Текстові задачі на рух

О восьмій ранку з Києва трасою М-05 виїжджає автомобіль зі швидкістю 90 км/год. Йому назустріч одночасно з Умані виїжджає другий автомобіль зі швидкістю 115 км/год. Траса між містами має довжину приблизно 205 км. Коли і де автомобілі зустрінуться?

Задачі на рух щоразу виглядають по-іншому, але майже всі розв'язуються одним і тим самим прийомом. Для кожного транспортного засобу записуємо, де він перебуває в момент часу t, а потім шукаємо мить, коли обидва опиняються в одному місці. Усе рухається зі сталою швидкістю, тому нам вистачить формул для рівномірного прямолінійного руху та звичного порядку розв'язування задач.

Два автомобілі назустріч один одному

Запишемо, що відомо і що потрібно знайти. Автомобіль з Києва матиме індекс 1, автомобіль з Умані — індекс 2:

$$\begin{array}{rl}{v}_1& =90\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}\\ v_2& =115\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}\\ s& =205\mathrm{к}\mathrm{м}\\ t& =?\\ x& =?\end{array}$$

Усе подано в кілометрах і годинах, одиниці не змішуються, тож переводити нічого не треба. Час вийде в годинах.

Допоможе схематичний рисунок. Уздовж траси проведемо вісь x. Початок відліку помістимо в Києві, тоді Умань лежить на відстані 205 км.

Червоний автомобіль їде в напрямі осі, тому його координата — це просто шлях, який він проїхав:

$$x_1=v_1\cdot t$$

Синій автомобіль починає рух від позначки 205 км і їде проти напряму осі. Тому його координата щогодини зменшується на 115 км:

$$x_2=s-v_2\cdot t$$

Мінус тут з тієї самої причини, з якої спадав графік Андрія на шляху додому. Фізик спокійно сказав би, що синій автомобіль має швидкість −115 км/год. Ми ж залишимо швидкість додатною, такою, як її показує спідометр, а напрям запишемо знаком у формулі.

Автомобілі зустрінуться, коли опиняться в одному місці, тобто коли x₁ = x₂. Розв'яжемо задачу в загальному вигляді:

$$\begin{array}{rcl}{v}_1\cdot t& =& s-v_2\cdot t/+v_2\cdot t\\ v_1\cdot t+v_2\cdot t& =& s\\ t\cdot (v_1+v_2)& =& s/:(v_1+v_2)\\ t& =& \frac{s}{v_1+v_2}\end{array}$$

Другий рядок зрозумілий і без рівнянь. Вираз v₁ · t — це шлях червоного автомобіля, v₂ · t — шлях синього, і разом вони проїжджають усю відстань між містами. За кожну годину автомобілі наближаються один до одного на 90 км + 115 км = 205 км. Підставимо:

$$\begin{array}{rl}t& =\frac{205\mathrm{к}\mathrm{м}}{90\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}+115\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}}\\ & =\frac{205\mathrm{к}\mathrm{м}}{205\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}}=1\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}\end{array}$$

Одиниці збігаються: кілометри, поділені на кілометри за годину, дають години. Місце зустрічі отримаємо, якщо підставимо час у координату будь-якого з автомобілів:

$$x_1=90\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}\cdot 1\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}=90\mathrm{к}\mathrm{м}$$

Перевіримо: синій автомобіль у цей момент перебуває на відстані 205 км − 115 км = 90 км, тобто в тому самому місці. Збігається і оцінка. Якби обидва автомобілі їхали з однаковою швидкістю, вони зустрілися б на середині шляху. Автомобіль з Умані їде швидше, тож зустріч буде ближче до Києва. Відповідь: автомобілі зустрінуться о дев'ятій годині на відстані 90 км від Києва. Помахати один одному водії навряд чи встигнуть, адже вони мчать назустріч з сумарною швидкістю 205 км за годину.

Точка перетину графіків

Ту саму задачу можна розв'язати й без рівняння. Нанесемо координати обох автомобілів на один графік, як раніше для автомобіля й вантажівки.

Червона пряма виходить з початку координат і зростає з крутизною 90 км/год. Синя починається на висоті 205 км і спадає, бо автомобіль їде проти напряму осі. Вона спадає крутіше, ніж зростає червона, тому що автомобіль з Умані швидший. До Києва, де координата дорівнює нулю, він доїде менш ніж за дві години.

У точці перетину прямих обидва автомобілі мають у той самий момент однакову координату. Це і є зустріч. З помаранчевої точки перетину опускаємося на вісь часу і зчитуємо 1 год, а рухаючись ліворуч до вертикальної осі, зчитуємо 90 км.

