{aligned} t & = \frac{205 km}{90 km / h + 115 km / h} \\ = \frac{205 km}{205 km / h} = 1 h \end{aligned}$

As unidades conferem: quilômetros divididos por quilômetros por hora são horas. Obtemos o lugar do encontro substituindo o tempo na posição de qualquer um dos carros:

$x_{1} = 90 km / h \cdot 1 h = 90 km$

Para conferir: o carro azul está nesse momento em 205 km − 115 km = 90 km, ou seja, no mesmo lugar. A estimativa também confere. Se os dois carros andassem com a mesma velocidade, se encontrariam na metade do caminho. O carro de Brno anda mais depressa, então eles se encontram mais perto de Praga. Resposta: os carros se encontram às nove horas, a 90 km de Praga. Os motoristas provavelmente nem terão tempo de acenar um para o outro, afinal eles se lançam um contra o outro justamente a esses 205 km por hora.

Interseção dos gráficos

Podemos resolver o mesmo problema também sem equação. Desenhamos as posições dos dois carros num único gráfico, como antes o carro e o caminhão.

Gráfico da posição do carro de Praga (em vermelho) e do carro de Brno (em azul). A interseção laranja mostra quando e onde os carros se encontram

A reta vermelha parte da origem e sobe com inclinação de 90 km/h. A azul começa na altura de 205 km e desce, porque o carro anda contra o sentido do eixo. Ela desce mais acentuadamente do que a vermelha sobe, porque o carro de Brno é mais rápido. Em Praga, onde a posição é nula, ele chega em menos de duas horas.

Onde as retas se cruzam, os dois carros têm, no mesmo tempo, a mesma posição. Isso é exatamente o encontro. Da interseção laranja descemos até o eixo do tempo e lemos 1 h, e vamos para a esquerda até o eixo vertical e lemos 90 km.

Resolver a equação x₁ = x₂ é o mesmo que procurar a interseção de duas retas, só que, em vez de desenhar, calculamos. O gráfico mostra o que acontece no problema e dá uma estimativa rápida. A equação dá o número exato mesmo quando a interseção cai entre as marcas.

Alcance

De Campinas sai um ciclista com velocidade constante de 18 km/h. Uma hora depois dele, um carro parte pela mesma estrada com velocidade de 54 km/h. Quando e onde o carro alcança o ciclista?

Decidamos de onde mediremos o tempo. O mais cômodo é disparar o cronômetro no momento em que o carro parte. O ciclista, nessa hora, já tem uma hora de viagem, que é uma vantagem de 18 km. Essa é a distância inicial dele, s₀, da fórmula s = s₀ + v · t. O ciclista anda só para a frente e saiu da origem do eixo, e a distância inicial dele, por isso, coincide com a posição inicial. Traçaremos o eixo ao longo da estrada com a origem em Campinas. O ciclista terá o índice 1 e o carro, o índice 2:

$\begin{aligned} v_{1} & = 18 km / h \\ v_{2} & = 54 km / h \\ s_{0} & = 18 km \\ t & = ? \\ x & = ? \end{aligned}$

Os dois andam no sentido do eixo, então as posições deles são

$\begin{aligned} x_{1} & = s_{0} + v_{1} \cdot t, \\ x_{2} & = v_{2} \cdot t . \end{aligned}$

O carro alcança o ciclista quando estiverem no mesmo lugar, x₂ = x₁:

$\begin{array}{rcl} v_{2} \cdot t & = & s_{0} + v_{1} \cdot t / - v_{1} \cdot t \\ t \cdot (v_{2} - v_{1}) & = & s_{0} / : (v_{2} - v_{1}) \\ t & = & \frac{s_{0}}{v_{2} - v_{1}} \end{array}$

Desta vez, no denominador está a diferença das velocidades. O carro, a cada hora, tira da vantagem 54 km − 18 km = 36 km, assim como antes a vantagem do carro sobre o caminhão crescia pela diferença das velocidades deles. Calculamos:

$\begin{aligned} t & = \frac{18 km}{54 km / h - 18 km / h} \\ = \frac{18 km}{36 km / h} = 0, 5 h \end{aligned}$

O carro alcança o ciclista em meia hora, ou seja, em 30 min. Obtemos o lugar do encontro a partir da posição do carro:

$x_{2} = 54 km / h \cdot 0, 5 h = 27 km$

O ciclista está no mesmo momento em 18 km + 18 km/h · 0,5 h = 27 km, confere. Resposta: o carro alcança o ciclista meia hora depois de partir, a 27 km de Campinas.

Aqui também desenhamos o gráfico da posição. No eixo do tempo estão desta vez os minutos desde a partida do carro, para que na figura não apareçam números decimais.

Gráfico da posição do ciclista (em azul) e do carro (em vermelho), tempo em minutos desde a partida do carro. A interseção laranja mostra quando e onde o carro alcança o ciclista

A reta azul do ciclista não começa na origem, mas na altura de 18 km, como o gráfico do carro que passava pelo marco quilométrico. A reta vermelha do carro parte do zero e é mais inclinada. A distância vertical entre as retas é a vantagem do ciclista. A cada minuto ela diminui, até que, na interseção, em 30 min e 27 km, desaparece por completo. Depois da interseção, a reta vermelha fica acima da azul: o carro ultrapassou o ciclista e já está se afastando.