Розв'язати рівняння x₁ = x₂ — те саме, що знайти точку перетину двох прямих, тільки замість малювання ми обчислюємо. Графік показує, що відбувається в задачі, і дає швидку оцінку. Рівняння дає точне число навіть тоді, коли точка перетину потрапляє між поділками.

Наздоганяння

З Борисполя виїжджає велосипедист зі сталою швидкістю 18 км/год. Через годину після нього тією самою дорогою вирушає автомобіль зі швидкістю 54 км/год. Коли і де він наздожене велосипедиста?

Вирішімо, звідки відлічувати час. Найзручніше запустити секундомір у мить, коли виїжджає автомобіль. До цього часу велосипедист уже годину в дорозі, тобто має фору 18 км. Це його початковий шлях s₀ з формули s = s₀ + v · t. Велосипедист їде лише вперед і виїхав із початку осі, тому його початковий шлях збігається з початковою координатою. Вісь проведемо вздовж дороги з початком у Борисполі. Велосипедист матиме індекс 1, автомобіль — індекс 2:

$$\begin{array}{rl}{v}_1& =18\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}\\ v_2& =54\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}\\ s_0& =18\mathrm{к}\mathrm{м}\\ t& =?\\ x& =?\end{array}$$

Обидва їдуть у напрямі осі, тож їхні координати такі:

$$\begin{array}{rl}{x}_1& =s_0+v_1\cdot t,\\ x_2& =v_2\cdot t.\end{array}$$

Автомобіль наздожене велосипедиста, коли вони опиняться в одному місці, x₂ = x₁:

$$\begin{array}{rcl}{v}_2\cdot t& =& s_0+v_1\cdot t/-v_1\cdot t\\ t\cdot (v_2-v_1)& =& s_0/:(v_2-v_1)\\ t& =& \frac{s_0}{v_2-v_1}\end{array}$$

Цього разу в знаменнику стоїть різниця швидкостей. Щогодини автомобіль скорочує відрив на 54 км − 18 км = 36 км, так само як раніше відрив автомобіля від вантажівки зростав на різницю їхніх швидкостей. Обчислимо:

$$\begin{array}{rl}t& =\frac{18\mathrm{к}\mathrm{м}}{54\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}-18\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}}\\ & =\frac{18\mathrm{к}\mathrm{м}}{36\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}}=0,5\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}\end{array}$$

Автомобіль наздожене велосипедиста за пів години, тобто за 30 хв. Місце зустрічі знайдемо з координати автомобіля:

$$x_2=54\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}\cdot 0,5\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}=27\mathrm{к}\mathrm{м}$$

Велосипедист у ту саму мить перебуває на відстані 18 км + 18 км/год · 0,5 год = 27 км — усе сходиться. Відповідь: автомобіль наздожене велосипедиста через пів години після свого виїзду на відстані 27 км від Борисполя.

І тут побудуємо графік координати. На осі часу цього разу відкладено хвилини від виїзду автомобіля, щоб на рисунку не було десяткових чисел.

Синя пряма велосипедиста починається не на початку координат, а на висоті 18 км, так само як графік автомобіля, що проминав кілометровий стовпчик. Червона пряма автомобіля виходить з нуля і крутіша. Вертикальна відстань між прямими — це відрив велосипедиста. З кожною хвилиною він зменшується, поки в точці перетину при 30 хв і 27 км не зникне зовсім. За точкою перетину червона пряма лежить над синьою: автомобіль випередив велосипедиста і вже віддаляється.

Зверни увагу, на що саме ми відповідаємо. Пів години ми відлічуємо від виїзду автомобіля. Велосипедист на цю мить їде вже півтори години. Якби ми запустили секундомір разом із ним, вийшло б півтори години. Правильні обидва результати, просто кожен час відлічується від іншої миті, тому у відповіді слід вказати, від якої саме.

З формули можна прочитати ще одне. Якби автомобіль їхав лише 18 км/год, у знаменнику був би нуль. На нуль ділити не можна, і автомобіль не наздогнав би велосипедиста навіть в Яготині.

Потяг у тунелі

Потяг завдовжки 200 м їде зі сталою швидкістю 72 км/год тунелем довжиною 1 км. Скільки часу йому потрібно, щоб проїхати тунель повністю, тобто від в'їзду локомотива до виїзду останнього вагона?

Спокусливо поділити довжину тунелю на швидкість. Але потяг тут не можна вважати матеріальною точкою, бо результат визначає саме його довжина, а без рисунка це легко пропустити.

Достатньо стежити за однією точкою потяга — передком локомотива (помаранчевий). На початку він біля в'їзду в тунель. Коли з тунелю виїжджає останній вагон, передок опиняється за виїздом на цілу довжину потяга. Отже, він проїхав довжину тунелю (синій) і ще довжину потяга (зелений):

$$s=1000\mathrm{м}+200\mathrm{м}=1200\mathrm{м}$$

Довжини задано в метрах, тому швидкість переведемо в метри за секунду:

$$v=72\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}=\frac{72}{3,6}\mathrm{м}/\mathrm{с}=20\mathrm{м}/\mathrm{с}$$

Час — це шлях, поділений на швидкість:

$$t=\frac{s}{v}=\frac{1200\mathrm{м}}{20\mathrm{м}/\mathrm{с}}=60\mathrm{с}$$

Метри, поділені на метри за секунду, дають секунди, тож потяг проїжджає тунель за хвилину. Хто взяв лише довжину тунелю, отримав 50 с. Але в цю мить локомотив лише виїжджає з тунелю, а весь потяг за ним ще в тунелі. Оцінка збігається: кілометр потяг проїжджає за п'ятдесят секунд, а ще двісті метрів — за наступні десять.

Порахуй самостійно, скільки часу весь потяг перебуває в тунелі. Це починається в мить, коли в тунель в'їжджає останній вагон, тобто передок перебуває на відстані 200 м від в'їзду. Закінчується, коли передок доїжджає до виїзду. Передок проїжджає 1 000 м − 200 м = 800 м, на що йому потрібно 40 с. Довжина потяга цього разу віднімається.

За течією і проти течії

Дніпром пливе прогулянковий катер. Відносно води він рухається зі швидкістю 15 км/год, а річка тече зі швидкістю 3 км/год. За який час катер допливе до пристані, що лежить на 36 км нижче за течією, і за який час повернеться?

Швидкість катера вимірюємо відносно води. Якби моторист вимкнув двигун, вода зносила б катер зі швидкістю 3 км/год. Як завжди, важливо, відносно чого ми вимірюємо рух. Відносно берега катер за течією за годину проходить 15 км власною силою, а вода зносить його ще на 3 км. Катер матиме індекс 1, течія — індекс 2. Час за течією позначимо $t_{+}$, бо швидкості додаються, час проти течії — $t_{-}$:

$$\begin{array}{rl}{v}_1& =15\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}\\ v_2& =3\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}\\ s& =36\mathrm{к}\mathrm{м}\\ t_{+}& =?\\ t_{-}& =?\end{array}$$

За течією швидкості додаються, і дорога триває

$$\begin{array}{rl}{t}_{+}& =\frac{s}{v_1+v_2}=\frac{36\mathrm{к}\mathrm{м}}{18\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}}\\ & =2\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}.\end{array}$$

Проти течії вода щогодини відносить катер назад на 3 км, і швидкості віднімаються:

$$\begin{array}{rl}{t}_{-}& =\frac{s}{v_1-v_2}=\frac{36\mathrm{к}\mathrm{м}}{12\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}}\\ & =3\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}\end{array}$$

Кілометри, поділені на кілометри за годину, дають години. Катер допливе до пристані за дві години, а назад — за три.

Якби течія досягла швидкості катера відносно води, у знаменнику другої формули був би нуль, так само як у випадку автомобіля, що їхав би за велосипедистом лише зі швидкістю 18 км/год. Катер проти течії стояв би відносно берега на місці, і моторист міг би тримати двигун увімкненим цілий день, а пристань, з якої він вирушив, не наблизилася б ані на метр.

А тепер каверзне питання. З якою середньою швидкістю катер плив на всьому шляху туди й назад? Хто скаже 15 км/год, бо течія один раз допомагала, а другий раз заважала однаково, потрапив у ту саму пастку, що й у задачі туди 60, назад 40. Катер проплив 72 км за 5 год:

$$v_{\mathrm{с}\mathrm{е}\mathrm{р}}=\frac{72\mathrm{к}\mathrm{м}}{5\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}}=14,4\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}$$

Проти течії він плив довше, три години замість двох, тому середня швидкість наблизилася до меншої. У стоячій воді ті самі 72 км він подолав би за 4,8 год, тобто за 4 год і 48 хв. Течія, яка допомагає й заважає однаково, завжди подовжує подорож туди й назад.

У всіх задачах цієї статті автомобілі, потяги й катери рухалися зі сталою швидкістю. Але справжній автомобіль спершу мусить розігнатися, а перед фінішем загальмувати. Як описати рух, під час якого швидкість змінюється, ми побачимо в наступній статті — Прискорення.