Atenção para o que respondemos. A meia hora é medida desde a partida do carro. O ciclista, nesse momento, já pedala há uma hora e meia. Se tivéssemos disparado o cronômetro com ele, sairia uma hora e meia. As duas coisas valem, cada tempo só é medido a partir de um momento diferente, e por isso precisamos indicar na resposta qual é esse momento.

A fórmula nos revela mais uma coisa. Se o carro andasse apenas a 18 km/h, haveria um zero no denominador. Não se pode dividir por zero, e o carro não alcançaria o ciclista nem em Ribeirão Preto.

Trem no túnel

Um trem de 200 m de comprimento passa com velocidade constante de 72 km/h por um túnel que mede 1 km. Quanto tempo ele leva para atravessar o túnel inteiro, isto é, desde a entrada da locomotiva até a saída do último vagão?

Dá vontade de dividir o comprimento do túnel pela velocidade. Mas aqui não podemos considerar o trem um ponto material, porque o que decide o resultado é justamente o comprimento dele, e sem esboço isso passa facilmente despercebido.

Em cinza tracejado, o trem quando a frente dele entra no túnel; em cheio, o trem quando o fim dele sai do túnel. A frente está nas duas posições em laranja e, em vermelho, a distância s que ela percorre

Basta acompanhar um único ponto do trem, a frente da locomotiva (em laranja). No início ela está na entrada do túnel. Quando o último vagão sai do túnel, a frente está além da saída por todo o comprimento do trem. Percorreu, portanto, o comprimento do túnel (em azul) e, além disso, o comprimento do trem (em verde):

$s = 1.000 m + 200 m = 1.200 m$

Os comprimentos estão em metros, então convertemos a velocidade para metros por segundo:

$v = 72 km / h = \frac{72}{3, 6} m / s = 20 m / s$

O tempo é a distância dividida pela velocidade:

$t = \frac{s}{v} = \frac{1.200 m}{20 m / s} = 60 s$

Metros divididos por metros por segundo são segundos, então o trem atravessa o túnel em um minuto. Quem tomou só o comprimento do túnel obteve 50 s. Nesse instante, porém, a locomotiva só está saindo e o trem inteiro atrás dela ainda está no túnel. A estimativa confere: o trem percorre um quilômetro em cinquenta segundos e os duzentos metros a mais em mais dez.

Calcule ainda por quanto tempo o trem inteiro fica dentro do túnel. Isso começa quando o último vagão entra no túnel e a frente, portanto, está 200 m depois da entrada. Termina quando a frente chega à saída. A frente percorre 1.000 m − 200 m = 800 m, o que leva 40 s. O comprimento do trem, desta vez, se subtrai.

A favor e contra a correnteza

Pelo rio São Francisco navega um barco de passeio. Em relação à água ele anda a 15 km/h e o rio corre a 3 km/h. Em quanto tempo ele chega a um porto a 36 km rio abaixo e em quanto tempo volta?

A velocidade do barco é medida em relação à água. Se o barqueiro desligasse o motor, a água arrastaria o barco a 3 km/h. Como sempre, importa em relação a que medimos o movimento. Em relação à margem, a favor da correnteza o barco percorre em uma hora 15 km com a sua própria força e a água ainda o desloca mais 3 km. O barco terá o índice 1 e a correnteza, o índice 2. Indicamos o tempo a favor da correnteza por $t_{+}$ , porque as velocidades se somam, e o tempo contra a correnteza, por $t_{-}$ :

$\begin{aligned} v_{1} & = 15 km / h \\ v_{2} & = 3 km / h \\ s & = 36 km \\ t_{+} & = ? \\ t_{-} & = ? \end{aligned}$

A favor da correnteza, as velocidades se somam e a viagem dura

$\begin{aligned} t_{+} & = \frac{s}{v_{1} + v_{2}} = \frac{36 km}{18 km / h} \\ = 2 h . \end{aligned}$

Contra a correnteza, a água puxa o barco de volta 3 km a cada hora e as velocidades se subtraem:

$\begin{aligned} t_{-} & = \frac{s}{v_{1} - v_{2}} = \frac{36 km}{12 km / h} \\ = 3 h \end{aligned}$

Quilômetros divididos por quilômetros por hora dão horas. O barco chega ao porto em duas horas e volta em três.

Se a correnteza alcançasse a velocidade do barco em relação à água, haveria um zero no denominador da segunda fórmula, como no carro que iria atrás do ciclista a apenas 18 km/h. O barco, contra a correnteza, ficaria parado em relação à margem e o barqueiro poderia deixar o motor ligado o dia inteiro, que o porto de partida não se aproximaria nem um metro.

E agora a pegadinha. Qual foi a velocidade média do barco em todo o percurso de ida e volta? Quem diz 15 km/h, porque a correnteza ajudou uma vez e atrapalhou outra na mesma medida, caiu na mesma armadilha do problema ida a 60, volta a 40. O barco percorreu 72 km em 5 h:

$v_{m} = \frac{72 km}{5 h} = 14, 4 km / h$

Contra a correnteza ele andou por mais tempo, três horas em vez de duas, e a média, por isso, se inclinou para a velocidade mais baixa. Em água parada, ele percorreria os mesmos 72 km em 4,8 h, ou seja, em 4 h e 48 min. Uma correnteza que ajuda e atrapalha na mesma medida sempre alonga o passeio de ida e volta.

Em todos os problemas deste artigo, os carros, trens e barcos andaram com velocidade constante. Mas um carro de verdade precisa primeiro arrancar e, antes do destino, frear. Como descrever um movimento em que a velocidade muda, mostraremos no próximo artigo, Aceleração.

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